1 Własności całki Lebesgue`a

Wykład 11
1
Własności całki Lebesgue’a
Definicja 1.1 Niech (X, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ
- prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze X poza zbiorem miary µ 0.
Stwierdzenie 1.1 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0.
Stwierdzenie 1.2 Jeśli A ∩ B = ∅, to:
Z
f (x)dµ(x) =
Z
A∪B
f (x)dµ(x) +
A
Z
f (x)dµ(x),
B
tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe.
Stwierdzenie 1.3 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:
Z
f (x)dµ(x) = 0.
A
Stwierdzenie 1.4 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:
Z
f (x)dµ(x) =
Z
A
g(x)dµ(x).
A
Stwierdzenie 1.5 Jeśli f, g - całkowalne, f ¬ g µ-p.w. to
Z
f (x)dµ(x) ¬
Z
g(x)dµ(x).
A
A
Stwierdzenie 1.6 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na A wtedy i tylko wtedy gdy |f | jest
całkowalna na A. Ponadto zachodzi:
Z
Z
f (x)dµ(x) ¬
|f (x)|dµ(x).
A
A
Stwierdzenie 1.7 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na A taka,
że |f | ¬ g µ - p.w, to f jest całkowalna na A.
Stwierdzenie 1.8 Jeśli f, g -całkowalne to:
∀a,b∈R
Z
(af (x) + bf (x))dµ(x) = a
A
Z
f (x)dµ(x) + b
A
Z
g(x)dµ(x).
A
Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech fn oraz f - funkcje
mierzalne. Jeśli 0 ¬ fn % f to :
lim
Z
n→∞ A
fn (x)dµ(x) =
1
Z
A
f (x)dµ(x).
Twierdzenie 1.2 (Lemat Fatou) . jeśli fn - nieujemne funkcje mierzalne, to:
Z
lim inf fn (x)dµ(x) ¬ lim
inf
n→∞
A n→∞
Z
A
fn (x)dµ(x).
Twierdzenie 1.3 (Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności) Jeśli fn , f - funkcje mierzalne,
limn→∞ fn = f (µ - p.w. na A) oraz istnieje g - całkowalna, taka że |fn | ¬ g (µ p.w. na A),
to:
Z
Z
lim
fn (x)dµ(x) = f (x)dµ(x),
n→∞ A
A
tzn. obie całki istnieją i są sobie równe.
Następujące twierdzenie podaje związek między całką Lebesgue’a i Riemanna:
Twierdzenie 1.4 Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b]. Jeśli f jest całkowalna w
sensie Riemanna na [a, b], to f jest mierzalna i całkowalna w sensie Lebesgue’a na [a, b], oraz
Z
b
f (x)dx =
a
2
Z
[a,b]
f (x)dl1 (x).
Twierdzenie Fubiniego
Definicja 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X1 , M1 , µ1 ), (X2 , M2 , µ2 ). Najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę wszystkich zbiorów postaci A1 × A2 , gdzie A1 ∈ M1 , A2 ∈ M2
nazywamy σ - ciałem produktowym σ-ciał M1 i M2 .
Twierdzenie 2.1 Niech dane będą przestrzenie mierzalne (X1 , M1 , µ1 ), (X2 , M2 , µ2 ). Oznaczmy
przez M odpowiednie σ-ciało produktowe. Wtedy funkcja µ∗ : M → R̄+ określona jako
µ∗ (A) = inf

X
|An | : An = An1 × An2 , Ani ∈ Mi , A ⊂

n∈N
[
n∈N
An



jest miarą zewnętrzną, która staje się miarą po ograniczeniu do σ-ciała produktowego M.
Miarę tą nazywamy miarą produktową i oznaczamy µ = µ1 ⊗ µ2 .
Przykład: Miara Lebesgue’a: ln+m = ln ⊗ lm .
Twierdzenie 2.2 Niech (X1 , M1 , µ1 ), (X2 , M2 , µ2 ), (X, M, µ), gdzie X = X1 × X2 , M =
M1 ⊗ M2 , µ = µ1 ⊗ µ2 - odpowiednio σ - ciało i miara produktowa będą przestrzeniami
mierzalnymi z miarami σ-skończonymi.
Jeśli funkcja f : X → R̄ jest całkowalna na zbiorze X względem miary µ, to dla prawie
wszystkich punktów x2 ∈ X2 funkcja f (·, x2 ) : X1 → R̄ jest mierzalna, funkcja f2 : X2 → R
dana wzorem
Z
f2 (x2 ) =
f (x1 , x2 )dµ1 (x1 )
X1
jest mierzalna i określona µ2 -p.w. na X2 oraz:
Z
X
f (x)dµ(x) =
Z
X2
gdzie x = (x1 , x2 ).
2
f2 (x2 )dµ2 (x2 )
Aby stosować twierdzenie Fubiniego, musimy jednak najpierw wiedzieć, że nasza funkcja jest
całkowalna. Użytecznego kryterium dostarcza następujące:
Twierdzenie 2.3 (Tonellego) Przy powyższych oznaczeniach, jeśli jedna z poniższych całek
iterowanych:
Z
X2
Z
(
X1
|f (x1 , x2 )|dµ1 (x1 ))dµ2 (x2 ) lub
Z
X1
Z
(
X2
|f (x1 , x2 )|dµ2 (x2 ))dµ1 (x1 )
to funkcja f jest całkowalna na zbiorze X względem miary µ.
3
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie
Zanim podamy ostatnie twierdzenie tego wykładu,potrzebna nam będzie jeszcze jedna definicja:
Definicja 3.1 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ : U → Rn , gdzie U ⊂ Rn - zbiór otwarty,
nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C 1 , jest nieosobliwe i różnowartościowe, a
odwzorowanie ϕ−1 jest ciągłe.
Twierdzenie 3.1 Jeśli ϕ : U → V , ψ : V → Rk są dyfeomorfizmami, to ψ ◦ ϕ jest też
dyfeomorfizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni Rn , Rm odpowiednio).
Twierdzenie 3.2 Jeśli odwzorowanie ϕ : U → Rm klasy C 1 , U ⊂ Rn jest nieosobliwe i
różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ−1 jest też dyfeomorfizmem.
Ostatnim, aczkolwiek bynajmniej nie najmniej ważnym ”poważnym” twierdzeniem (pozostałe
nie są niepoważne) z jakim się zapoznamy jest następujące:
Twierdzenie 3.3 (o całkowaniu przez podstawienie) Niech ϕ : G 7→ Rk będzie dyfeomorfizmem, gdzie G - zbiór otwarty w Rk i niech dany będzie zbiór E ⊂ G oraz funkcja f
określona na zbiorze ϕ(E). Wówczas:
1o funkcja f jest całkowalna na zbiorze ϕ(E) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja (f ◦ ϕ)Jϕ
(Jϕ oznacza jakobian przekształcenia ϕ ) jest całkowalna na zbiorze E;
2o jeśli funkcja f jest mierzalna, całkowalna (lub nieujemna) na ϕ(E), to zachodzi wzór :
Z
ϕ(E)
f=
Z
E
3
(f ◦ ϕ)|Jϕ|.