TEORIA PORTFELA MARKOWITZA

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA
Izabela Balwierz
28 maj 2008
1
Wstęp
Teoria portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskiego ekonomistę
Harry’go Markowitza. Opiera się ona na minimalizacji ryzyka inwestycyjnego
przy jednoczesnej maksymalizacji stopy zwrotu. Zakłada ona, że inwestorzy postępują racjonalnie, zawsze podejmując decyzje takie, aby otrzymać największy
zysk przy ustalonym poziomie ryzyka, o którym sami decydują.
Teoria portfela dała początek wielu nowym sposobom analizy papierów wartościowych. Przestano rozważać jedynie pojedyncze akcje, a zaczęto skupiać
się na ich zestawie, czyli tzw. portfelu. Zróżnicowanie jego zawartości wpływa
bowiem na całkowite ryzyko, które jest tym mniejsze im większa jest dywersyfikacja (ryzyko pojedynczych akcji jest większe niż ryzyko całego portfela,
składającego się z nich).
W mojej pracy przedstawiam ujęcie matematyczne problemu doboru walorów, składających się na optymalny portfel.
2
Optymalny portfel o nieskorelowanych
walorach
Rozpatrzmy najpierw portfel, w którym wszystkie walory są nieskorelowane.
Oczywiście to przybliżenie jest bardzo duże, gdyż w rzeczywistości na ceny
akcji ma wpływ wiele różnych czynników i tylko wiedza inwestora umożliwia
przewidzenie, ile wynoszą te wartości. Spróbujmy znaleźć kompromis pomiędzy ryzykiem a oczekiwaną stopą zwrotu. W tym celu wprowadźmy najpierw
odpowiednie oznaczenia i wielkości.
Rozważmy zbiór o M różnych ryzykownych walorach Xi , i = 1, . . . , M i jeden
walor bez ryzyka X0 (o zerowej wariancji). Ilość walorów i w portfelu wynosi
opowiednio ni , a ich początkowa wartość x0i . Całkowita wartość portfela wynosi
PM
więc w chwili początkowej W = i=0 ni x0i . W praktyce częściej używa się wag
n x0
i i
walorów w portfelu zdefiniowanych jako: pi = W
, które są znormalizowane:
PM
i=0 pi = 1, przy czym pi mogą być ujemne. Wartość portfela w chwili T
PM
PM
wynosi: S = i=0 ni xi (T ) = W i=0 pi xxi0(T ) .
i
Ponadto przyjmujemy, że średnia stopa zwrotu mi jest znana. Wyznaczenie
jej jest jednak trudne i aby otrzymać dobrą statystykę potrzeba paru lat obserwacji giełdy. Stąd mi należy bardziej rozumieć jako spodziewany przyszły
zysk, który jest szacowany na podstawie informacji posiadanych przez inwestora. Może się więc on różnić. Powstaje więc pytanie, jak stworzyć optymalny
portfel, dostosowany do różnych możliwych wartości mi .
2.1
2.1.1
Walory opisywane rozkładem Gaussa
Portfel zawierający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku
Jeśli założymy, że ryzyko wartości akcji Xi po czasie T podlega rozkładowi
Gaussa, to cały portfel również podlega temu rozkładowi. Średni przyrost wartości portfela mp jest dany jako:
mp =
M
X
pi mi = m0 +
i=0
M
X
pi (mi − m0 ),
i=1
PM
gdyż i=0 pi = 1. Ponieważ walory Xi są niezależne, to całkowite ryzyko związane z zainwestowaniem w portfel (w przypadku gaussowskim jest to wariancja)
wynosi:
σp2 =
M
X
p2i σi2 ,
i=1
ponieważ σ02 = 0 z założenia.
Znalezienie optymalnego portfela sprowadza się do minimalizacji ryzyka (wariancji σp2 ) przy danym średnim przyroście wartości portfela (średniej stopie
zwrotu) lub maksymalizacji zysku, zakładając jakieś ryzyko. Można to osiągnąc stosując metodę mnożników Lagrange’a:
∂(σp2 − λmp ) = 0.
∂pi
pi =p∗
i
Obliczając tę pochodną otrzymujemy:
2p∗i σi2 = λ(mi − m0 ),
czyli
p∗i =
λ(mi − m0 )
,
2σi2
gdzie
λ = 2(mp − m0 )
M
X
(mi − m0 )2
i=1
2
σi2
!−1
.
Ryzyko dla całego portfela jest dane przez:
σp2∗
M
λ2 X (mi − m0 )2
= (mp − m0 )2
=
4 i=1
σi2
M
X
(mi − m0 )2
i=1
!−1
σi2
.
Ostatnie równanie wyznacza na wykresie zależności średniego zysku mp od ryzyka σp2 parabolę, zwaną granicą efektywności. Leżą na niej optymalne portfele,
a pod nią zaś te, które również są dostępne, ale są bardziej ryzykowne. Ponad
parabolą znajdują się niedostępne portfele. Ilustruje to poniższy rysunek:
Rysunek 1: Wykres zależności stopy zwrotu od ryzyka
2.1.2
Portfel zawierający tylko walory ryzykowne
Tutaj średni przyrost wartości portfela mp jest dany jako:
mp =
M
X
p i mi ,
i=1
PM
gdyż
i=1 pi = 1. Całkowite ryzyko związane z zainwestowaniem w portfel
wynosi:
σp2 =
M
X
p2i σi2 .
i=1
3
Ponowanie stosujemy metodę mnożników Lagrange’a z dodatkowym współczynnikiem:
P
M
∂ σp2 − λmp − λ0
i=1 pi − 1
= 0.
∂pi
pi =p∗
i
Stąd
2p∗i σi2 = λmi + λ0 ,
czyli
p∗i =
2.1.3
λmi + λ0
.
2σi2
Efektywna kontrola liczby walorów w portfelu
Ważną kwestią jest zróżnicowanie portfela w celu minimalizacji ryzyka. Naturalną rzeczą jest, że jeśli mamy w portfelu więcej nieskorelowanych walorów, to
poniesiemy mniejsze straty, niż posiadając akcje tylko jednej firmy, która nagle
zbankrutowała. Dlatego przydatne jest wprowadzenie obiektywnego sposobu
mierzenia dywersyfikacji portfela, dzięki czemu możemy dostosować tę wielkość tak,
PMaby2 dalej portfel był optymalny. W tym celu definiujemy wielkość
Y2 =
i=0 pi , która reprezentuje średnią wagę waloru w portfelu. Możemy
również zdefiniować efektywną liczbę walorów w portfelu jako Mef f = Y12 , która
może być narzucona w celu uniknięcia zbyt małej ilości walorów w portfelu.
Ponownie korzystamy z metody Lagrange’a i otrzymujemy:
P
PM 2 M
00
∂ σp2 − λmp − λ0
p
−
1
−
λ
Y
−
2
i=1 i
i=1 pi
= 0.
∂pi
pi =p∗
i
Stąd
2p∗i σi2 = λmi + λ0 − 2λ00 p∗i ,
czyli
p∗i =
λmi + λ0
.
2(σi2 + λ00 )
PM
q
Ogólnie wielkość Yq zdefiniowana jest jako Yq =
i=0 (pi ) i używana do
1−q
definicji efektywnej ilości walorów: Yq = Mef f . Różniczkując tę wielkość po q
w punkcie q = 1 otrzymujemy minus entropię, czyli średnią ilość informacji.
2.2
Ogony potęgowe
Często w rejonach dużych strat (ogonów rozkładów) walory nie podlegają rozkładowi Gaussa. Dzieje się tak w przypadku, gdy duże straty lub duże zyski są
4
bardziej prawdopodobne niż w przypadku gaussowskim. Wtedy minimalizacja
wariancji nie jest równoważna minimalizacji ryzyka. Ciekawym przypadkiem są
ogony potęgowe, dla których fluktuacje waloru Xi opisywane są przez funkcję
gęstości prawdopodobieństwa daną przez:
P (ηi ) =
µAµi
,
|ηi |1+µ
gdzie µ > 1 oraz Aµi to amplituda w ogonach.
2.2.1
Portfel zawierający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku
PM
Całkowita amplituda portfela będzie równa Aµp = i=1 pµi Aµi oraz prawdopoA
dobieństwo straty na poziomie Λ: P = ( Λp )µ . Stąd minimalizacja P wymaga
minimalizacji amplitudy Aµp , niezależnie od Λ przy danej stopie zwrotu mp .
Znów stosujemy metodę Lagrange’a:
∂ Aµp − λmp = 0.
∂pi
pi =p∗
i
Stąd
∗(µ−1)
µpi
Aµi = λ(mi − m0 ),
czyli
p∗i
=
λ(mi − m0 )
µAµi
1
µ−1
,
gdzie
µ−1
λ = µ(mp − m0 )
µ
M
X
(mi − m0 ) µ−1
!1−µ
µ
i=1
.
Aiµ−1
Prawdopodobieństwo straty (funkcja ryzyka) wyraża się nastomiast następująco:
!1−µ
µ
µ
µ
µ−1
M
M
X
X
λ
(mi − m0 ) µ−1
1
(mi − m0 ) µ−1
1
µ
∗
= µ (mp − m0 )
.
P = µ
µ
µ
Λ
µ
Λ
A µ−1
A µ−1
i=1
i=1
i
i
Widzimy stąd, że parabolę otrzymamy dla µ = 2.
2.2.2
Portfel zawierający tylko walory ryzykowne
Gdy w portfelu mogą znajdować się tylko akcje ryzykowne to udziały (wagi) pi
poszczególnych walorów będa równe:

−1
M
µ
−µ
X
p∗i = Aiµ−1
Aiµ−1  ,
j=1
5
a prawdopodobieństwo straty:

1−µ
M
−µ
X
1
P∗ = µ 
Aiµ−1 
.
Λ
j=1
Jeśli wszystkie walory mają podobną amplitudę, to okazuje się, że prawdopodobieństwo dużych strat dla optymalnego portfela jest mniejsze niż prawdopodobieństwo dla każdego waloru osobno o czynnik M µ−1 .
3
Portfel o skorelowanych walorach
Do tej pory rozważaliśmy optymalizację portfela o nieskorelowanch akcjach,
podlegających rozkładowi Gaussa (wtedy minimalizowaliśmy wariancję) oraz
innym rozkładom (gdzie minimalizacja ryzyka odbywała się w bardziej skomplikowany sposób). W rzeczywistości fluktuacje różnych akcji są silnie skorelowane.
Na przykład krótkotrwały wzrost cen udziałów jednej akcji często prowadzi do
spadku cen drugiej akcji. Te związki w oczywisty sposób modyfikują zawartość
optymalnego portfela i jego szukanie czynią trudniejszym.
3.1
Fluktuacje rozkładu Gaussa
Rozważmy przypadek, gdy fluktuacje ηi waloru Xi podlegają rozkładowi Gaussa
i zakładamy jakieś korelacje. Są one opisane przez symetryczną macierz kowariancji Cij = hηi ηj i − mi mj . Ważną własnością skorelowanych zmiennych
gaussowskich jest to, że mogą być one przedstawione, jako kombinacja liniowa
niezależnych zmiennych Gaussa o wartości oczekiwanej zero i wariancji σa2 . Wynika stąd, że fluktuacje całego portfela też są gausowskie o oczekiwanej stopie
zwrotu:
mp =
M
X
pi (mi − m0 ) + m0
(1)
i=1
i wariancji
M
X
σp2 =
pi pj Cij .
i,j=1
Minimalizację σp2 dla ustalonej mp , biorąc pod uwagę, że możliwy jest walor bez
ryzyka X0 otrzymujemy metodą mnożników Lagrange’a:
2
M
X
p∗j Cij = ξ(mi − m0 ),
j=1
co może być zapisane jako:
M
p∗i =
ξX
−1
(mj − m0 )Cij
.
2 j=1
6
(2)
Wynik ten otrzymał Markowitz, za co dostał Nagrodę Nobla.
Łącząc wzory (1) i (2) otrzymujemy ostateczną zależność na średni zysk z
optymalnego portfela:
mp − m0 =
M
ξ X −1
C (mi − m0 )(mj − m0 )
2 i,j=1 ij
(3)
oraz na jego zmienność:
σp2 =
M
ξ 2 X −1
ξ
C (mi − m0 )(mj − m0 ) = (mp − m0 ).
4 i,j=1 ij
2
Możemy więc z (3) obliczyć współczynnik Lagrange’a, który jest równy:

ξ = 2(mp − m0 ) 
M
X
−1
−1
Cij
(mj − m0 )(mi − m0 )
,
(4)
i,j=1
a stąd

p∗i = (mp − m0 ) 
M
X
−1
−1
Cij
(mj − m0 )(mi − m0 )
i,j=1
M
X
−1
Cij
(mj − m0 )
(5)
j=1
oraz

σp2 = (mp − m0 )2 
M
X
−1
−1
Cij
(mj − m0 )(mi − m0 )
.
(6)
i,j=1
Równanie (6) na wykresie średniego zysku od ryzyka również, jak w poprzednich
paragrafach, przedstawia parabolę, na której leżą optymalne portfele.
Gdy wykluczymy z portfela walor bez ryzyka i będziemy minimalizować
ryzyko bez warunku na stopę zwrotu mp całego portfela, to wagi walorów będą
dane przez:
PM
p∗i
j=1
= PM
−1
Cij
i,j=1
−1
Cij
.
Warto zaznaczyć, że przy obliczaniu udziałów pi w portfelu powstaje problem, wynikający z przekształceń macierzy kowariancji Cij , która występuje w
powyższych wzorach, jako macierz odwrotna. Proces jej odwracania powoduje
powstanie dużych błędów numerycznych, a co za tym idzie wzrostu ryzyka optymalnego portfela. Jest jednak sposób, aby „wyczyścić” macierz korelacji, tak
aby mogła ona służyć do konstrukcji efektywnego portfela. W tym celu stosuje
się metodę sprowadzania macierzy do jednostkowej.
7
3.2
Model Wyceny Aktywów Kapitałowych
Z rozważań z poprzedniej sekcji widzimy, że efektywne portfele są do siebie
proporcjonalne. Oznacza to, że superpozycja optymalnych portfeli jest również
optymalna. Jeśli wszyscy agenci giełdowi będą posiadali efektywne portfele o
tej samej stopie zwrotu i współczynnikach korelacji (co jest właściwie nieprawdopodobne), to „portfel rynkowy” również jest optymalny. Stwierdzenie to jest
podstawową zasadą Modelu Wyceny Aktywów Kapitałowych (CAPM), który
pozwala zobrazować zależność między stopą zwrotu akcji a jego powiązaniem
z portfelem rynkowym. Zależność, która pozwala wyliczyć oczekiwaną stopę
zwrotu wygląda następująco:
mi − m0 = βi (mp − m0 ),
gdzie mp to stopa zwrotu z rynku, a wspóczynnik β to współczynnik określający udział ryzyka danego papieru wartościowego w ryzyku rynkowym. Jest on
ilorazem kowariancji stóp zwrotu mi z papieru wartościowego Xi i portfela rynkowego do wariancji stóp zwrotu z portfela rynkowego. Stopa wolna od ryzyka
m0 to stopa zwrotu z obligacji, bądź bonów skarbowych, zaś stopa zwrotu z
rynku mp to np. stopa zwrotu z indeksu giełdowego.
4
Numeryczne wyliczanie udziałów p∗i w porfelu
W celu sprawdzenia metody napisałam program, który na podstawie wzoru (5)
z rodziału 3.1 wylicza udziały poszczególnych walorów w optymalnym portfelu.
Jako dane wejściowe zadajemy żądaną, procentową stopę zwrotu z całego
portfela mp , stopy zwrotu z poszczególnych akcji mi , zmienności każdego waloru
σi oraz macierz korelacji walorów cij , z której otrzymujemy macierz kowariancji
Cij za pomocą przeksztalcenia: Cij = cij σi σj . Dane te generujemy za pomocą
generatora dołączonego do pracy, który zwraca przykładowe liczby mp i mi
z przedziału (0,1) oraz σi : (0.01,1.01), gdyż rozpatrujemy sytuację tylko dla
wszystkich walorów ryzykownych (σi nie może byś równe 0). Macierz korelacji
jest macierzą symetryczną, która składa się z jedynek na diagonali, a pozostałe
liczby są z zakresu (-1,1).
Dla dziesięciu walorów w portfelu otrzymałam przy różnych wartościach na
wejściu programu następujące udziały (wagi) pi :
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
0.195981
0.495530
-0.036985
0.061736
0.072666
0.001275
0.041454
0.017978
0.029928
0.120436
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
-0.604637
1.897184
0.445188
0.000178
0.069166
-0.900799
0.028436
-0.069331
0.067597
0.067018
8
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
-3.872861
0.667436
-1.542075
-1.127814
-0.086832
4.201099
0.309313
3.730506
-1.622536
0.343764
Widzimy więc, że udziały te mogą być również ujemne, czyli w tzw. pozycji
krótkiej. Suma wszystich pi daje 1 i aby portfel był optymalny akcje muszą być
dobrane właśnie w ten sposób.
5
Podsumowanie
Jak widzimy z rozważań w pracy, możemy otrzymywać różne optymalne portfele,
które będą się różniły od siebie ryzykiem w zależności od oczekiwanej stopy
zwrotu. W teorii portfela Makowitza każdy inwestor musi zdecydować, jak
duże ryzyko jest w stanie podjąć i dopiero wtedy może użyć przedstawionych
w pracy narzędzi matematycznych do dywersyfikacji portfela. Chociaż teoria
ta jest bardzo pomocna, to jednak dalej najważniejszą kwestią jest wiedza i
doświadczenie inwestora.
9