a0*x0+a1*x1+ ∑ an xn+2+∑ an xn+x3∑ ∑ xn

4 c)
a0=1 , a1=2,
an+2=an+1-an+n+2 (1)
Funkcja tworząca f(x) dla ciągu {an}=a0,a1,a2,... jest zdefiniowana następująco:
∞
f(x)=
∑ a n xn
n=0
∞
Tak więc funkcja tworząca f(x)=
∞
∑ a n xn =a0*x0+a1*x1+
∑ a n x n =1+2x+
n=0
n=2
∞
∑ an xn
=
n=2
(pierwsze dwa elementy wypisujemy korzystając z tego, że a 0=1 , a1=2, suma zaś zaczyna się od
indeksu 2 )
∞
=1+2x+
∑ a n+2 x n+2
=
n=0
(ponieważ mamy dany wzór na an+2 i wygodnie będzie nam z niego skorzystać, przesuwamy
indeksy w sumie, a następnie korzystamy z wzoru)
∞
=1+2x+
∑ a n+1 xn+ 2−an x n+2+n xn+ 2+2x n+2
=
n=0
∞
1+2x+
∑ a n+1 x
n=0
∞
1+2x+
n+ 2
x ∑ a n+1 x
∞
−∑ a n x
n=0
n+1
−x
n=0
∞
2
∞
n+2
∞
+∑ n x
n =0
n +2
∞
+2 ∑ x n+2 =
∑ an x +x ∑ n x
n=0
n
∞
3
n =0
∞
n=0
n −1
∞
+2 x 2 ∑ x n =
n=0
1
1+2x+ x ∑ a n x n− x 2 f (x)+ x 3 ∑ n x n−1+2 x 2
=
//ponieważ nxn-1=(xn)'
1−x
n=1
n=0
1
1
2
3
+2 x 2
1+2x+ x( f (x)−1)− x f (x)+ x
2
1−x
(1− x)
Tak więc:
1− x− x 2+x 3+x 3+2x 2−2x 3
x3
2x 2
1− x+ x 2
+
f(x)[1-x+x2]=1+x+
=
=
(1− x)2
(1−x)2 1− x
(1− x)2
1
f(x)=
2
(1−x)
( n)
f (0)
Wyliczenie kilku początkowych elementów ciągu ze wzoru a n =
zostawiam Państwu.
n!
∞
∑ a n xn =f(x)=
n=0
∞
∞
1
1
(
)'
(
=
=
∑ x n)' =
2
1− x
(1−x)
n=0
∑ (n+1) x n
n=0
Wynika z tego, że an=n+1
∞
∑ nx( n−1) =
n=0
∞
∑ nx( n−1)
n=1
=