Matematyka

23 marca 2005 r.
Stanowisko Komisji Dydaktyki Matematyki
Polskiego Towarzystwa Matematycznego
w sprawie proponowanej wersji nowej
Podstawy programowej nauczania matematyki
(wersja 02, 03)
Komisja Dydaktyki Matematyki, po bardzo wnikliwym zapoznaniu się z proponowaną
Podstawą programową z matematyki i szerokiej dyskusji, także z innymi osobami, którym
leży na sercu jakość kształcenia matematycznego w polskiej szkole, przedstawia swoją opinię
o proponowanej Podstawie.
Aktualnie obowiązująca Podstawa programowa z matematyki, jak każdy opracowany
dokument przechodzący weryfikację w praktyce szkolnej, ma zalety i oczywiście wady. Na
pełne ich rozeznanie trzeba jednak poczekać do choćby jednego, pełnego cyklu realizacji tej
podstawy. Możemy powiedzieć, że zupełnie chybiony jest czas podjęcia prac nad zmianami
w Podstawie. Argumentacja oparta na wynikach ankiet, rozmowach, narzekaniach, że
aktualne Podstawy są złe, jest tutaj niewystarczająca. Potrzebna jest rzetelna analiza materiału
uzyskanego z egzaminów na każdym etapie, a w szczególności z egzaminu maturalnego,
który dopiero odbędzie się. Co nie oznacza, że nie należy podejmować prac związanych z jej
naprawianiem. Muszą to jednak być prace systematyczne i wykonywane bez pośpiechu oraz
prowadzone zgodnie z wymogami metodologii naukowej.
Organizm szkolny nie lubi gwałtownych zmian. Gdy tymczasem proponuje się
dokument, który zmienia diametralnie dotychczasową filozofię Podstawy. Niestety, ma on
niewiele wspólnego z tym, co rozumiemy przez Podstawę programu nauczania matematyki.
Zło tkwi w zupełnie opacznym rozumieniu tego, czym jest, czy być powinna Podstawa
programowa. W proponowanym projekcie bardziej przypomina on Standardy niż program
kształcenia, nie określa zadań szkoły, ale definiuje tematykę oraz rodzaje zadań państwowych
egzaminów. Egzaminy te być muszą, a uczeń powinien wiedzieć, jak się do egzaminu
przygotować. Jednak dobrze wiadomo, że egzaminy mogą sprawdzać tylko wąski wycinek
tego, co edukacja matematyczna dać powinna, stosownie do trafnie sformułowanych celów.
Podstawa programowa powinna te cele rozwijać, zachęcając do autentycznego kształcenia
umysłu i przygotowywania do egzaminów niejako przy okazji.
Dziwi nas fakt, że w składzie zespołu opracowującego nowy projekt Podstawy, nie
znalazł się żaden z dydaktyków matematyki, choćby z Komisji Dydaktyki Matematyki
Polskiego Towarzystwa Matematycznego (zgłaszaliśmy swój akces do prac zespołu). Trudno
wyobrazić sobie tak fundamentalne dzieło, bez współpracy ze środowiskiem dydaktyków
matematyki, bez znajomości metodologii badań w zakresie reformowania kształcenia
matematycznego, bez znajomości światowej literatury, doświadczenia i wyników badań
z dydaktyki matematyki.
Konkluzja. Przedstawiona do dyskusji wersja Podstawy jest nie do przyjęcia ze względu na
samą koncepcję podstawy programowej, a więc nie nadaje się do korekt, uzupełnień czy
innych drugorzędnych zmian; powinna być przygotowana zupełnie od nowa. Za tym
stanowiskiem przemawiają także dalsze argumenty, które szerzej rozwijamy
w załącznikach poniżej. Deklarujemy współpracę w tworzeniu Podstawy programowej
nauczania matematyki, ale prace nad nią powinny być prowadzone tak, aby widoczna była
stopniowa i powolna, ale konsekwentna ewolucja nauczania matematyki w dobrym kierunku.
Przewodniczący
Komisji Dydaktyki Matematyki
Polskiego Towarzystwa Matematycznego
Henryk Kąkol
O celach i błędnej ich konstrukcji oraz braku przełożenia na treści nauczania
Proponowane w projekcie Podstawy cele nauczania matematyki są takie same dla
każdego poziomu nauczania. To chyba tylko przeoczenie, bo przecież nie tylko obecna
Podstawa wyznacza inne cele na każdy z poziomów nauczania, ale przede wszystkim uczeń
dojrzewa matematyczne i na każdym etapie edukacyjnym zupełnie inną wagę (a także
hierarchię) przykładamy do postulowanych umiejętności i postaw. A tak na marginesie, jak
bardzo różnią się te sformułowania. Czyżby naprawdę od dokumentu do dokumentu cele
nauczania matematyki ulegały zmianie? Jest jasne, że każdy egzamin, nie mówiąc o
międzynarodowym sprawdzianie, ma wpływ na nauczanie, a w szczególności na cele tego
nauczania. W proponowanych sformułowaniach widzimy niezbyt udaną próbę wiązania ich
ze sprawdzianami PISA.
W literaturze dydaktycznej istnieje cała lawina publikacji zajmujących się problemami
celów matematycznego kształcenia. Między innymi można je znaleźć w czasopiśmie PTM
Dydaktyka Matematyki.
Analiza zawartej tam literatury pokazuje, jak trudne to są problemy. Z jednej bowiem
strony mamy matematykę, matematykę od wieków taką samą, z drugiej strony coraz szybciej
rozwijający się świat, coraz bardziej oparty na technologii informacyjnej. Jakie zatem cele
stawiać przed nauczaniem matematyki, jak je formułować?
Myślę, że w dobie tych gwałtownych zmian, warto jeszcze raz przyjrzeć się celom
nauczania matematyki sformułowanym, co prawda dość dawno, ale pozostającym wciąż
aktualnymi, mimo różnych prób ich ponownego formułowania. Mam tu na myśli poziomy
celów nauczania matematyki opracowane przez Prof. Z. Krygowską. Poziomy te można
schematycznie przedstawić rysunkiem.
Postawy i zachowania
intelektualne
Aktywności matematyczne
Podstawowe wiadomości
i umiejętności
Na najniższym poziomie znajdują się podstawowe wiadomości i umiejętności
w dziedzinie matematyki, które uznaje się za konieczne dla wszystkich. Te elementy określa
zwykle program nauczania, a w polskiej szkole najpierw Podstawa programowa. Oczywiście,
życie, komputery a teraz technologia informacyjna w bardzo istotny sposób wpływają na
dobór tych treści programowych.
Niektóre z haseł znikają (kto teraz z młodych ludzi wie, co to jest suwak
logarytmiczny, do czego był używany?), inne zmieniają swoją wagę i zakres (logarytmy,
równania logarytmiczne, wykładnicze, trygonometryczne itd.), pojawiają się nowe (statystyka
opisowa, rachunek prawdopodobieństwa). W całym tym procesie widoczna jest bardzo
wyraźnie tendencja do zmniejszania zakresu treści matematycznych.
Zatem, które treści są potrzebne, które można usunąć, a którym nadać inną wagę? Czy
można to zrobić arbitralnie? Czy my rzeczywiście wiemy co będzie w przyszłości
najważniejsze? Czy jesteśmy w tych sprawach zgodni?
Jeszcze gorzej wygląda sprawa z doborem podstawowych umiejętności z matematyki.
Czy umiejętność wykonywania działań na ułamkach zwykłych jest potrzebna uczniowi
w szkole, skoro w życiu już prawie wszędzie występują ułamki dziesiętne i istnieje
kalkulator? A nawet istnieją kalkulatory, które świetnie sobie radzą z działaniami na
ułamkach zwykłych.
Czy umiejętność kreślenia wykresów funkcji, zgodnie z przyjętym algorytmem, jest
umiejętnością kluczową, którą każdy wstępujący w mury wyższej uczelni powinien posiadać,
jeżeli wiemy, że najprostszy nawet kalkulator graficzny zrobi to natychmiast
i o wiele estetyczniej? Czy w związku z tym przyjdzie taka chwila, że już nie będzie
zabronione używanie kalkulatorów graficznych na maturze?
Odpowiedź na pierwsze z tych pytań wydaje się prosta: musimy uczyć ułamków
zwykłych, gdyż bez ich znajomości trudno byłoby zapewnić uczącym się matematyki
ciągłość kształcenia (potrzebne w trakcie uczenia się o liczbach wymiernych, podczas
wykonywania działań na wyrażeniach wymiernych etc.). Ale, czy na pewno?
A może z pomocą kalkulatorów uczeń potrafi nabyć pożądane umiejętności? A może ułamki
te potrzebne są w szkole także z innych powodów?
Literatura dydaktyczna wymienia i analizuje różnorodne aktywności matematyczne,
które powinno się kształcić w toku nauczania matematyki. Twórcy nowej Podstawy w ogóle
tego faktu nie dostrzegają, a przecież one wyznaczają najważniejsze cele nauczania
matematyki. Te aktywności, rozwijane stopniowo będą przenoszone do dorosłego życia
(czym skorupka za młodu nasiąknie ...).
Sformułowane w propozycji Podstaw cele nauczania, pozornie wiążą się z omawianymi
poziomami, co pokazuje ich bardziej dokładna analiza.
Pierwszy z celów: „Wiadomości i umiejętności matematyczne niezbędne do sprawnego
funkcjonowania w życiu codziennym”, pomijając samo jego sformułowanie, nie wskazuje,
o jakich przewidywanych oraz pożądanych zmianach w sposobie myślenia i działania
myślimy (bo przecież o to w celach chodzi). Czy o opanowanie, odtwarzanie, znajomość,
operowanie, rozmienienie, stosowanie, tworzenie, zdobywanie wiadomości, a może jeszcze,
o co innego? Oczywiście można powiedzieć, że wystarczy wpisać odpowiedni zwrot; to nie
o retusz językowy idzie, ale późniejsze „odzwierciedlenie” celu w stawianych wymaganiach,
w doborze i interpretacjach treści, na każdym etapie nauczania. O stopniowe dojrzewanie
matematyczne ucznia, o koncepcję matematyki szkolnej. A więc nie jest obojętne, co
wpiszemy i w którym miejscu.
A tak naprawdę niewiele potrzeba z matematyki, aby sprawnie funkcjonować w życiu
codziennym (to już dawno wiadomo, to pokazuje także poziom ogólnej kultury grup ludzi).
Czy mamy na myśli aktualną sytuację, czy za 10-15 lat? Gdzie tu mieści się technologia
informacyjna? A może zwyczajnie chodzi o funkcjonowanie tylko w szkole, na lekcjach
matematyki?
Drugi z tych celów Umiejętność odpowiedzialnego myślenia , tj …. Na początku, nawet
sami autorzy dostrzegają, że należy objaśniać zwrot odpowiedzialne myślenie, które zawężają
do dedukcji. Dlaczego inne obok dedukcji formy nie są dopuszczalne? Dlaczego mamy
ignorować (pokazując zalety i ograniczenia) specyfikę definiowania, formalizowania
i odformalizowania, uogólniania, tworzenia twierdzeń, czytania tekstów, stosowania technik
heurystycznych itp.
Cel trzeci został sprowadzony do operowania obiektami abstrakcyjnymi oraz
wykorzystywania tych obiektów w sytuacjach modelowania. Czy naprawdę nie warto uczyć
się, rozwijać aktywnych postaw, logicznie argumentować, wykorzystywać możliwości
technologii informacyjnej, komunikować się, współpracować? A tego brak.
Dobór i opis celów prowadzi do kilku jednoznacznych wniosków.
• W projekcie Podstawy najważniejsze są treści, cele są traktowane jako kosmetyczne
dodatki, które wypada zapisać, ale nikt poważny nie może ich brać na serio,
• Matematyka, jaką zarysowuje Podstawa, została sprowadzona do rachunków
symbolicznych (dedukcja, algorytmy, operowanie obiektami abstrakcyjnymi); wymagania
– to tylko obliczanie, rozpoznawanie, zapisywanie; gdzieś zginęło rozumienie, aktywne
działanie, nabywanie umiejętności (kompetencji) kluczowych, wszystko sprowadza się do
rachunków; ta matematyka, to atrapa rachunkowa, matematyka dla ubogich,
• Zastosowania zostały sprowadzone do budowania (tylko z obiektów abstrakcyjnych)
modeli matematycznych (gdzie tworzenie wiedzy, dobieranie modeli, ich ocenianie,
interpretowanie itp.); w najbliższej przyszłości coraz większego znaczenia będą nabierały
techniki rachunku przybliżonego, szacowanie, użycie kalkulatorów, komputerów, a tego
nie ma.
W dydaktyce mówimy o kształtowaniu pojęć, ich tworzeniu, przygotowywaniu ucznia
do działania w świecie, w którym jest matematyka niezbędna, zastanawiamy się nad
rozwijaniem różnego rodzaju aktywności (także twórczych) itd., itd., a teraz – zgodnie z taką
filozofią Podstawy – nic z tych rzeczy nie jest potrzebne. Po co komu takie teorie, one mogą
jedynie przeszkadzać przy pisaniu podręcznika, poradnika, układaniu program nauczania w
danej klasie, konstruowaniu sprawdzianów, egzaminowaniu. Rodzą się pytania: jak
przeciętny nauczyciel odczyta koncepcję matematyki, której powinien uczyć, jak będą
wyglądały lekcje, jakie zadania będą rozwiązywanie? Czy nauczyciel zrozumie wnioski
z badań PISA?
O ignorowaniu technologii informacyjnej w nauczaniu matematyki
Jesteśmy jeszcze daleko, w stosunku do innych krajów świata, Europy, w stosowaniu
technologii informacyjnej w nauczaniu matematyki. Trzeba jasno i głośno nazywać rzeczy po
imieniu. To władze oświatowe są odpowiedzialne za taki stan rzeczy. Nie można wszystkiego
tłumaczyć brakiem środków finansowych.
W obecnej Podstawie programowej z matematyki trudno znaleźć jakikolwiek fragment
mówiący o wykorzystaniu TI w nauczaniu tego przedmiotu. A jak wygląda ten problem w
przygotowywanej obecnie nowej Podstawie programowej z matematyki? Można powiedzieć,
że pojawiły się w tym względzie pierwsze jaskółki: w proponowanych wymaganiach można
znaleźć
jedno odniesienie do tych problemów (Szkoła podstawowa, klasy IV-VI;
Wykorzystuje kalkulator w obliczeniach dotyczących sytuacji praktycznych), w tematach ze
Statystyki opisowej (wersja 03) są tematy mówiące o wykorzystaniu technologii
informacyjnej (brawo), ale tylko w szkole podstawowej i gimnazjum. A co ze szkołą średnią?
Twórcy tej podstawy nie zdecydowali się jednak umieścić podobnego
przesłania
w sformułowanych tam Celach kształcenia, czy też wskazać miejsca, w których
z powodzeniem, bez szkody dla matematycznego wykształcenia można stosować kalkulator
graficzny lub komputer.
Co stoi na przeszkodzie, by na przykład w dziale Wykresy funkcji w gimnazjum
umieścić takie oto sformułowanie: „Uczeń potrafi przy pomocy kalkulatora graficznego lub
prostego programu komputerowego narysować wykres funkcji i z tego wykresu odczytać:
•
wartość funkcji dla danego argumentu,
•
wartość najmniejszą i największą w pewnym przedziale,
•
argument, dla których funkcja przyjmuje podaną wartość,
•
miejsce zerowe,
argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.
A gdy szkołę nie stać na kalkulatory graficzne (?), to czy w pracowni matematycznej
nie może być jeden kalkulator graficzny z panelem lub komputer, na którym nauczyciel
narysuje wykres funkcji, natomiast uczniowie będą obserwować taki wykres i odczytywać
z niego powyżej sformułowane własności. Czy rzeczywiście brak takich urządzeń to jest
główna przyczyna niechęci nauczyciela do stosowania technologii informacyjnej na lekcjach
matematyki? A może należy, poprzez takie zapisy, zmusić szkoły oraz zachęcić jednych
nauczycieli i utwierdzić innych w potrzebie posługiwania się tymi wygodnymi narzędziami
nie tylko na lekcjach matematyki. Truizmem jest stwierdzenie, że ludzie, którzy wykorzystują
TI w swej pracy (nauce), nie tylko więcej wiedzą, ale także ich postawy wobec wiedzy,
rzeczywistości są postawami aktywnymi.
Oczywiście w takiej sytuacji nie można dziwić się stanowisku Centralnej Komisji
Egzaminacyjnej, która na mocy rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia
18 lutego 2005 na liście pomocy naukowych dostępnych na maturze zabrania używanie
kalkulatorów naukowych, argumentując to tym, że kalkulatory oduczają uczniów liczenia.
W związku z tym obecny styl egzaminów stara się zahamować rolę TI w kształceniu matematycznym w szkole. Trzeba to wyraźnie stwierdzić i uznać za naganne.
Tymczasem, jak pokazują wyniki wielu badań naukowych w tym zakresie, także
w Polsce, praca na kalkulatorach, wykorzystywanie odpowiednich programów komputerowych, pomaga nie tylko rozwijać umiejętności algorytmiczne, ale także pozwala
skierować ucznia w kierunku twórczego, abstrakcyjnego myślenia, pozwala lepiej rozumieć
matematykę, jej zastosowania, a co za tym idzie, polubić ją.
•
O błędnej koncepcji statystyki opisowej i rachunku prawdopodobieństwa
Prezentowane w Podstawie programowej z matematyki treści i wymagania zawarte
w działach: Elementy statystyki opisowej (Szkła podstawowa), Statystyka opisowa
(gimnazjum), Elementy statystyki opisowej (Szkoła średnia kończąca się maturą) – z jakich
powodów te działy nazywają się inaczej - nie w pełni odpowiadają temu co powinno znaleźć
się w tych działach. Istotą statystyki opisowej jest obserwacja otaczającej nas rzeczywistości,
dostrzeganie i formułowanie problemów – pytań, opracowywanie narzędzi i przeprowadzenia
badań, przedstawienie zebranych danych w postaci różnych diagramów statystycznych
i dopiero na ich podstawie formułowanie odpowiednich wniosków, które mają być między
innymi odpowiedziami na postawione na początku pytania.
Takie ujęcie Statystyki opisowej, jak pokazują to doświadczenia szkolne (sprawdzone
już w niektórych Programach nauczania), a także prowadzone badania naukowe (prace
doktorskie na ten temat), jest dostępne począwszy już od klasy IV szkoły podstawowej.
Dlaczego więc wybiera się opcję polegającą na biernym odczytywaniu informacji z podanego
zbioru wyników (niejednokrotnie nieżyciowych i nierzetelnych – a jak sprawdzić rzetelność
tych wyników?), a pomija się kształtowanie jednej z najbardziej ważnych aktywności
matematycznych? Czy opublikowane ostatnio wyniki PISA nie potwierdzają postawionej
tezy? (nasi uczniowie radzili sobie z odczytywaniem informacji z różnych przedstawień
graficznych, ale dużo gorzej wypadli w takich zadaniach, które wymagały twórczej postawy
w rozwiązywaniu problemów praktycznych). To właśnie w głównej mierze Statystyka
opisowa dostarcza prawdziwych, życiowych problemów do rozwiązywania, a nie inne działy,
w których czysty problem matematyczny ubiera się w słowa z języka potocznego (listek
figowy, który przykrywa nagość czystej matematyki).
Proponowane treści kształcenia w tym zakresie zupełnie mieszczą się w gimnazjum,
czy w szkole średniej nie można wprowadzić treści związanych z takimi rozkładami, które
mają wiele modeli w życiu?
Tutaj właśnie jest także miejsce do wprowadzania technologii informacyjnej
(przepiękne możliwości i zastosowania).
Zamieszczone w proponowanej Podstawie treści z rachunku prawdopodobieństwa to
zupełne nieporozumienie. Pozwalamy sobie zamieścić tu opinię Prof. Adama Płockiego
(Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie), wybitnego specjalistę między
innymi z zakresu dydaktyki rachunku prawdopodobieństwa.
Propozycja materiału adresowanego do szkoły średniej z rachunku prawdopodobieństwa jest kuriozalna. Autorzy nie maja pojęcia, czym jest rachunek prawdopodobieństwa
i dlaczego aktualnie (na całym cywilizowanym świecie) wprowadza się go do powszechnego
matematycznego kształcenia.
Obok aspektu geometrycznego i arytmetycznego, ważnym aspektem matematyki ,,dla
każdego" jest aspekt stochastyczny. Nie chodzi tu o rachunki (obliczanie prawdopodobieństwa
klasycznego za pomocą kombinatoryki), ale o oswajanie ucznia ze specyficzną metodologią,
a wiec z osobliwymi wnioskowaniami dotyczącymi weryfikacji hipotez, estymacji pewnych
wielkości (szacowaniem opartym na danych statystycznych), procesu podejmowania decyzji,
oceny ryzyka i szans, oceny oczekiwanych zysków i strat, wiarygodności pewnych sądów itd.,
a wynikającymi z wielkości wyliczonego prawdopodobieństwa w odpowiednim modelu
probabilistycznym (a wiec w odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej).
Wymagania 9.1 (Stosuje klasyczna definicje prawdopodobieństwa do wyznaczania
prawdopodobieństw zdarzeń losowych) jest nieporozumieniem. Sprowadzanie rachunku
prawdopodobieństwa wyłącznie do prawdopodobieństwa klasycznego (w przestrzeniach
klasycznych) i tylko do rachunków, jest poważnym błędem. To tak, jakby cala geometrie
trójkąta w szkole sprowadzać wyłącznie do trójkąta równobocznego. Wyjdzie z tego bardzo
skrzywiony obraz trójkąta i jego własności.
Każdy szanujący się probabilista nie używa zwrotu ,,definicja klasyczna", wszak to nie
jest żadna definicja (jest to tautologia). W szkole należy wprowadzić poprawna definicje
prawdopodobieństwa, a ma ona służyć do kształtowania pojęcia prawdopodobieństwa jako
szczególnej funkcji (o własnościach analogicznych do pola, masy, czy objętości). Własności
prawdopodobieństwa klasycznego na ogół nie są własnościami prawdopodobieństwa.\
Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa jest konstruowanie i badanie przestrzeni
probabilistycznych. Od 20 lat w krakowskiej Akademii Pedagogicznej pracujemy nad
koncepcjami szkolnej stochastyki. Jest mnóstwo publikacji, w których proponujemy
(osadzone głęboko na dydaktyce matematyki) koncepcje adaptacji treści i metod
stochastycznych do matematyki ,,dla każdego". Jest książka "Prawdopodobieństwo wokół
nas" (III wydanie, książka wydana także w j. rosyjskim, czeskim i słowackim), w której
przedstawiono propozycje, jakiego rachunku można i trzeba uczyć w szkole, a przede
wszystkim dlaczego. Jest to elementarna matematyka, której przedmiotem jest konstruowanie
skończonych przestrzeni probabilistycznych jako modeli matematycznych konkretnych
sytuacji (doświadczeń) losowych). W tej koncepcji pokazano: co się matematyzuje, jak się to
robi i dlaczego (motywacje). Uczyć matematyzować - to jeden z ważniejszych celów
kształcenia matematycznego.
W celach kształcenia w p. 3 wspomina się o ,,... prostych modelach matematycznych
rożnych sytuacji z życia codziennego oraz wykorzystywanie tych modeli do rozwiązywania
problemów praktycznych" (s. 1). Wspomniana koncepcja rachunku prawdopodobieństwa
(Prawdopodobieństwo wokół nas) tego właśnie dotyczy. Autorzy podstaw chyba nie znają
tych koncepcji (a to nie przystoi, gdy się przymierza do proponowania podstaw
programowych!).
O lansowaniu liniowej formy edukacji
Konstrukcja treści w podstawie jest konstrukcją liniową, która od dość dawna odeszła już do
lamusa (istnieje wiele publikacji na ten temat). Oto przykłady:
•
Elementy statystyki opisowej,
•
Elementy rachunku prawdopodobieństwa,
•
Pojęcie funkcji – jedno z fundamentalnych pojęć matematycznych,
•
Itd., itd.
Tak też będą konstruowane przyszłe podręczniki. To jedna z zasadniczych wad tej
propozycji. A przecież można konstruować treści matematyczne w sposób spiralny: te same
treści matematyczne na różnych etapach nauczania, ale pogłębione, poszerzone, wzbogacone,
oczywiście siłą rzeczy, w coraz to ściślejszym ujęciu (całe tomy publikacji). A co zrobić
z istniejącymi już podręcznikami?