ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO
NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2004
KRZYSZTOF DMYTRÓW
Uniwersytet Szczeci ski
PORÓWNANIE DECYZYJNEGO MODELOWANIA ZAPASÓW
PRZY ZAŁO ENIU PEŁNEJ I NIEPEŁNEJ INFORMACJI O ZAPOTRZEBOWANIU
WPROWADZENIE
W wi kszo ci prac po wi conych teorii zapasów przy wyznaczaniu optymalnych wielko ci zmiennych decyzyjnych w klasycznym modelu Q, r zakładano znajomo rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Na ogół
wyst puj nast puj ce strategie aproksymacji tego rozkładu1:
−
strategia stosowania tego samego typu rozkładu (z ang. stick-to-one
strategy),
−
strategia najlepszego dopasowania do danych empirycznych (z ang.
best-fit strategy),
−
strategia empiryczna stosowana przy zało
eniu, e dost pna jest wystarczaj ca liczba obserwacji (z ang. empirical strategy),
−
strategia nieparametryczna z u
yciem j drowego estymatora g sto ci
(z ang. kernel strategy).
Mo
liwa jest jednak taka sytuacja, w której nie ma wystarczaj cej liczby obserwacji, aby zastosowa któr z powy
szych metod. Ciekaw propozycj przedstawił G. Gallego. Wykorzystał podej cie minmax w przypadku, gdy zna1
Por. [4], s. 88.
44
Krzysztof Dmytrów
na jest jedynie warto rednia i wariancja zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Podej cie to zakłada minimalizowanie ł cznych kosztów gospodarki
materiałowej, zakładaj c najbardziej niekorzystny rozkład zapotrzebowania
w okresie realizacji dostaw.
W artykule porównano wyniki wygenerowane przez model Q, r w przypadku zaległych zamówie (z ang. backorders case) przy zało
eniu niepełnej
informacji o zapotrzebowaniu (podej cie minmax) z wynikami wygenerowanymi przy zało
eniu znajomo ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji
dostaw. Przyj to rozkład gamma jako bardzo cz sto wyst puj cy w praktyce
gospodarowania zapasami2.
1. MODEL
Przyj to nast puj ce oznaczenia:
λ – rednia stopa zapotrzebowania na produkt w ci gu jednostkowego
okresu,
Q – optymalna wielko zamówienia,
r – poziom zamawiania,
A – koszt zło
enia zamówienia,
IC – jednostkowy koszt magazynowania,
π – jednostkowy koszt niedoboru,
τ – okres realizacji dostaw,
µ – warto rednia zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw,
σ2 – wariancja rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw,
η (r ) – oczekiwana liczba niedoborów w ci gu jednego okresu odnowienia
zapasów.
Oczekiwana warto K(Q, r) jest równa3:
przeci tnego rocznego kosztu kontroli zapasów
λ
πλ
Q
K (Q , r ) = A + IC
+ r − λτ + η (r ) ,
Q
2
Q
gdzie:
2
3
Por. [5], s. 3; [1], s. 229.
Por. [3], s. 166.
(1)
Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów...
η (r ) = ∫ ( x − r ) f (x )dx ,
45
∞
(2)
r
f(x) – funkcja g sto ci prawdopodobie stwa rozkładu zapotrzebowania
w okresie realizacji dostaw.
Aby wyznaczy optymalne wielko ci zmiennych decyzyjnych Q* oraz r*,
trzeba wyznaczy pierwsze pochodne równania (1):
∂K (Q, r ) ∂K (Q, r )
=
=0.
∂Q
∂r
Po wykonaniu wszystkich oblicze otrzymamy:
Q=
2λ [ A + πη (r )]
,
IC
(3)
oraz
∫
F (r ) = 1 −
QIC
πλ
,
(4)
r
gdzie F (r ) = f (x )dx .
0
Zakładaj c niepełn informacj o zapotrzebowaniu, wzór (2) ma posta 4:
η (r ) =
gdzie ∆ = r – µ.
Wstawiaj c (5) do (1), uzyskamy:
4
Por. [2], s. 56.
σ 2 + ∆2 − ∆
2
,
(5)
46
Krzysztof Dmytrów
λ
πλ σ 2 + ∆2 − ∆
Q
K (Q, ∆ ) = A + IC
.
+ ∆ +
Q
2
2
Q
(6)
Znalezienie optymalnych wielko ci Q* oraz ∆* polega na obliczeniu pierwszych
pochodnych (6) wzgl dem Q i ∆. Odpowiednie warunki s nast puj ce5:
∂K (Q, ∆ )
=0,
∂Q
∂K (Q, ∆ )
≥ 0 c.s. ∆ ≥ 0 ,
∂∆
gdzie c.s. – luz dopełniaj cy (z ang. complementary slackness).
∂K (Q, ∆ )
∂K (Q, ∆ )
Oznacza to, e ∆
= 0 dla ∆ ≥ 0 i
≥ 0 . W zwi zku
∂∆
∂∆
z tym, optymalna wielko Q jest dana wzorem:
λ #$% 2 A + π
Q=
)*+
σ 2 + ∆2 − ∆ '(
IC
& !"
.
(7)
Drugi warunek jest równowa ny z:
∆
∆ +σ
2
2
≥ 1−
2 ICQ
πλ
c.s. ∆ ≥ 0 .
Id c dalej, mo na warunek ten przekształci w celu otrzymania wielko ci ∆ ≥ 0.
Wówczas uzyskamy:
∆=
σ (πλ − 2 ICQ )
.
2 ICQ (πλ − ICQ )
(8)
Nale y jednak e pami ta , e warunek, z którego został wyznaczony wzór (8),
jest nierówno ci , dlatego otrzymane wielko ci ∆ trzeba traktowa jako doln
granic , minimalizuj c ł czne koszty. Wyznaczone za pomoc wzorów (7)
5
Por. ibidem.
Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów...
47
i (8) optymalne wielko ci Q* oraz r* mo na nast pnie porówna z warto ciami
wyznaczonymi dla rozkładu gamma przy danych poziomach µ oraz σ.
Poniewa podej cie to zakłada najgorsz z mo liwych sytuacji, dlatego da
wy sz warto ł cznych kosztów ni podej cie zakładaj ce przyj cie rozkładu
gamma. Ró nica mi dzy warto ciami kosztów wyznaczonymi za pomoc obu
podej jest nazywana warto ci informacji o rozkładzie VDI (z ang. value of
the distributional information). Jej wzgl dna wielko , dana jest wzorem:
/
K (Q , ∆ )
VDI =
− 1. ⋅ 100% .
K (Q, r )
012
0
(9)
Mówi ona, o ile procent warto 34 oczekiwanych ł5 cznych rocznych kosztów
gospodarki zapasami dla niepełnej znajomo 3 ci rozkładu zapotrzebowania jest
wy6 sza ni6 w przypadku pełnej informacji o tym rozkładzie.
2. PRZYKŁAD NUMERYCZNY
Przyj 7 to nast 7 puj 5 ce wielko 3 ci parametrów: λ = 2650, A = 100 zł, IC = 10
zł, τ = 1 tydzie8 , µ = 50, trzy warianty jednostkowych kosztów niedoboru π: 10,
20 i 30 zł aby wyznaczy4 trzy warianty stosunku πA : 0,1; 0,2 i 0,3, oraz pi 794
wariantów wariancji zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw σ2: 156,25,
625,00, 2500,00, 3906,25 i 5625,00 (odpowiednio odchylenia standardowe:
12,50, 25,0, 50,0, 62,5 i 75,0, czyli współczynniki zmienno 3 ci VS były równe
0,25, 0,50, 1,00, 1,25 oraz 1,50). Przyj 7 te warianty wielko 3 ci i współczynnika
zmienno 3 ci zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw VS maj 5 na celu
sprawdzenie, jaka jest warto 34 informacji o rozkładzie dla ró6 nych wielko 3 ci
tych parametrów6. Wyniki oblicze8 przedstawiono w tabeli 1, a warto 3 ci informacji o rozkładzie na rysunku 1.
6
Por. [2], s. 57.
48
Krzysztof Dmytrów
Tabela 1
Wyniki oblicze: dla rozkładu gamma i podej ; cia minmax
<
π
= 0,1
Wyszczegól
A
nienie
gamma
minmax
Q
237,837 248,912
r
67,461
71,424
0,25 K(Q, r) lub
2 552,98 2 703,36
K(Q, ∆) (zł)
VDI (%)
5,89
Q
249,436 267,224
R
84,719
91,512
0,50 K(Q, r) lub
2 841,55 3 087,36
K(Q, ∆) (zł)
VDI (%)
8,65
Q
285,584 302,605
R
111,389 128,606
1,00 K(Q, r) lub
3 469,73 3 812,11
K(Q, ∆) (zł)
VDI
9,87
Q
310,062 319,665
R
117,581 145,949
1,25 K(Q, r) lub
3 776,43 4 156,14
K(Q, ∆) (zł)
VDI (%)
10,05
Q
338,102 336,315
R
117,809 162,655
1,50 K(Q, r) lub
4 059,11 4 489,70
K(Q, ∆) (zł)
VDI (%)
10,61
σ
µ
ródło: opracowanie własne.
π
A
= 0,2
π
A
= 0,3
gamma
237,265
73,026
minmax
258,177
79,034
gamma Minmax
237,007 265,146
76,047 84,809
2 602,92
2 872,11
2 630,55 2 999,54
10,34
248,538 285,530
98,120
105,367
14,03
248,135 299,246
105,599 115,677
2 966,58
3 408,97
3 037,34 3 649,23
14,91
285,584 338,075
146,046 152,302
20,15
285,584 364,389
166,319 169,544
3 816,31
4 403,77
4 019,04 4 839,34
15,39
311,955 363,237
164,446 173,683
20,41
312,790 395,408
192,545 193,744
4 264,01
4 869,20
4 553,36 5 391,52
14,19
343,493 387,685
176,714 194,021
18,41
345,874 425,448
213,049 216,623
4 702,07
5 089,23 5 920,72
5 317,05
13,08
16,34
Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów...
49
25%
20%
VDI
15%
10%
5%
0%
0,25
0,5
1
1,25
1,5
W s p ó łc zyn n ik zm ie n no = c i
0 ,1
0 ,2
0 ,3
Rys. 1. Kształtowanie si > VDI w zale? no ; ci od współczynnika zmienno ; ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw VS dla trzech wariantów stosunku π
<
A
ródło: opracowanie własne.
WNIOSKI
1. Zało6 enie niepełnej informacji o zapotrzebowaniu zawsze dawało wy6 sze
wielko 3 ci poziomu zamawiania r i wy6 sze wielko 3 ci zamawiania Q.
2. Oczekiwane ł5 czne roczne koszty gospodarowania zapasami były zawsze
wy6 sze przy zało6 eniu niepełnej informacji o zapotrzebowaniu.
3. Dla wielko 3 ci stosunku πA równego 0,1 warto 3,4 informacji o rozkładzie
była tym wi 7 ksza, im wi 7 kszy był współczynnik zmienno 3 ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw.
4. Przy wielko 3 ciach stosunku πA równych 0,2 i 0,3 warto 3,4 informacji o rozkładzie była najwi 7 ksza dla współczynnika zmienno 3 ci równego 1.
Wniosek ogólny jest taki, 6 e im wy6 szy stosunek πA , tym bardziej nale6 y
si 7 stara4 , aby prawidłowo oszacowa4 rozkład zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw, przy czym najwi 7 ksze znaczenie ma to dla współczynnika
zmienno 3 ci równego 1.
50
Krzysztof Dmytrów
LITERATURA
1.
Elementy bada @ operacyjnych w zarz A dzaniu. T. 1, red. A. Całczy: ski. Radom
2000.
2.
Gallego G.: A Minimax Distribution Free Procedure for the B Q, rC , Inventory
Model. „Operational Research Letters” nr 11.
3.
Hadley G., Whitin T.M.: Analysis of Inventory Systems. Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1963.
4.
Strijbosch L.W.G., Heuts R.M.J.: Modelling (S, Q) Inventory Systems: Parametric
Versus Non-parametric Approximations for the Lead Time Demand Distribution.
„European Journal of Operational Research” nr 63.
5.
Strijbosh L.W.G., Moors J.J.A.: Simple Expressions for Safety Factors in Inventory
Control. Tilburg University Center for Economic Research. „Discussion Paper”
1999, No 112.
A COMPARISON OF DECISION MODEL OF INVENTORY MANAGEMENT
WITH FULL AND PARTIAL DEMAND INFORMATION
Summary
In the article the author compared results generated by classical D Q, r E inventory
management model with backorders case with full and partial demand information. In
the model with full demand information the gamma distribution of lead-time demand
was used. The results show that both optimal order quantity Q and re-order point r are
higher for partial demand information. Also, optimal costs generated by the model with
partial demand information are always higher than for full demand information. The
higher π ratio, the higher the difference becomes. The value of the distributional inforA
mation (VDI) takes the highest values when the coefficient of deviation (VS) is around
100% for large values of the π ratio.
A
Translated by Krzysztof Dmytrów