Wykład 6

Wyklad 6
Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
1
Określenie podprzestrzeni
Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V1 ⊆ V nazywamy podprzestrzenia, przestrzeni liniowej
V , jeśli ma on nastepuj
ace
wlasności:
,
,
(I) suma dowolnych dwu wektorów należacych
do V1 należy do V1 ,
,
(II) jeśli α ∈ V1 i a ∈ K, to a ◦ α ∈ V1 .
Uwaga 6.2. Wektor zerowy θ należy do każdej podprzestrzeni V1 przestrzeni V .
Rzeczywiście, ponieważ V1 6= ∅, wiec
,
, istnieje α ∈ V1 i wówczas z (II) mamy, że 0 ◦ α ∈ V1 , skad
z wlasności 5.15 jest θ ∈ V1 .
Uwaga 6.3. Podprzestrzeń V1 przestrzeni liniowej V jest przestrzenia, liniowa, wzgledem
,
dodawania wektorów zredukowanego do V1 i mnożenia przez skalary zredukowanego do V1 .
Sprawdzenie prawdziwości aksjomatów A1-A8 nie przedstawia trudności. Np. z (II) oraz z
wlasności 5.16 wynika, że −α ∈ V1 dla każdego α ∈ V1 .
Każda przestrzeń liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrzenie: zbiór V oraz podprzestrzeń zlożona, tylko z wektora θ. Pierwsza, z tych podprzestrzeni nazywamy niewlaściwa,
,
a druga, zerowa.
,
Twierdzenie 6.4. Cześć
wspólna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni
,
liniowej V jest podprzestrzenia, przestrzeni V .
Dowód. Niech
dowolna, niepusta, rodzina, podprzestrzeni przestrzeni liniowej V i
,
\ W bedzie
niech W0 =
W . Z uwagi 6.2 mamy, że θ ∈ W dla każdego W ∈ W. Zatem θ ∈ W0 . Niech
W ∈W
α, β ∈ W0 . Wtedy α, β ∈ W dla każdego W ∈ W, skad
, α + β ∈ W dla każdego W ∈ W, wiec
,
α + β ∈ W0 . Jeśli a ∈ R oraz α ∈ W0 , to α ∈ W dla każdego W ∈ W, skad
a
◦
α
∈
W
dla
,
każdego W ∈ W, wiec
a
◦
α
∈
W
.
Zatem
W
jest
podprzestrzeni
a
przestrzeni
V. 2
0
0
,
,
2
Podprzestrzenie generowane i ich wlasności
Twierdzenie 6.5. Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa, i niech A bedzie
dowolnym pod,
,
zbiorem przestrzeni V . Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V
A.
zawierajaca
,
Dowód. Oznaczmy przez W rodzine, wszystkich podprzestrzeni W przestrzeni V takich,
\ że
A ⊆ W . Rodzina W jest niepusta, bo np. V ∈ W. Z twierdzenia 6.4 mamy, że W0 =
W
W ∈W
jest podprzestrzenia, przestrzeni V , a ponieważ A ⊆ W dla każdego W ∈ W, wiec
, A ⊆ W0 . Niech
teraz V1 bedzie
podprzestrzenia, przestrzeni V taka,
, że A ⊆ V1 . Wtedy V1 ∈ W, skad
, W0 ⊆ V1 .
,
Zatem W0 jest najmniejsza, w sensie inkluzji podprzestrzenia, przestrzeni V zawierajac
, a, zbiór
A. 2
1
Uwaga 6.6. Najmniejsza, podprzestrzeń przestrzeni liniowej V zawierajac
, a, zbiór A ⊆ V nazywamy podprzestrzenia, rozpiet
, a, na podzbiorze A lub generowana, przez podzbiór A
i oznaczamy przez lin(A). Z tego określenia wynika od razu, że lin(∅) = {θ}. Jeśli zbiór
A jest skończony i A = {α1 , α2 , . . . , αn }, to zamiast lin({α1 , α2 , . . . , αn }) bedziemy
pisali
,
lin(α1 , α2 , . . . , αn ).
Zauważmy, że dla każdego α ∈ V jest lin(α) = {a ◦ α : a ∈ R}. Rzeczywiście, α = 1 ◦ α ∈
{a◦α : a ∈ R} oraz dla dowolnych a, b ∈ R mamy, że a◦α+b◦α = (a+b)◦α i a◦(b◦α) = (ab)◦α,
wiec
, a, α. Jeżeli zaś W jest
, {a ◦ α : a ∈ R} jest podprzestrzenia, przestrzeni V zawierajac
podprzestrzenia, przestrzeni V taka,
, że α ∈ W , to dla dowolnego a ∈ R jest a ◦ α ∈ W , skad
,
{a ◦ α : a ∈ R} ⊆ W . Zatem lin(α) = {a ◦ α : a ∈ R}.
Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, że jeżeli A i B sa, podzbiorami
przestrzeni liniowej V takimi, że A ⊆ B, to lin(A) ⊆ lin(B).
Twierdzenie 6.7.
Wówczas zbiór
Niech V1 , V2 , . . . , Vn bed
, a, podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V .
V1 + V2 + . . . + Vn = {α1 + α2 + . . . + αn : αi ∈ Vi dla i = 1, 2, . . . , n}
jest podprzestrzenia, przestrzeni V . Ponadto V1 + V2 + . . . + Vn = lin(V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vn ).
Dowód. Niech αi ∈ Vi dla i = 1, 2, . . . , n. Wtedy αi = θ| + .{z
. . + θ} +αi + θ| + .{z
. . + θ},
i−1
n−i
skad
, αi ∈ V1 + . . . + Vn dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem V1 ∪ . . . ∪ Vn ⊆ V1 + . . . + Vn . Niech
α, β ∈ V1 + . . . + Vn . Wtedy istnieja, αi , βi ∈ Vi dla i = 1, 2, . . . , n takie, że α = α1 + . . . + αn
i β = β1 + . . . + βn , skad
, α + β = (α1 + β1 ) + . . . + (αn + βn ) ∈ V1 + . . . + Vn , bo αi + βi ∈ Vi dla
i = 1, 2, . . . , n. Ponadto dla a ∈ K mamy, że a ◦ αi ∈ Vi dla i = 1, 2, . . . , n, skad
, z wlasności
5.20 a ◦ α = a ◦ α1 + . . . + a ◦ αn ∈ V1 + . . . + Vn . Zatem V1 + . . . + Vn jest podprzestrzenia,
przestrzeni V zawierajac
, a, zbiór V1 ∪ . . . ∪ Vn .
Niech teraz W bedzie
dowolna, podprzestrzenia, przestrzeni V taka,
, że V1 ∪ . . . ∪ Vn ⊆ W .
,
Weźmy dowolne α ∈ V1 + . . . + Vn . Wtedy istnieja, αi ∈ Vi dla i = 1, 2, . . . , n takie, że
α = α1 + . . . + αn . Ale α1 , . . . , αn ∈ W , wiec
,
, α ∈ W . Zatem V1 + . . . + Vn ⊆ W . Stad
V1 + . . . + Vn ⊆ lin(V1 ∪ . . . ∪ Vn ). Ale lin(V1 ∪ . . . ∪ Vn ) jest najmniejsza, podprzestrzenia,
przestrzeni V zawierajac
, a, zbiór V1 ∪ . . . ∪ Vn , wiec
, V1 + . . . + Vn = lin(V1 ∪ . . . ∪ Vn ). 2
, stad
Twierdzenie 6.8. Dla dowolnych wektorów α1 , . . . , αn przestrzeni liniowej V zachodzi wzór:
lin(α1 , . . . , αn ) = {a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn : a1 , . . . , an ∈ R}.
Dowód. Ponieważ αi ∈ lin(αi ) dla i = 1, 2, . . . , n, wiec
, {α1 , . . . , αn } ⊆ lin(α1 ) ∪ . . . ∪ lin(αn ),
lin(α
,
.
.
.
,
α
)
⊆
lin(lin(α
)∪.
.
.∪lin(α
)).
Ponadto
{αi } ⊆ {α1 , . . . , αn }, wiec
skad
1
n
1
n
,
, lin(αi ) ⊆
lin(α1 , . . . , αn ) dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem lin(lin(α1 ) ∪ . . . ∪ lin(αn )) ⊆ lin(α1 , . . . , αn ). Stad
,
lin(α1 , . . . , αn ) = lin(lin(α1 ) ∪ . . . ∪ lin(αn )) = lin(α1 ) + . . . + lin(αn ) = {a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn :
a1 , . . . , an ∈ R} na mocy twierdzenia 6.7 i uwagi 6.6. 2
2
Twierdzenie 6.9. Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni liniowej V zachodzi wzór:
lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ).
Dowód. Mamy, że X ⊆ lin(X) ⊆ lin(X) + lin(Y ) i Y ⊆ lin(Y ) ⊆ lin(X) + lin(Y ),
wiec
, a,
, X ∪ Y ⊆ lin(X) + lin(Y ). Ale lin(X ∪ Y ) jest najmniejsza, podprzestrzenia, zawierajac
zbiór X ∪ Y , wiec
, lin(X ∪ Y ) ⊆ lin(X) + lin(Y ). Dalej, X ⊆ X ∪ Y ⊆ lin(X ∪ Y ),
, stad
skad
lin(X)
⊆
lin(X
∪
Y ) oraz Y ⊆ X ∪ Y ⊆ lin(X ∪ Y ), wiec
,
,
, lin(Y ) ⊆ lin(X ∪ Y ). Stad
lin(X) + lin(Y ) ⊆ lin(X ∪ Y ) i ostatecznie lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ). 2
Z twierdzenia 6.9 mamy natychmiast nastepuj
acy
,
,
Wniosek 6.10. Dla dowolnych wektorów α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm przestrzeni liniowej V zachodzi wzór:
lin(α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ) = lin(α1 , . . . , αn ) + lin(β1 , . . . , βm ).
Twierdzenie 6.11. Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni liniowej V i dla każdego wektora
α∈V:
α ∈ lin(X) ⇔ lin(X ∪ {α}) = lin(X).
Dowód. Zalóżmy, że lin(X ∪ {α}) = lin(X). Ponieważ X ∪ {α} ⊆ lin(X ∪ {α}), wiec
,
, stad
X ∪ {α} ⊆ lin(X), skad
α
∈
lin(X).
Na
odwrót,
niech
teraz
α
∈
lin(X).
Wtedy
lin(α)
⊆
,
lin(X), skad
, lin(α) + lin(X) = lin(X). Ale z twierdzenia 6.9, lin(X ∪ {α}) = lin(X) + lin(α),
wiec
, lin(X ∪ {α}) = lin(X). 2
3
Kombinacja liniowa wektorów
Definicja 6.12. Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa.
Powiemy, że wektor α ∈ V jest
,
,
kombinacja, liniowa, wektorów α1 , α2 , . . . , αn ∈ V , jeżeli istnieja, skalary a1 , a2 , . . . , an ∈ R
(zwane wspólczynnikami tej kombinacji) takie, że
α = a1 ◦ α1 + a2 ◦ α2 + . . . + an ◦ αn .
(1)
Uwaga 6.13. Twierdzenie 6.8 możemy wypowiedzieć nastepuj
aco:
lin(α1 , . . . , αn ) sklada
,
,
sie, ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów α1 , . . . , αn .
Twierdzenie 6.14. Niech X bedzie
dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej
,
V nad cialem R. Wówczas lin(X) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich
skończonych podzbiorów zbioru X.
Dowód. Oznaczmy przez V1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych
podzbiorów zbioru X. Dla α ∈ X mamy, że α = 1 ◦ α ∈ V1 , wiec
, X ⊆ V1 . Ponieważ
X 6= ∅, wiec
V
=
6
∅.
Niech
a
∈
R
oraz
α,
β
∈
V
.
Wtedy
istniej
a
α
,
.
1
1
, 1 . . , αn , β1 , . . . , βm ∈ X
,
takie, że α = a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn oraz β = b1 ◦ β1 + . . . + bm ◦ βm . Zatem a ◦ α =
(aa1 ) ◦ α1 + . . . + (aan )αn ∈ V1 oraz α ∈ lin(α1 , . . . , αn ) i β ∈ lin(β1 , . . . , βm ), wiec
, z wniosku
3
6.10, α + β ∈ lin(α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ), czyli na mocy uwagi 6.13 α + β ∈ V1 . Stad
, V1
jest podprzestrzenia, przestrzeni V zawierajac
dowolna, podprzestrzenia,
, a, X. Niech W bedzie
,
przestrzeni V zawierajac
, a, X. Wtedy dla dowolnych α1 , . . . , αn ∈ X mamy, że α1 , . . . , αn ∈ W ,
skad
dla
dowolnych
a
,
1 . . . , an ∈ R jest a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn ∈ W . Zatem V1 ⊆ W , czyli V1
,
jest najmniejsza, podprzestrzenia, przestrzeni X zawierajac
, a, zbiór X. Zatem V1 = lin(X). 2
Twierdzenie 6.15. Niech α, α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm bed
, a, wektorami przestrzeni liniowej V .
Jeżeli wektor α jest kombinacja, liniowa, wektorów β1 , . . . , βm oraz dla i = 1, 2, . . . , m wektor
βi jest kombinacja, liniowa, wektorów α1 , . . . , αn , to wektor α jest kombinacja, liniowa, wektorów
α1 , . . . , αn .
Dowód. Z uwagi 6.13 mamy, że β1 , . . . , βm ∈ lin(α1 , . . . , αn ). Zatem lin(β1 , . . . , βm ) ⊆
lin(α1 , . . . , αn ). Ale z uwagi 6.13 α ∈ lin(β1 , . . . , βm ), wiec
, α ∈ lin(α1 , . . . , αn ), czyli z
, stad
uwagi 6.13 wektor α jest kombinacja, liniowa, wektorów α1 , . . . , αn . 2
Przyklad 6.16. Niech n ∈ N. W przestrzeni Rn określamy wektory
ε1 = [1, 0, 0, . . . , 0], ε2 = [0, 1, 0, . . . , 0], ε3 = [0, 0, 1, . . . , 0], . . . , εn = [0, 0, 0, . . . , 1]
Dla dowolnych skalarów a1 , . . . , an ∈ R
a1 ◦ ε1 = [a1 , 0, 0, . . . , 0]
a2 ◦ ε2 = [0, a2 , 0, . . . , 0]
a3 ◦ ε3 = [0, 0, a3 , . . . , 0] ,
........................
an ◦ εn = [0, 0, 0, . . . , an ]
wiec
, po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór:
[a1 , a2 , . . . , an ] = a1 ◦ ε1 + a2 ◦ ε2 + . . . + an ◦ εn .
(2)
Z tego wzoru wynika zatem, że każdy wektor przestrzeni Rn jest kombinacja, liniowa, wektorów
ε1 , . . . , εn , czyli Rn = lin(ε1 , . . . , εn ). Mówimy też, że wektory ε1 , . . . , εn generuja, przestrzeń
Rn .2
4
Operacje elementarne na ukladach wektorów
Niech α1 , . . . , αn bed
ace
,
, a, dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V . Wyróżniamy nastepuj
,
operacje elementarne nad ukladem wektorów (α1 , . . . , αn ):
O1. Zamiana miejscami wektorów αi z αj (dla i 6= j) oznaczana przez wi ↔ wj . Oczywiście
operacja ta jest do siebie odwrotna.
O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a ∈ R, oznaczenie: a · wi . Ponieważ
dla a 6= 0 jest a−1 ◦ (a ◦ αi ) = (a−1 a) ◦ αi = 1 ◦ αi = αi , wiec
, operacja, odwrotna, do a · wi jest
−1
operacja a · wi .
4
O3. Dodanie do wektora αi wektora αj (dla i 6= j) pomnożonego przez dowolny skalar a ∈ R,
oznaczenie: wi + a · wj . Ponieważ (αi + a ◦ αj ) + (−a) ◦ αj = αi + a ◦ αj + (−(a ◦ αj )) = αi ,
wiec
, operacja, odwrotna, do operacji wi + a · wj jest operacja wi + (−a) · wj .
Twierdzenie 6.17. Jeżeli uklad wektorów (β1 , . . . , βn ) przestrzeni liniowej V powstaje z
ukladu wektorów (α1 , . . . , αn ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych,
to
lin(β1 , . . . , βn ) = lin(α1 , . . . , αn ).
Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie, do jednej operacji. Ponadto operacje elementarne sa, odwracalne, wiec
, wystarczy wykazać, że lin(β1 , . . . , βn ) ⊆ lin(α1 , . . . , αn ), czyli, że
{β1 , . . . , βn } ⊆ lin(α1 , . . . , αn ). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że
βj = αj dla j 6= i oraz βi = a ◦ αi ∈ lin(α1 , . . . , αn ). Dla operacji O3 βk = αk dla k 6= i oraz
βi = αi + a ◦ αj ∈ lin(α1 , . . . , αn ). 2
Przyklad 6.18.
Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] należy do podprzestrzeni
W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R3 . Po wykonaniu operacji w2 − w1 ,
w3 − 2w1 uzyskamy na mocy twierdzenia 6.17, że W = lin([1, 3, 2], [0, −1, −1], [0, −1, −1]) =
lin([1, 3, 2], [0, −1, −1]) = {x◦[1, 3, 2]+y ◦[0, −1, −1] : x, y ∈ R} = {[x, 3x−y, 2x−y] : x, y ∈ R}.
Zatem [1, 2, 3] ∈ W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja, x, y ∈ R takie, że [1, 2, 3] = [x, 3x−y, 2x−y],
czyli gdy x = 1 oraz 3x − y = 2x − y = −1, a wiec
, gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana sprzeczność
pokazuje, że [1, 2, 3] 6∈ W . 2
5
Liniowa niezależność wektorów
Niech α1 , . . . , αn bed
, a, dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V . Powiemy, że uklad wektorów (α1 , . . . , αn ) jest liniowo zależny, jeżeli istnieja, skalary a1 , . . . , an ∈ R nie wszystkie
równe 0 i takie, że a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn = θ.
Przyklad 6.19. Wektory θ, α1 , . . . , αn ∈ V sa, liniowo zależne, bo np. 1 ◦ θ + 0 ◦ α1 + . . . +
0 ◦ αn = θ oraz 1 6= 0. 2
Uwaga 6.20. Jeżeli uklad wektorów (α1 , . . . , αn ) jest liniowo zależny, to dla dowolnej bijekcji
f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} uklad (αf (1) , . . . , αf (n) ) też jest liniowo zależny.
Przyklad 6.21. Wektory α, α, α1 , . . . , αn sa, liniowo zależne, bo 1 ◦ α + (−1) ◦ α + 0 ◦ α1 +
. . . + 0 ◦ αn = θ i 1 6= 0. 2
5
Definicja 6.22. Powiemy, że uklad wektorów (α1 , . . . , αn ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest on liniowo zależny, tzn.
∀a1 ,... ,an ∈R [a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn = θ ⇒ a1 = . . . = an = 0].
Przyklad 6.23. Ze wzoru (2) wynika od razu, że uklad wektorów (ε1 , . . . , εn ) przestrzeni
jest liniowo niezależny. 2
Rn
Uwaga 6.24. Z uwagi 6.20 wynika, że jeśli uklad wektorów (α1 , . . . , αn ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2, . . . , n} →
{1, 2, . . . , n} uklad (αf (1) , . . . , αf (n) ) też jest liniowo niezależny. Ponadto z przykladu 6.21 wynika, że wtedy αi 6= αj dla i 6= j. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór wektorów {α1 , . . . , αn }
jest liniowo niezależny. Dalej, z przykladu 6.219 wynika, że θ 6∈ {α1 , . . . , αn }. Jeżeli X =
{β1 , . . . , βk } jest niepustym podzbiorem zbioru {α1 , . . . , αn }, to zbiór X też jest liniowo niezależny, gdyż w przeciwnym wypadku istnialyby skalary b1 , . . . , bk nie wszystkie równe 0 i takie,
że b1 ◦ β1 + . . . + bk ◦ βk = θ i wówczas uzupelniajac
, ciag
, (b1 , . . . , bk ) zerami uzyskamy ciag
,
(a1 , . . . , an ) taki, że a1 ◦α1 +. . .+an ◦αn = θ, wbrew liniowej niezależności zbioru {α1 , . . . , αn }.
2
Z uwagi 6.24 wynika zatem, że definicje, liniowej niezależności można rozszerzyć na dowolne
podzbiory przestrzeni liniowej.
Definicja 6.25. Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w
skrócie lnz), jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty
wektorów uważamy za liniowo niezależny.
Z uwagi 6.24 oraz z tej definicji mamy od razu nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie 6.26. Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym.
Przyklad 6.27. W przestrzeni liniowej V = R[x] zbiór {1, x, x2 , . . . } jest liniowo niezależny.
2
Przyklad 6.28. Jeżeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej V , to zbiór {α} jest
liniowo niezależny. Rzeczywiście, niech a ∈ R bedzie
takie, że a ◦ α = θ. Wtedy z uwagi 5.19
,
mamy, że a = 0, czyli zbiór {α} jest lnz. 2
Twierdzenie 6.29. Jeżeli uklad wektorów (β1 , . . . , βn ) przestrzeni liniowej V powstaje z
ukladu (α1 , . . . , αn ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uklad
(β1 , . . . , βn ) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy uklad (α1 , . . . , αn ) jest liniowo
niezależny.
Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie, do jednej operacji elementarnej. Ponadto
operacje elementarne sa, odwracalne, wiec
, wystarczy wykazać, że jeżeli uklad (α1 , . . . , αn ) jest
lnz, to uklad (β1 , . . . , βn ) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy,
że βj = αj dla j 6= i oraz βi = a ◦ αi dla pewnego a 6= 0. Weźmy dowolne a1 , . . . , an ∈ R takie,
że a1 ◦ β1 + . . . + an ◦ βn = θ. Wtedy a1 ◦ α1 + . . . + (ai a) ◦ αi + . . . + an ◦ αn = θ. Stad
, z liniowej
6
niezależności ukladu (α1 , . . . , αn ) mamy, że a1 = a2 = . . . = ai a = . . . = an = 0. Ale a 6= 0,
wiec
, a1 = . . . = ai = . . . = an = 0, czyli uklad (β1 , . . . , βn ) jest lnz.
, stad
Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zakladać, że b1 = α1 +a◦α2 oraz βj = αj
dla j = 2, . . . , n. Weźmy dowolne a1 , . . . , an ∈ R takie, że a1 ◦ β1 + . . . + an ◦ βn = θ. Wtedy
a1 ◦ (α1 + a ◦ α2 ) + a2 ◦ α2 + . . . + an ◦ αn = θ, czyli a1 ◦ α1 + (a1 a + a2 ) ◦ α2 + . . . + an ◦ αn = θ,
skad
, z lnz ukladu (α1 , . . . , αn ) mamy, że a1 = a1 a + a2 = a3 = . . . = an = 0, czyli a1 = a2 =
. . . = an = 0, a wiec
, uklad (β1 , . . . , βn ) jest lnz. 2
Twierdzenie 6.30. Niech X bedzie
zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni linio,
wej V . Wówczas dla każdego wektora α ∈ V :
α ∈ lin(X) ⇔ [α ∈ X lub zbiór X ∪ {α} jest liniowo zależny].
Dowód. ⇐. Zalóżmy, że α 6∈ lin(X). Wtedy α 6∈ X, gdyż X ⊆ lin(X). Zatem zbiór X ∪{α}
jest liniowo zależny. Ale zbiór X jest liniowo niezależny, wiec
, istnieja, parami różne wektory
α1 , . . . , αn ∈ X takie, że zbiór {α, α1 , . . . , αn } jest liniowo zależny. Zatem istnieja, skalary
a, a1 , . . . , an ∈ R nie wszystkie równe 0 i takie, że a◦α+a1 ◦α1 +. . .+an ◦αn = θ. Stad
, z liniowej
a1
niezależności wektorów α1 , . . . , αn wynika, że a 6= 0. Zatem α = (− a ) ◦ α1 + . . . + (− aan ) ◦ αn ∈
lin(X), czyli α ∈ lin(X) na mocy twierdzenia 6.14 i mamy sprzeczność.
⇒. Na mocy twierdzenia 6.14 istnieja, α1 , . . . , αn ∈ X oraz a1 , . . . , an ∈ R takie, że α =
a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn . Zatem 1 ◦ α+(−a1 ) ◦ α1 + . . . + (−an ) ◦ αn = θ, skad
, wynika, że α ∈ X
albo α 6∈ X i zbiór X ∪ {α} jest liniowo zależny. 2
7