Notatki z Analizy Matematycznej 4 Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4
Jacek M. Jędrzejewski
ROZDZIAŁ 7
Całka Riemanna
1. Całka nieoznaczona
Definicja 7.1. Niech f : (a, b) −→ R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dla pewnej funkcji
F : (a, b) −→ R spełniona jest równość
F 0 (x) = f (x)
dla każdego x ∈ (a, b), to funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w przedziale (a, b).
Definicja 7.2. Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją. Jeżeli dla pewnej funkcji F : [a, b] −→ R
ma miejsce równość
F 0 (x) = f (x)
dla x ∈ (a, b)
oraz
F+0 (a) = f (a)
i
F−0 (b) = f (b),
to funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b].
Własność 7.1. Dwie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się o stałą.
Istotnie, jeśli F i G są dwiema funkcjami pierwotnymi funkcji f, to
F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0
dla każdego x ∈ (a, b), więc funkcja F − G jest stała.
Rodzinę funkcji pierwotnych danej funkcji nazywamy całką nieoznaczoną tej funkcji.
2. Definicja całki Riemanna
Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją ograniczoną. Podziałem π przedziału [a, b] nazywamy
skończony ciąg
π = (x0 , x1 , . . . , xn ) ,
taki, że
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Zbiór wszystkich możliwych podziałów przedziału [a, b] będziemy oznaczali symbolem Ξ.
Dla podziału π tworzymy tzw. sumę górną i sumę dolną całkową funkcji f w sposób następujący:
S(π) =
n
X
i=1
sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} · (xi − xi−1 ),
60
Jacek M. Jędrzejewski
s(π) =
n
X
inf {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} · (xi − xi−1 ).
i=1
Czasem sumy te będziemy oznaczali z oznaczeniem funkcji i podziału, dla których są te sumy
zbudowane; wtedy oznaczenia te są następujące: sf (π) i Sf (π).
Oczywiście, prawdziwa jest nierówność s(π) ¬ S(π).
Podział π2 nazywamy drobniejszym od podziału π1 , gdy każdy punkt ciągu tworzącego
podział π1 jest punktem podziału π2 . W takim przypadku będziemy pisali π1 ≺ π2 .
Łatwo dowodzimy następujących własności.
Własność 7.2. Jeśli π1 ≺ π2 to
s(π1 ) ¬ s(π2 ) ¬ S(π2 ) ¬ S(π1 ).
Własność 7.3. Dla dowolnych podziałów π1 i π2 przedziału [a, b] spełniona jest nierówność
(b − a) · c ¬ s(π1 ) ¬ S(π2 ) ¬ (b − a) · d,
gdzie c = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} , oraz d = sup {f (x) : x ∈ [a, b]} .
Zauważamy teraz, że zbiory
{s(π) : π ∈ Ξ} , {S(π) : π ∈ Ξ}
są ograniczone; istnieją więc kresy tych zbiorów. Mamy przy tym:
Własność 7.4. Dla dowolnej funkcji f : [a, b] −→ R ograniczonej w przedziale [a, b] mamy
c(b − a) ¬ sup {s(π) : π ∈ Ξ} ¬ inf {S(π) : π ∈ Ξ} ¬ d(b − a),
gdzie
c = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} ,
oraz d = sup {f (x) : x ∈ [a, b]} .
Definicja 7.3. Liczbę
sup {s(π) : π ∈ Ξ}
nazywamy całką dolną funkcji f w przedziale [a, b] (dokładniej, dolną całką Darboux) i oznaczamy symbolem
Z b
f (x)dx,
a
zaś liczbę
inf {S(π) : π ∈ Ξ}
nazywamy całką górną funkcji f w przedziale [a, b] (górną całką Darboux) i oznaczamy symbolem
Z b
a
f (x)dx,
Notatki z analizy
61
Definicja 7.4. Jeśli dla ograniczonej funkcji f : [a, b] −→ R, całka dolna jest równa całce
górnej, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [a, b]; wspólną
wartość całki dolnej i całki górnej nazywamy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] i
oznaczamy symbolem
Z b
f (x) dx.
a
3. Własności całki Riemanna
Twierdzenie 7.1. Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ R jest ograniczona, to jest całkowalna wtedy
i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε istnieje podział π przedziału [a, b], dla którego
(0 ¬)S(π) − s(π) < ε.
Bezpośrednio z definicji całki Riemanna i kresów zbioru wynika:
Wniosek 7.1. Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ R jest ograniczona, to jest całkowalna wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje liczba I taka, że dla każdej liczby dodatniej ε istnieje podział π przedziału
[a, b], dla którego
|I − s(π)| < ε
|I − S(π)| < ε.
i
Wtedy, jeśli funkcja jest całkowalna, to jej całką jest liczba I.
Twierdzenie 7.2. Każda funkcja ciągła f : [a, b] −→ R jest całkowalna.
Twierdzenie 7.3. Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest całkowalna oraz istnieją liczby c i d
takie, że
c ¬ f (x) ¬ d,
x ∈ [a, b],
dla
to
c·(b − a) ¬
Z b
f (x) dx ¬ d·(b − a).
a
Twierdzenie 7.4. Niech f : [a, b] −→ R i g : [a, b] −→ R będą funkcjami całkowalnymi i α
liczbą rzeczywistą. Wówczas następujące funkcje:
f + g,
f − g,
α·f
są całkowalne i spełnione są równości:
Z b
(f + g)(x) dx =
a
Z b
Z b
f (x) dx +
a
(f − g)(x) dx =
a
Z b
a
g(x) dx,
a
f (x) dx −
a
Z b
Z b
(αf )(x) dx = α ·
Z b
g(x) dx,
a
Z b
a
f (x) dx.
62
Jacek M. Jędrzejewski
Twierdzenie 7.5. Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ R jest całkowalna w przedziale [a, b], to jest
całkowalna w każdym podprzedziale [c, d] przedziału [a, b]. Ponadto, jeśli c ∈ (a, b), to
Z c
f (x) dx +
a
Z b
f (x) dx =
Z b
c
g(x) dx
a
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.
Twierdzenie 7.6. Jeśli c ∈ (a, b) i funkcja f : [a, b] −→ R jest całkowalna w przedziałach
[a, c] i [c, b], to funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
Z c
f (x) dx +
a
Z b
f (x) dx =
Z b
c
g(x) dx
a
Twierdzenie 7.7. Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R ma skończony lub przeliczalny zbiór punktów nieciągłości, to jest całkowalna w przedziale [a, b].
Twierdzenie 7.8. Jeśli funkcje
f : [a, b] −→ R
g : [a, b] −→ R
i
są całkowalne i f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ [a, b], to
Z b
Z b
f (x) dx ¬
g(x) dx.
a
a
Twierdzenie 7.9. Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ R jest całkowalna, to funkcja |f | też jest
całkowalna i
Z
b
f (x) dx
a
¬
Z b
|f (x)| dx.
a
Twierdzenie 7.10. (Twierdzenie o wartości średniej)
Jeśli funkcja
f : [a, b] −→ R jest ciągła w przedziale [a, b], to istnieje punkt c ∈ [a, b] taki, że
1 Zb
f (x)dx = f (c).
b−a a
4. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Twierdzenie 7.11. Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest ciągła, to funkcja F : [a, b] −→ R określona w następujący sposób:
F (x) =
Z x
f (t)dt
a
jest ciągła.
Twierdzenie 7.12. (Podstawowe tw. rachunku całkowego)
f : [a, b] −→ R jest funkcją ciągłą i F : [a, b] −→ R jest określona następująco:
F (x) =
Z x
f (t)dt
dla
x ∈ [a, b],
a
to funkcja F jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b) oraz
F 0 (x) = f (x), dla x ∈ (a, b).
Jeśli
Notatki z analizy
63
Z powyższego twierdzenia wynika równość:
Z b
f (x)dx = F (b).
a
Na mocy poprzedniej własności zaś stwierdzamy:
Twierdzenie 7.13. Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją ciągłą. Jeśli G : [a, b] −→ R jest
funkcją pierwotną funkcji f, to
Z b
f (x)dx = G(b) − G(a).
a
Wniokujemy zatem, że powyżej określona funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f.
5. Dalsze własności całki
Twierdzenie 7.14. (O całkowaniu przez części)
Niech f i g będą funkcjami ciągłymi w przedziale [a, b], różniczkowalnymi w przedziale (a, b) i
pochodne będą ciągłe w przedziale (a, b). Wtedy
Z b
0
(f · g) (x)dx = (f g)(b) − (f g)(a) −
Z b
(g 0 · f ) (x)dx.
a
a
Twierdzenie 7.15. (O całkowaniu przez podstawianie)
Niech g : [a, b] −→ [c, d] będzie funkcją ciągłą spełniającą następujące warunki:
1. g(a) = c, g(b) = d,
2. g ma ciągłą pochodną w przedziale (a, b),
3. g 0 (x) 6= 0 dla każdego x ∈ (a, b).
Jeśli f : [c, d] −→ R jest funkcją ciągłą, to
Z d
f (x)dx =
c
Z b
f (g(t)) · g 0 (t)dt.
a
Twierdzenie 7.16. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji ciągłych w przedziale [a, b] zbieżnym jednostajnie do funkcji f. Wtedy funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
lim
Z b
n→∞ a
Wniosek Jeżeli szereg
P∞
n=1
fn (x)dx =
Z b
f (x)dx.
a
fn funkcji ciągłych w przedziale [a, b] jest jednostajnie zbieżny
do funkcji f : [a, b] −→ R, to funkcja f jest całkowalna i
∞ Z b
X
n=1 a
fn (x)dx =
Z b
a
f (x)dx.