Własności spektralne operatorów unitarnych na

Transkrypt

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Wydział Matematyki i Informatyki
Katedra Teorii Ergodycznej i Układów
Dynamicznych
Joanna Kułaga
nr albumu: 183529
Praca magisterska
na kierunku matematyka
Własności spektralne operatorów
unitarnych na przestrzeniach Focka
Opiekun pracy dyplomowej
prof. dr hab. Mariusz Lemańczyk
Katedra Teorii Ergodycznej
i Układów Dynamicznych
TORUŃ 2008
Pracę przyjmuję i akceptuję
Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej
..............................................
..............................................
data i podpis opiekuna pracy
data i podpis pracownika dziekanatu
Spis treści
Wstęp
v
1 Wiadomości z teorii spektralnej
1
2 Iloczyn tensorowy
5
3 Teoria miary, działanie grup na zbiorach
11
3.1 Miary warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Działanie grup na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Przykłady analizy spektralnej
15
4.1 Iloczyn tensorowy dwóch operatorów . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar . . . . . . . 29
Bibliografia
45
Lista symboli
47
Skorowidz
49
iii
Wstęp
Opis skończonych produktów tensorowych przestrzeni Hilberta i operatorów na unitarnych tych przestrzeniach został podany przez J. von Neumanna
oraz F. Murraya w roku 1936 w pracy „On Rings of Operators” (Ann. Math.
(2) 37, 116-229) ([14]). Produkty tensorowe przestrzeni skończenie wymiarowych były jednak znane o wiele wcześniej.
Operatory unitarne na przestrzeniach Focka związane są z układami dynamicznymi Gaussa ([7], [10]) i Poissona ([15]). Przestrzenie Focka są również ważnym narzędziem w mechanice kwantowej. Przy ich pomocy można
np. wyjaśnić zjawiska anihilacji i tworzenia się cząstek ([5]).
W pracy nie będziemy się zajmować znanymi faktami dotyczącymi operatorów unitarnych na przestrzeniach Focka związanymi z maksymalnym
typem spektralnym, czy problemem ograniczoności funkcji krotności spektralnej (patrz [7], [10]). Skoncentrujemy się na kilku mniej znanych rezultatach. Najpierw podamy kryterium na prostotę widma dla produktów tensorowych (na podstawie preprintu [9]). Wskażemy też inny dowód niedawnego
wyniku O. Ageeva ([2]) dotyczącego częściowo zsymetryzowanych produktów
tensorowych. Na koniec uogólnimy rezultat F. Parreau i E. Roy związany
z wzajemną zależnością warunków na prostotę widma operatora unitarnego
na symetrycznej przestrzeni Focka.
Praca składa się z czterech rozdziałów:
1. Wiadomości z teorii spektralnej
W tym rozdziale zamieszczone są wiadomości z teorii spektralnej wykorzystywane w pracy.
2. Iloczyn tensorowy
Przedstawiono tutaj konstrukcje iloczynu tensorowego, symetrycznego
iloczynu tensorowego oraz przestrzeni Focka i symetrycznej przestrzeni
Focka.
3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach
Podane są tu podstawowe wiadomości o miarach warunkowych oraz
działaniach grup na zbiorach.
4. Przykłady analizy spektralnej
Przeprowadzona została analiza spektralna produktu tensorowego
v
dwóch operatorów unitarnych z prostym widmem. W następnej części
założono pewne słabe zbieżności, by uzyskać proste widmo dla produktów tensorowych. Na koniec badana jest funkcja krotności spektralnej. Wskazane są pewne zależności między miarami spektralnymi
na naturalnych podprzestrzeniach symetrycznej przestrzeni Focka przy
założeniu prostego widma na tych podprzestrzeniach.
U czytelnika założono podstawową znajomość następujących działów
matematyki: algebry liniowej, teorii miary, analizy funkcjonalnej, topologii
i analizy harmonicznej.
vi
Rozdział 1
Wiadomości z teorii
spektralnej
Definicje i twierdzenia z tego rozdziału oraz ich dowody można znaleźć
w [13]. W dalszej części pracy będziemy swobodnie korzystać z podanych
tutaj informacji.
Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta, zaś U : H → H operatorem unitarnym, tzn. izomorfizmem liniowym spełniającym warunek
hU h, U gi = hh, gi dla dowolnych elementów h, g ∈ H.
Definicja 1.1. Ciąg liczb zespolonych {rn }+∞
n=−∞ nazywamy dodatnio okre+∞
ślonym, gdy dla dowolnego ciągu {an }n=0 ⊂ C i dowolnego N > 0 zachodzi
warunek
N
X
rn−m an ām 0.
n,m=0
Przykładem ciągu dodatnio określonego jest ciąg {hU n h, hi}+∞
n=−∞ . Istotnie:
n−m h, hia ā = PN
n
m
n m
n,m=0 hU
n,m=0 hU h, U hian ām =
PN
P
m
n
2
n PN
h N
m=0 am U hi = k n=0 an U hk 0.
n=0 an U h,
PN
=
Twierdzenie 1.1 (G. Herglotz). Jeśli ciąg {rn }+∞
n=−∞ jest dodatnio określony, to istnieje dokładnie jedna nieujemna, skończona miara borelowska σ
na T taka, że dla wszystkich n ∈ Z
Z
z n dσ(z).
rn =
T
Ponadto dla dowolnej miary nieujemnej, skończonej, borelowskiej σ na T
ciąg rn zadany powyższym wzorem jest dodatnio określony.
Wniosek 1.2. Dla każdego x ∈ H istnieje jedyna miara σx na okręgu spełniająca dla wszystkich n ∈ Z warunek
hU n x, xi =
Z
T
1
z n dσ(z).
2
1. Wiadomości z teorii spektralnej
Definicja 1.2. Miarę σh nazywamy miarą spektralną elementu h.
Definicja 1.3. Przestrzeń Z(x) = span{U n x, n ∈ Z} nazywamy przestrzenią cykliczną elementu h. Przestrzeń ta jest U -niezmiennicza.
Głównym twierdzeniem w teorii spektralnej operatorów unitarnych jest
następujące twierdzenie o rozkładzie ośrodkowej przestrzeni Hilberta na sumę prostą podprzestrzeni cyklicznych:
Twierdzenie 1.3. Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Wówczas istnieją elementy xn ∈ H takie, że
H=
∞
M
Z(xn ) oraz σx1 σx2 . . .
(1.1)
n=1
∞
Ponadto, jeśli H =
n=1 Z(yn ) dla pewnych y1 , . . . , yn ∈ H takich, że
σy1 σy2 . . . , to dla dowolnego n 1, σxn ≡ σyn .
L
Definicja 1.4. Każdy rozkład przestrzeni H spełniający warunek (1.1) nazywamy rozkładem spektralnym.
Definicja 1.5. Typ miary σx1 nazywamy maksymalnym typem spektralnym
operatora U .
dµ
xn
Niech An = supp dσ
dσx1 ( dν oznacza pochodną Radona-Nikodyma miary µ
wględem miary ν, gdzie µ ν, patrz [4]). Zbiory An są zdefiniowane prawie
wszędzie względem miary σx1 . Ponadto
dσxn+1
dσxn+1 dσxn
=
·
,
dσx1
dσxn dσx1
więc
A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . .
Definiujemy funkcję MU : T → N ∪ {∞} wzorem
MU (z) =
∞
X
χAn (z).
n=1
Funkcja ta jest zdefiniowana z dokładnością do zbioru miary σU zero.
Definicja 1.6. Funkcję MU nazywamy funkcją krotności spektralnej operatora U .
Definicja 1.7. Powiemy, że operatory unitarne Ui : Hi → Hi , i = 1, 2 są
spektralnie izomorficzne, jeśli istnieje W : H1 → H2 izometria „na” taka, że
W U1 = U2 W . Piszemy wtedy U1 ' U2 .
3
Twierdzenie 1.4. Operatory U1 , U2 ośrodkowych przestrzeni Hilberta odpowiednio H1 , H2 są spektralnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają
te same maksymalne typy spektralne i funkcje krotności spektralnej.
Definicja 1.8. Powiemy, że operator U ma proste widmo, jeśli jego ciąg
miar spektralnych jest postaci
σx1 0 ≡ 0 ≡ . . . ,
U ma jednorodne widmo krotności n, jeśli jego ciąg miar spektralnych jest
postaci
σ x1 ≡ · · · ≡ σ xn 0 ≡ . . .
Stwierdzenie 1.5. Przestrzeń L2 (T, µ) z operatorem mnożenia przez
zmienną niezależną V (f )(z) = zf (z) jest przestrzenią cykliczną z typem
spektralnym µ.
Stwierdzenie 1.6. Operator unitarny U : Z(x) → Z(x) jest spektralnie izomorficzny z operatorem Vx : L2 (T, σx ) → L2 (T, σx ).
Twierdzenie 1.7 (Lemat Wienera). Jeśli H0 jest domkniętą podprzestrzenią V -niezmienniczą (tzn. V H0 = H0 ) przestrzeni L2 (T, µ) (gdzie V jest
operatorem mnożenia przez zmienną niezależną), to
H0 = χA L2 (T, µ)
dla pewnego zbioru borelowskiego A ⊂ T.
Stwierdzenie 1.8. Jeśli H1 ⊂ Z(x) jest domkniętą podprzestrzenią
U -niezmienniczą, to H1 jest także przestrzenią cykliczną.
Stwierdzenie 1.9. Jeśli µ σx , to istnieje y ∈ Z(x) takie, że σy = µ.
Stwierdzenie 1.10. Jeśli y ∈ Z(x), to σy σx , przy czym σx ≡ σy
dokładnie wtedy, gdy Z(x) = Z(y).
Stwierdzenie 1.11. Jeśli σ jest maksymalnym typem spektralnym operatora U : H → H, to dla każdego x ∈ H, σx σ. Jeśli µ σ, to istnieje x ∈ H
takie, że σx = µ.
Stwierdzenie 1.12. Jeśli σx ⊥ σy , to Z(x) ⊥ Z(y), σx+y = σx + σy oraz
Z(x + y) = Z(x) ⊕ Z(y).
Stwierdzenie 1.13. Jeśli miary {σxn }∞
n=1 są parami ortogonalne oraz szereg
∞
X
xn jest zbieżny, to przestrzenie Z(xn ) (n 1) również są parami
n=1
ortogonalne, σP∞
n=1
xn
=
P∞
n=1 σxn oraz Z(
∞
X
xn ) =
n=1
∞
M
Z(xn ).
n=1
Rozdział 2
Iloczyn tensorowy
W niniejszym rozdziale przedstawimy konstrukcję iloczynu tensorowego
przestrzeni Hilberta, iloczynu tensorowego symetrycznego, przestrzeni Focka
oraz symetrycznej przestrzeni Focka. Wiadomości te pochodzą z [12] oraz
[14]. Tam również można znaleźć dowody przytaczanych faktów.
Zdefiniujemy najpierw iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych. Niech
E1 , E2 będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Będziemy analizować
jedynie przypadek, gdy K = C. Niech E^
1 × E2 będzie przestrzenią liniową,
której bazą jest zbiór E1 × E2 . Niech N ⊂ E^
1 × E2 oznacza podprzestrzeń
generowaną przez wektory postaci
(
n
X
ai x1,i , x2 ) −
i=1
(x1 ,
n
X
ai (x1,i , x2 ),
(2.1)
ai (x1 , x2,i ),
(2.2)
i=1
n
X
ai x2,i ) −
n
X
i=1
i=1
gdzie ai ∈ C, x1,i , x1 ∈ E1 , x2,i , x2 ∈ E2 , 1 ¬ i ¬ n, n 1.
Definicja 2.1. Przestrzeń ilorazową E^
1 × E2 /N nazywamy (algebraicznym)
produktem (iloczynem) tensorowym przestrzeni liniowych E1 , E2 i oznaczamy ją E1 ⊗ E2 .
Niech
^
π : E^
1 × E2 → E1 × E2 /N = E1 ⊗ E2
będzie naturalnym homomorfizmem. Dla x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 stosujemy oznaczenie
x1 ⊗ x2 = π((x1 , x2 )).
Wówczas (2.1) i (2.2) oznaczają, że
n
X
(
ai x1,i ) ⊗ x2 =
i=1
n
X
i=1
5
ai x1,i ⊗ x2 ,
6
n
X
x1 ⊗ (
ai x2,i ) =
i=1
n
X
ai x1 ⊗ x2,i .
i=1
Zasadniczą własnością produktu tensorowego jest następujące stwierdzenie:
Stwierdzenie 2.1. Niech E1 , E2 , F będą przestrzeniami liniowymi. Istnieje
naturalny izomorfizm liniowy pomiędzy przestrzenią odwzorowań liniowych
E1 ⊗ E2 w F : Lin(E1 ⊗ E2 , F ), a przestrzenią odwzorowań dwuliniowych
E1 × E2 w F : Lin2 (E1 × E2 , F ). Izomorfizm ten wyznaczony jest przez zależność
b 1 ⊗ x2 ) = A(x1 , x2 ),
A(x
dla A : E1 × E2 → F .
Stwierdzenie 2.2. Niech X1 , X2 będą niepustymi zbiorami i niech
V1 ⊂ CX1 , V2 ⊂ CX2 będą podprzestrzeniami liniowymi. Wówczas przestrzeń
V1 ⊗ V2 jest izomorficzna z poprzestrzenią W ⊂ CX1 ×X2 generowaną przez
funkcje postaci f1 ⊗ f2 , gdzie
f1 ⊗ f2 (x1 , x2 ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 )
dla dowolnych (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 .
Stwierdzenie 2.3. Niech H1 , H2 będą przestrzeniami prehilbertowskimi z
iloczynami skalarnymi odpowiednio h·, ·iH1 , h·, ·iH2 . Wówczas przestrzeń liniowa H1 ⊗ H2 jest również przestrzenią prehilbertowską, z iloczynem skalarnym danym wzorem
hx1 ⊗ x2 , y1 ⊗ y2 i = hx1 , y1 iH1 hx2 , y2 iH2 .
Definicja 2.2. Produktem tensorowym (iloczynem tensorowym) przestrzeni
Hilberta H1 , H2 nazywamy uzupełnienie przestrzeni metrycznej H1 ⊗ H2
z metryką wyznaczoną przez określony powyżej iloczyn skalarny. Oznaczamy
ją w ten sam sposób: H1 ⊗ H2 . W dalszym ciągu pracy przez H1 ⊗ H2
będziemy rozumieć przestrzeń Hilberta.
Stwierdzenie 2.4. Jeśli {xi ; i ∈ I} oraz {yj ; j ∈ J} generują przestrzenie
Hilberta odpowiednio H1 i H2 , to rodzina
{xi ⊗ yj ; (i, j) ∈ I × J}
generuje przestrzeń Hilberta H1 ⊗ H2 . Ponadto, jeśli {xi ; i ∈ I} oraz
{yj ; j ∈ J} są bazami ortonormalnymi odpowiednio przestrzeni H1 , H2 , to
{xi ⊗ yj ; (i, j) ∈ I × J} jest bazą ortonormalną przestrzeni H1 ⊗ H2 .
Stwierdzenie 2.5. Produkt tensorowy przestrzeni Hilberta
L2 (X1 , B1 , µ1 ) ⊗ L2 (X2 , B2 , µ2 )
7
jest izomorficzny z przestrzenią L2 (X1 ×X2 , B1 ⊗B2 , µ1 ⊗µ2 ) oraz z przestrzenią L2 (X1 , µ1 ; L2 (X2 , µ2 )). Pierwszy z izomorfizmów otrzymujemy przez
identyfikację tensora f1 ⊗ f2 z funkcją
(x1 , x2 ) 7→ f1 (x1 ) · f2 (x2 ),
a drugi przez jego identyfikację z funkcją
x1 7→ f1 (x1 ) · f2 (·) ∈ L2 (X2 , µ2 ).
W podobny sposób, jak w przypadku dwóch przestrzeni Hilberta, można
rozpatrywać produkt tensorowy dowolnej skończonej liczby przestrzeni Hilberta H1 , . . . , Hn . Odwzorowania dwuliniowe zamienia się na wieloliniowe,
przy czym z konstrukcji wynika reguła „łączności” produktu tensorowego.
Iloczyn skalarny w przestrzeni H1 ⊗ · · · ⊗ Hn spełnia równość
hx1 ⊗ · · · ⊗ xn , y1 ⊗ · · · ⊗ yn i = hx1 , y1 iH1 · · · · · hxn , yn iHn .
Uwaga 2.1. hx⊗n , y ⊗n i = hx, yin dla x, y ∈ H.
Definicja 2.3. Niech U1 , U2 będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta odpowiednio H1 , H2 . Operator U1 ⊗ U2 : H1 ⊗ H1 → H1 ⊗ H2 definiujemy w następujący sposób:
(U1 ⊗ U2 )(x1 ⊗ x2 ) = U1 (x1 ) ⊗ U2 (x2 ),
(2.3)
dla dowolnych elementów x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 i nazywamy go produktem
(iloczynem) tensorowym operatorów U1 , U2 .
Uwaga 2.2. Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy wzór (2.3) rozszerza się w sposób jednoznaczny do operatora unitarnego zadanego na przestrzeni H1 ⊗ H2 .
Definicja 2.4. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń
F (H) =
∞
M
H ⊗n ,
n=0
gdzie H ⊗n = H
⊗ ·{z
· · ⊗ H}, H 0 = C, nazywamy przestrzenią Focka. Dla
|
n
operatora unitarnego U : H → H przez F (U ) oznaczać będziemy odpowiadający operator unitarny przestrzeni Focka:
F (U ) =
∞
M
U ⊗n : F (H) → F (H).
n=0
Zdefiniujemy teraz symetryczny produkt tensorowy.
8
Stwierdzenie 2.6. Niech H będzie przestrzenią Hilberta, niech n 1 oraz
niech σ ∈ S(n), gdzie S(n) oznacza grupę permutacji zbioru {1, . . . , n}.
Istnieje dokładnie jeden operator unitarny na H ⊗n , oznaczany przez Uσ ,
który spełnia warunek:
Uσ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) = xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n) dla dowolnych x1 , . . . , xn ∈ H.
Uwaga 2.3. Operatorem odwrotnym do Uσ jest operator Uσ−1 .
Definicja 2.5. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń
e ∈ H ⊗n ; Uσ (x
e) = x
e dla dowolnej permutacji σ ∈ S(n)}
H n = {x
nazywamy n-tą symetryczną potęgą tensorową przestrzeni H.
Stwierdzenie 2.7. Dla dowolnej przestrzeni Hilberta H oraz n 1,
projH n =
1 X
Uπ .
n! π∈S(n)
Niech x1 , . . . , xn ∈ H. Kładziemy
X
1
x1 · · · xn = √
xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n) =
n! π∈S(n)
√
X
1
=√
Uπ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) = n! · projH n x1 ⊗ · · · ⊗ xn .
n! π∈S(n)
Wówczas
X
hx1 · · · xn , y1 · · · yn i =
hx1 , yπ(1) i · · · · · hxn , yπ(n) i.
π∈S(n)
W szczególności, dla x ∈ H mamy
xn =
√
n! · x⊗n
oraz
hxn , y n i = n!hx, yin .
Stwierdzenie 2.8. Niech {xi ; i ∈ I} będzie bazą ortonormalną ośrodkowej
przestrzeni Hilberta H. Wówczas rodzina
1
{ pQr
s=1 ks !
kr
1
xk
i1 · · · x ir ;
i1 < · · · < ir , 0 < ks (s = 1, . . . , r), k1 + · · · + kr = n}
jest bazą ortonormalną przestrzeni H n .
9
Definicja 2.6. Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej
przestrzeni Hilberta. Ograniczenie U ⊗n do podprzestrzeni H n będziemy
oznaczać przez U n . Przestrzeń
Fsym (H) =
∞
M
H n , H 0 = C,
n=0
nazywamy symetryczną przestrzenią Focka. Przez Fsym (U ) oznaczamy odpowiadający operator unitarny symetrycznej przestrzeni Focka:
L
n .
Fsym (U ) = ∞
n=0 U
Rozdział 3
Teoria miary, działanie grup
na zbiorach
W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia i zacytujemy twierdzenia,
które są potrzebne w dalszej części pracy.
3.1
Miary warunkowe
Zdefiniujemy teraz warunkową wartość oczekiwaną.
Twierdzenie 3.1. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś
A ⊂ B pod-σ-algebrą. Wówczas istnieje odwzorowanie (nazywane warunkową wartością oczekiwaną)
E(·|A) : L1 (X, B, µ) → L1 (X, A, µ),
które spełnia poniższe własności:
1. Dla f ∈ L1 (X, B, µ), E(f |A) jest wyznaczona jednoznacznie prawie
wszędzie przez następujące warunki:
• E(f |A) jest funkcją A-mierzalną,
• dla dowolnego zbioru A ∈ A,
R
A E(f |A)dµ
=
R
A f dµ.
2. E(·|A) jest operatorem liniowym o normie 1. Ponadto E(f |A) 0,
gdy f 0 dla f ∈ L1 (X, B, µ).
3. Dla f ∈ L1 (X, B, µ), g ∈ L∞ (X, A, µ)
E(gf |A) = gE(f |A) p.w.
4. Jeśli A0 ⊂ A jest pod-σ-algebrą, to
E(E(f |A)|A0 ) = E(f |A0 ) p.w.
11
12
5. Dla f ∈ L1 (X, A, µ) E(f |A) = f p.w.
6. Dla dowolnej funkcji f ∈ L1 (X, B, µ), |E(f |A)| ¬ E(|f ||A) p.w.
Uwaga 3.1. Operator E(·|A) działa na przestrzeni L2 (X, B, µ) jako projekcja ortogonalna na podprzestrzeń L2 (X, A, µ).
Przykład 3.1. Jeśli A = σ(ξ) jest skończoną σ-algebrą generowaną przez
skończone rozbicie ξ = {A1 , . . . , An } przestrzeni X, to
1
E(f |A)(x) =
µ(Ai )
Z
f dµ dla x ∈ Ai .
Ai
Przykład 3.2. Rozpatrzmy przestrzeń X = [0, 1]2 z dwuwymiarową miarą
Lebesgue’a. Niech A = B × {∅, [0, 1]} będzie σ-algebrą złożoną ze zbiorów
postaci B × [0, 1] (B ∈ B). Wówczas
Z 1
E(f |A)(x1 , x2 ) =
f (x1 , t)dt.
0
Zauważmy, że wartości funkcji E(f |A) są otrzymywane przez obliczenie średniej funkcji f na zbiorze dwuwymiarowej miary Lebesgue’a zero.
W świetle własności z twierdzenia 3.1 oraz powyższych przykładów, na
E(f |A)(x) możemy patrzeć jak na średnią funkcji f na pewnej części przestrzeni mierzalnej, gdzie wybór tej części zależy od argumentu x.
Definicja 3.1. Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną z miarą probabilistyczną zadaną na σ-algebrze B zbiorów borelowskich tej przestrzeni.
Przestrzeń (X, B, µ) nazywamy standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną.
µ
Definicja 3.2. Dla σ-algebr C, C 0 równość C = C 0 oznacza, że dla dowolnych
zbiorów A ∈ C, B 0 ∈ C 0 istnieją zbiory B ∈ C, A0 ∈ C 0 takie, że µ(A4A0 ) = 0
oraz µ(B4B 0 ) = 0.
Zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.2. Niech (X, B, µ) będzie standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną, zaś A ⊂ B pod-σ-algebrą. Istnieje podzbiór X 0 ⊂ X taki,
0
że µ(X \ X 0 ) = 0 oraz układ {µA
x ; x ∈ X } miar na X, nazywany układem
miar warunkowych o następujących własnościach:
1. µA
jest miarą probabilistyczną
x
f ∈ L1 (X, B, µ) zachodzi
E(f |A)(x) =
Z
na
X
oraz
A
f (y)dµA
x (y)dµ(x)
wszystkich
f (y)dµA
x (y) p.w.
Innymi słowy, dla dowolnej funkcji f ∈ L1 (X, B, µ),
leży w sposób A-mierzalny od x oraz
Z Z
dla
Z
=
A
R
f (y)dµA
x (y) za-
f dµ dla wszystkich A ∈ A.
3.1. Miary warunkowe
13
µ
0
A
2. Dla dowolnej σ-algebry A0 takiej, że A0 = A zachodzi µA
x = µx dla
p.w. x ∈ X.
3. Jeśli σ-algebra A jest przeliczalnie generowana, to µA
x ([x]A ) = 1 p.w.,
gdzie
[x]A =
\
A
x∈A∈A
jest atomem σ-algebry A, do którego należy x. Ponadto, jeśli
A
[x]A = [y]A , to µA
x = µy .
4. Własność 1 w jednoznaczny sposób wyznacza µA
x dla p.w. x ∈ X. Co
więcej, wystarczy, by własność 1 zachodziła dla gęstego przeliczalnego
zbioru funkcji ciągłych na X, by miary µA
x były w jednoznaczny sposób
wyznaczone dla p.w. x ∈ X.
Definicja 3.3. Układ miar warunkowych z powyższego twierdzenia nazywamy dezintegracją miary µ.
Twierdzenie 3.2 charakteryzuje miary warunkowe w terminach warunkowej wartości oczekiwanej. Podamy teraz bardziej geometryczną charakteryzację.
Twierdzenie 3.3. Niech (X, B, µ) będzie standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie pod-σ-algebrą σ-algebry B. Przypuśćmy,
że istnieje zbiór X 0 ∈ B pełnej miary µ oraz układ {νx ; x ∈ X 0 } miar probabilistycznych takich, że:
• odwzorowanie x 7→ νx jest
mierzalne, to znaczy dla dowolnej funkcji
R
f ∈ L∞ (X, B, µ) funkcja f dνx jest mierzalna,
• νx = νy dla x, y ∈ X 0 takich, że [x]A = [y]A ,
• νx ([x]A ) = 1,
R
• µ = νx dµ(x), to znaczy
f ∈ L∞ (X, B, µ).
R
f dµ =
RR
f dνx dµ(x) dla wszystkich funkcji
Wówczas νx = µA
x dla p.w. x. Teza jest również prawdziwa w przypadku, gdy
powyższe własności zachodzą dla gęstęgo przeliczalnego zbioru rzeczywistych
funkcji ciągłych na X.
Dowody twierdzeń dotyczących warunkowych wartości oczekiwanych
i miar warunkowych oraz więcej informacji na ten temat można znaleźć
w [6]. Stamtąd pochodzą też przytoczone przykłady.
14
3.2
Działanie grup na zbiorach
Niech G będzie grupą, a X niepustym zbiorem. Poniższe definicje i
stwierdzenia pochodzą z [3].
Definicja 3.4. Niech δ : G × X → X. Oznaczmy δ(g, x) = g(x) ∈ X.
Funkcję δ nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X, o ile spełnione są
następujące warunki:
1. ∀x∈X e(x) = x,
2. ∀x∈X ∀g,h∈G (gh)(x) = g(h(x)).
Definicja 3.5. Stabilizatorem elementu x ∈ X nazywamy zbiór
Gx = {g ∈ G; g(x) = x}.
Definicja 3.6. Orbitą elementu x ∈ X nazywamy zbiór
Gx = {y ∈ X; ∃g∈G y = g(x)}.
Niech grupa skończona G działa na zbiorze X. Prawdziwe są wówczas
następujące stwierdzenia:
Stwierdzenie 3.4. Dla dowolnego x ∈ X stabilizator Gx elementu x jest
podgrupą grupy G.
Stwierdzenie 3.5. Moc orbity dowolnego elementu grupy jest równa indeksowi jego stabilizatora:
#(Gx) = #(G : Gx ).
Lemat 3.6 (Cauchy, Frobenius, Burnside). Liczba oG orbit wyznaczonych
przez działanie grupy G na zbiorze X jest równa
oG =
gdzie Xg = {x ∈ X; g(x) = x}.
1 X
#Xg ,
#G g∈G
Rozdział 4
Przykłady analizy
spektralnej
4.1
Iloczyn tensorowy dwóch operatorów
Niech Ui : Hi → Hi , i = 1, 2 będą operatorami unitarnymi ośrodkowych
przestrzeni Hilberta.
Twierdzenie 4.1. Maksymalny typ spektralny σU1 ⊗U2 jest równy σU1 ∗ σU2 .
Dowód. Ponieważ przestrzeń H1 ⊗ H2 jest generowana przez tensory
postaci x1 ⊗ x2 oraz
h(U1 ⊗ U2 )n (x1 ⊗ x2 ), x1 ⊗ x2 i = hU1n x1 , x1 ihU2n x2 , x2 i,
więc zachodzi następująca równość współczynników Fouriera miar:
bx1 ⊗x2 [n] = σ
bx1 [n] · σ
bx2 [n]
σ
dla dowolnego n ∈ Z. Zatem
σx1 ⊗x2 = σx1 ∗ σx2 σU1 ∗ σU2 .
Stąd miara spektralna dowolnego elementu przestrzeni H1 ⊗ H2 względem
operatora U1 ⊗ U2 jest absolutnie ciągła względem miary σU1 ∗ σU2 . Ponadto
miara ta jest realizowana przez iloczyn tensorowy elementów realizujących
maksymalne typy spektralne operatorów U1 , U2 .
Wskażemy teraz metodę obliczania krotności spektralnej produktu tensorowego operatorów unitarnych. Przeprowadzimy analizę przypadku, gdy
U1 , U2 mają proste widmo. Niech σ, ν będą miarami dodatnimi na T. Rozpatrzmy operator Vσ ⊗ Vν . Przy identyfikacji przestrzeni L2 (T, σ) ⊗ L2 (T, ν)
15
16
z przestrzenią L2 (T × T, σ ⊗ ν) ze stwierdzenia 2.5 operator Vσ ⊗ Vν staje
się równy operatorowi W , dla którego
W (F )(z1 , z2 ) = z1 z2 F (z1 , z2 )
dla dowolnej funkcji F ∈ L2 (T × T, σ ⊗ ν). Niech s : T × T → T będzie dane
wzorem s(z1 , z2 ) = z1 z2 . Zatem s∗ (σ ⊗ ν) = σ ∗ ν, a ponadto
σ⊗ν =
Z
µz d(σ ∗ ν)(z),
T
gdzie miary warunkowe µz są skupione na zbiorach s−1 (z) dla σ ∗ ν prawie
wszystkich z ∈ T. Zauważmy, że wówczas dla A ∈ B(T) mamy
σ ∗ ν(A) = 0 ⇐⇒ µz (s−1 (A)) = 0 dla σ ∗ µ-p.w. z ∈ A.
(4.1)
Rzeczywiście,
σ ∗ µ(A) = 0 ⇐⇒ s∗ (σ ⊗ µ)(A) = 0 ⇐⇒ σ ⊗ µ(s−1 (A)) = 0 ⇐⇒
⇐⇒
Z
µz (s−1 (A))dσ∗µ(z) = 0 ⇐⇒ µz (s−1 (A)) = 0 dla σ∗µ-p.w. z ∈ A.
A
Zauważmy ponadto, że operator Us : L2 (T, σ∗µ) → L2 (T×T, σ⊗µ) określony
wzorem
Us (f )(z1 , z2 ) = f (s(z1 , z2 )) = f (z1 z2 )
jest izometrią (na ogół nieodwracalną, gdyż odwzorowanie s nie musi być
różnowartościowe p.w.). Ponadto
W ◦ Us = Us ◦ Vσ∗ν .
(4.2)
Rozbijamy teraz okrąg T:
T=
∞
[
Zn ∪ Z∞ ∪ Zc ,
(4.3)
n=1
gdzie dla z ∈ Zn miara warunkowa µz jest miarą atomową o n atomach
(n 1), dla z ∈ Z∞ miara µz jest miarą dyskretną o nieskończenie wielu
atomach, natomiast dla z ∈ Zc miara warunkowa nie jest miarą dyskretną.
Aby wykazać mierzalność powyższego rozbicia skorzystamy z następującego lematu Lebesgue’a (jego dowód można znaleźć np. w [8]):
Twierdzenie 4.2 (H. Lebesgue). Niech (X, d) będzie zwartą przestrzenią
metryczną i niech U = {Uλ }λ∈Λ będzie otwartym pokryciem X. Wówczas
istnieje liczba δ > 0 (nazywana liczbą Lebesgue’a) taka, że dla dowolnego
podzbioru A ⊂ X o średnicy diam(A) < δ istnieje λ ∈ Λ taka, że A ⊂ Uλ .
Lemat 4.3. Rozbicie (4.3) jest mierzalne.
4.1. Iloczyn tensorowy dwóch operatorów
17
Dowód. Niech {xi ; i ∈ N} będzie podzbiorem gęstym (np. zbiorem liczb
zespolonych o module jeden i argumentach będących wymierną wielokrotnością π). Oznaczmy przez Ai,j (i, j ∈ N) następujące zbiory:
Ai,j = {(z1 , z2 ) ∈ T2 ; Arg(xi ) ¬ Arg(z2 ) ¬ Arg(xj ) lub
Arg(xj ) ¬ Arg(z2 ) ¬ Arg(xi )}.
Niech funkcje f1n , fz : T → R będą dane wzorami
f1n (z) = sup {µz (Ai,j ); |Arg(xi ) − Arg(xj )| <
i,j∈N
1
},
n
f1 (z) = inf f1n (z).
n∈N
Ze względu na twierdzenie 3.2, funkcje f1n dla n 1 są mierzalne, więc
również funkcja f1 jest mierzalna. Pokażemy, że wartość funkcji f1 dla argumentu z ∈ T to miara największego atomu miary µz , a w przypadku miary
ciągłej wartość ta wynosi zero. Istotnie, załóżmy, że f1 (z0 ) > ε dla pewnego
ε > 0. Pokażemy, że miara µz0 ma atom. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn.
miara ta jest ciągła. Z definicji funkcji f1 , f1n otrzymujemy, że f1n (z0 ) > ε dla
wszystkich n ∈ N, a następnie, że dla dowolnego n ∈ N istnieją in , jn ∈ N takie, że |Arg(xin )−Arg(xjn )| < n1 oraz µz0 (Ain ,jn ) > ε. Weźmy teraz otwarte
pokrycie T2 zbiorami miary ε postaci T × Uλ , gdzie λ ∈ T oraz λ ∈ Uλ dla
dowolnego λ ∈ T. Niech δ > 0 będzie liczbą Lebesgue’a dla tego pokrycia.
Istnieje n ∈ N takie, że |Arg(xin ) − Arg(xjn )| < δ. Oznacza to, że istnieje
takie λ ∈ Λ, że Ain ,jn ⊂ T × Uλ . Zatem
ε < µz0 (Ain ,jn ) ¬ µz0 (T × Uλ ) = ε.
Otrzymaliśmy więc sprzeczność. Z drugiej strony, jeśli punkt (zz0−1 , z0 ) jest
atomem miary µz , to f1n (z) µz ({(zz0−1 , z0 )}) dla wszystkich n ∈ N, więc
również f1 (z) = inf n∈N f1n (z) µz ({(zz0−1 , z0 )}) > 0, co kończy dowód faktu, że f1 (z) przyjmuje wartość miary największego atomu miary µz .
Niech funkcje fkn , fk : T → R dla k 1 dane będą wzorami:
fkn (z) = supi1 ,...,ik ,j1 ,...,jk ∈N {µz (Ai1 ,j1 ∪ · · · ∪ Aik ,jk );
zbiory Ai1 ,j1 , . . . , Aik ,jk są parami rozłączne oraz
1
|xis − xjs | < dla 1 ¬ s ¬ k},
n
fk (z) = inf fkn (z).
n∈N
Podobnie, jak wcześniej, można pokazać, że wartość funkcji fk dla argumentu z ∈ T to suma miar k atomów miary µz o największej mierze.
Niech funkcja g : T → R będzie dana wzorem
g(z) = µz (T2 ) − lim fk (z).
k→∞
18
Funkcja g jest funkcją mierzalną i przyjmuje wartość zero dla tych argumentów z ∈ T, dla których miara µz jest czysto atomowa i przyjmuje wartość
większą od zera dla tych z ∈ T, dla których miara µz ma część ciągłą.
Zauważmy, że
Zn = {z ∈ T; fn+1 (z) = fn (z)} ∩ g −1 ({0}) dla n 1,
Zc = g −1 ((0, +∞)),
Z∞ = T \ ∪ ∞
n=1 Zn \ Zc .
Są to więc zbiory mierzalne. Tym samym dowód lematu został zakończony.1
Twierdzenie 4.4. Operator Vσ ⊗ Vν ma:
• jednorodną krotność spektralną n na Zn z typem σ ∗ ν|Zn , n 1,
• nieskończoną krotność jednorodną na Z∞ ∪ Zc z typem σ ∗ ν|Z∞ ∪Zc .
Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego Z ∈ B(T) podprzestrzeń
χs−1 (Z) L2 (T×T, σ ⊗ν) jest podprzestrzenią niezmienniczą dla operatora W .
Ustalmy n 1 i niech ρn = σ ∗ ν|Zn . Istnieje rozbicie mierzalne2
s−1 (Zn ) =
n
[
Zn,i ,
i=1
dla którego zbiór Zn,i ∩ s−1 (z) zawiera dokładnie jeden atom miary µz dla
ρn -p.w. z ∈ Zn (tzn. istnieje mierzalna metoda wyboru po jednym atomie
miar warunkowych z włókien odwzorowania s). Oznacza to, że odwzorowanie
s|Zn,i jest różnowartościowe (p.w.), a ponadto
(s|Zn,i )∗ (σ ⊗ ν|s−1 (Zn,i ) ) ≡ σ ∗ ν|Zn ,
co (patrz (4.2)) oznacza, że odpowiednie obcięcie operatora Us ustala izomorfizm działania operatora W na podprzestrzeni χZn,i L2 (T × T, σ ⊗ ν)
z obcięciem działania operatora Vσ∗ν do χZn L2 (T, s∗ (σ ⊗ ν)|Zn,i ). Ale ze
względu na (4.1),
s∗ (σ ⊗ ν)|Zn,i ≡ (σ ∗ ν)|Zn .
Ponieważ
Vσ∗ν |χZn L2 (T,σ∗ν)
ma
proste
widmo,
więc
na
2
χs−1 (Zn ) L (T × T, σ ⊗ ν) operator W ma krotność jednorodną równą
n (a maksymalny typ spektralny wynosi σ ∗ ν|Zn ).
1
Funkcje, których wartościami są miary kolejnych atomów miar warunkowych pojawiają się w [1], jednak bez dowodu ich mierzalności.
2
W. A. Rochlin, Ob osnownych poniatiach tieorii miery, Mat. Sbornik 67 (1949),
107-150 (patrz [10])
4.2. Słaba zbieżność
19
Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla Z∞ . Dla (p.w.) z ∈ Zc kła(d)
(c)
(c)
dziemy µz = µz + µz , gdzie µz jest (z założenia niezerową) częścią ciągłą
miary µz . Zauważmy, że maksymalny typ spektralny operatora W na podprzestrzeni χs−1 (Zc ) L2 (T × T, σ ⊗ ν) jest równy σ ∗ ν|Zc . Weźmy dowolną
(c)
liczbę naturalną k 1. Ponieważ miary µz są ciągłe, więc istnieje rozbicie
mierzalne
s−1 (Zc ) =
k
X
Zc,i
i=1
(c)
takie, że µz (Zc,i ) > 0 dla (p.w.) z ∈ Zc . Wtedy, ze względu na (4.1)
miara s∗ (σ ⊗ ν)|Zc,i jest miarą równoważną mierze σ ∗ ν|Zc . Oznacza
to, że znaleźliśmy k podprzestrzeni niezmienniczych (dla operatora W )
przestrzeni χs−1 (Zc,i ) L2 (T × T, σ ⊗ ν) parami ortogonalnych, na których
ich maksymalny typ spektralny jest typem miary σ ∗ ν|Zc . Ponieważ
maksymalny typ spektralny operatora W na χs−1 (Zc,i ) L2 (T × T, σ ⊗ ν) jest
równy σ ∗ ν|Zc , więc na χs−1 L2 (T × T, σ ⊗ ν) operator W ma nieskończoną
krotność jednorodną (zauważmy, że ewentualne atomy miar warunkowych
dla z ∈ Zc już niczego nie wnoszą do tego rozumowania).
Powyższe twierdzenia wraz z dowodami (oprócz twierdzenia 4.2 i lematu 4.3) pochodzą z [11].
4.2
Słaba zbieżność
W tej części pracy będziemy zakładać pewne słabe zbieżności, aby otrzymać proste widmo dla produktów tensorowych rozpatrywanych operatorów.
Będziemy się opierać na [9].
Lemat 4.5. Niech V : H → H będzie operatorem unitarnym przestrzeni
Hilberta. Jeśli F ⊂ H jest domkniętą podprzestrzenią V -niezmienniczą, oraz
V nt → A w słabej topologii operatorowej, gdzie A jest operatorem liniowym
i ciągłym na H, to AF ⊂ F .
Dowód. Z twierdzenia Mazura przestrzeń F jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta H jest słabo domknięta, co pociąga zawieranie
AF ⊂ F.
Lemat 4.6. Niech Vi : Hi → Hi będzie operatorem unitarnym (i = 1, 2)
oraz Vint → Ai słabo, gdzie Ai są operatorami liniowymi i ograniczonymi na
przestrzeniach Hi . Wówczas (Vi∗ )nt → A∗i słabo oraz (V1 ⊗ V2 )nt → A1 ⊗ A2
słabo.
Dowód. Dowód wynika wprost z definicji słabej zbieżności.
20
Twierdzenie 4.7. Niech V1 i V2 będą operatorami unitarnymi ośrodkowych przestrzeni Hilberta odpowiednio H1 , H2 oraz załóżmy następujące słabe
zbieżności:
V1nt → c1 · Id,
V2nt → c2 · Id,
gdzie c1 6= c2 . Wówczas σV1 ⊥ σV2 .
Dowód. Przypuśćmy, że σV1 6⊥ σV2 . Wówczas istnieje niezerowa miara µ
taka, że µ σV1 , σV2 . Zatem istnieją niezerowe elementy yi ∈ Hi takie, że
σy1 ,V1 = σy2 ,V2 = µ. Stąd
b[−nt ] = σ̂y1 ,V1 [−nt ] = hV1nt y1 , y1 i → c1 ||y1 ||2 .
µ
Z drugiej strony jednak
b[−nt ] = σ̂y2 ,V2 [−nt ] = hV2nt y2 , y2 i → c2 ||y2 ||2 .
µ
Obie te równości nie mogą zachodzić jednocześnie przy c1 6= c2 , gdyż
||y1 ||2 = σy1 ,V1 (T) = ν(T) = σy2 ,V2 (T) = ||y2 ||2 .
Lemat 4.8. Załóżmy, że W : H → H jest operatorem liniowym i ograniczonym przestrzeni Hilberta. Jeśli F ⊂ H jest podprzestrzenią W - oraz
W ∗ -niezmienniczą, to
projF ◦ W = W ◦ projF .
Dowód. Zauważmy, że W (F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Istotnie, niech x ⊥ F . Wówczas dla f ∈ F mamy hW x, f i = hx, W ∗ f i. Ponieważ W ∗ (F ) ⊂ F , więc
x ⊥ W ∗ (F ), co pociąga W x ⊥ F . Niech x ∈ H. Wówczas ze względu na
liniowość rozpatrywanych operatorów otrzymujemy, że
projF ◦ W (x) = projF (W (projF (x)) + W (x − projF (x))) = W ◦ projF (x).
|
{z
∈F
}
|
{z
∈F ⊥
}
Twierdzenie 4.9. Niech Vi : Hi → Hi , i = 1, 2 będą operatorami unitarnymi z prostym widmem. Przypuśćmy ponadto, że
1. Vint → 21 (Id + Vi ) słabo (i = 1, 2),
21
2. Vimt → 12 (Id + ci Vi ) słabo (i = 1, 2).
Jeśli c1 6= c2 , to również operator V1 ⊗ V2 : H1 ⊗ H2 → H1 ⊗ H2 ma proste
widmo.
Dowód. Niech fi ∈ Hi będą takie, że Hi = ZVi (fi ) (i = 1, 2). Pokażemy,
że
H1 ⊗ H2 = ZV1 ⊗V2 (f1 ⊗ f2 ).
(4.4)
Połóżmy F := ZV1 ⊗V2 (f1 ⊗ f2 ). Mamy
V1k f1 ⊗ V2k f2 ∈ F
(4.5)
dla dowolnego k ∈ Z. Ponieważ z lematu 4.6
1
(V1 ⊗ V2 )nt → (Id + V1 ) ⊗ (Id + V2 ),
4
więc
(f1 + V1 f1 ) ⊗ (f2 + V2 f2 ) ∈ F,
a zatem, korzystając z (4.5) otrzymujemy, że
f1 ⊗ V2 f2 + V1 f1 ⊗ f2 =
= (f1 + V1 f1 ) ⊗ (f2 + V2 f2 ) − f1 ⊗ f2 − V1 f1 ⊗ V2 f2 ∈ F. (4.6)
Podobnie, (f1 + c1 V1 f1 ) ⊗ (f2 + c2 V2 f2 ) ∈ F , skąd
c1 V1 f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2 V2 f2 ) =
= (f1 + c1 V1 f1 ) ⊗ (f2 + c2 V2 f2 )+
− f1 ⊗ f2 − (c1 V1 f1 ) ⊗ (c2 V2 f2 ) ∈ F. (4.7)
Z (4.6) oraz (4.7) wynika, że
c1 f1 ⊗ V2 f2 − c2 f1 ⊗ V2 f2 =
= c1 (f1 ⊗ V2 f2 + V1 f1 ⊗ f2 ) − (c1 V1 f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2 V2 f2 )) ∈ F,
c2 V1 f1 ⊗ f2 − c1 V1 f1 ⊗ f2 =
= c2 (f1 ⊗ V2 f2 + V1 f1 ⊗ f2 ) − (c1 V1 f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2 V2 f2 )) ∈ F.
Ponieważ c1 6= c2 , więc
f1 ⊗ V2 f2 ∈ F, V1 f1 ⊗ f2 ∈ F.
Załóżmy teraz, że f1 ⊗ V2j f2 ∈ F , V1j f1 ⊗ f2 ∈ F dla j = 0, 1, . . . , s. Wówczas
ze względu na założone słabe zbieżności
4V1nt ⊗ V2nt (V1s f1 ⊗ f2 ) → (V1s f1 + V1s+1 f1 ) ⊗ (f2 + V2 f2 ) ∈ F.
22
Po opuszczeniu nawiasów mamy więc
V1s f1 ⊗ f2 + V1s f1 ⊗ V2 f2 + V1s+1 f1 ⊗ f2 + V1s+1 f1 ⊗ V2 f2 ∈ F.
Zauważmy, że pierwszy, drugi i czwarty składnik sumy należą do F
z założenia indukcyjnego. W związku z tym, również musi zachodzić
V1s+1 f1 ⊗ f2 ∈ F . Podobnie, (f1 + V1 f1 ) ⊗ (V2s f2 + V2s+1 f2 ) ∈ F . Po opuszczeniu nawiasów otrzymujemy, że
f1 ⊗ V2s f2 + f1 ⊗ V2s+1 f2 + V1 f1 ⊗ V2s f2 + V1 f1 ⊗ V2s+1 f2 ∈ F.
Tak, jak wcześniej, pierwszy, trzeci i czwarty składnik już z założenia należą
do F , zatem również drugi składnik musi należeć do tej podprzestrzeni:
f1 ⊗ V2s+1 f2 ∈ F.
Wykazaliśmy zatem, że V1s f1 ⊗ V2r f2 ∈ F dla dowolnych r, s ∈ Z, skąd już
wynika (4.4) i dowód twierdzenia jest tym samym zakończony.
Twierdzenie 4.10. Niech V : H → H będzie operatorem unitarnym z prostym ciągłym widmem. Przypuśćmy, że V nt → 21 (Id+V ). Wówczas operator
V ⊗ V ma widmo jednorodne krotności 2.
Dowód. Pokażemy najpierw, że krotności spektralne operatora V ⊗ V
są parzyste. Weźmy dezintegrację miary σV ⊗ σV nad σV ∗ σV :
σV ⊗ σV =
Z
µz dσV ∗ σV .
T
ez dla z ∈ T dane będą wzorem P∗ (µz ) gdzie przekształcenie
Niech miary µ
P : T2 → T2 zdefiniowane jest jako P ((z1 , z2 )) = (z2 , z1 ). Wówczas
σV ⊗ σV = P∗ (σV ⊗ σV ) =
Z
P∗ (µz )dσV ∗ σV =
T
Z
T
ez dσV ∗ σV ,
µ
ez dla p.w. z ∈ T. Pokażemy, że dla p.w.
więc z twierdzenia 3.3 mamy µz = µ
z ∈ T prawdziwa jest następująca własność:
jeśli punkt (z1 , z2 ) ∈ T2 jest atomem miary µz ,
to również (z2 , z1 ) ∈ T2 jest jej atomem. (4.8)
ez . Załóżmy, że µz ({(z1 , z2 )}) > 0.
Istotnie, niech z ∈ T będzie takie, że µz = µ
Wówczas
ez ({(z1 , z2 )}) = µz ({(z1 , z2 )}) > 0.
µz ({(z2 , z1 )}) = µ
Ponieważ
σV ⊗ σV {(z, z) ∈ T2 ; z ∈ T} = 0,
(4.9)
23
więc z (4.8) wynika, że ilość atomów miar warunkowych nie leżących na przekątnej {(z, z) ∈ T2 ; z ∈ T} jest parzysta i tym samym, z twierdzenia 4.4 (po
modyfikacji uwzględniającej (4.9)), funkcja krotności spektralnej operatora
V ⊗ V może przyjować tylko wartości parzyste.
Oznaczmy
F = ZV ⊗V (f ⊗ V f ) + ZV ⊗V (V f ⊗ f ),
gdzie f ∈ H jest taki, że H = ZV (f ). Pokażemy, że F = H ⊗ H. Postępując
podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia mamy
1
(V nt ⊗ V )(f ⊗ V f ) → (f + V f ) ⊗ V 2 f,
2
więc (ponieważ (V ⊗ V )(f ⊗ V f ) = V f ⊗ V 2 f ∈ F ) otrzymujemy, że
f ⊗ V 2 f ∈ F i podobnie f ⊗ V k f ∈ F dla k 1, a następnie dla k ¬ −1.
Podobnie, jak wcześniej, korzystając z lematu 4.6
1
(V −nt ⊗ V )(V f ⊗ f ) → V f ⊗ f + f ⊗ f ∈ F,
2
więc również V k f ⊗ V k f ∈ F dla dowolnego k ∈ Z (wiemy już, że
V f ⊗ f ∈ F ). Oznacza to, że dla dowolnych k, l ∈ N mamy V k f ⊗ V l f ∈ F ,
a zatem H ⊗ H ⊂ F . Oczywiście zawieranie odwrotne również zachodzi.
Zatem funkcja krotności spektralnej operatora V ⊗ V jest ograniczona
z góry przez 2, co kończy dowód.
Uwaga 4.1. Zauważmy, że zamiast założenia o ciągłym widmie w powyższym twierdzeniu wystarczy przyjąć, że σV ({1}) = 0. Istotnie, przypuśćmy,
że funkcja f jest wektorem własnym dla operatora V , to znaczy V f = cf
dla pewnego c ∈ T. Mamy więc
1
1
cnt ||f ||2 = hV nt f, f i → hf + cf, f i = (1 + c)||f ||2 ,
2
2
skąd cnt → 12 (1 + c), co jest możliwe jedynie dla c = 1. Zatem jedyną możliwą wartością własną operatora V jest jeden. Jeśli wykluczymy tę możliwość,
prawdziwa będzie równość (4.9). Jest to jedyne miejsce w dowodzie, w którym została wykorzystana ciągłość miary σV .
W dalszej części rozpatrywać będziemy operatory unitarne V z prostym
widmem takie, że dla nieskończenie wielu κ (|κ| ¬ 1) istnieje ciąg nieskończo(κ)
ny nt
(κ)
→ ∞ taki, że V nt
→ 12 (κ · Id + V ) w słabej topologii operatorowej.
Uwaga 4.2. Zauważmy, że takie operatory mają czysto ciągłe widmo. Istotnie, przypuśćmy, że widmo nie jest czysto ciągłe. Jeśli V f = cf (|c| = 1, bo
V unitarny), to cnt → 12 (κ+c) , co jest możliwe tylko dla κ = c, a założyliśmy
istnienie nieskończonie wielu takich κ. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.
24
Poniższe twierdzenie - w nieco słabszej wersji - udowonił O. Ageev. Podany tu dowód pochodzi natomiast z [9].
Twierdzenie 4.11. Załóżmy, że V i W są operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta odpowiednio H i G oraz mają proste widmo. Niech S ⊂ C
będzie zbiorem przeliczalnym. Załóżmy ponadto, że dla dowolnego κ ∈ S ist(κ)
(κ)
nieją podciągi (nt ), (mt ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w słabej topologii operatorowej:
(κ)
V nt
(κ)
V mt
(κ)
1
1
→ (κ · Id + V ), W nt → (κ · Id + W ),
2
2
(κ)
1
1
mt
e · Id + W ),
→ (κ · Id + V ), W
→ (κ
2
2
(4.10)
(4.11)
e 6= κ. Wówczas operator Fsym (V ) ⊗ W ma proste widmo. W szczegdzie κ
gólności, dla dowolnego k 1 operator V k ⊗ W ma proste widmo.
Dowód. Ustalmy k 1. Pokażemy, że V k ⊗ W ma proste widmo.
Załóżmy, że H = ZV (f ), G = ZW (g) dla pewnych elementów f ∈ H, g ∈ G.
Udowodnimy, że
H k ⊗ G = ZV k ⊗W (f ⊗k ⊗ g).
(4.12)
Pokażemy najpierw, że
H k = ZV k (f ⊗k ).
(4.13)
Oznaczmy F = ZV k (f ⊗k ). Z (4.10), dla dowolnego κ ∈ S, ponieważ przestrzeń H k jest V ⊗k -niezmiennicza oraz
κ
(V ⊗k )nt →
1
(κ · Id + V )⊗k ,
2k
więc jest również (κ · Id + V )⊗k - oraz (κ · Id + V )⊗k
matu 4.8
∗
-niezmiennicza i z le-
projH k ◦ (κ · Id + V )⊗k = (κ · Id + V )⊗k ◦ projH k .
(4.14)
Udowodnimy, że
projH k f ⊗i0 ⊗ (V n1 f )⊗i1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗ip ∈ F
(4.15)
dla dowolnych i0 , . . . , ip 0, i0 + i1 + · · · + ip = k, 0 = n0 < n1 < · · · < np .
Istotnie, (4.15) zachodzi, gdy p = 0 (wtedy np = 0). Przypuśćmy, że równość ta jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wyborów parametrów
takich, że np ¬ N. Pokażemy teraz, że zależność ta jest też prawdziwa dla
P
ograniczenia N + 1. W tym celu przypuśćmy, że j0 , . . . , jp 0, ps=0 js = k,
np = N oraz
projH k (f ⊗j0 ⊗ (V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp ) ∈ F.
25
Ponieważ, podobnie jak H k , podprzestrzeń F jest V ⊗k -niezmiennicza, ma⊗k
my
z (4.10), że∗przestrzeń ta jest też (κ · Id + V ) -niezmiennicza oraz
(κ · Id + V )⊗k -niezmiennicza. Korzystając więc z lematu 4.5 otrzymujemy, że
(κ · Id + V )⊗k projH k f ⊗j0 ⊗ (V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp
∈ F.
Z (4.14) wynika, że
projH k (κ · Id + V )⊗k
f ⊗j0 ⊗ (V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp
∈ F. (4.16)
Innymi słowy, ze względu na liniowość operatora rzutowania,
projH k (κk f ⊗j0 ⊗ · · · ⊗ (V np F )⊗jp + κk−1 (. . . ) + . . . ) =
= κk projH k (f ⊗j0 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp ) + κk−1 projH k (. . . ) + · · · ∈ F.
Popatrzmy na tę zależność, jak na pewne równanie algebraiczne, konkretnie
κk (projH k (f ⊗j0 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp ) + F ) + κk−1 (projH k (. . . ) + F ) + · · · = 0
w H k /F . Ponieważ powyższa równość jest spełniona dla nieskończonej ilości κ, zatem „współczynniki” z H k /F znikają, to znaczy należą wszystkie
do F . Faktycznie, wystarczy zadziałać na powyższą równość elementami z
(H k /F )∗ (gdyby któryś ze współczynników nie należał do F , to po zadziałaniu na nim pewnym funkcjonałem z przestrzeni sprzężonej otrzymalibyśmy liczbę różną od zera, co nie jest możliwe ze względu na nieskończoną
ilość wartości κ, dla których równość ma być spełniona oraz teorię równań
algebraicznych). Zwróćmy teraz uwagę na współczynnik przy κk−1 . Otrzymujemy, że
|
+f
⊗(V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )jp +
f ⊗ ··· ⊗ f
projH k (
{z
}
jedno f zastąpione przez V f
⊗j0
n1
⊗
V
f ⊗ · · · ⊗ V n1 f
|
+f
{z
⊗ · · · ⊗ (V np f )jp + · · · +
}
jedno V n1 f zastąpione przez V n1 +1 f
⊗j0
n1 ⊗j1
np
⊗ (V
f)
⊗ ··· ⊗
V
|
f ⊗ · · · ⊗ V np f
{z
) ∈ F.
}
jedno V np f zastąpione przez V np +1 f
Korzystając z liniowości operatora projH k oraz założenia indukcyjnego
otrzymujemy, że wszystkie składniki oprócz ostatniego są już elementami
F . Stąd
projH k (f ⊗j0 ⊗ (V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗(jp −1) ⊗ V np +1 f ) ∈ F
26
i tym samym wykazaliśmy (4.15) dla ograniczenia N + 1 i wszystkich dopuszczalnych parametrów z ostatnim elementem jq = 1. Spójrzmy na współczynnik przy κk−2 . Otrzymujemy, że
projH k (
X
f ⊗j1 ⊗ · · · ⊗
u¬w
⊗
V
|
V nu f ⊗ · · · ⊗ V nu f
|
{z
f ⊗ ··· ⊗ V
f
{z
}
⊗···⊗
}
jedno V nu f zastąpione przez V nu +1 f
nw
nw
⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗jp ) ∈ F.
jedno V nw f zastąpione przez V nw +1 f
Jeśli w < p, możemy skorzystać z założenia indukcyjnego - odpowiednie
projekcje są już elementami podprzestrzeni F . Jeśli u < w = p również tak
jest, gdyż wykazaliśmy już (4.15) dla N + 1 oraz jq = 1. Zatem ostatni
składnik jest jedynym, który nie pojawił się wcześniej. Stąd
projH k (f ⊗j1 ⊗ (V n1 f )⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗(jp −2) ⊗ (V np +1 )⊗2 ) ∈ F.
Pokazaliśmy zatem (4.15) dla ograniczenia N + 1 z jq = 2. Rozpatrując
współczynniki przy κk−3 , κk−4 itd., otrzymujemy, że (4.15) zachodzi.
Ponieważ Z(f ) = H,
span({f ⊗i0 ⊗ (V n1 f )⊗i1 ⊗ · · · ⊗ (V np f )⊗ip ; i0 , . . . , ip 0,
i0 + i1 + · · · + ip = k, n0 , n1 , . . . , np ∈ Z}) = H ⊗k .
Zatem, z (4.15), F = ZV k (f ⊗k ) = H k i (4.13) zachodzi, więc operator
V k ma proste widmo.
Oznaczmy przez F1 = ZV k ⊗W (f ⊗k ⊗g). Tak jak wcześniej, wykazujemy,
że dla dowolnego κ ∈ S
(κf + V f )⊗k ⊗ (κg + W g) ∈ F1 ,
e g + W g) ∈ F1 ,
(κf + V f )⊗k ⊗ (κ
e )g ∈ F1 i dalej
więc po wzięciu różnicy mamy (κf + V f )⊗k ⊗ (κ − κ
(κf + V f )⊗k ⊗ g ∈ F1 . Powtarzając wcześniejsze rozumowanie, patrzymy
tym razem na współczynnik przy κ0 i orzymujemy, że
(V f )⊗k ⊗ g ∈ F1 .
(4.17)
Ponieważ jednak przestrzeń F1 jest niezmiennicza ze względu na operatory
e · Id + W ), więc
(κ · Id + V )⊗k ⊗ (κ · Id + W ) oraz (κ · Id + V )⊗k ⊗ (κ
(κV f + V 2 f )⊗k ⊗ (κg + W g) ∈ F1 ,
e g + W g) ∈ F1 ,
(κV f + V 2 f )⊗k ⊗ (κ
skąd (κV f + V 2 f )⊗k ⊗ g ∈ F1 i - powtarzając argumenty, które uzasadniały
(4.17) - również (V 2 f )⊗k ⊗ g ∈ F1 oraz (indukcyjnie) (V r f )⊗k ⊗ g ∈ F1
27
dla dowolnego r 0. Stosując lemat 4.6, pokażemy, że jest tak również dla
ujemnych r. Ponieważ
(κ · Id + V )∗ = κ̄ · Id + V −1 ,
więc całe powyższe rozumowanie możemy powtórzyć, zamiast V i κ pisząc
V −1 i κ̄. Tym samym, dowód (4.12) został zakończony.
Aby udowodnić, że operator Fsym (U ) ma również proste widmo, wystarczy pokazać, że dla dowolnego N 1
ZLN
k=1
(
V k
N
X
N
M
f ⊗k ) =
k=1
H k .
(4.18)
k=1
Wprowadźmy oznaczenie
Fe = ZLN
k=1
Ponieważ
Stąd
PN
k=1 f
⊗k
V
k
(
N
X
f ⊗k ).
k=1
∈ Fe , więc dla dowolnego κ ∈ S,
PN
k=1 (κf + V
f )⊗k ∈ Fe .
κN f ⊗N + κN −1 (f ⊗(N −1) + N ! · projH N (f ⊗N −1 ⊗ V f )) + · · · +
+ (V f + · · · + (V f )⊗N ) ∈ Fe .
L
k /F
e , tak jak wcześniej, otrzymujemy, że f ⊗N ∈ Fe ,
Rozpatrując N
k=1 H
N
a zatem H
⊂ Fe . Ponadto
f ⊗(N −1) + N ! · projH N (f ⊗(N −1) ⊗ V f ) ∈ Fe ,
|
{z
}
∈H N ⊂F
e
więc f ⊗(N −1) ∈ Fe . Wynika stąd, że H (N −1) ⊕ H N ⊂ Fe . Postępując dalej
w ten sam sposób wykazujemy, że dla 1 ¬ k ¬ N f ⊗k ∈ Fe , a zatem (4.18)
zachodzi.
L
k ⊗ W ma proste widmo,
Aby pokazać, że również operator ∞
k=0 V
f1 podpostępujemy podobnie. Przy ustalonym N 1, oznaczamy przez F
PN
⊗k
przestrzeń cykliczną generowaną przez k=1 f ⊗ g i mamy
N
X
!
(κf + V f )
⊗k
f1 .
⊗g ∈F
k=1
Wówczas, powtarzając wcześniejszy argument,
κN f ⊗N ⊗ g + κN −1 f ⊗(N −1) ⊗ g + N ! · projH N (f ⊗(N −1) ⊗ V f ) ⊗ g +
+ κN −2 f ⊗(N −2) ⊗ g + (N − 1)! · projH (N −1) (f ⊗(N −2) ⊗ V f ) ⊗ g+
!
N
f1 .
+
·projH N (f ⊗(N −2) ⊗(V f )⊗2 )⊗g +· · ·+ V f +· · ·+(V f )⊗N ⊗g ∈ F
2
28
f1 , więc H N ⊗ G ⊂ F
f1 . Ponadto
Zatem f ⊗N × g ∈ F
f1 ,
f ⊗(N −1) ⊗ g + projH N (f ⊗(N −1) ⊗ V f ) ⊗ g ∈ F
|
{z
}
∈H N ⊗G⊂F1
e
f1 . Wynika stąd, że (H (N −1) ⊕ H N ) ⊗ G ⊂ F
f1 .
więc f ⊗(N −1) ⊗ g ∈ F
⊗k
f1 dla dowolnego 1 ¬ k ¬ N . Oznacza to, że
W ten sam sposób f ⊗ g ∈ F
LN
k
f
F1 = k=1 H ⊗ G. Zatem operator Fsym (V ) ⊗ W ma proste widmo, co
kończy dowód.
Uwaga 4.3. Z powyższego dowodu można wywnioskować jeszcze
jedną własność: przy tych samych założeniach operator unitarny
Fsym (V ) ⊕ Fsym (V ) ⊗ W również ma proste widmo. Istotnie, wystarczy pokazać, że dla dowolnych k, l ∈ N σV∗k ⊥ σV∗l ∗ σW . Aby otrzymać tę własność
wykażemy, że
H k ⊕ (H l ⊗ G) = ZV k ⊕V l ⊗W (f ⊗k + f ⊗l ⊗ g).
(4.19)
Kładąc F2 = ZV k ⊕V l ⊗W (f ⊗k + f ⊗l ⊗ g) i postępując, jak w dowodzie
twierdzenia 4.11, otrzymujemy, że
1
(κf + V f )⊗k +
2k
1
(κf + V f )⊗k +
2k
1
(κf + V f )⊗l ⊗ (κg + W g) ∈ F2 ,
2l
1
e g + W g) ∈ F2 ,
(κf + V f )⊗l ⊗ (κ
2l
więc biorąc różnicę, (κf + V f )⊗l ⊗ g ∈ F2 . Ponieważ takich κ jest nieskończona ilość, więc (V f )⊗l ⊗ g ∈ F2 , a zatem H l ⊗ G ⊂ F2 . Ponieważ
f ⊗k + f ⊗l ⊗ g ∈ F2 , więc również f ⊗k ∈ F2 , skąd już wynika (4.19).
Uwaga 4.4. Niech V i W będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta
odpowiednio H i G oraz niech dla nieskończenie wielu 0 < κ < 1 istnieją
(κ)
(κ)
podciągi (nt ), (mt ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w słabej
topologii operatorowej:
(κ)
V
(κ)
V nt
→ κ · Id + (1 − κ)V , W nt
(κ)
mt
(κ)
mt
→ κ · Id + (1 − κ)V , W
→ κ · Id + (1 − κ)W,
e · Id + (1 − κ)W,
→ κκ
e 6= 1, κ
e ∈ C. Wówczas zachodzą tezy twierdzenia 4.11 oraz
dla pewnego κ
x
uwagi 4.3. Istotnie, zauważmy, że odwzorowanie x 7→ 1−x
jest 1−1 na odcinku (0, 1), a przestrzenie są niezmiennicze ze względu na mnożenie wektorów
przez stałe. Wystarczy teraz powtórzyć argumenty z dowodów twierdzenia
4.11 oraz uwagi 4.3.
4.3. Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar
4.3
29
Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność
miar
Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeni
Hilberta. Zdefiniujmy Ik = {~i = (ik,1 , . . . , ik,k ) ∈ {1, . . . , n}k ; ik,r 6= ik,s , r 6=
s}. Niech G będzie podgrupą grupy S(n). G działa na zbiorze Ik w następujący sposób:
π((ik,1 , . . . , ik,k )) = (π(ik,1 ), . . . , π(ik,k ))
dla π ∈ G. Zauważmy, że G(Ik ) = Ik . Na Ik możemy rozpatrywać relację
równoważności daną przez orbity działania grupy G na zbiorze Ik :
i~k ≡ i~0k ⇐⇒ ∃π∈G π(i~k ) = i~0k .
Oznaczmy przez ok liczbę orbit działania grupy G na Ik . Udowodnimy teraz
następujące własności wymienione w [2]:
Lemat 4.12. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwe są poniższe stwierdzenia:
1. (o1 , . . . , on ) = (1, . . . , 1) dla G = S(n).
2. (o1 , . . . , on ) = (n, n(n − 1), . . . , n!, n!) dla G = {e}.
3. (o1 , . . . , on ) = (2, 3, . . . , n, n) dla G = {g ∈ S(n); g(n) = n}.
4. ok ¬ om dla k < m.
5. on−1 = on .
6. o2 o1 (o1 − 1).
7. on =
n!
#G .
Dowód.
1. Ponieważ G = S(n), więc dla dowolnych i~k1 , i~k2 ∈ Ik istnieje π ∈ G
takie, że π(i~k1 ) = i~k2 , więc cały zbiór Ik jest jedną orbitą.
2.
ok = #{i~k ∈ Ik ; i~k = i~k } = #Ik =
k−1
Y
(n − i)
i=0
3. Orbity działania grupy G na zbiorze Ik można wypisać wprost:
{(i1 , . . . , ik ); 1 ¬ ij ¬ n − 1}, {(n, i2 , . . . , ik ); 1 ¬ ij ¬ n − 1},
{(i1 , n, i3 , . . . , ik ); 1 ¬ ij ¬ n − 1}, . . . ,
{(i1 , i2 , . . . , ik−1 , n); 1 ¬ ij ¬ n − 1}.
30
4. Zauważmy, że Ik widzimy w zbiorze Ik+l jako jego pierwsze k współrzędnych. Elementy Ik odpowiadające elementom z Ik+l , które zostały
sklejone, również zostaną sklejone. Zatem uzasadniane nierówności zachodzą.
5. Równość ta wynika z faktu, że elementy zbioru In są wyznaczone jednoznacznie przez pierwszych n − 1 współrzędnych.
6. Dla (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ I2 , jeśli (i1 , j1 ) ≡ (i2 , j2 ), to i1 ≡ i2 oraz j1 ≡ j2 .
Oznacza to, że o2 szacuje się z dołu przez liczbę par (i, j), gdzie wybieramy po jednym i oraz j z klas abstrakcji działania G na I1 . Takich
par jest o1 (o1 − 1).
7. Zauważmy, że jeśli g 6= id, to {i~n ∈ In ; g(i~n ) = i~n } = ∅, jeśli zaś
g = id, to {i~n ; g(i~n ) = i~n } = In . Zatem z lematu 3.6
n!
1
#In =
.
#G
#G
on =
⊗n
(G)
Hinv
oznaczmy podprzestrzeń przestrzeni
Przez
niczych ze względu na Uπ dla wszystkich π ∈ G.
H ⊗n
tensorów niezmien-
Lemat 4.13. Dla dowolnych x1 , . . . , xn ∈ H,
1 X
⊗n
x
⊗ · · · ⊗ xπ(n) ∈ Hinv
(G).
#G π∈G π(1)
Dowód. Niech τ ∈ G. Ponieważ G jest podgrupą,
Uτ (
1 X
1 X
xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n) ) =
Uτ (xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n) ) =
#G π∈G
#G π∈G
=
1 X
1 X
xτ ◦π(1) ⊗ · · · ⊗ xτ ◦π(n) =
x
⊗ · · · ⊗ xπ(n) .
#G π∈G
#G π∈G π(1)
Lemat 4.14. Przy powyższych oznaczeniach zachodzi następujący wzór:
projH ⊗n (G) =
inv
1 X
Uπ .
#G π∈G
1
Dowód. Połóżmy p = #G
π∈G Uπ . Ze względu na lemat 4.13,
⊗n
⊗n
⊗n
e ∈ H ⊗n , ye ∈ Hinv
p : H → Hinv (G). Ponadto dla dowolnych tensorów x
(G)
mamy
1 X
1 X
e, yei = hx
e,
e, yei,
Uπ−1 yei = h
Uπ x
hx
#G −1
#G π∈G
P
π
∈G
31
co kończy dowód.
Wskażemy teraz pewne zależności między widmem operatorów U ⊗n oraz
= U ⊗n |H n .
U n
Twierdzenie 4.15. Załóżmy, że σU = σ jest miarą bezatomową oraz że
U ma proste widmo. Ponadto załóżmy, że operator U n ma proste widmo.
Wówczas
MU ⊗n | ⊗n (T) = {on } σ ∗n − p.w.
H
inv
(G)
Dowód. Ponieważ U ma proste widmo, więc możemy przyjąć, że
H = L2 (T, σU ) oraz U f (z) = zf (z).
Będziemy wykorzystywać porządek na T pochodzący z przyporządkowania
liczbom zespolonym ich argumentów głównych. Niech
A~i = {(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ; zi1 < . . . < zin }
oraz
F~i = 1A~i L2 (Tn , σU⊗n )
dla ~i ∈ In . Zauważmy, że zbiory A~i są parami rozłączne, więc dla ~i 6= ~j
mamy F~i ⊥ F~j . Niech
B = {(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ; zi = zj dla pewnych i, j, i 6= j}.
Wówczas z twierdzenia Fubiniego
!
σ
⊗n
(B) ¬
n ⊗2
σ ({(z, z) ∈ T2 ; z ∈ T}).
2
Z ciągłości miary σ mamy więc
σ ⊗n (B) = 0.
Zatem
Tn =
[
A~i ∪ B.
~i∈In
Stąd
H ⊗n =
M
Fπ(1,...,n) .
π∈S(n)
Otrzymujemy więc, że
⊗n
Hinv
(G) = projH ⊗n (G) H ⊗n = projH ⊗n (G) (
inv
inv
M
π∈S(n)
Fπ(1,...,n) ).
32
Zauważmy, że
Uπ (F~i ) = Fπ(~i)
(4.20)
dla π ∈ S(n) oraz ~i ∈ In .
Jeśli ~i ≡ ~j, to ~i = τ (~j) dla pewnego τ ∈ G. Pokażemy, że wówczas
projH ⊗n (G) F~i = projH ⊗n (G) F~j .
inv
inv
Niech więc f~i ∈ F~i . Z lematu 4.14 oraz faktu, że G jest podgrupą wynika, że
projH ⊗n (G) =
inv
1 X
1 X
Uπ (f~i ) =
Uπ ◦ Uτ (f~i ).
#G π∈G
#G π∈G
Ponieważ Uτ (f~i ) ∈ Fτ (~i) = F~j , więc
!
projH ⊗n (G) f~i ∈
inv
1 X
Uπ
F~j .
#G π∈G
Zamieniając rolami ~i oraz ~j, otrzymujemy żądaną równość.
Jeśli zaś ~i 6≡ ~j, to dla dowolnych π, π 0 ∈ G mamy π(~i) 6= π 0 (~j), więc zbiory
Aπ(~i) i Aπ0 (~j) są rozłączne i Fπ(~i) ⊥ Fπ0 (~j) . Pokażemy, że
projH ⊗n (G) F~i ⊥ projH ⊗n (G) F~j .
inv
inv
Weźmy f~i ∈ F~i , f~j ∈ F~j . Wtedy
projH ⊗n (G) f~i =
inv
projH ⊗n (G) f~j =
inv
1 X
Uπ (f~i ),
#G π∈G
1 X
Uπ0 (f~j ).
#G π0 ∈G
Ponieważ zachodzi (4.20), więc składniki w powyższych wzorach na rzutowanie są parami prostopadłe, co dowodzi ortogonalności przestrzeni
projH ⊗n (G) F~i i projH ⊗n (G) F~j . Oznacza to, że
inv
inv
⊗n
Hinv
(G) =
on
M
projH ⊗n (G) Fi~k .
inv
k=1
Zauważmy, że
F~i ' projH ⊗n (G) F~i ,
inv
U ⊗n |F~i ' U ⊗n |proj
F
H ⊗n (G) ~i
inv
.
Istotnie, izomorfizm spektralny dany jest następująco:
F~i 3 f = 1A~i f 7→
p
#GprojH ⊗n (G) f ∈ projH ⊗n (G) F~i .
inv
inv
33
Sprawdźmy warunek izometryczności. Z lematu 4.14, a następnie z (4.20)
i twierdzenia Pitagorasa oraz z faktu, że Uπ zachowuje miarę σU⊗n mamy:
Z
2
p
Tn
| #GprojH ⊗n (G) f |
inv
Z
=
Tn
dσU⊗n
Z
1 X
Uπ (f )|2 dσU⊗n =
#G π∈G
p
| #G
=
Tn
1 X
1
|Uπ (f )|2 dσU⊗n = #G
#G π∈G
#G
Z
2
|f |
Tn
dσU⊗n
Z
=
Tn
|f |2 dσU⊗n .
Rozpatrywane przyporządkowanie jest w oczywisty sposób „na”, pozostaje
więc sprawdzić ekwiwariantność. Należy pokazać, że dla f ∈ F~i
U ⊗n ◦ projH ⊗n (G) (f ) = projH ⊗n (G) ◦ U ⊗n (f ) .
(4.21)
inv
inv
Jednak z lematu 4.8 powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego elementu f ∈ H ⊗n , zatem w szczególności zachodzi ona dla f ∈ F~i . Stąd
⊗n
Hinv
(G) '
on
M
Fi~k .
k=1
Ponadto dla dowolnych i, j ∈ Ik zachodzi U ⊗n |F~i ' U ⊗n |F~j (izomorfizm
zadany jest przez Uπ dla odpowiedniego π ∈ S(n)). Zatem
⊗n
Hinv
(G) '
on
M
F(1,...,n) .
k=1
Aby zakończyć dowód twierdzenia, wystarczy pokazać, że przestrzenie F~i są
przestrzeniami cyklicznymi. Istotnie. Ponieważ operatory U ⊗n |proj ⊗n F~i
H
U ⊗n |F~i
inv
(G)
i
są spektralnie izomorficzne dla dowolnej podgrupy grupy S(n),
więc w szczególności otrzymujemy izomorfizm między U n i U ⊗n |F~i .
Zauważmy ponadto, że ze względu na warunek ekwiwariantności operator
wyznaczający izomorfizm przenosi podprzestrzenie cykliczne na podprzestrzenie cykliczne. Ponieważ zaś operator H n ma proste widmo, więc
przestrzeń H n , a tym samym przestrzeń F~i , jest przestrzenią cykliczną.
Jej generatorem jest funkcja 1A~i .
Bardziej złożona sytuacja to przypadek miary ciągłej z jednym atomem
w jedynce. Udowodnimy dla takich miar twierdzenie analogiczne do poprzedniego. Nieco inny dowód można znaleźć w [2].
Niech więc teraz σU = σ + δ1 , gdzie σ jest miarą bezatomową. Załóżmy
ponadto, że przestrzeń wektorów U -niezmienniczych jest jednowymiarowa.
Twierdzenie 4.16. Niech n 2. Załóżmy, że U ⊗n |(H n )0 ma proste widmo,
gdzie (H n )0 = H n Cx⊗n
0 . Wówczas
MU ⊗n |
(H ⊗n (G))0
inv
(T) = {ok ; k = 1, . . . , n}
⊗n
⊗n
σ + σ ∗2 + . . . + σ ∗n − p.w., gdzie (Hinv
(G))0 = Hinv
(G) Cxn
0
34
Dowód. Weźmy x0 ∈ H taki, że kx0 k = 1 oraz U x0 = x0 . Taki element
istnieje, gdyż miara δ1 jest absolutnie ciągła względem maksymalnego typu
spektralnego operatora U . Oznaczmy przez H0 uzupełnienie ortogonalne
podprzestrzeni Cx0 : H = H0 ⊕ Cx0 . Wówczas H n = (H0 ⊕ Cx0 )n . Przy
L
oznaczeniu Cx0 = H1 mamy więc dalej H n = nk=0 H0k ⊗ H1n−k . Zatem
(H n )0 =
n
M
H0k ⊗ H1n−k .
k=1
Ponieważ na (H n )0 widmo jest proste, to musi być ono proste również na
podprzestrzeniach H0k ⊗H1n−k oraz maksymalne typy spektralne tych podprzestrzeni muszą być wzajemnie singularne: σ ∗k ⊥ σ ∗l dla k 6= l. W szczególności, możemy zakładać, że H = L2 (T, σU ) oraz U f (z) = zf (z). Przy tej
reprezentacji H0 = 1T\{1} L2 (T, σU ), H1 = 1{1} L2 (T, σU ). Istotnie, H0 i H1 ,
jako domknięte podprzestrzenie niezmiennicze, są z lematu Wienera postaci
1Bi L2 (T, σU ), i = 0, 1, a ich maksymalne typy spektralne to σU |B , i = 1, 2.
i
Stąd B0 = T \ {1}, B1 = {1}.
Tak jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, będziemy wykorzystywać
porządek na T pochodzący z przyporządkowania liczbom zespolonym ich
argumentów głównych. Ustalmy 1 ¬ k ¬ n. Niech
Ai~k = {(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ; zik,1 < . . . < zik,k ; zj = 1, j 6= ik,l }
oraz
Fi~k = 1Ai~ L2 (Tn , σU⊗n ),
k
gdzie i~k ∈ Ik . Zbiory Ai~k są parami rozłączne, a więc dla i~k =
6 j~k mamy
Fi~k ⊥ Fj~k . Niech
Bi1 ,i2 = {(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ;
∃I⊂{1,...,n} #I = n − k, ∃i1 ,i1 ∈{1,...,n} i1 6= i2 ; i1 , i2 ∈
/ I; zi1 = zi2 ,
zi = 1 dla i ∈ I, zi 6= 1 dla i ∈
/ I}
oraz
[
B=
Bi1 ,i2 .
1¬i1 <i2 ¬n
Wówczas z twierdzenia Fubiniego
σU⊗n (Bi1 ,i2 ) = σU⊗n (Bn−1,n ) =
!
=
n − 2 ⊗n
σ ({(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ;
n−k U
z1 = · · · = zn−k = 1, zn−k+1 , . . . , zn−2 < 1, zn−1 = zn < 1}) =
!
=
n−2
σU ({1})n−k σU (T \ {1})k−2 σU ⊗ σU ({(z1 , z2 ) ∈ T2 ; z1 = z2 < 1}).
n−k
35
Z ciągłości miary σU |T\{1} = σ mamy dalej
σU ⊗ σU ({(z1 , z2 ) ∈ T2 ; z1 = z2 < 1}) = 0.
Stąd również σU⊗n (Bi1 ,i2 ) = 0 oraz
σU⊗n (B) = 0.
Zatem
{(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ; ∃I⊂{1,...,n} #I = n − k,
[
zi = 1 dla i ∈ I, zi < 1 dla i ∈
/ I} = B ∪
Ai~k . (4.22)
i~k ∈Ik
Pokażemy, że
M
qi ∈{0,1},
P
M
Hq1 ⊗ . . . ⊗ Hqn '
Fi~k .
(4.23)
~i∈Ik
qi =n−k
Korzystając kolejno z identyfikacji ze stwierdzenia 2.5 (uogólnionego na
większą liczbę przestrzeni) dla przestrzeni Hq1 , . . . , Hqn oraz faktu, że zbiory Bq1 × · · · × Bqn są rozłączne dla różnych wyborów (q1 , . . . , qn ) ∈ {0, 1}n
mamy
M
qi ∈{0,1},
Hq1 ⊗ · · · ⊗ Hqn '
Pn
q =n−k
i=1 i
L2 (Tn ; σU⊗n |Bq1 ×···×Bqn ) =
M
'
qi ∈{0,1},
Pn
q =n−k
i=1 i
= L2 (Tn ; σUn |S
Pn
qi ∈{0,1},
q =n−k
i=1 i
Bq1 ×···×Bqn ).
Z drugiej strony
M
Fi~k ' L2 (Tn ; σU⊗n |∪i~ ∈I
k
~i∈Ik
k
Ai~
).
k
Z równości (4.22) otrzymujemy zatem, że (4.23) zachodzi. Przy tej sa⊗n
mej identyfikacji podprzestrzeń Hinv
(G) utożsamiamy z przestrzenią funkcji
f ∈ L2 (Tn , σU⊗n ) takich, że
f (x1 , . . . , xn ) = f (xπ(1),...,π(n) ) dla dowolnej permutacji π ∈ G.
Po tym utożsamieniu będziemy ją nadal oznaczać tym samym symbolem
⊗n
Hinv
(G). Zauważmy, że jeśli przez W oznaczymy operator unitarny ze stwierdzenia 2.5 (uogólnionego na większą ilość przestrzeni) wyznaczający izomorfizm między przestrzeniami H ⊗n oraz L2 (Tn , σU⊗n ) oraz jego obcięcie do
odpowiednich podprzestrzeni, to otrzymamy równość
projH ⊗n (G) ◦ W = W ◦ projH ⊗n (G) .
inv
inv
36
Mamy więc
⊗n
Hinv
(G) = projH ⊗n (G) H ⊗n = projH ⊗n (G) (H0 ⊕ Cx0 )⊗n =
 inv
n
M
= projH ⊗n (G) 
inv
inv

M
k=0 qi ∈{0,1},
Hq1 ⊗ . . . ⊗ Hqn  '

P
qi

' projH ⊗n (G) 
inv
=n−k
n M
M

Fi~k  .
k=0 i~k ∈Ik
Ponadto dla k 1, i~k ∈ Ik mamy H1⊗n ⊥ Fi~k oraz (ze względu na lemat 4.14)
⊗n
H1⊗n ⊥ projH ⊗n (G) Fi~k . Zauważmy również, że H1⊗n ⊂ Hinv
(G), więc
inv
projH ⊗n (G) H1⊗n = H1⊗n . Ponieważ dla dowolnego π ∈ S(n) Fπ(i~k ) ⊥ H1⊗n ,
inv
więc
⊗n
(G))0 ' projH ⊗n (G) (
(Hinv
inv
n M
M
Fi~k ).
(4.24)
k=1 ~i∈Ik
Dla k 6= l oraz i~k ∈ Ik , ~il ∈ Il z lematu 4.14 otrzymujemy, że
!
projH ⊗n (G) Fi~k =
1 X
Uπ Fi~k ,
#G π∈G
projH ⊗n (G) Fi~l =
1 X
Uπ Fi~l .
#G π∈G
inv
!
inv
Ponieważ dla dowolnych π, π 0 ∈ G mamy π(i~k ) ∈ Ik , π 0 (~il ) ∈ Il , więc składniki w powyższych sumach są parami prostopadłe. Zatem z (4.24) otrzymujemy, że
⊗n
(G))0 '
(Hinv
n
M
k=1
projH ⊗n (G) (
inv
M
Fi~k ).
(4.25)
i~k ∈Ik
Postępujemy podobnie, jak w dowodzie twierdzenia 4.15. Są dwie możliwości: albo i~k ≡ j~k , albo i~k 6≡ j~k . Jeśli i~k ≡ j~k , to i~k = τ (j~k ) dla pewnego
τ ∈ G, więc
projH ⊗n (G) F~i = projH ⊗n (G) F~j .
inv
inv
Jeśli zaś i~k 6≡ j~k , to dla dowolnych π, π 0 ∈ G mamy π(i~k ) 6= π 0 (j~k ), więc
Fπ(i~k ) ⊥ Fπ0 (j~k ) . Zatem, tak jak wcześniej, składniki po podstawieniu do
wzoru na rzutowanie z lematu 4.14 są parami prostopadłe, skąd
projH ⊗n (G) Fi~k ⊥ projH ⊗n (G) Fj~k .
inv
inv
37
Zatem z (4.25) otrzymujemy, że
⊗n
(Hinv
(G))0 '
ok
n M
M
projH ⊗n (G) Fi~l .
inv
k=1 lk =1
(4.26)
k
Identycznie, jak w dowodzie twierdzenia 4.15 mamy
U ⊗n |Fi~ ' U ⊗n |proj
F
H ⊗n (G) i~k
inv
k
.
Stąd z (4.26) otrzymujemy, że
⊗n
(Hinv
(G))0
=
ok
n M
M
Fi~l .
(4.27)
k
k=1 lk =1
Ponadto dla i~k , j~k ∈ Ik
U ⊗n |Fi~ ' U ⊗n |Fj~ .
k
k
Izomorfizm zadany jest przez Uπ dla odpowiedniego π ∈ S(n). Zatem z (4.27)
⊗n
(Hinv
(G))0 '
ok
n M
M
Fi~k .
k=1 lk =1
Przestrzenie Fi~k są przestrzeniami cyklicznymi (generatorami są funkcje
1Ai~ ) oraz, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 4.15, mamy
k
(n−k)
U ⊗n |Fi~ ' U ⊗n |H0k ⊗ H1
.
k
Maksymalny typ spektralny na podprzestrzeniach Fi~k jest więc równy σ ∗k ,
a zatem dowód twierdzenia jest zakończony.
Zauważmy, że operator Fsym (U ) ma proste widmo wtedy i tylko wtedy,
gdy zachodzą następujące dwa warunki:
1. Widmo operatora U k : H k → H k jest proste dla k 1.
2. Maksymalne typy spektralne operatorów U k (k 1) są parami rozłączne: σU∗k ⊥ σU∗l dla k 6= l.
W dalszym ciągu pracy wskażemy pewne zależności między nimi.
Lemat 4.17. Załóżmy, że operatory Vσk oraz Vσ2k mają proste widmo.
(2k)!
Wówczas operator (Vσ∗k )⊗2 ma widmo jednorodne krotności
z maksy(k!)2
malnym typem spektralnym σ ∗2k .
38
Dowód. Z twierdzenia 4.1 maksymalny typ spektralny operatora
(Vσ∗k )⊗2 jest równy σ ∗k ∗ σ ∗k = σ ∗2k . Obliczymy teraz jego funkcję krotności spektralnej. Ponieważ operator Vσk ma proste widmo i jego typ spektralny jest równy σ ∗k , więc Vσ∗k ' Vσk . Zatem (Vσ∗k )⊗2 ' (Vσk )⊗2 =
(Vσ⊗k )⊗2 |(H k )⊗2 , gdzie H = L2 (T, σ). Pokażemy, że
⊗2k
(H k )⊗2 = Hinv
(G),
(4.28)
gdzie grupa G jest zdefiniowana w następujący sposób:
G = {π ∈ S(2k); ∃σ,σ0 ∈S(k)
(π(1), . . . , π(2k)) = (σ(1), . . . , σ(k), k + σ 0 (1), . . . , k + σ 0 (k))}.
Istotnie, weźmy x1 ⊗ · · · ⊗ x2k ∈ H ⊗2k . Wtedy x1 ⊗· · ·⊗xk , xk+1 ⊗· · ·⊗x2k ∈
H ⊗k , więc
X
π∈S(k)
X
xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k) ,
xk+π0 (1) ⊗ · · · ⊗ xk+π0 (k) ∈ H k .
π 0 ∈S(k)
Zatem

 
X

X
xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k) ⊗

xk+π0 (1) ⊗ · · · ⊗ xk+π0 (k)  ∈ (H k )⊗2 .
π 0 ∈S(k)
π∈S(k)
Co więcej, elementy powyższej postaci generują (H k )⊗2 . Z lematu 4.14
projH ⊗2k (G) (x1 ⊗ · · · ⊗ x2k ) =
inv




X
1  X
=
xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k)  ⊗ 
xk+π0 (1) ⊗ · · · ⊗ xk+π0 (k)  .
#G π∈S(k)
π 0 ∈S(k)
Zatem (4.28) zachodzi. Aby otrzymać element π grupy G musimy wybrać
dwie (niekoniecznie różne) permutacje zbioru k-elementowego. Takich permutacji jest k!, mamy więc (k!)2 wyborów. Stąd wynika, że #G = (k!)2 .
Zatem, korzystając z własności 7 lematu 4.12 otrzymujemy
o2k =
(2k)!
(2k)!
=
.
#G
(k!)2
Z twierdzenia 4.15 wynika teza.
Lemat 4.18. Załóżmy, że µ1 , . . . , µn są miarami bezatomowymi na T. Wówczas
µ1 ⊗ · · · ⊗ µn ({(z1 , . . . , zn ) ∈ Tn ; z1ε1 · · · · · znεn = c}) = 0,
gdzie εi ∈ {−1, 0, 1} (1 ¬ i ¬ n),
Pn
2
i=1 εi
6= 0 oraz c ∈ T.
(4.29)
39
Dowód. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na n. Równość (4.29) zachodzi, gdy n = 1, gdyż rozpatrywany zbiór jest wówczas
postaci {z ∈ T; z = c} = {c}, zatem jako zbiór jednopunktowy jest miary zero dla dowolnej miary ciągłej. Załóżmy teraz, że (4.29) zachodzi dla
n = k. Pokażemy, że zachodzi również dla n = k + 1. Zauważmy, że bez
utraty ogólności możemy zakładać, że εi 6= 0 dla 1 ¬ i ¬ k oraz εk+1 = 1.
Istotnie, jeśli dla pewnego 1 ¬ i ¬ k, εi = 0, to wystarczy pominąć miarę µi
i rozpatrywać jedynie miary µ1 . . . , µi−1 , µi+1 , . . . , µn . Weźmy teraz dezintegrację miary µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1 zadaną przez rozbicie Tk+1 na zbiory postaci
T×k × {z0 }. Ponieważ miary warunkowe są skupione na atomach rozbicia
(patrz twierdzenie 3.3), mamy więc
µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1 =
Z
µ1 ⊗ · · · ⊗ µk ⊗ δz dµk+1 (z).
(4.30)
T
Zauważmy, że przy ustalonym z ∈ T z założenia indukcyjnego otrzymujemy,
że
(µ1 ⊗ · · · ⊗ µk ⊗ δz )({(z1 , . . . , zk+1 ) ∈ Tk+1 ; z1ε1 · · · · · zkεk · zk+1 = c}) =
c
= µ1 ⊗ · · · ⊗ µk ({(z1 , . . . , zk ) ∈ Tk ; z1ε1 · · · · · · · zkεk = }) = 0.
z
Ze względu na wzór (4.30),
µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1 ({(z1 , . . . , zk+1 ) ∈ Tk+1 ; z1ε1 · · · · · zkεk · zk+1 = c}) = 0
(funkcja podcałkowa jest tożsamościowo równa zero). Teza indukcyjna
została wykazana, co kończy dowód.
Poniższe twierdzenie to nieopublikowany rezultat F. Parreau i E. Roy.
Twierdzenie 4.19. Jeśli σ jest miarą ciągłą oraz operator Vσ Vσ ma
proste widmo, to
σ ⊥ σ1 ∗ σ2
dla dowolnych miar ciągłych σ1 , σ2 . W szczególności, σ ⊥ σ ∗k dla k 2.
Uogólnimy teraz ten wynik.
Twierdzenie 4.20. Jeśli operatory Vσk oraz Vσ2k mają proste widmo oraz
σ jest miarą ciągłą, to wówczas
σ ∗k ⊥ σ1 ∗ · · · ∗ σn
dla n > log2
(2k)!
(k!)2
oraz dowolnych miar ciągłych σ1 , . . . , σn .
40
Dowód. Dla uproszczenia notacji i zwiększenia przejrzystości, dowód
przeprowadzimy w przypadku k = 2. Uogólnia się on bezpośrednio na przypadek dowolnej liczby naturalnej k. Przypuśćmy, że dla pewnych miar ciągłych σ1 , σ2 , σ3 mamy
σ ∗ σ 6⊥ σ1 ∗ σ2 ∗ σ3 .
(4.31)
Rozpatrzmy dezintegrację miary (σ ∗ σ) ⊗ (σ ∗ σ) nad σ ∗4 :
(σ ∗ σ) ⊗ (σ ∗ σ) =
Z
µz dσ ∗4 .
T
Wówczas z lematu 4.17 oraz twierdzenia 4.4, miary warunkowe µz są mia4!
2
rami czysto atomowymi i mają po 6 = (2!)
2 atomów. Niech N ⊂ T będzie
dopełnieniem zbioru atomów miar warunkowych z powyższego rozkładu.
Wówczas
(σ ∗ σ) ⊗ (σ ∗ σ)(N ) = 0,
(4.32)
gdyż na każdym włóknie z dezintegracji mamy zbiór odpowiedniej miary
warunkowej zero. Niech
M = {(z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) ∈ T6 ; z1 = z2 ∨ w1 = w2 ∨ v1 = v2 ∨
∨ z1 w1 = z2 w2 ∨ z1 v1 = z2 v2 ∨ w1 v1 = w2 v2 ∨
∨ z1 w2 = z2 w1 ∨ z1 v2 = z2 v1 ∨ w1 v2 = w2 v1 }.
Ze względu na lemat 4.18,
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 ) ⊗ (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )(M ) = 0.
(4.33)
Aby otrzymać sprzeczność, wskażemy 8 = 23 różnych punktów ze zbioru
T2 \ N o takim samym iloczynie współrzędnych. Tak nie może być, gdyż ze
względu na liczbę atomów miar warunkowych w rozpatrywanej dezintegracji,
takich punktów nie może być więcej, niż sześć. Ponieważ założyliśmy (4.31),
więc istnieje zbiór A ⊂ T, σ1 ∗ σ2 ∗ σ3 (A) > 0 taki, że
σ1 ∗ σ2 ∗ σ3 |A σ ∗ σ.
(4.34)
Zatem ze względu na (4.32) oraz (4.34) mamy
(σ1 ∗ σ2 ∗ σ3 ) ⊗ (σ1 ∗ σ2 ∗ σ3 )(A × A ∩ N ) = 0,
skąd
e ) = 0,
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Ae × Ae ∩ N
(4.35)
−1
3
e
gdzie Ae = s−1
3 (A), N = (s3 × s3 ) (N ), a s3 : T → T jest funkcją zdefiniowaną wzorem s3 (z1 , z2 , z3 ) = z1 z2 z3 .
Ustalmy teraz ε > 0. Możemy znaleźć zbiory borelowskie B1 , B2 , B3 ∈
B(T) takie, że σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 × B2 × B3 ) > 0 oraz „kostka” B1 × B2 × B3
e a precyzyjniej mówiąc
jest niemal zawarta w A,
e < εσ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 × B2 × B3 ).
σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 × B2 × B3 \ A)
41
Dla z ∈ T połóżmy Aez = {(w, v) ∈ T; (z, w, v) ∈ A}. Na mocy twierdzenia Fubiniego, bez utraty ogólności (ewentualnie pomniejszając zbiór B1 ),
możemy założyć, że
σ2 ⊗ σ3 (B2 × B3 \ Aez ) < εσ2 ⊗ σ3 (B2 × B3 )
dla wszystkich z ∈ B1 . Zatem dla z1 , z2 ∈ B1 mamy
σ2 ⊗ σ3 (Aez1 ∩ Aez2 ∩ B2 × B3 ) > (1 − 2ε)σ2 ⊗ σ3 (B2 × B3 ).
(4.36)
Niech przekształcenia P1 , P2 , P3 : T6 → T6 będą określone następująco:
P1 : (z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) 7−→ (z2 , w1 , v1 , z1 , w2 , v2 ),
P2 : (z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) 7−→ (z1 , w2 , v1 , z2 , w1 , v2 ),
P3 : (z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) 7−→ (z1 , w1 , v2 , z2 , w2 , v1 ).
Oznaczmy przez Z1 , Z2 następujące zbiory:
Z1 = {(z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 , ) ∈ T6 ;
z1 , z2 ∈ B1 , (w1 , v1 ), (w2 , v2 ) ∈ Aez1 ∩ Aez2 } ∩ (B1 × B2 × B3 )×2 },
Z2 = {(z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 , ) ∈ T6 ;
z1 , z2 ∈ B1 , (w2 , v1 ), (w2 , v1 ) ∈ Aez1 ∩ Aez2 } ∩ (B1 × B2 × B3 )×2 }.
Ponieważ przekształcenie P2 zachowuje miarę produktową (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2
oraz Z2 = P2 (Z1 ), więc
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z1 ) = (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z2 ) .
Korzystając z (4.36) oszacujemy teraz miarę zbiorów Z1 i Z2 :
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z1 ) = (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z2 ) =
Z
Z
=
B1
B1
σ2 ⊗ σ3 Aez1 ∩ Aez2 ∩ B2 × B3
2
dσ1 dσ1
((1 − 2ε) (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 ) (B1 × B2 × B3 ))2 . (4.37)
42
Stąd, korzystając z faktu, że Z1 , Z2 ⊂ B1 × B2 × B3 × B1 × B2 × B3 oraz z
(4.37) mamy
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z1 ∩ Z2 ) =
= (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 +
− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 \ Z1 ∩ Z2
(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 +
− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 \ Z1 +
− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 \ Z2 =
= (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 +
− 2 (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 +
+ (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z1 ) + (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z2 )
− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (B1 × B2 × B3 )×2 +
+ 2 (1 − 2ε)2 (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 × B2 × B3 ))2 =
= (2(1 − 2ε)2 − 1) (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 × B2 × B3 ))2 .
Zatem dla ε > 0 dostatecznie małych (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 )⊗2 (Z1 ∩ Z2 ) > 0. Zauważmy, że ze względu na definicję odwzorowań P1 , P2 , P3 zachodzi inkluzja
e × A).
e
e × A)
e ∩ P −1 (A
e ∩ P −1 (A
Z1 ∩ Z2 ⊂ Ae × Ae ∩ P1−1 (Ae × A)
3
2
Stąd dla małych ε również miara zbioru
e × A)
e
e × A)
e ∩ P −1 (A
e ∩ P −1 (A
Ae × Ae ∩ P1−1 (Ae × A)
3
2
jest dodatnia. Zatem (korzystając z (4.33), (4.35) oraz faktu, że
odwzorowania P1 , P2 , P3 zachowują miarę produktową) istnieje punkt
(z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) ∈ T6 taki, że
e \M \N
e,
(z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 ) ∈ (Ae × A)
e \M \N
e,
P1 ((z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 )) = (z2 , w1 , v1 , z1 , w2 , v2 ) ∈ (Ae × A)
e \M \N
e,
e \M \N
e.
Stąd
(s3 × s3 )((z1 , w1 , v1 , z2 , w2 , v2 )) = (z1 w1 v1 , z2 w2 v2 ) ∈ (A × A) \ N,
(s3 × s3 )((z1 , w1 , v2 , z2 , w2 , v1 )) = (z1 w1 v2 , z2 w2 v1 ) ∈ (A × A) \ N
43
oraz (dzięki symetryczności zbioru N )
(z2 w2 v2 , z1 w1 v1 ) ∈ (A × A) \ N,
(z1 w2 v2 , z2 w1 v1 ) ∈ (A × A) \ N,
(z2 w1 v2 , z1 w2 v1 ) ∈ (A × A) \ N,
(z2 w2 v1 , z1 w1 v2 ) ∈ (A × A) \ N.
Ponadto z definicji zbioru M punkty te są parami różne. To kończy dowód. Wniosek 4.21. Jeśli σ jest miarą bezatomową, a operator Vσk ma proste
widmo dla dowolnego k 1, to
σ ∗m ⊥ σ ∗n dla m, n ∈ N takich, że n > log2
(2m)!
.
(m!)2
W szczególności,
σ ⊥ σ ∗k dla k 2 oraz σ ∗ σ ⊥ σ ∗k dla k 3.
Dowód. Wystarczy skorzystać z poprzedniego twierdzenia dla
σ1 = · · · = σn = σ.
Bibliografia
[1] L. M. Abramow, W. A. Rochlin, Entropija kosogo proizwiedienija prieobrazowanij s inwariantnoj mieroj, Westnik Leningradskogo Uniwersitieta 7, s. 5-17, 1962.
[2] O. Ageev, Mixing with staircase multiplicity function, Elsevier Science, 2005; [online], pobrano 13.05.2008 z lokalizacji
ftp://ftp.esi.ac.at/pub/Preprints/esi1660.pdf (preprint).
[3] Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Warszawa: SCRIPT, 2002.
[4] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, Warszawa: PWN, 1987.
[5] R. F. Blute, F. Panangaden, R. A. G. Seely, Fock Space: A Model
of Linear Exponential Types; [online], pobrano 27.05.2008 z lokalizacji http://www.cs.mcgill.ca/∼prakash/Pubs/fock.ps
[6] M. Einsiedler, T. Ward, Ergodic Theory: with a view towards Number Theory; [online], pobrano 10.05.2008 z lokalizacji
http://www.mth.uea.ac.uk/ergodic/
[7] S. W. Fomin, I. P. Kornfeld, J. G. Sinaj, Teoria ergodyczna, Warszawa:
PWN, 1987.
[8] S. Hage, Der Satz von Seifert-van Kampen - Gruppoide, Pushouts und
der Satz von Brown, 2004; [online], pobrano 2.06.2008 z lokalizacji
http://www.uni-math.gwdg.de/schick/teach/KnotenSeminar/seifertvankampen.pdf
[9] A. B. Katok, M. Lemańczyk, Realization of some subsets as essential
values of the multiplicity function, 2007 (preprint).
[10] J. Kwiatkowski, Funkcja krotności spektralnej układów Gaussa, UMK
Toruń, 1995 (praca magisterska).
[11] M. Lemańczyk, Teoria rozłączności układów dynamicznych, UMK Toruń, 2006/2007 (wykład monograficzny).
45
46
Bibliografia
[12] J. Neveu, Processus aléatoires gaussiens, Les Presses de l’Universite de
Montreal, 1968.
[13] W. Parry, Topics in ergodic theory, Cambridge Univ. Press, 1981.
[14] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics,
Vol. I: Functional Analysis, Academic Press, 1972.
[15] E. Roy, Mesures de Poisson, infinie divisibilité et propriétés ergodiques,
Université Paris 6, 2005 (rozprawa doktorska).
Lista symboli
N
zbiór liczb naturalnych
Z
zbiór liczb całkowitych
R
zbiór liczb rzeczywistych
C
zbiór liczb zespolonych
T
zbiór liczb zespolonych o module 1
σν
miara σ jest absolutnie ciągłą względem miary ν
σ≡ν
miary σ i ν są równoważne
σ⊥ν
miary σ i ν są wzajemnie singularne
σ∗ν
splot miar σ i ν
σ ∗n
splot n kopii miary σ
b [n]
σ
n-ty współczynnik Fouriera miary σ
s∗ (µ)
obraz miary µ poprzez odwzorowanie s
E(f |A)
warunkowa wartość oczekiwana funkcji f : (X, B, µ) → C
S(n)
grupa permutacji zbioru {1 . . . n}
Gx
stabilizator elementu x
Gx
orbita elementu x
Arg(z)
argument główny liczby zespolonej z
arg(z)
argument liczby zespolonej z
h·, ·i
iloczyn skalarny
L2 (T, µ)
przestrzeń funkcji zespolonych na T o całkowalnym kwadracie modułu
47
48
Lista symboli
L1 (T, µ)
przestrzeń zespolonych funkcji całkowalnych na T
χA
funkcja charakterystyczna zbioru A
H1 ⊕ H2
suma prosta przestrzeni Hilberta H1 i H2
⊕∞
i=1 Hi
suma prosta przestrzeni Hilberta H1 , H2 , . . .
H⊥
dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni H w całej przestrzeni Hilberta
projH
projekcja ortogonalna na podprzestrzeń H
V∗
operator sprzężony do operatora V
Lin(E, F )
przestrzeń liniowa odwzorowań liniowych E w F
Lin2 (E1 × E2 , F ) przestrzeń liniowa odwzorowań dwuliniowych E1 × E2
wF
CX
przestrzeń funkcji zespolonych na X
E1 ⊗ E2
(algebraiczny) iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
E1 i E2
H1 ⊗ H2
iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta H1 i H2
H ⊗n
iloczyn tensorowy n kopii przestrzeni Hilberta H
H n
symetryczny iloczyn tensorowy n kopii przestrzeni Hilberta H
x1 ⊗ x2
iloczyn tensorowy elementów x1 i x2
U1 ⊗ U2
iloczyn tensorowy operatorów unitarnych U1 i U2
U ⊗n
iloczyn tensorowy n kopii operatora unitarnego U
U n
ograniczenie operatora U ⊗n do przestrzeni H n
F (H)
przestrzeń Focka
Fsym (H)
symetryczna przestrzeń Focka
F (U )
naturalne rozszerzenie operatora U na przestrzeni H do
przestrzeni Focka F (H)
Fsym (U )
ograniczenie operatora F (U ) do przestrzeni Fsym (H)
Skorowidz
standardowa borelowska probabilistyczna, 12
baza ortonormalna, 6
ciąg dodatnio określony, 1
rozkład spektralny, 2
dezintegracja miary, 13
działanie grupy, 14
stabilizator, 14
funkcja krotności spektralnej, 2
twierdzenie
Herglotz, 1
grupa permutacji, 8
warunkowa wartość oczekiwana, 11
widmo
jednorodne, 3
proste, 3
izomorfizm spektralny, 2
lemat
Cauchy-Frobenius-Burnside, 14
Lebesgue, 16
Wiener, 3
liczba Lebesgue’a, 16
maksymalny typ spektralny, 2
miara
spektralna, 2
warunkowa, 12
operator mnożenia przez zmienną
niezależną, 3
operator unitarny, 1
orbita, 14
produkt tensorowy
operatorów unitarnych, 7
przestrzeni Hilberta, 6
przestrzeni liniowych, 5
projekcja, 8
przestrzeń
cykliczna, 2
Focka, 7
symetryczna, 9
49

Własności spektralne operatorów unitarnych na

Transkrypt

Podobne dokumenty

Odpowiedzi - i lo tczew

Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2

Teoria miary i ca lki WPPT semestr zimowy 2011/12 LISTA 6 3/11/11

Narz ę dzia pomiarowe pomiarowe pomiarowe

abstrakt

Państwowy wzorzec jednostki miary napięcia elektrycznego stałego

1. Olej sojowy l 10 2. Olej słonecznikowy l 80 3. Olej

Pobierz w pdf - CzytajZaFREE.pl

pożyczka zabezpieczona pojazdem