Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płyta przepływ pełzajacy

Równanie Navier-Stokesa
przepływ nad płytą
przepływ pełzający
listopad 2013
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Nieustalone przepływy jednokierunkowe
t=0
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Nieustalone przepływy jednokierunkowe
t = t1
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Nieustalone przepływy jednokierunkowe
t = t2
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Nieustalone przepływy jednokierunkowe
t = t3
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
dolna ścianka w t = 0 rozpoczyna ruch ze stałą prędkością Umax .
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Transfer lepki
Prędkość płynu ma tylko składową „poziomą” ux ≡ u = u(y, t).
Prędkość zmienia się w czasie, a więc przepływ jest nieustalony.
Równanie przepływu jest proste – ponieważ ciśnienie w całej objętości
jest stałe dp/dx = 0
(1)
∂u
∂ 2u
=ν
,
∂t
∂y 2
gdzie ν = µ/ρ to tzw. kinematyczny współczynnik lepkości.
Warunki brzegowe to
(
(2)
u(y = 0, t) =
0
t¬0
Umax t > 0
Równanie to można rozwiązać metodą transformaty Laplace’a,
chociaż znacznie „lepszą” metodą jest ta, którą stosujemy w rozdz. 6
– do równania dyfuzji.
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Transfer lepki, c.d.
!
(3)
y
,
u(y, t) = Umax erfc √
2 νt
gdzie erfc to dopełnienie funkcji błędu. Możesz o niej przeczytać w
przedostatnim punkcie pierwszego rozdziału wykładu MMF II. .
Ilościowa analiza wzoru (3) pozwala ocenić grubość warstwy
granicznej – objętości płynu, w której jego zachowanie jest praktycznie
w całości zdeterminowane istniejącym „brzegiem” obszaru.
Z tablic funkcji błędu wynika że erfc(3/2) ≈ 0.04, a więc powyżej
warstwy o grubości
√
δ = 3 νt
prędkość płynu stanowi mniej niż 4% prędkości dolnej ściany.
Jeżeli przyjąć takie kryterium ilościowe jako definicję grubości
warstwy granicznej –
warstwy powyżej której płyn pozostaje praktycznie w
√ spoczynku –
to widzimy, że jej grubość rośnie wraz z czasem jak t.
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Transfer lepki, c.d.
√
δ = 3 νt
I odwrotnie – jeżeli interesuje nas czas, w ciągu którego efekty
lepkości przemieszczą się o odcinek δ to czas taki tν – skala czasowa
procesów lepkości będzie równy
(4)
tν =
1 δ2
.
9ν
Jest on proporcjonalny do kwadratu odległości δ i odwrotnie
proporcjonalny do współczynnika kinematycznej lepkości ν.
Taka skala czasowa procesów lepkich pojawiła się już w dyskusji o
liczbie Reynoldsa.
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Przepływ dla małych wartości liczby Reynoldsa
Równania N-S (przypadek, w którym abstrahujemy od ciśnienia
zewnętrznego) można poddać operacji pozbawienia wymiarów.
(5)
∂u
1
+ (u · ∇)u = − ∇p + ν∇2 u
∂t
ρ
można przekształcić w
(6)
(7)
∂ ũ
˜ 2 ũ,
˜
˜ +∇
+ Re(ũ · ∇)ũ
= −∇p̃
∂ t̃
u
x
t
p
ũ = ; x̃ = ; t̃ = 2 ; p̃ =
.
U
L
L /ν
ρνU/L
L i U to charakterystyczne rozmiary liniowe i prędkość przepływu;
˜ ≡ L∇. Re to liczba Reynoldsa
zauważ, że ∇
(8)
Re =
ρU L
UL
L2 /ν
τν
=
=
≡
,
µ
ν
L/U
τkonw
ostatni ułamek to stosunek dwóch charakterystycznych czasów:
2
„lepkiego” tν = 91 δν i „konwekcyjnego” – U/L.
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Przepływ dla małych wartości liczby Reynoldsa, c.d.
Takie „odwymiarowanie równania” stanowi bazę dla konstrukcji
modeli hydrodynamicznych w których sytuacje trudne do
zrealizowania w praktyce (np. duże wartości U ) są modelowane w
skalach zmienionych, ale takich które zachowują wartości Re.
Z (6) wynika także że dla małych wartości Re (rzędu jedności i
mniejszych) możemy w równaniach N-S pominąć nieliniowy człon w u
(9)
∂u
1
= − ∇p + ν∇2 u.
∂t
ρ
Jest to tzw. przepływ pełzający; jeżeli jest on ustalony to
(10)
1
∇p = ν∇2 u;
ρ
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły
Przepływ dla małych wartości liczby Reynoldsa, c.d.
jeżeli jest on ustalony to
(11)
1
∇p = ν∇2 u;
ρ
biorąc dywergencję obu stron powyższego równania dostajemy
(12)
∇ · ∇p = µ∇ · ∇2 u = µ∇2 (∇ · u) = 0
(dla płynu nieściśliwego – por. rozdz.1.)
Dla małych wartości liczby Reynoldsa i dla przepływów cieczy
nieściśliwych ciśnienie płynu spełnia równanie Laplace’a – chyba
najważniejsze równanie fizyki.
Równanie to – dla całej gammy warunków brzegowych i sytuacji
„geometrycznych” – można znaleźć rozwiązane „przy okazji” różnych
problemów fizyki.
Równanie Navier-Stokesa przepływ nad płytąprzepły