Rozdział 11

podprzestrzenią przestrzeni V mamy następujące implikacje:
x0 ∈ W
⇒ x0 = IV (x0 ) ∈ W
⇒ T (x0 ) ∈ W (bo W jest T -niezmienniczą podprzestrzenią)
⇒ T 2 (x0 ) = T (T (x0 )) ∈ W (bo T (x0 ) ∈ W i W jest T -niezmienniczą podprzestrzenią)
..
.
⇒ T k (x0 ) = T (T k−1 (x0 )) ∈ W (bo T k−1 (x0 ) ∈ W i W jest T -niezmienniczą podprzestrzenią)
..
.
⇒ a0 IV (x0 ) + a1 T (x0 ) + . . . + an T n (x0 ) ∈ W (bo W jest podprzestrzenią)
⇒ ϕ(T )(x0 ) ∈ W
⇒ W jest podprzestrzenią ϕ(T )-niezmienniczą.
Ćw. 10.9.26. Operat liniowy T jest operatorem otogonalnym, gdy (T (x)|T (y)) = (x|y) dla dowolnych wektorów x i y. Niech teraz liczba rzeczywista λ będzie wartością własną operatora T i niech x0 będzie wektorem
własnym operatora T odpowiadajacym wartości własnej λ. Teraz zauważmy, że mamy
(x0 |x0 ) = (T (x0 )|T (x0 )) = (λx0 |λx0 ) = λ2 (x0 |x0 ).
Stąd λ2 = 1 i dlatego λ = 1 lub λ = −1.

 1
− 21 − √12
2


Ćw. 10.9.27. Macierz  21 − 21 − √12  nie jest ortogonalna (bo pierwsza i trzecia (druga i trzecia) kolumny
1
1
√
√
0
2
2
nie
 1są ortogonalne).
 Wartościami własnymi tej macierzy są λ1 = 0, λ2 = j i λ3 = −j. Jednakrze macierz
1
√1
−
2
2
 1 − 1 − √21 
jest już ortogonalna (bo każde dwie kolumny są wzajemnie ortogonalne i długości 1), a jej
 2
2
2 
√1
√1
0
2
2
√
√
wartościami własnymi są liczby λ1 = 1, λ2 = − 12 − 23 j i λ3 = − 12 + 23 j.


0 a −b
Ćw. 10.9.28. Macierz A =  −a 0 c  nie jest ortogonalna, bo det A = 0 (a wyznacznik macierzy orb −c 0
√
togonalnej
jest równa 1 lub -1). Wartościami własnymi tej macierzy są λ1 = 0, λ2 = j a2 + b2 + c2 i λ3 =
√
−j a2 + b2 + c2 . Przestrzenią zerową macierzy A jest podprzestrzeń generowana przez wektor (c/a, b/a, 1).
Ćw. 10.9.29. Niech v1 i v2 będą wektorami własnymi operatora samosprzonego T , odpowiadającymi wartościom własnym λ1 i λ2 . Ponieważ (T (u)|v) = (u|T (v)) dla dowolnych wektorów u, v ∈ V , więc w szczególności
(T (vi )|vi ) = (vi |T (vi )) i dlatego λi (vi |vi ) = (λi vi |vi ) = (T (vi )|vi ) = (vi |T (vi )) = (vi |λi vi ) = λi (vi |vi ).
Stąd λi = λi i to dowodzi, że λi ∈ R. Załóżmy teraz, że λ1 6= λ2 . Ponieważ (T (v1 )|v2 ) = (v1 |T (v2 )), więc
mamy równości λ1 (v1 )|v2 ) = (λ1 v1 )|v2 ) = (T (v1 )|v2 ) = (v1 |T (v2 )) = (v1 |λ2 v2 ) = λ2 (v1 |v2 ). Stąd wynika, że
(λ1 − λ2 )(v1 |v2 ) = 0, a ponieważ λ1 − λ2 6= 0, więc (v1 |v2 ) = 0, co oznacza, że v1 i v2 są ortogonalne.
Ćw. 10.9.30. 1. Tak; 2. Tak; 3. Tak; 4. Tak; 5. Nie; 6. Tak; 7. Nie; 8. Tak; 9. Nie; 10. Tak; 11. Tak; 12. Tak;
13. Tak; 14. Nie; 15. Tak; 16. Nie; 17. Tak; 18. Tak; 19. Nie; 20. Tak; 21. Tak; 22. Tak.
————————————————————————————————————————————————Rozdział 11
————————————————————————————————————————————————






8 −3 2
0 −2 0
2 −5/2 3
5 −1 0
0 0 ;
Ćw. 11.1.1. 1. A =  −1 3 4 ; 2. A =  −3 7 −6 ; 3. A =  −2 1 1 ; 4. A =  −5/2
3
0 −7
0 4 2
2 −6 −3
0 1 0

115




8 5/2 −2
2 3/2 13/2
1 −1 ; 6. A =  3/2
2
0 .
5. A =  5/2
−2 −1 10
13/2
0
0
3 1
−1 1
2 1
Ćw. 11.2.1. 1. Q = √110
i q = −y12 + 9y22 ; 2. Q = √12
i q = 5y12 + y22 ; 3. Q = √15
1 −3
1 1
1 −2


1 √0 −1
−1 1
1 −2
i q = −y12 y22 ; 5. Q = √15
i q = 2y12 −3y22 ; 6. Q = √12  0 2 0 
i q = 6y12 +y22 ; 4. Q = √12
1 1
2 1
1 0 1


1 1 0
1 −1
i q = 2y12 + 3y22 + 4y32; 7. Q = √12
i q = 4y12 + 16y22; 8. Q = √12  1 −1 √0  i q = −8y12 + 18y22 + 18y32 ;
1 1
0 0 2
√
√
√ 
√
√ 
 √

1/√6 −2/√5 1/√30
2/√6 1/ 5 2/√30
9. Q =  −1/√6
0√
5/√30  i q = −2y12 + 4y22 + 4y32 ; 10. Q =  2/√6 1/ 5 2/√30  i q =
0 −5/ 30
−1/ 6 2/ 5 −1/ 30
1/ 6
√
√
√ 



1/ 2 1/√3 1/√6
1 0 1

7y12 + y22 + y32 ; 11. Q = √12  0 1 0  i q = −2y12 + 6y22 + 6y32 ; 12. Q = 
√0 −1/√3 2/√6
−1 0 1
−1/ 2 1/ 3 1/ 6
 √

0
−1/2 1/2
1/√2
 1/ 2
0√
1/2 −1/2 
 i q = y12 + y22 + y32 − 3y42 .
i q = −2y12 + 3y22 + 6y32 ; 13. Q = 
 0
1/√2 −1/2 −1/2 
0
1/ 2 1/2 1/2
Ćw. 11.2.2. 1. q = x21 + 4x1 x2 + x22 = (x1 + 2x2 )2 − 3x22 = y12 − 3y22 , gdzie y1 = x1 + 2x2 i y2 = x2 ;
2. q = 2x21 + 2x1 x2 + 2x22 = 2(x1 + 12 x2 )2 + 32 x22 = 2y12 + 32 y22 , gdzie y1 = x1 + 12 x2 i y2 = x2 ;
47 2
4
2
2
3. q = x21 − 12x1 x2 − 4x22 = 9(x1 − 49 x2 )2 + 47
9 x2 = 9y1 + 9 y2 , gdzie y1 = x1 − 9 x2 i y2 = x2 ;
2
2
2
2
2
2
4. q = −x1 + 4x1 x2 + x2 = −(x1 − 2x2 ) + 5x2 = −y1 + 5y2 , gdzie y1 = x1 − 2x2 i y2 = x2 ;
5. q = x21 − 12x1 x2 − 4x22 = (x1 − 6x2 )2 − 40x22 = y12 − 40y22 , gdzie y1 = x1 − 6x2 i y2 = x2 ;
6. q = 3x21 + 2x1 x2 + 3x22 = 3(x1 + 31 x2 )2 + 83 x22 = 3y12 + 89 y22 , gdzie y1 = x1 + 13 x2 i y2 = x2 ;
7. q = x21 + 2x1 x3 + 2x22 + x23 = (x1 + x3 )2 + 2x22 = y12 + 2y22 , gdzie y1 = x1 + x3 , y2 = x2 (i y3 = x3 );
8. q = −x21 + 2x1 x2 + 4x2 x3 − 8x23 = −(x1 − x2 )2 + (x2 + 2x3 )2 − 12x23 = −y12 + y22 − 12y32, gdzie y1 = x1 − x2 ,
y2 = x2 + 2x3 , y3 = x3 ;
9. q = x22 − 2x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 − 6x2 x3 = (2x1 + x2 − 3x3 )2 − (2x1 − 4x3 )2 + 5x23 = y12 − y22 + 5y32 , gdzie
y1 = 2x1 + x2 − 3x3 , y2 = 2x1 − 4x3 , y3 = x3 ;
10. q = 2x21 − x22 + 3x23 + 4x1 x2 − 4x1 x3 + 6x2 x3 = 2(x1 + x2 − x3 )2 + (5x2 + x3 )2 − 28x22 = 2y12 + y22 − 28y32 ,
gdzie y1 = x1 + x2 − x3 , y2 = 5x2 + x3 , y3 = x2 .
Ćw. 11.3.1. 1. Forma q = x21 +4x1 x2 +x22 +3x23 = (x1 +2x2 )2 −3x22 +3x23 = y12 −3y22 +3y32 (gdzie y1 = x1 +2x2 ,
y2 = x2 , y3 = x3 ) jest nieokreślona; 2. forma q = x21 − 2x1 x2 + 2x23 = (x1 − x2 )2 − x22 + 2x23 = y12 − y22 + 2y32 (gdzie
y1 = x1 − x2 , y2 = x2 , y3 = x3 ) jest nieokreślona; 3. forma q = x21 − 8x1 x3 + 7x22 = (x1 − 4x3 )2 + 7x22 − 16x23 =
y12 + 7y22 − 16y32 (gdzie y1 = x1 − 4x3 , y2 = x2 , y3 = x3 ) jest nieokreślona; 4. forma q = x21 + 4x1 x2 − x23 =
(x1 + 2x2 )2 − 4x22 − x23 = y12 − 4y22 − y32 (gdzie y1 = x1 + 2x2 , y2 = x2 , y3 = x3 ) jest nieokreślona; 5. jeśli
podstawimy x1 = y1 − y2 i x2 = y1 + y2 , to forma q = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = y12 − y22 + (y1 − y2 )2 y3 + (y1 + y2 )y3 =
(y1 + y3 )2 − y22 − y32 = z12 − z22 − z32 (gdzie z1 = (x1 + x2 + 2x3 )/2, z2 = (x2 − x1 )/2, z3 = x3 ) jest nieokreślona.
Ćw. 11.3.2. 1. q = x1 x2 + x3 x4 = (y1 − y2 )(y1 + y2 ) + y3 y4 = y12 − y22 + y3 y4 = z12 − z22 + (z3 − z4 )(z3 + z4 ) =
z12 − z22 + z32 − z42 (gdzie z1 = (x1 + x2 )/2, z2 = (x2 − x1 )/2, z3 = (x3 + x4 )/2, z4 = (x4 − x3 )/2) i forma q jest
nieokreślona; 2. q = 5x21 + 5x22 + 2x23 + 8x1 x2 + 4x1 x3 + 4x3 x4 = . . . = 5(x1 + 45 x2 + 25 x3 )2 + 95 (x2 − 89 x3 )2 −
2
9 2
2 2
4
2
8
2
2
2
2
9 (x3 − 9x4 ) + 18x4 = 5z1 + 5 z2 − 9 z3 + 18z4 (gdzie z1 = x1 + 5 x2 + 5 x3 , z2 = x2 − 9 x3 , z3 = x3 − 9x4 , z4 = x4 )
2
2
2
2
i forma q jest nieokreślona; 3. q = x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x1 x3 + 2x2 x3 = . . . = (x1 + x3 )2 + (x2 + x3 )2 + x23 + x24 =
z12 + z22 + z32 + z42 (gdzie z1 = x1 + x3 , z2 = x2 + x3 , z3 = x3 , z4 = x4 ) i forma q jest dodatnio określona; 4.
q = 2x21 +5x22 +5x24 +4x1 x2 −4x1 x3 −8x2 x3 = . . . = 2(x1 +x2 −x3 )2 +5x22 −2(x2 +x3 )2 +5x24 = 2z12 +5z22 −2z32 +5z42
(gdzie z2 = x1 + x2 − x3 , z2 = x2 , z3 = x2 + x3 , z4 = x4 ) i forma q jest nieokreślona; 5. q = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 +
x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = . . . = 14 (x1 + x2 + 2x3 + 2x4 )2 − 14 (2x3 + x4 )2 − 41 (x2 − x1 )2 − 34 x24 = 14 z12 − 14 z22 − 14 z32 − 34 z42
(gdzie z1 = x1 + x2 + 2x3 + 2x4 , z2 = 2x3 + x4 , z3 = x2 − x1 , z4 = x4 ) i forma q jest nieokreślona.
116
Ćw. 11.3.3. 1. λ1 = 4, λ2 = 9 i forma q jest dodatnio określona; 2. λ1 = 2, λ2 = 7 i forma q jest dodatnio
określona; 3. λ1 = −1, λ2 = 3 i forma q jest nieokreślona; 4. λ1 = −1, λ2 = 5 i forma q jest nieokreślona; 5.
λ1 = −1, λ2 = 4 i forma q jest nieokreślona.
√
√
Ćw. 11.3.4. 1. λ1 = 4 − 2, λ2 = 4 + 2 i macierz A oraz forma q są dodatnio
określone; 2.
√
√ λ1 = 0, λ2 = 2,
λ3 = 3 i macierz A oraz forma q są dodatnio półokreślone; 3. λ1 = (1 − 41)/2, λ2 = (1 + 41)/2 i macierz
A oraz forma q są nieokreślone; 4. . λ1 = −3, λ2 = −3, λ3 = 0 i macierz A oraz forma q są ujemnie półokreślone.
Ćw. 11.3.5. 1. nieokreślona; 2. nieokreślona; 3. ujemnie określona; 4. nieokreślona; 5. nieokreślona; 6. nieokreślona; 7. ujemnie określona; 8. nieokreślona; 9. nieokreślona; 10. dodatnio półokreślona.
Ćw. 11.3.6. A1 - dodatnio określona; A2 - nieokreślona; A3 - dodatnio określona; A4 - nieokreślona; A5 ujemnie określona; A6 - dodatnio półokreślona; A7 - nieokreślona; A8 - nieokreślona; A9 - ujemnie półokreślona; A10 - dodatnio określona; A11 - dodatnio półokreślona; A12 - nieokreślona.
Ćw. 11.4.1. Jeśli macierz A ∈ Rn×n jest dodatnio określona, to xT Ax > 0 dla każdego x ∈ Rn − {0}.
W szczególności eTi Aei >0, ale eTi Aei = aii , więc aii > 0 dla i = 1, . . . , n.
4 2 0
Ćw. 11.4.2. (a) A =  2 3 −2 ; (b) λ1 = 6, λ2 = 3, λ3 = 0, x1 = (−2, −2, 1), x2 = (2, −1, 2),
0 −2 2
x3 = (−1, 2,2); (c) forma q jest dodatnio

półokreślona (λ1 = 6 ­ 0, λ2 =
 3 ­0, λ3 = 0 ­ 0 i λ1 λ2 λ3= 0);
−2 2 −1
y1
−2 2 −1
x
−2x − 2y + x
(e) Q = 13  −2 −1 2  i y =  y2  = QT x = 13  −2 −1 2   y  = 13  2x − y + 2z ; (d)
1 2 2
y3
1 2 2
z
−x + 2y + 2z
6
3
T
2
2
2
2
2
2
2
q = y Λy = λ1 y1 + λ2 y2 + λ3 y3 = 6y1 + 3y2 + 0y3 = 9 (−2x − 2y + z) + 9 (2z − y + 2z)2 .
Ćw. 11.4.3. Wpiszę, gdy będę miał czas.
Ćw. 11.4.4. Wpiszę, gdy będę miał czas.
Ćw. 11.4.5. Załóżmy, że macierz symetryczna A ∈ Rn×n jest dodatnio (ujemnie) określona. Wtedy xT Ax > 0
(xT Ax < 0) dla każdego niezerowego wektora x. Przypuśćmy teraz, że macierz A jest osobliwa. Wtedy Ax0 = 0
dla pewnego niezerowego wektora x0 . Dla tego wektora jednocześnie mamy xT0 Ax0 = xT0 (Ax0 ) = x0 0 = 0, co
przeczy założeniu, że macierz A jest dodatnio (ujemnie) określona.
Ćw. 11.4.6. (a) Niech x0 będzie wektorem własnym symetrycznej macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ0 . Wtedy x0 jest niezerowy, Ax0 = λ0 x0 i wtedy też xT0 Ax0 = xT0 (Ax0 ) = xT0 (λ0 x0 ) = λ0 (xT0 x0 ) =
λ0 ||x0 ||2 i stąd wynika, że liczby xT0 Ax0 i λ0 mają zgodne znaki (bo liczba ||x0 ||2 jest dodatnia). (b) Wyprowadzić nowy dowód wniosku ?? korzystając z części (a) oraz z twierdzenia ??. To wpiszę, gdy będę miał czas.
Ćw. 11.4.7. Niech x będzie niezerowym wektorem z przestrzeni Rn . Wystarczy teraz wykazać, że xT (AT A)x >
0. Z nieosobliwości macierzy A wynika, że wektor y = Ax jest niezerowy i dlatego mamy xT (AT A)x =
(xT AT )(Ax) = (Ax)T (Ax) = yT y = ||y||2 > 0. (Podobnie wektor AT x jest niezerowy i xT (AAT )x =
(xT A)(AT x) = (AT x)T (AT x) = ||AT x||2 > 0. To dowodzi, macierz AAT jest dodatnio określona.)
Ćw. 11.4.8. Niech λ1 , . . . , λn będą wszystkimi wartościami własnymi macierzy A. Macierz A jest dodatnio
określona wtedy i tylko wtedy, gdy liczby λ1 , . . . , λn są dodatnie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy liczby
1
1
−1
są dodatnie. To
λ1 , . . . , λn są dodatnie, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A
−1
jest równoważne dodatniej określoności macierzy A (zob. szóstą część ćw. 11.4.15).
Ćw. 11.4.9. Niech x będzie wektorem z przestrzeni Rn . Teraz zauważmy, że mamy xT (AT A)x = (xT AT )(Ax) =
(Ax)T (Ax) = ||Ax||2 ­ 0 i to dowodzi, że macierz AT A jest dodatnio półokreślona. Podobnie, xT (AAT )x =
(xT A)(AT x) = (AT x)T (AT x) = ||AT x||2 ­ 0 i z tego wynika, że macierz AAT jest dodatnio półokreślona.
Ćw. 11.4.10. Z dodatniej określoności macierzy A i B wynika, że xT Ax > 0 i xT Bx > 0 dla każdego x 6= 0.
117
Stąd zaś wynika, że dla każdego x 6= 0 jest xT (A + B)x = xT Ax + xT Bx > 0 i to dowodzi, że macierz A + B
jest dodatnio określona.
Ćw. 11.4.11. (a) ⇒ (b) Jeśli A jest dodatnio określona, to wszystkie jej wartości własne λ1 , . . . , λn są dodatnie√i istnieje
ortogonalna Q taka, że A = QΛQT , gdzie Λ = diag (λ1 , . . . , λn ). Macierz B =
√ macierz
T
diag ( λ1 , . . . , λn )Q jest nieosobliwa i dla niej jest
√

BT B = Q 
T  √

λ1 . . . 0
λ1 . . . 0
..
..   ..
..  QT = A.
..
..
  .

.
.
.
√.
√.
0 . . . λn
0 ...
λn
(b) ⇒ (a) Załóżmy, że macierz B jest nieosobliwa i A = BT B. Jeśli x 6= 0, to Bx 6= 0 i
xT Ax = xT BT Bx = ||Bx|| > 0.
To dowodzi, że A jest dodatnio określona.
(a) ⇒ (c) Załóżmy, że A jest dodatnio określona. Wtedy wszystkie jej wartości własne λ1 , . . . , λn są dodatnie i istnieje macierz ortogonalna Q taka, że A = QΛQT , gdzie Λ = diag (λ1 , . . . , λn ). Macierz P =
Qdiag ( √1λ , . . . , √1λ ) jest nieosobliwa i dla niej jest PT AP = I.
1
n
(c) ⇒ (a) Załóżmy, że macierz P jest nieosobliwa i PT AP = I. Niech x będzie niezerowym wektorem. Jeśli
y = P−1 x (x = Py), to mamy
xT Ax = (Py)T A(Py) = yT (PT AP)y = yT Iy = ||y||2 > 0
i A jest dodatnio określona.
T
T
Ćw. 11.4.12. Jeśli x ∈ Rn − {x}, to q(x) = xT (QAQ) x = QT x A QT x = zT Az > 0, bo macierz A
jest dodatnio określona i wektor z = QT x jest niezerowy. To ostatnie wynika z faktu, że macierz ortogonalna
Q (więc i macierz QT = Q−1 ) jest nieosobliwa.
Ćw. 11.4.13. Macierz symetryczna A ∈ Rn×n jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej
wartości własne λ1 , . . . , λn są dodatnie. Ponieważ dla każdej liczby całkowitej p liczby λp1 , . . . , λpn są wszystkimi
wartościami własnymi macierzy Ap i ponieważ liczby λp1 , . . . , λpn są dodatnie, więc także macierz Ap jest dodatnio określona.
Ćw. 11.4.14. Niech
[ xij ] będzie rzeczywista
wymiaru n × n. Wtedy q(X) = tr(XT X) =
P
Pn X
P=
Pn Pn macierzą
n
n
T
T
2
(X
X)
=
(X
)
(X)
=
x
­
0.
Stąd wynika, że q jest
półokreśloną
ii
ik
ki
i=1
i=1
k=1
i=1
k=1 ki
Pn dodatnio
Pn
formą kwadratową n2 zmiennych xij (i, j ∈ {1, . . . , n}). Dodatkowo mamy q(X) = i=1 k=1 x2ki = 0 wtedy
i tylko wtedy, gdy x2ij = 0 dla i, j ∈ {1, . . . , n}, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy X = 0. To dowodzi, że q jest
dodatnio określoną formą kwadratową.
Ćw. 11.4.15. 1. Tak i q((x1 , x2 )) = x21 + 6x1 x2 + 3x22 ; 2. Nie z uwagi na ostatni składnik sumy; 3. Tak. Niech
λ1 , . . . , λn będą wszystkimi wartościami własnymi macierzy A. Z odwracalności i symetrii macierzy A wynika,
że liczby λ1 , . . . , λn są rzeczywiste i niezerowe. Z tego wynika, że wszystkie wartości własne macierzy A2 , a
są nimi liczby λ21 , . . . , λ2n , są dodatnie. To jest równoważne dodatniej określoności macierzy A2 . 4. Nie. Jeśli
3
macierz A o wymiarach 3 × 3 jest ujemnie określona,
to wobec twierdzenia 11.3.2 musi być (−1) det A > 0,
a b
czyli musi być det A < 0. 5. Tak. Macierz
jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy a > 0 i
c d
a b
det
> 0 (zob. tw. 11.3.2). 6. Tak. Niech λ1 , . . . , λn będą wszystkimi wartościami własnymi macierzy
c d
A. Macierz A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy liczby λ1 , . . . , λn są dodatnie. Tak jest wtedy i
tylko wtedy, gdy liczby λ11 , . . . , λ1n są dodatnie, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy
A−1 są dodatnie. To jest równoważne dodatniej określoności macierzy A−1 . 7. Tak. Z dodatniej określoności
macierzy A i B wynika, że xT Ax > 0 i xT Bx > 0 dla każdego x 6= 0. Stąd zaś wynika, że dla każdego x 6= 0 jest
xT (A + B)x = xT Ax + xT Bx > 0 i to dowodzi, że macierz A + B jest dodatnio określona. 8. Nie. Jeśli macierz
P jest ortogonalna i jeśli jej kolumny nie są wektorami własnymi macierzy A, to forma q(Py) = yT (PT AP)y
118
nie musi być w postaci kanonicznej. Przykładowo tak jest, gdy macierz A nie jest diagonalna i P jest macierzą
jednostkową (P = I jest macierzą ortogonalną). 9. Tak. Wynika to z części twierdzenia 11.3.2 (??). Uwaga.
Zmieniłem zadanie, zamiast det A < 0 wstawiłem (−1)n det A < 0.
————————————————————————————————————————————————Rozdział 12
————————————————————————————————————————————————Ćw. 12.1.1. 1. (−1, −4, 2); 2. (0, 0, 0); 3. (−3, 3, 0); 4. (−2, 10, −6).
Ćw. 12.1.2. 1. (1, 0, −1); 2. (0, 1, −1); 3. (1, −1, 1); 4. −1; 5. (1, −3, 1); 6. −1; 7. 4; 8.
√
43.
√
Ćw. 12.1.3. 3 69.
Ćw. 12.1.4.
√
333.
Ćw. 12.1.5.
√
398.
Ćw. 12.1.6. 1.
√
√
√
17; 2. 101; 3. 2.
√
Ćw. 12.1.7. 7/ 5.
Ćw. 12.1.8. 1. 7/2; 2. 23/2.
√
√
Ćw. 12.1.9. cos ϕ = − 2/3, sin ϕ = 7/3, ϕ = 118◦ 7′ .
Ćw. 12.1.10. Mamy (a × b)2 = a2 b2 − (ab)2 = ||a||2 ||b||2 − (||a||||b|| cos π4 )2 = 18.
Ćw. 12.1.11. P = ||x × y|| = ||(5a + 3b) × (a + 7b)|| = 32||a × b|| = 32||a||||b|| sin ∡(a, b) = 32 · 1 · 3 ·
Ćw. 12.1.12. Ponieważ cos ∡(a, b) =
ab
||a||||b||
Ćw. 12.1.14. 1. 27(a × b); 2. −10(a × b).
Ćw. 12.1.15. a = j + k.
Ćw. 12.2.1. 1. 1; 2. 10; 3. 6.
Ćw. 12.2.2. 1. 2/3; 2. 12; 3. 8/3.
Ćw. 12.2.3.
√
√
√
5 + 11 + 14.
Ćw. 12.2.4. V = 1 i hD =
√
= 48 3.
√
i ||a × b|| = ||a||||b|| sin ∡(a, b) = 39.
q
i ∡(a, b) ∈ π2 , π , więc cos ∡(a, b) = − 1 − sin2 ∡(a, b) =
= 58 , więc sin ∡(a, b) =
||a×b||
= 1
Ćw. 12.1.13. Ponieważ sin ∡(a, b) = ||a||||b||
√
√ 2
− 3/2 i teraz ab = ||a||||b|| cos ∡(a, b) = −3 3.
√
3
2
√
5/5.
Ćw. 12.2.5. 1. Nie; 2. Tak.
Ćw. 12.2.6. 1. k = 3; 2. k ∈ R.
Ćw. 12.2.7. 1. 24; 2. 11; 3. −18.
119
√
39
8