19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość

19
Własności iloczynu skalarnego:
norma, kąt i odległość
Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym h., .i.
Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v ∈ V nazywamy liczbę
kvk =
q
hv, vi.
Uwaga 1 Z aksjomatu (IP1) wynika, że hθ, θi = 0, czyli kθk = 0, a z (IP3),
że dla pozostałych v: hv, vi > 0, czyli norma jest dobrze określona.
Przykład 19.2
1. Norma pochodząca od standardowego iloczynu skalarnego wyraża się wzorem
v
u n
uX
k(x1 , . . . , xn )k = t x2i .
i=1
2. W przestrzeni l2 norma wyraża się wzorem
v
u∞
uX
x2n .
k(xn )n∈N k = t
n=1
Twierdzenie 19.3 (nierówność
u, v ∈ V spełniony jest warunek
Schwarza)
Dla
dowolnych
wektorów
|hu, vi| ¬ kuk kvk.
Równość |hu, vi| = kuk kvk zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u, v są
liniowo zależne.
Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to
prawa strona nierówności jest równa 0 na mocy poprzedniej uwagi, a lewa
także jest równa 0 z dwuliniowości iloczynu skalarnego. Oczywiście układ
zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.
Załóżmy teraz, że u, v 6= θ. Dla dowolnego λ ∈ R na podstawie dwuliniowości i symetrii iloczynu skalarnego oraz definicji normy otrzymujemy
0 ¬ hu + λ · v, u + λ · vi = kvk2 λ2 + 2λhu, vi + kuk2
Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej λ o dodatnim współczynniku przy λ2 (bo v 6= θ), więc jego wyróżnik jest niedodatni:
0 ­ 4hu, vi2 − 4kuk2 kvk2 ,
1
co jest już równoważne tezie.
Jeżeli wektory u, v są niezerowe i liniowo zależne, to istnieje s 6= 0 takie,
że v = s · u. Wówczas
2
|hu, vi|2 = s2 hu, ui = s2 kuk4 = kuk2 s2 hu, ui = kuk2 kvk2 .
Na odwrót, jeżeli |hu, vi| = kuk kvk, to
0 = 4hu, vi2 − 4kuk2 kvk2 ,
czyli trójmian kwadratowy kvk2 λ2 + 2λhu, vi + kuk2 ma pierwiastek s ∈ R.
Zatem hu + λ · v, u + s · vi = 0 i na mocy (IP3) dostajemy u = (−s) · v, co
oznacza zależność wektorów u, v.
Stwierdzenie 19.4 W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym spełnione są warunki:
(N1)
∀v∈V kvk ­ 0
(N2)
∀v∈V
(N3)
∀v∈V ∀a∈R ka · vk = |a| kvk
(N4)
∀u,v∈V ku + vk ¬ kuk + kvk
(kvk = 0 ⇔ v = θ)
Dowód: Warunki (N1) i (N2) wynikają wprost z (IP3) oraz uwagi. Dla
dowodu (N3) zauważmy, że
ka · vk2 = ha · v, a · vi = a2 hv, vi = a2 kvk2 .
Warunek (N4) jest bezpośrednią konsekwencją definicji iloczynu skalarnego oraz nierówności Schwarza:
ku + vk2 = hu + v, u + vi = kuk2 + kvk2 + 2hu, vi
¬ kuk2 + kvk2 + 2kuk kvk = (kuk + kvk)2 .
Uwaga 2 Jeżeli w przestrzeni liniowej V (bez struktury iloczynu skalarnego) określona jest funkcja k.k : V → R spełniająca warunki (N1)—(N4), to
parę (V, k.k) nazywamy przestrzenią unormowaną. Widzimy, że każda przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną, ale dość rzadko
jest na odwrót.
Stwierdzenie 19.5 (równość równoległoboku) Dla dowolnych wektorów u, v
z przestrzeni V z iloczynem skalarnym spełniony jest warunek
ku + vk2 + ku − vk2 = 2kuk2 + 2kvk2 .
2
Dowód:
ku+vk2 +ku−vk2 = kuk2 +kvk2 +2hu, vi+kuk2 +kvk2 −2hu, vi = 2kuk2 +2kvk2 .
Stwierdzenie 19.6 (tożsamość polaryzacyjna) Dla dowolnych u, v ∈ V
spełniony jest warunek
hu, vi =
1
ku + vk2 − ku − vk2 .
4
Definicja 19.7 Dla niezerowych wektorów u, v ∈ V liczbę
^(u, v) = arccos
hu, vi
kuk kvk
nazywamy kątem (nieskierowanym) pomiędzy wektorami u, v.
hu,vi
Uwaga 3 Z nierówności Schwarza wynika, że ułamek kuk
kvk należy do przedziału [−1, 1], więc kąt nieskierowany pomiędzy wektorami jest dobrze określony. Należy on zawsze do przedziału [0, π].
Przykład 19.8
1. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami ortogonalnyπ
mi wynosi 2 .
2. Wektory u, v są zgodnie zorientowane (lub mają ten sam zwrot), co
zapisujemy u ↑↑ v, gdy jeden jest iloczynem drugiego przez liczbę
nieujemną. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami zgodnie zorientowanymi wynosi 0.
3. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami równoległymi (czyli liniowo zależnymi) wynosi 0 lub π.
Stwierdzenie 19.9 (twierdzenie cosinusów) Dla niezerowych wektorów u, v
prawdziwa jest równość
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 + 2kuk kvk cos ^(u, v).
Wniosek 19.10 (twierdzenie Pitagorasa) Wektory u, v są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Wniosek 19.11 (równość Parsevala) Jeżeli układ (v1 , . . . , vk ) jest ortogonalny, to
kv1 + . . . + vk k2 = kv1 k2 + . . . + kvk k2 .
3
Definicja 19.12 W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką)
nazywamy funkcję przypisującą punktom p, q ∈ E liczbę
→
|pq| = k−
pqk .
Stwierdzenie 19.13 W przestrzeni euklidesowej E spełnione są warunki:
(D1)
∀p,q∈E (|pq| = 0 ⇔ p = q)
(D2)
∀p,q∈E |pq| = |qp|
(D3)
∀p,q,r∈E |pr| ¬ |pq| + |qr|
Uwaga 4 Jeżeli w zbiorze niepustym X określona jest funkcja d = |. .| :
X × X → R spełniająca warunki (D1)—(D3), to parę (X, d) nazywamy
przestrzenią metryczną.
Przykład 19.14 W przestrzeni euklidesowej En ze standardowym iloczynem skalarnym odległość euklidesowa wyraża się wzorem
v
u n
uX
|(p1 , . . . , pn )(q1 , . . . , qn )| = t (qi − pi )2 .
i=1
Stwierdzenie 19.15 W przestrzeni euklidesowej punkt r należy do odcinka
pq wtedy i tylko wtedy, gdy
|pr| + |rq| = |pq|.
Dowód:
Wówczas
⇒) Jeżeli r ∈ pq, to r = (1 − a)p + aq dla pewnego a ∈ [0, 1].
|pr| + |rq| = |a| |pq| + |1 − a| |pq| = |pq|.
⇐) Załóżmy, że |pr| + |rq| = |pq|. Dla r = p lub q wniosek jest oczywisty,
załóżmy więc, że r ∈ pq \ {p, q}. Wówczas
2
→
→
→
→
|pr|2 + |rq|2 + 2|pr| |rq| = |pq|2 = k−
pr + −
rqk = |pr|2 + |qr|2 + 2 h−
pr, −
rqi ,
skąd na mocy nierówności Schwarza dostajemy liniową zależność wektorów
→
−
→
→
→
s
1
pr, −
rq oraz istnienie takiego s > 0, że −
rq = s· −
pr. Zatem r = s+1
p+ s+1
q ∈ pq.
Definicja 19.16 W przestrzeni euklidesowej E kulą (otwartą) o środku p i
promieniu R > 0 nazywamy zbiór
B(p, R) = {q ∈ E ; |pq| < R}.
Zbiór B(p, R) punktów q ∈ E spełniających nierówność |pq| ¬ R nazywamy
kulą domkniętą o środku p i promieniu R.
4
Stwierdzenie 19.17 Kula (odpowiednio kula domknięta) jest zbiorem wypukłym.
Dowód: Dla q, q 0 ∈ B(p, R) oraz a ∈ [0, 1] przyjmując r = (1 − a)q + aq 0
otrzymujemy
−
→0 →
−
0
|pr| = (1 − a)pq + apq ¬ |1 − a||pq| + |a||pq | < (1 − a)R + aR = R,
czyli qq 0 ⊂ B(p, R).
5