MATEMATYKA II, Chemia rok I Lista 3 Macierze – c.d. / Układy

MATEMATYKA II, Chemia rok I
Lista 3
Macierze – c.d. / Układy równań liniowych
1. Oblicz wyznaczniki podanych macierzy kwadratowych:
2 3
0 5
sin α − cos α
a)
b)
c)
2 1
0 7
cos α
sin α
d)
1 + i −1
2i
1+i
e) 3·
2. Korzystając z metody Sarrusa oblicz wyznaczniki podanych macierzy:







1 2 3
1 0 1
−2 1
3
1
0
1
a)  2 1 3 
b)  1 1 0 
c)  0 −5 −1 
d)  0
3 1 2
0 1 1
4
1
2
1 − i −i
3. Korzystając z twierdzenia Laplace’a oblicz wyznaczniki podanych macierzy:





1 2 3
5 0 1
2 1 0
 0 1 2
1 4
d) 
c)  −2 0 1 
a)
b) 1 2 1 
 0 0 2
3 0
1 4 −1
0 0 2
0 0 0

1+i
i 
1

2
1 

1 
1
4. Znajdź macierz odwrotną korzystając z definicji (o ile to możliwe):
1 2
−4 2
i −1
a)
b)
c)
2 3
6 −3
5 5i
5. Znajdź macierz odwrotną korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej:




2 5
7
1 1 −1
3 −5
0 4
4 
0 
a)
b)
c)  6 3
d)  2 1
6 2
1 1
5 −2 −3
1 −1 1
6. Znajdź macierz odwrotną metodą przekształceń elementarnych:





2
1 0 −1
1 2 0
 0
3 5

a)
b)  −1 2 1 
c)  2 3 0 
d) 
−1 2
0
0 1 3
1 −1 1
−1
7. Znajdź wektory własne i wartości własne podanych macierzy:



5 6 −3
1
0 1
2 1
a)
b)
c)  −1 0 1 
d)  0
−1 0
2 3
1 2 1
0
8. Rozwiąż układy równań za pomocą wzorów Cramera:
(
(
5x − 2y = −1
x − 3y = 4
a)
b)
3y − 2x = 2
−2x + 6y = 2




2x − y + 3z = 7
2x1 + 2x2 + x3 = 4
e) 3x + 2y − 5z = 4
d) 3x1 + 3x2 + x3 = 1




4x + 5y − 13z = 2
2x1 + x2 + 3x3 = 5
1
1
0

0 0 4
0 0 1 

2 0 0 
0 1 0

2
1 
2


x1 + 3x2 − 2x3 = 2
c) 2x1 + 4x2 + x3 = 1


−x + 2x2 − x3 = −3
 1

x + 2y − z = 1
f) 3x + y + z = 2


x − 5z = 0
9. Rozwiąż układy równań korzystając z twierdzenia Kroneckera – Capellego:


(


x1 + 3x2 − 4x3 = 4
x − y + 2z − w = 1
2x1 − x2 − x3 = −3
a) 3x1 + 2x2 − x3 = 1
b)
c) 2x − 3y − +w = −1


x1 + x2 − 2x3 = 0


x1 − 4x2 + 7x3 = 5
x + 7z − 4w = 4
10. Rozwiąż układy równań metodą eliminacji Gaussa:

(

x − 2y + 3z = −7
x + 5y = 2
a)
b) 3x + y + 4z = 5

−3x + 6y = 15

2x + 5y + z = 18
(
x+y+z+w =0
d)
x+y−z−w =1


3x + 12y + 5z = 20
e) 5x − 3y − 10z = −8


4x − 17y + 2z = −11
2
2


x + y + z = 1
c) x + 2y + z = 4


2x + 3y + 2z = 4


x − y + z − t + v = 4




x + y = 0
f) y + z = 1



z+t=0



t + v = 1
3
1
f)

1
e)  1
1
2 3
2 1
T

a b
x b 
a x