VIII. Formy kwadratowe

Algebra liniowa
1
VIII. Formy kwadratowe
Forma kwadratowa – definicja
Kolejnym istotnym dla nas pojęciem jest tzw. forma kwadratowa. Odwzorowań tych używa się często
np. przy modelowaniu kosztów produkcji powiązanych ze sobą towarów, bądź dochodów pochodzących
z ich sprzedaży. Formy kwadratowe odgrywają też kluczową rolę przy poszukiwaniu ekstremów lokalnych
funkcji wielu zmiennych o czym dokładniej dowiedzą się Państwo podczas kursu analizy w następnym
semestrze.
Definicja 1. Formą kwadratową nazywamy dowolny wielomian n zmiennych f : Rn 7→ R, którego
wszystkie niezerowe składniki są stopnia drugiego, tzn. f jest postaci
f (x) =
n
X
aij xi xj ,
i,j=1
h
iT
dla x = x1 . . . xn . Bez straty ogólności możemy założyć, że aij = aji dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}.
Przykłady: f (x1 , x2 ) = x21 +x22 , f (x1 , x2 ) = x21 +4x1 x2 +x22 , f (x1 , x2 , x3 ) = x21 +3x22 −4x23 +6x1 x2 −2x1 x3 ,
f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x21 − x22 + 7x1 x5 − 3x23 + 4x24 − 11x3 x4 + x25
Twierdzenie 1. Odwzorowanie f : Rn 7→ R jest formą kwadratową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje symetryczna macierz A taka, że
 
x1
 . 
T

f (x) = x Ax, gdzie x = 
 ..  .
xn
Macierz A jest jednoznacznie wyznaczona przez formę kwadratową i nazywana jest macierzą symetryczną związaną z formą kwadratową f .
2
Określoność formy kwadratowej
Dla dowolnej formy kwadratowej mamy f (0) = 0. Interesuje nas, czy dana forma przyjmuje tylko
nieujemne bądź tylko niedodatnie wartości, a x = 0 jest punktem, w którym f osiąga minimum lub
maksimum (globalne). Wprowadzamy następującą nomenklaturę
Definicja 2. Forma kwadratowa f (x) = xT Ax (równoważnie: jej (symetryczna) macierz A) jest
• dodatnio określona, jeśli f (x) > 0 dla x 6= 0,
• dodatnio półokreślona, jeśli f (x) ­ 0 dla x 6= 0 i istnieje x0 6= 0, takie że f (x0 ) = 0,
• ujemnie określona, jeśli f (x) < 0 dla x 6= 0,
• ujemnie półokreślona, jeśli f (x) ¬ 0 dla x 6= 0 i istnieje x0 6= 0, takie że f (x0 ) = 0,
• nieokreślona, jeśli f przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.
Łatwo zauważyć, że np. forma f (x) = x21 + x22 jest dodatnio określona, ujemnie określona f (x) =
natomiast forma f (x1 , x2 ) = x21 + 2x1 x2 + x22 jest dodatnio półokreślona. Zazwyczaj jednak badanie określoności na podstawie definicji jest dość trudne. Oczywiście forma kwadratowa jest jednoznacznie
zadana przez macierz symetryczną z nią związaną. Oznacza to, że określoność formy można badać analizując własności jej macierzy.
−x21 − x22 ,
Twierdzenie 2 (Kryterium wartości własnych). Niech f (x) = xT Ax będzie formą kwadratową, zaś
λ1 , . . . λn jej wartościami własnymi. Wtedy
c
FF
str. 1 z 2
Algebra liniowa
VIII. Formy kwadratowe
• f jest dodatnio określona ⇐⇒ ∀i∈{1,...,n} λi > 0,
• f jest dodatnio półokreślona ⇐⇒ ∀i∈{1,...,n} λi ­ 0 oraz ∃j∈{1,...,n} λj = 0,
• f jest ujemnie określona ⇐⇒ ∀i∈{1,...,n} λi < 0,
• f jest ujemnie półokreślona ⇐⇒ ∀i∈{1,...,n} λi ¬ 0 oraz ∃j∈{1,...,n} λj = 0,
• f jest nieokreślona ⇐⇒ ∃i,j∈{1,...,n} λi > 0, λj < 0.
Określoność formy możemy też badać obliczając tzw. minory główne macierzy:
Definicja 3. Wiodącym minorem głównym macierzy A = (aij ) ∈ M (n, n) stopnia k (k < n) nazywamy wyznacznik macierzy postałej z k pierwszych wierszy i k pierwszych kolumn macierzy A (powstałej
poprzez wykreślenie wszystkich wierszy i kolumn o numerach większych od k), tzn.

a11 a12

a21 a22

Mk (A) = det 
..
 ...
.

ak1 ak2

. . . a1k

. . . a2k 

. .
..
. .. 

. . . akk
Mając to pojęcie możemy sformułować kolejne kryterium określoności:
Twierdzenie 3 (Kryterium Sylvestera). Macierz symetryczna A ∈ M (n, n) o współczynnikach rzeczywistych jest
• dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiodące minory główne są dodatnie, tj. Mk (A) > 0
dla k ∈ {1, . . . , n}.
• ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy Mk (A) > 0 dla k ∈ {1, . . . , n} ∩ 2N. oraz Mk (A) < 0 dla
k ∈ {1, . . . , n} ∩ (2N − 1).
Uwaga 1. Kryterium Sylvestera NIE zachodzi dla form półokreślonych, tzn. np. nie jest prawdą, że jeśli
Mk (A) ­ 0 dla k = 1, 2, . . . , n to A ma nieujemne wartości własne (a forma jest dodatnio półokreślona).
3
Geometryczne znaczenie określoności*
Określoność formy kwadratowej ma również interpretację geometryczną:
Twierdzenie 4. Niech f (x) = xT Ax będzie formą kwadratową. Wtedy
• f jest wypukła ⇔ A jest dodatnio półokreślona,
• f jest wklęsła ⇔ A jest ujemnie półokreślona,
• f jest ściśle wypukła ⇔ A jest dodatnio określona,
• f jest ściśle wklęsła ⇔ A jest ujemnie określona.
c
FF
str. 2 z 2