Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania Odpowiedzi i stabilność liniowych układów sterowania Zadania do ćwiczeń laboratoryjnych – termin T2 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Robert Piotrowski, dr inż. Wskazówki: Jako materiały pomocnicze należy traktować materiały wykładowe z przedmiotów Teoria sterowania, Modelowanie i identyfikacja oraz Modelowanie i podstawy identyfikacji z I stopnia studiów. Zadanie 1 Dany jest liniowy układ dyskretny opisany równaniem różnicowym postaci (zerowe warunki początkowe): I). y k 1 0,95 y k 0,2 u k II). y k 2 0,9 y k 1 0,4 y k 0,1 u k Wejściem u k do układu jest sygnał skoku jednostkowego postaci: 1 dla k 0 u k 0 dla k 0 Wykonaj poniższe polecenia: a) Oblicz odpowiedź tego układu dla pięciu kolejnych próbek. b) Korzystając ze środowiska MATLAB sprawdź wyniki z punktu a kreśląc wejście i odpowiedź układu. Zadanie 2 Dane są układy opisane w przestrzeni stanu postaci: I). x 1 t x 2 t x 2 t x 1 t u t y t x 1 t x 2 t II). x 1 t x 1 t x 2 t x 1 t x 2 t u t y t x 2 t 2 III). x 1 t x 2 t x 2 t 2 x 1 t 3 x 2 t u t y t x 1 t x 2 t Przyjmując zerowe warunki początkowe, jednostkowe wejście skokowe i korzystając ze środowiska MATLAB wykonaj poniższe polecenia: a) Wyznacz macierz tranzycji stanu i jej odpowiednik w dziedzinie operatora s. b) Oblicz odpowiedź stanu i wyróżnij składową swobodną i wymuszoną. c) Znajdź odpowiedź wyjścia. d) Wykreśl odpowiedzi uzyskane w punktach b) i c). e) Zinterpretuj uzyskane wyniki. Zadanie 3 Dla systemu ZLK1, korzystając ze zlinearyzowanego modelu w przestrzeni stanu oraz przykładowych danych liczbowych (patrz oddzielny plik) wykonaj następujące polecenia: a) Zbadaj stabilność wewnętrzną systemu. b) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system ZLK1 jest asymptotycznie stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij. c) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system ZLK1 jest stabilny w sensie Lapunowa ? Odpowiedź krótko uzasadnij. d) Przeprowadź analizę stabilności Lapunowa zlinearyzowanego systemu ZLK1 – znajdź macierz P spełniającą równanie Lapunowa. e) Dla wybranego warunku początkowego i wejścia, korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz zależności między nimi. f) Zbadaj stabilność zewnętrzną systemu. g) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie f odpowiedz na pytanie, czy system ZLK1 jest BIBO stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij. h) Dla wybranego warunku początkowego i wejścia w postaci skoku jednostkowego, korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz wyjścia. 3 Zadanie 4 Dla systemu ZLK4, korzystając ze zlinearyzowanego modelu w przestrzeni stanu oraz przykładowych danych liczbowych (patrz wykład z przedmiotu Modelowanie i identyfikacja – II stopień studiów) wykonaj następujące polecenia: a) Zbadaj stabilność wewnętrzną systemu. b) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system ZLK4 jest asymptotycznie stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij. c) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system ZLK4 jest stabilny w sensie Lapunowa ? Odpowiedź krótko uzasadnij. d) Przeprowadź analizę stabilności Lapunowa zlinearyzowanego systemu ZLK4 – znajdź macierz P spełniającą równanie Lapunowa. e) Dla wybranego warunku początkowego i wejścia, korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz zależności między nimi. f) Zbadaj stabilność zewnętrzną systemu. g) Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie f odpowiedz na pytanie, czy system ZLK4 jest BIBO stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij. h) Dla wybranego warunku początkowego i wejścia w postaci skoku jednostkowego, korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz wyjścia. 4 Dodatek 1. Dla analizy stabilności systemu liniowego stacjonarnego x t Ax t , x0 x0 analiza energetyczna stabilności może być bardziej bezpośrednia. Jako funkcja energetyczna Lapunowa może być zaproponowany funkcjonal postaci n V x xT Px pij xi x j i , j 1 gdzie, P pij - macierz symetryczna, tzn. pij p ji Tak zdefiniowana funkcja Lapunowa jest forma kwadratrową z macierzą symetryczną P . Funkcja Lapunowa musi spełniać warunek dodatniej określoności, tzn. V 0 0 i V x 0 dla x 0 Forma kwadratowa określona nad R n macierzą P jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy P jest macierzą symetryczną dodatnio określoną. Macierz o wymiarach n n jest dodatnio określona, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wartości własne są rzeczywiste i dodatnie, zatem musi zachodzić 0 min P 1 2 n max P Inną sposóbem sprawdzenia dodatniej okresloności macierzy symetrycznej P pij o wymiarach n n jest sprawdzenie dodatniości wszystkich wyznaczników minorów głównych tej macierzy, czyli spradzenie dodatniości p det p11 , det 11 p12 p11 p12 , det p12 p22 p13 p12 p22 p23 p11 p p13 12 p23 ,, det p33 p1, n 1 p1n p12 p22 p1,n 1 p2,n 1 pn 1, n 1 p2 , p2 n pn 1, n p1n p2 n pn 1, n pnn Gradient funkcji Lapunowa zatem V T x 2x P x Pochodna funkcji Lapunowa po czasie wzdłuż trajektorii systemu przyjmie postać V x f x 2xT P A x xT AT P x xT PA x xT AT P PA x V x x (wykorzystano xT AT Px xT PAx ) 5 Wyrażenie określające V x jest forma kwadratową z macierzą AT P PA . Warunek asymptotycznej stabilności stanu równowagi ~ x 0 sprowadza się zatem do istnienia symetrycznej dodatnio określonej macierzy P pij dla której macierz AT P PA jest ujemnie określona. Warunek istnienia takiej macierzy podaje następujące twierdzenie. Dla dowolnej dodatnio określonej macierzy Q równanie macierzowe Lapunowa AT P PA Q posiada jednoznaczne symetryczne dodatnio określone rozwiązanie P wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste. Nie zmniejszając ogólności można w równaniu Lapunowa macierz Q wybrać jako macierz jednostkową. 6