mrnmrtmrn nE Kt 1 1 ) 2 1 1

Przypomnijmy, że co ustalony okres czasu dokonujemy jakiejś wpłaty lub wypłaty, ale
kierunek przepływu pieniążków nie jest istotny byle był cały czas taki sam, czyli
rozważamy albo same wpłaty albo same wypłaty, w wykładzie zwykle by nie mieszać
mówimy o wpłatach. Istotny jest okres stopy procentowej jaki jest dany i okres wpłat,
wkładów – przy oprocentowaniu prostym tylko to jest istotne, jak mamy wkłady
niezgodne, to mamy wkłady z góry i z dołu, nie muszą być zawsze tej samej wielkości.
Wkłady niezgodne
Niezgodność wkładów oszczędnościowych przy oprocentowaniu prostym wiąże się
z faktem, że okres stopy procentowej jest różny od okresu wpłat. W celu uzgodnienia
wkładów stosuje się współczynnik
m
dlugosc okresu stopy procentowej
dlugosci okresu wkladow
Przy czym przyjmuje się, że długość okresu stopy procentowej jest wielokrotnością
długości okresu wkładów bądź na odwrót. Zatem m jest liczbą naturalną lub odwrotnością
liczby naturalnej. Uzgodnienie wkładów polega na zastosowaniu w celu obliczenia
odpowiednich odsetek dostosowanej stopy procentowej
r
, której okres pokrywa się z
m
okresem wkładów {i w ten sposób sprowadziliśmy to zagadnienie do zagadnienia
wkładów zgodnych}. Wobec tego wkłady niezgodne opisują wzory analogiczne do
wzorów(1) – (5) gdzie w miejsce stopy procentowej r należy wziąć względną stopę
r
. Oznacza to, ,że dla wkładów o równej wysokości E mamy:
m
n 1 r
nE (1
)
2 m
procentową
(6)
Kn
{n naturalne tutaj to liczba wkładów, + dotyczy wkładów z góry, a – z dołu}
(7)
Kt
(8)
Kt
r
m
r
1 n
m
n 1 r
1
nE (1
)
r
2 m
1 n
m
n 1 r
nE (1
)
2 m
1 t
Przykład 2
Obliczymy jakiej wysokości wkłady miesięczne z góry pozwolą zgromadzić w ciągu pół
roku kwotę 5000 zł. Przyjmując, że bank stosuje kapitalizację prostą przy rocznej stopie
procentowej 9%.
Mamy więc tu wkłady miesięczne z góry niezgodne, gdyż okresem stopy procentowej
r=0,09 jest rok. Mamy ponadto m=12, n=6 (bo wpłacamy co miesiąc przez pół roku).
Należy obliczyć wysokość E wkładów taką, że K6=5000zł. Wobec (6) dostajemy:
K 6 6 E (1
E
6 1 0,09
)
2 12
5000
6 * 1,02625
812 ,02 zl
Zatem na początku każdego miesiąca należy wpłacać 812,02zł.
Rozważmy teraz sytuację, gdy przy danych r, m , E, K n interesuje nas liczba
wkładów n. {zwykle ono nie wyjdzie naturalne, dlatego mówimy o niepełnej liczbie
wkładów o czym dalej}. Oczywiście możemy wyznaczać n w oparciu o (6), ale przy
pewnych danych wyznaczone dodatnie rozwiązanie odpowiedniego równania nie musi
należeć do zbioru liczb naturalnych (ujemne rozwiązania odrzucamy – brak sensu).
Wówczas mamy do czynienia z tak zwanym problemem niepełnej liczby wkładów , w
takiej sytuacji stosowane mogą być na przykład następujące rozwiązania:
utworzenie dodatkowej wpłaty niepełnej poza ciągiem wkładów
odpowiednie powiększenie jednej z wpłat zwykle pierwszej lub ostatniej
zaokrąglenie rozwiązania równania do najbliższej liczby naturalnej (ewentualne obcięcie)
i wyznaczenie nowych równych wpłat.
Przykład 3:
Pan X zdecydował , że będzie na początku każdego miesiąca wpłacał do banku 100zł.
Bank stosuje kapitalizację prostą przy rocznej stopie procentowej 12%. Przez ile miesięcy
Pan X powinien dokonywać wpłat, jeśli chce uzbierać dokładnie 1000zł. ?
Mamy tu wkłady miesięczne z góry niezgodne, przy czym m=12, r=0,12(roczna),
E=100zł i Kn=1000zł. Wobec (6) dostajemy równanie:
1000
2000
n2
n 1 0,12
) \ 200
2 12
200n n 2 n
n * 100 (1
201n 2000
0
48.401
220,0023
n
210,5012 lub n
9,5012
Żadne rozwiązanie nie należy do zbioru liczb naturalnych. Dalej może nas jedynie
interesować jako „wskazanie” – rozwiązanie dodatnie, które mówi, że 9 wpłat nie da
oczekiwanej sumy, ale z kolei 10 wpłat da sumę większą. Załóżmy, że zastosujemy
wariant rozwiązania a). Obliczymy najpierw wartość K9 sumy 9 wkładów {by wiedzieć ile
nam brakuje}. Z (6) mamy
K 9 9 *100 (1
9 1 0,12
)
2 12
945zl {i w tym momencie rozumiemy to jako już pewien
kapitał, a nie jako sumę wkładów}
Przyjmujemy teraz, że po 9 miesiącach zamykany jest rachunek wkładów i dokonujemy
dodatkowej wpłaty w wysokości x (x>0), która wraz z sumą K 9 po kolejnym miesięcy ma
osiągnąć wartość 1000zł.
0
E1
1
8
E9
9
x
10
1000
Zatem
(945 + x)(1+0,12/12)=1000 czyli ta kwota po skapitalizowaniu przez okres jednego
miesiąca ma nam dać 1000, więc x 45,099[zł]. {uwaga oprocentowanie przez ostatni
miesiąc dotyczy nie tylko liczenia odsetek od kwoty ale też od wcześniej zgromadzonych
odsetek bo przez te 9 miesięcy uzbierały się odsetki dlatego to nie jest taka typowa
kapitalizacja prosta, dlatego mówiliśmy, że po 9 miesiącach jest niejako zamykany ten
rachunek wpłat}
W tym wariancie Pan X dokonałby 10 wpłat, 9 z nich po 100zł oraz jedną o wartości
45,10zł. (brak pełnej dokładności wobec przybliżeń).
b) przeprowadzimy rachunki dla ostatniej wpłaty większej. Przyjmujemy, że liczba
wkładów jest równa 9, przy czym nie wszystkie są równej wysokości. Zatem Ej=100 dla
j=1,…,8, E9 jest szukane.
Wobec (2) po uzgodnieniu stopy procentowej otrzymujemy następującą równość:
0,12
(100 * 9 100 * 8 ... 100 * 2 100 )
12
9 2
200 E 9 0,01 * 100 *
* 8 0,01 * E9
2
E 9 154 ,46[ zl ]
1000
8 * 100
E9
Wkłady są z góry czyli ósma wpłata procentuje przez dwa miesiące , a dziewiąta prze
miesiąc, bo wpłacamy na początku a pytamy o wartość na końcu.
zaokrąglając dodatnie rozwiązanie równania przyjmiemy n=10(ewentualnie można obciąć
i przyjąć n=9). Mamy wyznaczyć nową wysokość równych wkładów E’ taką, że
1000 10 * E ' (1
10 1 0,12
)
2 12
E ' 94,79 zl
Pełne osiągnięcie dokładności jest realnie trudne do wykonania, W tym przypadku 10
wpłat w wysokości E’=94,79zł daje 1000,03zł. {czyli nadal nie jest to dokładny tysiąc.}
iV. OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH
Obecnie przyjmujemy, że aktualizacja wartości wpłat odbywa się zgodnie z modelem
kapitalizacji złożonej z dołu. Jest to rozwiązanie stosowane szczególnie często przy wkładach długo
terminowych{w sensie ze przez długi czas są dokonywane wpłaty} lub przy długim okresie wkładu.
Nadal obowiązuje zasada, że aktualna w danym momencie wartość sumy wkładów
oszczędnościowych jest równa sumie aktualnych w tym momencie wartości poszczególnych
wkładów.
Przy zastosowaniu modelu kapitalizacji złożonej z dołu oprócz okresu wkładów i okresu
stopy procentowej istotny jest okres kapitalizacji. Jeśli te trzy okresy pokrywają się to mówimy o
wkładach zgodnych, zaś w przeciwnym razie o wkładach niezgodnych.
Wkłady zgodne
Załóżmy, że okres stopy procentowej r (r>0) jest równy okresowi wkładów i
okresowi
kapitalizacji.
Wyznaczenie
wartości
przyszłej
sumy
n
wkładów
oszczędnościowych z dołu można przedstawić schematycznie:
czas
wklad
0
1
E1
2
E2
n-1
n
En-1
En
Dla wkładów oszczędnościowych z dołu o wysokościach Ej, gdzie j=1,…,n (Ej>0, j=1,…,n)
przyszła (końcowa) wartość Kn na koniec n-tego okresu wkładów (n naturalne) jest równa
sumie wartości przyszłych poszczególnych wpłat w tym momencie. Zatem przy
zastosowaniu modelu kapitalizacji złożonej z dołu (zgodnej) oznaczając przez q=1+r
otrzymujemy {En nie wytwarza już odsetek}
r) n
(1) K n E1 (1
1
E 2 (1 r ) n
2
...
E n 1 (1 r )
En
E1 q n
1
E 2qn
2
...
En 1q
En
{Przy kapitalizacji złożonej z góry pierwszy wkład ma miejsce w momencie E0 i każdy
procentuje o jeden więcej okres niż te wyżej.}
W przypadku wkładów oszczędnościowych z góry czas oprocentowania poszczególnych
wpłat będzie dłuższy o jeden okres, więc dla wkładów oszczędnościowych z góry mamy
(2)
K n E1 (1 r ) n
E 2 (1 r ) n
1
...
E n 1 (1 r ) 2
E1 q n E 2 q n
E n (1 r )
1
...
En 1q 2
En q
W szczególności jeśli mamy wkłady o równej wysokości tj. Ej=E dla j=1,…,n (E>0)
to dostajemy
- dla wkładów z dołu wobec (1)
Kn
E (q
n 1
q
qn 1
... q 1) E
q 1
n 2
- dla wkładów z góry wobec (2)
Kn
E (q n
qn
1
... q 2
q ) Eq
qn 1
q 1
q 1 r
1
Reasumując, wartość przyszła wkładów oszczędnościowych zgodnych o równej
wysokości E na koniec n-tego okresu wkładów przy oprocentowaniu złożonym wyraża się
wzorem
(3)
Kn
qn 1
E
dla wkladow z dolu
q 1
qn 1
Eq
dla wkladow z gory
q 1
Aktualizacja wartości przyszłej Kn sumy wkładów oszczędnościowych na moment t
w czasie odbywa się tak samo jak aktualizacja lokaty w modelu kapitalizacji złożonej z
dołu. Zatem aktualna wartość Kt sumy wkładów oszczędnościowych w momencie t jest
równa:
(4) K t
Kn t
q
qn
Kn
qn t
W szczególności dla t=0 prowadzi to do wartości początkowej (teraźniejszej) sumy
wkładów oszczędnościowych, co wobec (3) i (4) dla wkładów o równej wysokości, co daje
(5)
Kn
E qn 1
dla wkladow z dolu
qn q 1
E qn 1
dla wkladow z gory
qn 1 q 1