Microsoft Word Viewer 97 - 12 Wyk³ad_Metoda Galerkina

METODY KOMPUTEROWE
1
METODA GALERKINA
Michał PŁOTKOWIAK, Adam ŁODYGOWSKI
Konsultacje naukowe dr inz. Witold Kąkol
Poznań 2002/2003
METODY KOMPUTEROWE 13
C.d. metod Reziduów ważonych
A(φ ) = 0
d2y
φ − rozwiąozwiedokadne
+λ 2y = 0
2
dx
Zakładamy, że φ jest rozwiązaniem przybliżonym
R = A(φ ) ≠ 0
x∈D
∫ W RdD = 0
i
D
1.
1
x = xi 
 metoda punktu kollokacji
x ≠ xi 
1
xi ≤ x ≤ j 
 metoda podobszarów kollokacji

∫ Wdx = 0
xa
xb
3.
(6.1)
W=1 → metoda Ritza
xb
2.
(6.1)
∫ WdD = 0
xa
Funkcje próbne przyjmujemy w postaci:
φ = ∑ θ iα i = θ1( x ) + θ 2( x )α 1 + θ 3( x )α 2 + Κ
i
gdzie θi jest wielomian niskiego rzędu.
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(6.1)
2
METODY KOMPUTEROWE
METODA GALERKINA
Metoda Galerkina
W metodzie Galerkina ,jako wagi przyjmujemy funkcje próbne: Wi=θi
∫ W RdD = ∫ θ ( R(θ ,α )dΩ = 0
i
D
i
i
i
D
(6.1)
Pamiętamy, że: θi=θ(x)
Porównanie Metody globalnej i lokalnej:
θ = θ1 + θ 2α 1 + θ 3α 2 + Κ
θ = θ 2 + θ iT α j
i = 2,Κ
j = 1, Κ
[θ 2
θ3 θ4
α 1 
α 
Κ ] 2 
 Μ
 
α 
Mankamenty metody- współczynniki α nie mają zazwyczaj interpretacji fizycznej, są
trudne do obliczenia w przypadku rozbudowanych równań
metoda lokalna:
θ e = N ( x) T
ϕ e1 
 2
ϕ
ϕ e = [N 1 ( x) N 2 ( x) Κ ] e 
 Μ
 n
ϕ e 
Ni(x) – funkcje kształtu
Korzyści ze stosowania metody – w obliczeniach otrzymuje się pasmowy układ równań,
współczynniki φe mają zazwyczaj interpretację inżynierską
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
METODY KOMPUTEROWE
3
METODA GALERKINA
∫ W A(ϕ
i
e
)dDe = 0
i = 1Κ n
De
metoda Galerkina:
Wi=Ni
Rozpatrzmy ponownie równanie różniczkowe:
d 2φ
+ λ 2φ = 0
dλ 2
xa=1 φ a=-1
xb=3 φ b=2
ϕ e = N ϕ e = [N 1
T
xm
∫ Ni (
x1
N2
d 2ϕ e
+ λ 2ϕ e )dx = 0
2
dx
∫
ϕ e1 
 2
ϕ 
Κ ] e 
 Μ
ϕ en 
i = 1, Κ m
∫
Po scałkowaniu przez części wg wzoru: udv =uv − vdu
otrzymujemy:
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(6.1)
(6.1)
METODY KOMPUTEROWE
4
METODA GALERKINA
dϕ dN i
dϕ
−∫ e
dx + N i e
dx dx
dx
xn
dϕ
− Ni e
dx
xn
xi
+ ∫ N i λ 2ϕ e dx
ϕ e ( x) = ∑ N i ( x)ϕ ei
(6.1)
i
dϕ e ( x)
dN
= ∑ i ϕ ej
dx
dx
  dN j i  dN
i
∫x ∑i  dx ϕ e  dx − N i λ


1 
dϕ
dϕ
= Ni e − Ni e
dx xn
dx x1
xn
2
j = 1, Κ m
(6.1)

i
N
(
x
)
ϕ
∑j j e dx =

(6.1)
 xn dN i dN j
 j
2
(
−
λ
)
N
N
dx

ϕ e =
∑j ∫ dx dx
i
j
 x1

dϕ
= Ni e
dx
xn
dϕ
− Ni e
dx
∑K
ϕ ej = ϕ i
(6.1)
dN i dN j
dx − ∫ λ 2 N i N j dx
dx dx
x1
(6.1)
e
i, j
xm
∫
ϕi = N i
dϕ e
dx
− Ni
xn
dϕ e
dx
(6.1)
x1
otrzymujemy macierz sztywności:
Politechnika Poznańska ®
(6.1)
xi
j
K ie, j =
(6.1)
xi
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
5
METODY KOMPUTEROWE
METODA GALERKINA
 d N dx d N T
T 
K e = ∫ 
− λ 2 N N dx
dx
 dx

N = [N 1 ( x) N 2 ( x) Κ
(6.1)
N m ( x )]
(6.1)
gdzie N(x)- funkcje kształtu
własności funkcji kształtu:
Ni(xi)=1
Ni(xj)=0 i≠j
 dφ 
− dx 
x1 

0


ϕe =  0 


 Μ 
 dφ 


 dx xn 
Dla elementu liniowego (funkcja kształtu rzędu I)
N1(x)
N1(x)=(1-x/l)
N2(x)
N2(x)=x/l
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
METODY KOMPUTEROWE
METODA GALERKINA
[N1
ϕ 
N 2 ] 1  = N 1 ( x)ϕ1 + N 2 ( x)ϕ 2
ϕ 2 
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
6