Prawdopodobieństwo ruiny z paryskim opóźnieniem dla wybranych

Transkrypt

Porównanie prawdopodobieństw paryskiej i klasycznej
ruiny dla procesu ryzyka typu Lévy’ego
Irmina Czarna
Zbigniew Palmowski
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
Wrocław, 6 IX 2010
Irmina Czarna, Zbigniew Palmowski
(
Instytut Matematyczny Uniwersytetu
Wrocław,Wrocławskiego)
6 IX 2010
1 / 20
Proces ryzyka
Model Craméra-Lundberga:
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
x > 0 kapitał początkowy
Ui , i = 1, 2, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie
Nt - niezależny proces Poissona z intensywnością λ
(
6 IX 2010
2 / 20
Proces ryzyka
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
rozkładzie
Ruch Browna z dryfem
Xt = σBt + pt
(
6 IX 2010
2 / 20
Proces ryzyka
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
rozkładzie
Ruch Browna z dryfem
Xt = σBt + pt
Naturalne wydaje się roważanie procesu będącego sumą niezależnego
klasycznego procesu ryzyka i niezależnego ruchu Browna
(
6 IX 2010
2 / 20
Spektralnie ujemny proces Lévy’ego
Xt - spektralnie ujemny proces Lévy’ego
(
6 IX 2010
3 / 20
Moment ruiny τ0− = inf{t ≥ 0 : Xt < 0}
(
6 IX 2010
3 / 20
Prawdopodobieństwo ruiny Px (τ0− < ∞) rozumiane jako
P(·|X0 = x) = Px (·) oraz P0 = P
Formuła Lévy’ego-Chinczyna
Ee iθXt = e −Ψ(θ)t
Z 0 σ2 2
Ψ(θ) = −ipθ + θ +
1 − e iθx + iθx1(|x|<1) ΠX (dx)
2
−∞
R
oraz zakładamy, że (−∞,0) (1 ∧ x 2 ) ΠX (dx) < ∞
(
6 IX 2010
3 / 20
Prawdopodobieństwo ruiny Px (τ0− < ∞) rozumiane jako
P(·|X0 = x) = Px (·) oraz P0 = P
Formuła Lévy’ego-Chinczyna
Ee iθXt = e −Ψ(θ)t
Z 0 σ2 2
Ψ(θ) = −ipθ + θ +
1 − e iθx + iθx1(|x|<1) ΠX (dx)
2
−∞
R
oraz zakładamy, że (−∞,0) (1 ∧ x 2 ) ΠX (dx) < ∞
Przymujemy, że Xt → ∞ p.w. gdy t → ∞
(
6 IX 2010
3 / 20
Paryska ruina
Paryska ruina zachodzi, gdy proces X przebywa poniżej zera przez
czas dłuższy niż zadane ζ > 0
(
6 IX 2010
4 / 20
Paryska ruina
Paryska ruina zachodzi, gdy proces X przebywa poniżej zera przez
czas dłuższy niż zadane ζ > 0
Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny definiujemy jako
P(τ ζ < ∞|X0 = x) = Px (τ ζ < ∞)
X
t
t
0
z
t
z
t
(
6 IX 2010
4 / 20
Oznaczenia
Niech τx+ = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ x}
(
6 IX 2010
5 / 20
Oznaczenia
Definiujemy wykładnik Laplace’a: ϕ(β) :=
Φ(q) = sup{θ ≥ 0 : ϕ(θ) = q}
(
1
t
log E(e βXt ) oraz funkcję:
6 IX 2010
5 / 20
Oznaczenia
Definiujemy wykładnik Laplace’a: ϕ(β) := 1t log E(e βXt ) oraz funkcję:
Φ(q) = sup{θ ≥ 0 : ϕ(θ) = q}
bt = −Xt to spektralnie dodatni proces Lévy’ego,
Proces dualny X
którego miara skoków wynosi ΠXb (0, y ) = ΠX (−y , 0)
(
6 IX 2010
5 / 20
Funkcje skalujące
Funkcja skalująca pierwszego rodzaju: W (q) : [0, ∞) → [0, ∞):
Z ∞
e −θx W (q) (y )dy = (ϕ(θ) − q)−1
θ > Φ(q)
0
(
6 IX 2010
6 / 20
Funkcje skalujące
Z ∞
e −θx W (q) (y )dy = (ϕ(θ) − q)−1
θ > Φ(q)
0
Funkcja skalująca drugiego rodzaju:
Z
(q)
Z
(y ) = 1 + q
y
W (q) (z)dz
0
(
6 IX 2010
6 / 20
Funkcje skalujące
Z ∞
e −θx W (q) (y )dy = (ϕ(θ) − q)−1
θ > Φ(q)
0
Z
(q)
Z
(y ) = 1 + q
y
W (q) (z)dz
0
(−ϕ(v ))
Wv
(−ϕ(v ))
są funkcjami skalującymi względem miary Pv :
d Pvx = exp{v (Xt − X0 ) − ϕ (v ) t}
d P x Ft
oraz Zv
(
6 IX 2010
6 / 20
Funkcje skalujące
Z ∞
e −θx W (q) (y )dy = (ϕ(θ) − q)−1
θ > Φ(q)
0
Z
(q)
Z
(y ) = 1 + q
y
W (q) (z)dz
0
(−ϕ(v ))
Wv
(−ϕ(v ))
są funkcjami skalującymi względem miary Pv :
d Pvx = exp{v (Xt − X0 ) − ϕ (v ) t}
d P x Ft
oraz Zv
Wtedy
−qτ0− +βXτ −
(u)
−
βz
0
Ez e
, τ0 < ∞ = e
Zβ (z) −
u
(u)
W (z) ,
Φ(u) β
gdzie u = q − ϕ(β)
(
6 IX 2010
6 / 20
Główny rezultat
Twierdzenie 1
Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny jest zadane wzorem:
Px (τ ζ < ∞) = Px (τ0− < ∞)P(τ ζ < ∞)
Z ∞
ζ
+ 1 − P(τ < ∞)
P(τz+ > ζ)Px (τ0− < ∞ − Xτ − ∈ dz)
0
(
0
6 IX 2010
7 / 20
Główny rezultat
Twierdzenie 1
Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny jest zadane wzorem:
Px (τ ζ < ∞) = Px (τ0− < ∞)P(τ ζ < ∞)
Z ∞
ζ
+ 1 − P(τ < ∞)
P(τz+ > ζ)Px (τ0− < ∞ − Xτ − ∈ dz)
0
0
gdzie
Px (τ0− < ∞) = 1 − ϕ0 (0+)W (x)
oraz
Z ∞
0
Z
∞
P(τz+ > s)Px (τ0− < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
0
0
1 − ϕ (0+)W (x) 1 Φ(θ)x
θ
(−θ)
(−θ)
=
− e
ZΦ(θ) (x) +
W
(x)
θ
θ
Φ(−θ) Φ(θ)
e
−θs
ds
(
6 IX 2010
7 / 20
Szkic dowodu
X
t
t
0
z
t
z
t
(
6 IX 2010
8 / 20
Paryska ruina dla x = 0
Twierdzenie 2
(i) Dla procesu o ograniczonym wahaniu mamy, że :
R∞
ζ
P(τ < ∞) =
P(τz+ > ζ)P(τ0− < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
R∞
+
−
1 − ρ + 0 P(τz > ζ)P(τ0 < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
0
(
6 IX 2010
9 / 20
Paryska ruina dla x = 0
Twierdzenie 2
(i) Dla procesu o ograniczonym wahaniu mamy, że :
R∞
ζ
P(τ < ∞) =
P(τz+ > ζ)P(τ0− < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
R∞
+
−
1 − ρ + 0 P(τz > ζ)P(τ0 < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
0
gdzie
ρ = P(τ0− < ∞)
oraz
Z
0
∞
Z ∞
e −θs ds
P(τz+ > s)P(τ0− < ∞, −Xτ − ∈ dz)
0
Z ∞0 1
=
1 − e −Φ(θ)z ΠXb (z, ∞)dz
θp 0
(
6 IX 2010
9 / 20
Twierdzenie 2 c.d.
(ii) Dla procesu o nieograniczonym wahaniu mamy, że :
q(b, ζ) − q(b, ∞)
,
q(b, ζ)
b→∞
P(τ ζ < ∞) = lim
(
Wrocław, Wrocławskiego)
6 IX 2010
10 / 20
Twierdzenie 2 c.d.
(ii) Dla procesu o nieograniczonym wahaniu mamy, że :
q(b, ζ) − q(b, ∞)
,
q(b, ζ)
b→∞
P(τ ζ < ∞) = lim
gdzie
Z
0
∞Z ∞
e −ωs e −βt q(s, t) dt ds =
0
oraz
m(ω) = lim
↓0
m(ω)Φ (ω) (β − ω)
βω 2 (Φ(β) − Φ (ω))
P(−X eω ≤ )
n()
dla normalizującej stałej n oraz niezależnej zmiennej losowej eω o
rozkładzie wykładniczym z parametrem ω oraz X t = inf 0≤s≤t Xs
(
6 IX 2010
10 / 20
Paryska ruina dla klasycznego procesu ryzyka C-L
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
rozkładzie wykładniczym z prametrem ξ
(
6 IX 2010
11 / 20
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
(
6 IX 2010
11 / 20
Xt = x + pt −
Nt
X
Ui
i=1
Dla dowolnego x ≥ 0
λ −( pξ−λ
pξD
)x
ζ
p
Px (τ < ∞) =
e
pξ
pξ − λ(1 − D)
gdzie
λ − pξ−λ
x
p
< ∞) =
e
pξ
Z ζr
p
pξ −(λ+pξ)t −1
D =1−
e
t I1 (2t pλξ)dt
λ
0
oraz I1 (x) jest zmodyfikowaną funkcją Bessla pierwszego rodzaju
Px (τ0−
(
6 IX 2010
11 / 20
Klasyczna i paryska ruina dla procesu ryzyka C-L - analiza
numeryczna
Bierzemy następujące parametry procesu ryzyka: ξ = 2, λ = 2, p = 2.5
ζ
P2 (τ0− < ∞)
P2 (τ ζ < ∞)
0.1
3.63 · 10−2
2.70 · 10−2
0.3
3.63 · 10−2
1.59 · 10−2
0.7
3.63 · 10−2
6.95 · 10−3
2
3.63 · 10−2
1.09 · 10−3
Tabela 1: Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny dla różnych opóźnień
x
Px (τ0− < ∞)
Px (τ 0.3 < ∞)
2
3.63 · 10−2
1.59 · 10−2
5
9.91 · 10−4
4.34 · 10−4
10
2.46 · 10−6
1.07 · 10−6
50
3.50 · 10−27
1.53 · 10−27
Tabela 2: Prawdopodobieństwo klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych
kapitałów początkowych
(
6 IX 2010
12 / 20
Klasyczna i paryska ruina dla procesu ryzyka C-L - analiza
numeryczna
Bierzemy następujące parametry procesu ryzyka: ξ = 2, λ = 2, p = 2.5
ζ
Px (τ0−
< ∞)
P2 (τ ζ < ∞)
0.1
2.69 · 10−2
x = 2.25
2.70 · 10−2
0.3
1.60 · 10−2
x = 2.68
1.59 · 10−2
0.7
6.93 · 10−3
x = 3.38
6.95 · 10−3
2
1.09 · 10−3
x = 4.92
1.09 · 10−3
Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału początkowego aby w przypadku
klasycznym prawdopodobieństwo ruiny było na tym samym poziomie jak
dla paryskiego opóźnienia
(
6 IX 2010
13 / 20
Paryska ruina dla ruchu Browna z dryfem
Xt = σBt + pt
Dla dowolnego x ≥ 0
Ξ
ζ
Px (τ < ∞) = e
−(2pσ −2 )x
Ξ
q p
σ
ζ
2
q p
σ
ζ
2
−
p
σ
q
ζπ
2
+
p
σ
q
ζπ
2
gdzie
Px (τ0− < ∞) = e −(2pσ
−2 )x
√
√
√
2
Ξ(x) = 2 πxN ( 2x) − πx + e −x
oraz N (.) oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego
(
6 IX 2010
14 / 20
Klasyczna i paryska ruina dla ruchu Browna z dryfem analiza numeryczna
Bierzemy następujące parametry procesu ryzyka: σ = 2, p = 2.5
ζ
P2 (τ0− < ∞)
P2 (τ ζ < ∞)
0.1
8.21 · 10−2
3.04 · 10−2
0.3
8.21 · 10−2
1.45 · 10−2
0.7
8.21 · 10−2
5.58 · 10−3
2
8.21 · 10−2
7.12 · 10−4
Tabela 1: Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny dla różnych opóźnień
x
Px (τ0− < ∞)
Px (τ 0.3 < ∞)
2
8.21 · 10−2
1.45 · 10−2
5
1.93 · 10−3
3.41 · 10−4
10
3.73 · 10−6
6.57 · 10−7
50
7.19 · 10−28
1.26 · 10−28
Tabela 2: Prawdopodobieństwo klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych
kapitałów początkowych
(
6 IX 2010
15 / 20
Klasyczna i paryska ruina dla ruchu Browna z dryfem analiza numeryczna
Bierzemy następujące parametry procesu ryzyka: σ = 2, p = 2.5
ζ
Px (τ0−
< ∞)
P2 (τ ζ < ∞)
0.1
3.05 · 10−2
x = 2.79
3.04 · 10−2
0.3
1.45 · 10−2
x = 3.39
1.45 · 10−2
0.7
5.58 · 10−3
x = 4.15
5.58 · 10−3
2
7.19 · 10−4
x = 5.79
7.12 · 10−4
Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału początkowego aby w przypadku
klasycznym prawdopodobieństwo ruiny było na tym samym poziomie jak
dla paryskiego opóźnienia
(
6 IX 2010
16 / 20
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
(
6 IX 2010
17 / 20
Bibliografia
Albrecher, H., Thonhauser, S. (2008) Optimal dividend strategies for a risk
process under force of interest, Insurance: Mathematics and Economics 43,
134-149.
Assmusen, S. (2000) Ruin Probabilities. World Scientific.
Bertoin, J. (1996) Lévy processes. Cambridge University Press.
Bertoin, J. and Doney, R.A. (1994) Cramers estimate for Lévy processes.
Stat. Probab. Lett. 21, 363-365.
Beteman, H. (1954) Table of Integral Transforms, Vol. I. McGraw-Hill.
Bingham, N.H., Goldie, C.M. and Teugels, J.L. (1987) Regular Variation.
Cambridge University Press, Cambridge.
Borovkov, A.A. (1976) Stochastic processes in queueing theory.
Springer-Verlag.
Dassios, A. and Wu, S. (2009) Parisian ruin with exponential claims.
Submitted for publication, see http://stats.lse.ac.uk/angelos/.
Dassios, A. and Wu, S. (2009) Ruin probabilities of the Parisian type for
small claims. Submitted for publication, see http://stats.lse.ac.uk/angelos/.
Dassios, A. and Wu, S. (2009)
Perturbed
BrownianUniwersytetu
motion
(
Instytut Matematyczny
Wrocław,and
Wrocławskiego)
6 IX its
2010
18 / 20
Bibliografia
Dufresne, F. and Gerber, H.U. (1991) Risk theory for the compound Poisson
process that is perturbed by diffusion. Insurance: Mathematics and
Economics 10.
Furrer, H. (1998) Risk processes perturbed by α-stable Lévy motion. Scand.
Actuar. J. 10, 23-35.
Hubalek F. and Kyprianou, A. (2010) Old and new examples of scale
functions for spectrally negative Lévy processes. To appear in Sixth Seminar
on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications, Birkhäuser.
Huzak, M., Perman, M., Šikić, H. and Vondraček, Z. (2004) Ruin
probabilities and decompositions for general perturbed risk process. Ann.
Appl. Probab. 14(3), 1378-1397.
Klüppelberg, C., Kyprianou, A.E and Maller, R.A. (2004) Ruin probabilities
and overshoots for general Lévy insurance risk processes. Ann. Appl. Probab.
14, 1766-1801.
Klüppelberg, C. and Kyprianou, A.E (2006) On extreme ruinous behaviour
of Lévy insurance risk process. J. Appl. Probab. 43(2), 594-598.
(
6 IX 2010
19 / 20
Bibliografia
Kyprianou, A.E. (2006) Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy
Processes with Applications, Springer.
Wang, G. (2001) A decomposition of the ruin probability for the risk process
perturbed by diffusion. Insurance: Mathematics and Economics 28, 45-59.
Sato, K. (1999) Lévy processes and infinitely divisible distributions.
Cambridge University Press.
(
6 IX 2010
20 / 20

Prawdopodobieństwo ruiny z paryskim opóźnieniem dla wybranych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wróżby z kart, Tarot, Rytuały magiczne

Sandra Wolna- doktorantka w Zakładzie Komunikowania

Uchwała nr IX/53/03 Rady Powiatu Wrocławskiego z dnia 16

W grudniu zostały ogłoszone wyniki Międzyszkolnego Konkursu

Zalacznik3

UCHWAŁA Nr 68/2015 Senatu Uniwersytetu Wrocławskiego z dnia

Uchwała Nr XII/96/12 w sprawie zmiany nazwy oraz siedziby

spis treśœci - e

UCHWAŁA NR 57/2016 SENATU UNIWERSYTETU