Zgrubne zanurzenia dyskretnych przestrzeni metrycznych w

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Tomasz Odrzygóźdź
Nr albumu: 277393
Zgrubne zanurzenia dyskretnych
przestrzeni metrycznych w
przestrzenie Hilberta
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
profesora Sławomira Nowaka
Wydział Matematyki Mechaniki i Informatyki
Uniwersytet Warszawski
Lipiec-Sierpień 2011
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
W pracy wprowadzono kluczowe dla Geometrii Wielkiej Skali pojęcia Własności A oraz zgrubnego zanurzenia. Pokazano zależności między nimi, oraz związki Geometrii Wielkiej Skali z
innymi działami matematyki takimi jak topologia, analiza funkcjonalna, teoria spektralna,
a w szczególności teoria C ∗ -algebr. Motywem przewodnim pracy było udzielenie częściowej
odpowiedzi na otwarte pytanie dotyczące tego kiedy zgrubna zanurzalność grupy skończenie
generowanej w przestrzeń Hilberta implikuje Własność A. W tym celu wprowadzono również
pojęcie Jednorodnej Algebry Roe oraz udowodniono o niej podstawowe fakty.
Słowa kluczowe
Geometria Wielkiej Skali, Własność A, zgrubne zanurzenie, przestrzeń Hilberta, Jednorodna
Algebra Roe
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
D. Software
D.127. Blabalgorithms
D.127.6. Numerical blabalysis
Tytuł pracy w języku angielskim
Coarse embeddings of discrete metric spaces into Hilbert Spaces
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Własność A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Podstawowe definicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Definicja Własności A i podstawowe własności tego pojęcia
1.3. Kryterium zgrubnej zanurzalności w przestrzeń Hilberta . .
1.4. Charakteryzacje Własności A . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
7
7
8
8
9
2. Jednorodna Algebra Roe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Pierwiastkowanie elementów Cu∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
3. Zgrubne zanurzenia w przestrzeń Hilberta . . . . .
3.1. Kompresja zanurzenia w przestrzeń Hilberta . . . . .
3.2. Charakteryzacja zgrubnej zanurzalności w przestrzeń
3.3. Kompresja większa niż 12 implikuje Własność A . . .
.
.
.
.
15
15
15
18
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
Hilberta
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wprowadzenie
Tematem pracy są kluczowe dla Geometrii Wielkiej Skali pojęcia Własności A, oraz zgrubnego
zanurzenia w przestrzenie Hilberta. Własność A pochodzi od Goulianga Yu i stanowi naturalne uogólnienie pojęcia średniowalności. Posiadanie jej przez dyskretną przestrzeń metryczną
niesie ze sobą szereg istotnych konsekwencji, podobnie jak istnienie zgrubnego zanurzenia w
przestrzeń Hilberta. Praca opowiada o związkach między tymi dwoma pojęciami oraz uzasadnia ich znaczenia dla badania zgrubnych własności obiektów.
W rozdziale pierwszym wprowadziłem Własność A oraz przedstawiłem równoważne definicje. Podałem przykłady przestrzeni, które ją posiadają oraz takich które własności A nie
mają. Udowodniłem również kluczowe twierdzenie, wiążące Własność A ze zgrubną zanurzalnością w przestrzeń Hilberta. Rozdział ten napisałem korzystając głównie z [Lsg]. Twierdzenie
1.4.1 powstało podczas prowadzenia przeze mnie korespondencji elektronicznej z Gouliangiem
Yu, po tym jak zauważyłem lukę w dowodzie twierdzenia znajdującego się w książce [Lsg].
Pan Yu zaproponował szkic dowodu, który przeprowadziłem, w dokładniejszej postaci, w
ostatniej części tego rozdziału.
Rozdział drugi poświęcony jest Jednorodnej Algebrze Roe, będącej bardzo przydatnym
narzędziem do badania zgrubnych własności przestrzeni metrycznych. Wprowadziłem definicję tej algebry oraz udowodniłem o niej podstawowe fakty. Rozdział ten napisałem korzystając z [Lsg] oraz przede wszystkim z [Fma]. Znajdują się w nim również odwołania do teorii
C ∗ -algebr, o których informacje można znaleźć między innymi w [Ped].
5
Rozdział 1
Własność A
W tym rozdziale wprowadzimy kluczowe dla dalszych rozważań pojęcie Własności A. Stanowi ona uogólnienie znanego między innymi z analizy funkcjonalnej pojęcia średniowalności.
Postaramy się też wyjaśnić w jaki sposób narodziła się idea wprowadzenia tej własności oraz
uzasadnić czemu jest to ważne pojęcie.
1.1. Podstawowe definicje i oznaczenia
Mając daną przestrzeń metryczną X, o ile nie powiemy inaczej, przez d będziemy oznaczać metrykę tej przestrzeni, zaś przez B(x, S) kulę o środku w x i promieniu S, czyli
B(x, S) = {y ∈ X : d(x, y) ¬ S}. Z kolei #A będziemy rozumieć jako moc zbioru A,
zaś A4B będzie oznaczało różnicę symetryczną zbiorów A i B. Mówiąc o grupach skończenie
generowanych będziemy zawsze traktowali je również jako przestrzenie metryczne (z metryką
długości słowa), zaś mówiąc o drzewach będziemy zawsze przyjmowali na nich metrykę długości geodezyjnej. Przez l1 (X)1,+ będziemy rozumieli przestrzeń miar probabilistycznych na
X, zaś przez B(H) przestrzeń ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta
H. Z kolei 1A będzie oznaczało funkcję charakterystyczną zbioru A.
Definicja 1.1.1. Dyskretną przestrzeń metryczną X nazwiemy przestrzenią o ograniczonej
geometrii, gdy dla każdego n ∈ N istnieje taka stała S > 0, że dla każdego x ∈ X zachodzi
#B(x, n) < S.
W szczególności oznacza to, że wszystkie kule w takiej przestrzeni mają skończoną moc.
Ważnym dla nas przykładem przestrzeni o ograniczonej geometrii jest każda grupa skończenie
generowana - moc kuli o promieniu n szacuje się przez (#Gs )n , gdzie Gs jest symetrycznym
zbiorem generatorów.
Definicja 1.1.2. Niech (X, dX ) i (Y , dY ) będą dwoma przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie F : X → Y nazwiemy zgrubnym zanurzeniem gdy istnieją rosnące funkcje
ρ− : R+ → R+ oraz ρ+ : R+ → R+ takie, że
ρ− (dX (x, y)) ¬ dY (F (x), F (y)) ¬ ρ− (dX (x, y))
, oraz lim ρ− (t) = lim ρ+ (t) = ∞.
t→∞
t→∞
Oznacza to, że chociaż dopuszczamy dowolne zmiany odległości, wymagamy by szacowały
się one w sposób jednorodny (niezależny od wyboru punktów x, y ∈ X).
7
1.2. Definicja Własności A i podstawowe własności tego pojęcia
Definicja 1.2.1. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną. Powiemy, że X ma Własność A gdy dla każdego ε > 0 oraz R > 0 istnieje rodzina zbiorów {Ax }x∈X , Ax ⊆ X × N
oraz liczba S > 0 o tej własności, że:
•
#(Ax 4Ay )
#(Ax ∩Ay )
¬ ε gdy d(x, y) ¬ R
• Ax ⊆ B(x, S) × N.
Klasa przestrzeni, które posiadają Własność A jest bardzo duża. Ciężko jest podać przykład dyskretnej przestrzeni metrycznej nie mającej tej własności. Jeszcze trudniej skonstruować taki przykład dla przestrzeni będącej skończenie generowaną grupą. Własność A posiadają wszystkie przestrzenie skończone, grupy średniowalne oraz drzewa. Własność ta nie
jest jednak równoważna średniowalności gdyż grupa wolna F2 jako drzewo ma Własność A,
natomiast nie jest średniowalna. Podamy teraz bardzo użyteczną charakteryzację własności
A:
Twierdzenie 1.2.1. (kryterium Higsona-Roe). Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną z ograniczoną geometrią. X ma własność A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0
oraz R > 0 istnieje odwzorowanie ξ : X → l1 (X)1,+ oraz liczba S > 0 o tej własności, że:
• ||ξ(x) − ξ(y)|| ¬ ε gdy d(x, y) ¬ R
• nośnik ξ(x) jest zawarty w zbiorze B(x, S).
Dowód twierdzenia można znaleźć w [Lsg].
1.3. Kryterium zgrubnej zanurzalności w przestrzeń Hilberta
Przejdziemy teraz do głównego powodu dla którego wprowadzono pojęcie Własności A. Z
punktu widzenia Geometrii Wielkiej Skali bardzo istotne jest pytanie czy dana przestrzeń
metryczna zanurza się zgrubnie w przestrzeń Hilberta? W przypadku odpowiedzi twierdzącej
zachodzi dla takiej przestrzeni szereg twierdzeń, o których wspomnimy pod koniec pracy
(m.i.n hipoteza Novikova). Jedna z kluczowych motywacji do głębszego rozważania Własności
A jest następująca:
Twierdzenie 1.3.1. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną. Jeśli X ma własność
A to zanurza się zgrubnie w przestrzeń Hilberta.
W dowodzie twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:
Lemat 1.3.1. Niech X będzie przestrzenią metryczną posiadającą własność A. Wtedy dla
każdego R > 0 oraz ε > 0 istnieje odwzorowanie ξ : X → l2 (X × N) oraz liczba S > 0 o tej
własności, że:
• ||ξ(x) − ξ(y)|| ¬ ε gdy d(x, y) < R
• nośnik ξ(x) jest zawarty w zbiorze B(x, S) × N.
• dla każdego x ∈ X zachodzi ||ξ(x)|| = 1.
8
Pełny dowód lematu można znaleźć w książce [Lsg]. My przedstawimy jedynie skrót. Wybierzmy dowolnie ε > 0 oraz R > 0. Niech Ax będzie rodziną zbiorów realizującą oba warunki
1Ax
z definicji własności A. Wtedy jako odwzorowanie ξ przyjmijmy ξ(x) = √#A
. Prostym, jedx
nak pracochłonnym szacowaniem można pokazać, że wtedy d(x, y) < R ⇒ ||ξ(x) − ξ(y)||2 ¬
2ε.
Przejdźmy teraz do dowodu Twierdzenia 1.3.1:
Dowód. Dla każdej liczby n ∈ N na mocy lematu istnieje odwzorowanie ξn takie, że zachodzi:
d(x, y) ¬ n ⇒ ||ξn (x) − ξn (y)|| ¬ 2−n oraz nośnik ξ n (x) jest zawarty w kuli B(x, Sn ) dla
pewnej liczby Sn . Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ciąg Sn jest rosnący. Ustalmy
L
dowolny element z ∈ X i zdefiniujmy odwzorowanie F : X → ∞
k=1 l2 (X × N) wzorem:
F (x) =
∞
M
(ξn (x) − ξn (z)) .
n=1
Pokażemy teraz, że F jest zgrubnym zanurzeniem. Ustalmy x, y ∈ X i niech k będzie taką
liczbą, że k − 1 ¬ d(x, y) ¬ k. Wtedy dla n > k:
||F (x) − F (y)|| =
∞
X
2
||ξn (x) − ξn (y)|| ¬
k
X
2
||ξn (x) − ξn (y)|| +
n=1
n=1
∞
X
2−n ¬
n=k+1
¬ 2k + 1 ¬ 2d(x, y) + 3.
Przyjmując teraz q(k) = sup{n ∈ N : Sn ¬ k − 1} dostaniemy:
q(k)
||F (x) − F (y)|| =
X
∞
X
||ξn (x) − ξn (y)||2 +
n=1
n=q(k)+1
q(k)
­
X
||ξn (x) − ξn (y)||2 ­
||ξn (x) − ξn (y)||2 ­
√
2q(k).
n=1
Funkcję q √
można rozszerzyć do niemalejącej, kawałkami liniowej funkcji qb. Przyjmijmy
teraz ρ− (t) = 2qb(t) oraz ρ+ (t) = 2t + 3. Wtedy na mocy powyższego rozumowania:
ρ− (d(x, y)) ¬ ||F (x) − F (y)|| ¬ ρ+ (d(x, y))
, co dowodzi, że F jest zgrubnym zanurzeniem.
1.4. Charakteryzacje Własności A
Interesujące są nie tylko wnioski jakie płyną z posiadania przez przestrzeń Własności A, lecz
również wszelkie warunki dostateczne dla jej posiadania. Przykładowo wszystkie przestrzenie
o skończonym wymiarze asymptotycznym mają Własność A. Rozumowanie polega na skonstruowaniu na takiej przestrzeni znanego z topologii rozkładu jedynki (dowód można znaleźć
w [Lsg]). Ponadto przestrzenie o kompresji zanurzenia w przestrzeń Hilberta, większej niż
1
2 mają tę własność - dowód tego faktu będzie główną częścią poźniejszego rozdziału. Teraz
podamy kolejną charakteryzację stanowiącą uogólnienie kryterium Higsona Roe:
9
Twierdzenie 1.4.1. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną o ograniczonej geometrii. Niech 1 ¬ p < ∞. X ma Własność A wtedy i tylko wtedy gdy dla każdych liczb ε > 0,
R > 0 istnieje rodzina funkcji {ξx ∈ lp (X)}x∈X , oraz stała S > 0 o tej własności, że:
• ||ξx − ξy ||p ¬ ε
• nośnik ξx jest zawarty w kuli B(x, S)
• dla każdego x ∈ X zachodzi ||ξx ||p = 1.
Dowód. Dla dowolnej dyskretnej przestrzeni metrycznej X, oraz liczb 1 ¬ p, q < ∞ można
wprowadzić Odwzorowanie Mazura Mp,q : lp (X) → lq (X) zdefiniowane wzorem:
p
(Mp,q f )(x) = |f (x)| q sgn f (x)
dla f ∈ lp (X). Zauważmy, że ||Mp,q f ||q = ||f ||p . Ponadto Mp,q ◦ Mq,p jest identycznością.
Odwzorowanie Mp,q rozpatrywane jako odwzorowanie między sferami jednostkowymi w przestrzeniach lp i lq jest jednostajnie ciągłym homeomorfizmem, posiadającym jednostajnie ciągłą odwrotność. Dowód tego faktu można znaleźć w [Gnfa]). Wobec dla każdego istnieje
taka stała δ() > 0, taka że
||f − g||p ¬ δ ⇒ ||Mp,q f − Mp,q g||q ¬ dla dowolnych f, g ∈ lp (X). Wybierając teraz, na mocy założeń, rodzinę funkcji ξx ∈ lp (X)
spełniającą:
• d(x, y) ¬ R ⇒ ||ξx − ξy ||p ¬ δ(ε)
• nośnik ξx jest zawarty w kuli B(x, S)
• dla każdego x ∈ X zachodzi ||ξx ||p = 1,
otrzymamy, że
||Mp,q f − Mp,q g||q ¬ ε
Zauważy ponadto, że odwzorowanie Mazura nie zmienia nośnika funkcji. Oznacza to, że warunek Higsona-Roe dla dowolnego 1 ¬ p < ∞ jest równoważny kryterium Higsona-Roe dla
p = 1, które z kolei przy założeniu ograniczonej geometrii jest równoważne Własności A.
Na zakończenie rozdziału przytoczymy następujące pytanie: Czy Własność A jest równoważna zgrubnej zanurzalności w przestrzeń Hilberta?. Problem ten długo pozostawał bez
rozwiązania, jednak udało się skonstruować kontrprzykład. Rozłącza suma kolejnych potęg
F
×n
grupy Z2 , czyli ∞
n=1 Z2 zanurza się zgrubnie w przestrzeń Hilberta jednak nie ma Własności
A. Dowód można znaleźć w [Lsg]. Jest to jednak kontrprzykład nie mający ograniczonej geometrii. Później okazało się, że takie przestrzenie da się skonstruować również przy założeniu
ograniczonej geometrii, szczegóły można znaleźć w [AGS]. W związku z tym problem został
postawiony w następującej postaci:
Hipoteza 1.4.1. Każda skończenie generowana grupa, która zanurza się zgrubnie w przestrzeń Hilberta ma Własność A.
Struktura metryczna grup skończenie generowanych jest bardzo bogata. Na takiej przestrzeni istnieje rodzina izometrii izomorficzna z samą grupą. Ponadto wszystkie kule o ustalonym promieniu, niezależnie od tego gdzie jest ich środek mają taką samą moc. Okazuje się,
że przy pewnych dodatkowych założeniach odpowiedź na pytanie 1.4.1 jest twierdząca, co
pokażemy w ostatnim rozdziale pracy.
10
Rozdział 2
Jednorodna Algebra Roe
2.1. Wprowadzenie
Wprowadzimy teraz bardzo użyteczne narzędzie pomagające w badaniu zgrubnych własności
obiektów. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną. Wtedy z przestrzenią X możemy
związać jednorodną algebrę Roe (oznaczaną Cu∗ (X)) będącą pewną podalgebrą C*-algebry
operatorów na przestrzeni Hilberta l2 (X). W celu podania ścisłej definicji musimy najpierw
wprowadzić pojęcie propagacji.
Zauważmy jednak najpierw, że każdy operator liniowy działający na przestrzeni l2 (X)
można reprezentować macierzą. Mówiąc ściśle, każdemu operatorowi liniowemu M : l2 (X) →
l2 (X) (rozważamy również operatory nieograniczone) można przyporządkować macierz [M ] :
X × X → C wzorem M(x,y) = hM 1x , 1y i. Zauważmy jednak, że nie każda macierz reprezentuje operator liniowy. Oczywistym warunkiem koniecznym do tego by [S] opisywało operator
liniowy jest to, aby kolumny macierzy [S], były wektorami należącymi do l2 (X). Wobec tego
macierze nie spełniające tego warunku koniecznego nie reprezentują operatorów liniowych. Z
kolei wśród macierzy opisujących operatory liniowe nie każda reprezentuje operator ciągły.
Istnieją jednak kryteria pozwalające stwierdzić ciągłość, o czym powiemy za chwilę. Wprowadźmy teraz umowę: we wszystkich dalszych rozumowaniach, o ile nie powiedziano inaczej,
mówiąc o macierzy operatora będziemy mieli na myśli macierz wyrażoną w bazie ortonormalnej (1x , x ∈ X) złożonej z funkcji charakterystycznych elementów przestrzeni X.
Definicja 2.1.1. Niech S będzie operatorem liniowym działającym na l2 (X). Niech M będzie macierzą M : X × X → C reprezentującą operator S. Wtedy propagacją M nazywamy
najmniejszą liczbę p(M ) taką, że:
∀(x,y) d(x, y) ­ R ⇒ M(x,y) = 0.
Jeśli taka liczba nie istnieje wtedy przyjmujemy p(M ) = ∞.
Operatory o skończonej propagacji są to operatory, których macierze mają niezerowe
elementy tylko w otoczeniu głównej diagonali (x, x) ∈ X × X. Wprowadźmy teraz przestrzeń
operatorów o skończonej propagacji, których macierze mają ograniczone elementy:
(
F P (X) =
)
T ∈ B(l2 (X)) :
sup
|T(x,y) | < ∞, p(T ) < ∞ .
(x,y)∈X×X
Definicja 2.1.2. Jednorodną algebrą Roe na przestrzeni X nazywamy domknięcie F P (X) w
przestrzeni B(l2 (X)).
11
Podstawowym faktem dotyczącym Cu∗ (X), jaki należy pokazać jest następujące stwierdzenie:
Stwierdzenie 2.1.1. Jednorodna Algebra Roe Cu∗ (X) jest C ∗ -algebrą.
Dowód. Dla każdego M ∈ Cu∗ (X) oraz k ∈ N. zdefiniujmy:
(
(Mk )(x,y) =
M(x,y) gdy d(x, y) ¬ k
0 w przeciwnym przypadku
.
Niech S, T ∈ Cu∗ (X). Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba R, że ||T − TR || ¬ ε
oraz ||S − SR || ¬ ε. Zauważmy, że:
||ST − SR TR || = ||(S − SR )T + SR (T − TR )|| ¬
||S − SR || · ||T || + ||SR || · ||T − TR || · ||S|| ¬
ε(||T || + ||S||).
Udowodniliśmy zatem, że operator ST jest granicą (w normie operatorowej) operatorów skończonej propagacji. Analogicznie:
||S + T − (SR + TR )|| ¬ ||S − SR || + ||T − TR || ¬ 2ε.
Przestrzeń liniowa Cu∗ (X) jest zatem zamknięta ze względu na mnożenie i dodawanie. Operacja sprzężenia hermitowskiego nie wpływa w żaden sposób na propagację operatora, zatem
dla T ∈ Cu∗ (X) również T ∗ ∈ Cu∗ (X). Udowodniliśmy, że Cu∗ (X) jest C ∗ -algebrą. Warto
zauważyć, że zawiera ona element neutralny (operator identycznościowy).
Na C ∗ -algebrze A⊗B będącej produktem C ∗ -algebr A i B w ogólności można wprowadzić
wiele nierównoważnych norm, spełniających ||x ⊗ y|| = ||x|| · ||y||. C ∗ -algebrę A nazwiemy
nuklearną, gdy dla każdej C ∗ -algebry B wszystkie normy na A⊗B spełniające ||x⊗y|| = ||x||·
||y|| są równoważne. Więcej informacji znajduje się w [Ped]. Jednorodna algebra Roe pozwala
w pewnym stopniu scharakteryzować zgrubne własności przestrzeni metrycznej. Aktualnie
rozważane jest następujące pytanie (dokładniejsze informacje można znaleźć w [Bro]):
Hipoteza 2.1.1. Dyskretna przestrzeń metryczna X, o ograniczonej geometrii ma własności
A wtedy i tylko wtedy, gdy algebra Cu∗ (X) jest dokładna, tzn. izomorficzna z pewną C ∗ podalgebrą C ∗ -algebry nuklearnej.
2.2. Pierwiastkowanie elementów Cu∗
Operator M ∈ B(l2 (X)) nazwiemy dodatnio określonym, gdy dla każdego wektora v ∈ l2 (X)
zachodzi hM v, vi ­ 0. Jednorodna algebra Roe ma tę ważną własność, że wraz z dodatnio
określonymi operatorami zawiera też ich ”pierwiastki”. Ściśle mówiąc:
Twierdzenie 2.2.1. Niech M ∈ Cu∗ (X) będzie dodatnio określonym operatorem. Wtedy istnieje samosprzężony operator Q ∈ Cu∗ (X) o tej własności, że: Q2 = QQ∗ = M .
W celu przeprowadzenia dowodu będziemy musieli odwołać się do Teorii Spektralnej.
Wykorzystamy lemat, który podamy tutaj bez dowodu (dowód można znaleźć w [Fma]).
12
Lemat 2.2.1. Niech An będzie ciągiem operatorów działających na pewnej przestrzeni Hilberta, o tej własności, że ∀m,n (Am An = An Am ). Załóżmy ponadto, że dla m > n operator
(Am − An ) jest dodatnio określony. Jeśli istnieje taki samosprzężony operator B, który dla
każdego n spełnia:
• B komutuje z An
• operator (B − An ) jest dodatnio określony
to ciąg operatorów An zbiega w normie do pewnego samosprzężonego operatora A.
Przejdźmy teraz do dowodu Twierdzenia 2.2.1.
Dowód. Na początku rozpatrzmy przypadek, gdy operator 1 − M (1 oznacza operator identycznościowy) jest dodatnio określony. Zdefiniujmy Q0 = 0 oraz rekurencyjnie:
Qn+1 = Qn +
1
M − Q2n .
2
(2.1)
Zauważmy, że każdy z operatorów Qn jest wielomianem od M zatem Qn są operatorami
samosprzężonymi, które komutują z każdym operatorem komutującym z M . Mamy również:
1
1
1 − Qn+1 = (1 − Qn )2 + (1 − M ).
2
2
(2.2)
Stąd otrzymujemy:
Qn+1 − Qn =
1
[(1 − Qn−1 ) + (1 − Qn )] (Qn − Qn−1 ).
2
(2.3)
Z równości 2.2 widzimy, że ∀m operator 1−Qm jest dodatnio określony (jako suma dwóch operatorów dodatnio określonych). Z równości 2.3 poprzez indukcję widać, że operator (Qm+1 −
Qm ) jest dodatnio określony gdyż jest iloczynem dwóch operatorów dodatnio określonych. Zatem z lematu 2.2.1 wiemy, że istnieje samosprzężony operator Q taki, że limn→∞ ||Q − Qn || =
0. Wobec tego przechodząc w równości 2.1 do granicy otrzymujemy:
1
M − Q2 ⇒ M = Q2 = QQ∗
2
W przypadku gdy operator 1 − M nie jest dodatnio określony stosujemy powyższe rozumowanie do operatora εM , dla liczby ε > 0 na tyle małej aby (1 − εM ) był operatorem
b tak, aby Q
b 2 = εM , za pierwiastek z M przyjdodatnio określonym. Następnie konstruując Q
b
mujemy B = √Qε .
Q=Q+
Zauważmy, że pierwiastek kwadratowy był konstruowany jako granica ciągu wielomianów
od M . Pokazaliśmy już poprzednio, że Cu∗ (X) jest C ∗ -algebrą wobec tego każdy wielomian
od M należy do Cu∗ (X). Operator Q jest wobec tego granicą ciągu operatorów należących do
Cu∗ (X), więc Q ∈ Cu∗ (X), gdyż Cu∗ (X) z definicji jest przestrzenią domkniętą.
13
Rozdział 3
Zgrubne zanurzenia w przestrzeń
Hilberta
Jak już wspominaliśmy dla przestrzeni, które zanurzają się zgrubnie w przestrzeń Hilberta zachodzi wiele ważnych twierdzeń. Między innymi Hipoteza Novikova, będąca zgrubną
wersją Hipotezy Bauma-Connesa. Dotyczy ona homotopijnej niezmienniczości pewnego wyrażenia, związanego z klasami Pontriaigna. Dokładne wyjaśnienie treści Hipotezy Novikova
wymaga wprowadzenia między innymi Teorii Klas Czerna, Zgrubnej Teorii Homologii oraz
CW-kompleksów. Wprowadzenie Hipotezy Novikowa można znaleźc w [Novi]. Wspominamy
o tym zagadnieniu, aby pokazać jak silnie Geometria Wielkiej Skali wiąże się z Geometrią
Różniczkową oraz Topologią Algebraiczną. Wprowadzimy teraz pojęcie kompresji, która jest
ilościową charakteryzacją zanurzalności.
3.1. Kompresja zanurzenia w przestrzeń Hilberta
Definicja 3.1.1. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną o ograniczonej geometrii.
Kompresją zanurzenia przestrzeni X w przestrzeń Hilberta (oznaczaną RX ) nazywamy supremum tych liczb α ∈ [0, 1] dla których istnieje zgrubne zanurzenie F : X → H w pewną
przestrzeń Hilberta H, takie że zachodzi tα < ρ− (t) dla pewnej stałej C > 0. Funkcja ρ− jest
funkcją spełniającą nierówność podaną w Definicji 1.1.2.
Oczywiście wszystkie przestrzenie X, które zanurzają się w sposób izometryczny mają
kompresję RX równą 1 (nie jest jednak prawdziwe twierdzenie odwrotne). Można udowodnić,
że również wszystkie drzewa mają kompresję wynoszącą 1 (dowód znajduje się w [Lsg]). Warto
nadmienić, że dla dowolnego α ∈ (0, 1] istnieje grupa skończenie generowana G o kompresji
RG wynoszącej dokładnie α oraz, że istnieją przestrzenie o kompresji wynoszącej 0.
3.2. Charakteryzacja zgrubnej zanurzalności w przestrzeń Hilberta
Podamy teraz bardzo użyteczne kryterium zgrubnej zanurzalności dyskretnej przestrzeni metrycznej w przestrzeń Hilberta. Będzie ono później wykorzystywane w dalszej części pracy.
Twierdzenie 3.2.1. Niech X będzie dyskretną przestrzenią metryczną. X zanurza się zgrubnie w przestrzeń Hilberta wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego t > 0 istnieje odwzorowanie
ξ : X → H0 , (gdzie H0 jest pewną przestrzenią Hilberta), takie, że:
15
• exp(−tρ+ (d(x, y)2 )) ¬ hξx , ξy i ¬ exp(−tρ− (d(x, y)2 ))
• dla każdego x ∈ X zachodzi ||ξx || = 1.
Najpierw pokażemy, jak, mając dane zgrubne zanurzenie F : X → H w pewną przestrzeń
Hilberta H skonstruować rodzinę funkcji ξx . Odwzorowanie ξ można skonstruować przy użyciu
przestrzeni Focka. Dla danej przestrzeni Hilberta H zdefiniujmy Fo (H) w następujący sposób:
Fo (H) = C ⊕ H ⊕ (H ⊗ H) ⊕ (H ⊗ H ⊗ H) ⊕ . . . = C ⊕
∞
M
H ⊗n .
n=1
Fo (H) jest przestrzenią wektorową wyposażoną w naturalny iloczyn skalarny oraz zupełną w normie pochodzącej od tego iloczynu, zatem jest przestrzenią Hilberta. Przestrzeń ta
pozwala na wprowadzenie eksponenty wektora: exp : H → Fo (H) w następujący sposób:
exp(v) = 1 ⊕ v ⊕
1
√ v⊗v ⊕
2!
∞
M
1
v ⊗n
√ v ⊗ v ⊗ v ⊕ ... = 1 ⊕
√ .
3!
n!
n=1
Podamy teraz kilka faktów potrzebnych do udowodnienia Twierdzenia 3.2.1
Stwierdzenie 3.2.1. Dla v, w ∈ H ⊗k zachodzi równość:
D
E
v ⊗k , w⊗k = hv, wik .
(3.1)
Dowód. Weźmy dowolną bazę ortonormalną (ei , i ∈ I) przestrzeni H. Wtedy bazą ortonormalną przestrzeni H ⊗k są wektory postaci ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . . ⊗ eik gdzie i1 , i2 , . . . , ik ∈ I. Niech
vi będzie ciągiem współczynników wektora v w bazie ei tzn:
v=
X
vi e i .
i∈I
Wtedy:
v ⊗k =
X
(i1 ,i2 ,i3 ,...,ik
(vi1 vi2 . . . vik )(ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . . ⊗ eik ).
)∈I k
Niech teraz analogicznie wi będzie ciągiem współczynników wektora w w bazie ei . Wtedy
mamy:
D
v ⊗k , w⊗k
E
=
*
X
(i1 ,i2 ,i3 ,...,ik
(vi1 vi2 . . . vik )(ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . . ⊗ eik ),
)∈I k
+
X
(wi1 wi2 . . . wik )(ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . . ⊗ eik )
=
(i1 ,i2 ,i3 ,...,ik )∈I k
X
(vi1 vi2 . . . vik )(wi1 wi2 . . . wik )
(i1 ,i2 ,i3 ,...,ik )∈I k
16
=
X
(vi1 wi1 )(vi2 wi2 ) . . . (vik wik )
=
(i1 ,i2 ,i3 ,...,ik )∈I k
!k
X
= hv, wik .
v i wi
i∈I
Na mocy Stwierdzenia 3.2.1 udowodnimy:
Stwierdzenie 3.2.2. Dla v, w ∈ H zachodzi
hexp(v), exp(w)i = ehv,wi .
(3.2)
Dowód. Zauważmy, że:
hexp(v), exp(w)i = 1 +
∞ X
1
n=1
1+
1
√ v ⊗n , √ w⊗n
n!
n!
=
∞
∞
X
X
1
1 ⊗n ⊗n =1+
v ,w
hv, win = ehv,wi .
n=1
n!
n=1
n!
Zdefiniujmy teraz odwzorowanie ξ : G → Fo (H) w następujący sposób:
√
2
ξ(x) = e−t||F (x)|| exp( 2tF (x)).
W celu uproszczenia zapisu od tej pory zamiast ξ(x) będziemy pisać ξx . Przejdźmy do
dowodu Twierdzenia 3.2.1.
Dowód. Na mocy Stwierdzenia 3.2.2 mamy:
2
2
2
hξx , ξy i = e−t||F (x)|| e−t||F (y)|| e2thF (y),F (y)i = e−t||F (x)−F (y)|| .
Funkcje ρ− oraz ρ+ spełniają nierówność:
ρ− (d(x, y)) ¬ ||F (x) − F (y)|| ¬ ρ+ (d(x, y))
wobec czego funkcja ξ spełnia:
exp(−tρ+ (d(x, y))2 ) ¬ hξx , ξy i ¬ exp(−tρ− (d(x, y))2 ).
Zauważmy ponadto, że dla każdego x ∈ G zachodzi ||ξx || = 1.
Pokażemy teraz dowód w drugą stronę. Wybierzmy tn =
na
ξn
ln(1+2−n )
.
ρ2+ (R)
Wtedy istnieje rodzi-
takich odwzorowań, że
d(x, y) ¬ R ⇒ ||ξx − ξy ||2 = 2(1 − hξx , ξy i) ¬ 2 1 −
17
1
1 + 2−n
¬ 2−n .
Zauważmy, że lim e−tn ρ− (S
S→∞
że
2)
= 0, zatem dla każdego n ∈ N istnieje taka liczba Sn > 0,
1
d(x, y) > S ⇒ ||ξx − ξy ||2 = 2(1 − hξx , ξy i) ­ .
2
Ustalmy teraz z ∈ X i zadajmy F : X →
∞
M
wzorem:
n=1
∞
M
(ξxn − ξzn ).
F (x) =
n=1
Przeprowadzając szacowania analogiczne do tych w dowodzie Twierdzenia 1.3.1 można
pokazać, że F jest zgrubnym zanurzeniem.
3.3. Kompresja większa niż
1
2
implikuje Własność A
Jak za chwilę udowodnimy, gdy grupa zanurza się w przestrzeń Hilberta w sposób ”dostatecznie dobry” wtedy ma własność A. Ściśle mówiąc:
Twierdzenie 3.3.1. Niech G będzie grupą skończenie generowaną. Jeśli kompresja RG zanurzenia tej grupy w przestrzeń Hilberta spełnia RG > 21 to grupa G ma Własność A.
W tej części pracy posłużymy się Analizą Funkcjonalną oraz wynikami uzyskanymi w
poprzednich rozdziałach. Będziemy jednak potrzebowali sformułować i udowodnić dodatkowy
lemat:
h
i
Lemat 3.3.1. (Test Schura) Niech operator S będzie zadany macierzą S(x,y) taką, że
S(x,y) ­ 0 dla każdych x, y ∈ G. Jeśli dodatkowo:
sup
X
x∈G y∈G
S(x,y) = C1 < ∞
(3.3)
S(x,y) = C2 < ∞
(3.4)
oraz
sup
X
y∈G y∈G
to operator zadany
macierzą S jest operatorem ograniczonym na przestrzeni Hilberta l2 (G)
√
oraz ||S|| ¬ C1 C2 .
Dowód. Niech (ex , x ∈ G) będzie bazą ortonormalną przestrzeni l2 (G). Weźmy dowolny wekP
tor v ∈ l2 (G), i niech v = x∈G vx ex . Wtedy:

Sv =
X

X

x∈G
S(x,y) vy  ex .
y∈G
Zatem:
2

||Sv||2 =
X
X

x∈G
S(x,y) vy  .
y∈G
Oznaczmy przez S(x) x-ty wiersz macierzy S. Wtedy:
18
s
||Sv||2 =
XD
S(x) , v
E2
.
x∈G
Zdefiniujmy wektory:
αx =
Xq
S(x,y) ex
x∈G
oraz
Xq
βx =
S(x,y) vx ex .
x∈G
Korzystając z nierówności Cauchy’ego-Schwartza szacujemy:
D
S(x) , v

¬
E2
= hα, βi2 ¬ ||α||2 · ||β||2 ¬

X
S(x,y)  
y∈G

X

S(x,y) vy2  ¬ C1 
y∈G
(3.5)

X
S(x,y) vy2  .
y∈G
Z kolei z Twierdzenia Fubiniego (które pozwala zmienić kolejność sumowania) uzyskujemy:


XD
S(x) , v
E2
¬ C1

x∈G
x∈G
!
= C1
X
X
X
X
y∈G
x∈G
S(x,y) vy2
¬ C1
S(x,y) vy2  =
(3.6)
y∈G
X
C2 vy2 = C1 C2 ||v||2 .
y∈G
Mając powyższy fakt, możemy przejść do dowodu Twierdzenia 3.3.1:
Dowód. Na mocy Stwierdzenia 3.2.1 istnieje rodzina funkcji {ξx , x ∈ G} spełniająca dla
dowolnego t > 0:
• exp(−tρ+ (d(x, y)2 )) ¬ hξx , ξy i ¬ exp(−tρ− (d(x, y)2 ))
• dla każdego x ∈ G zachodzi ||ξx || = 1.
h
i
Zdefiniujmy macierz T = T(x,y) gdzie (x, y) ∈ G × G wzorem:
T(x,y) = hξx , ξy i
(3.7)
Posługując się Lematem 3.3.1 udowodnimy, że macierz T zadaje ograniczony operator liniowy
na przestrzeni l2 (G). Macierz T jest symetryczna, zatem wystarczy sprawdzić jedynie warunek
3.3. Ustalmy zatem y ∈ G. Wtedy:
X
x∈G
T(x,y) =
X
X
m­0 d(x,y)=m
T(x,y) =
X
X
m¬k d(x,y)=m
19
T(x,y) +
X
X
m>k d(x,y)=m
T(x,y) ,
(3.8)
gdzie k wybierzemy później. Pierwszy składnik jest skończoną sumą liczb nie większych niż 1,
których liczba zależy tylko do k. Zatem wystarczy pokazać, że drugi składnik jest skończony.
Zauważmy, że:
X
X
X
T(x,y) =
m>k d(x,y)=m
X
X
e−tρ−
2
e−t||F (x)−F (y)|| ¬
X
m>k d(x,y)=m
(d(x,y))2
X
¬
m>k d(x,y)=m
e−tm
X
(1+δ)
.
(3.9)
m>k d(x,y)=m
W nierówności 3.9 skorzystaliśmy z założenia o tym, że kompresja RG zanurzenia grupy
G w przestrzeń Hilberta jest większa niż 21 .
Niech liczba generatorów (licząc ich odwrotności) grupy G wynosi s. Wtedy liczba elementów x grupy G spełniających d(x, y) = m wynosi nie więcej niż sm . Zatem możemy wykonać
dalsze szacowanie:
X
X
e−tm
(1+δ)
sm e−tm
X
¬
(1+δ)
X
δ
(se−tm )m .
(3.10)
m>k
m>k
m>k d(x,y)=m
¬
Wybierzmy k na tyle duże, aby:
s
< 1.
etkδ
Wtedy szereg:
δ
(se−tm )m
X
m>k
majoryzuje się przez zbieżny szereg geometryczny. Udowodniliśmy zatem ciągłość operatora T . Teraz pokażemy, że jest on elementem Jednorodnej Algebry Roe.
Zdefiniujmy rodzinę operatorów zadanych macierzami:
(
(Tk )(x,y) =
T(x,y) gdy d(x, y) ¬ k
0 w przeciwnym przypadku
Dla dostatecznie dużych k, Test Schura zastosowany do operatora T − Tk pokazuje, że:
||T − Tk || ¬
∞
X
δ
(se−tm )m → 0
m=k
, gdy k → ∞. Operatory Tk mają skończoną propagację. Udowodniliśmy zatem, że operator
T jest ograniczony oraz należy do Jednorodnej Algebry Roe, gdyż jest granicą (w normie
operatorowej) operatorów o skończonej propagacji.
Pokażemy teraz, że operator T jest dodatnio określony. W tym celu wystarczy wykazać,
że hT v, vi ­ 0 jedynie dla v mających skończony nośnik, gdyż takie wektory są gęste w l2 (G),
zaś operator T jest ciągły. Wtedy mamy:
20
hT v, vi =
X
X
(T v)(x)v(x) =
x∈G
x∈G
+
*
X
v(x)ξx ,
X
v(y)ξy
hξx , ξy i v(y) =
y∈G
2
X
v(x)ξx ­ 0.
= x∈G
y∈G
x∈G
X
v(x)
Na mocy Twierdzenia 2.2.1 wiemy, że istnieje operator Q należący do jednorodnej algebry
Roe taki, że Q∗ Q = T . Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje taki operator U o skończonej propagacji,
że:
||Q − U || ¬ ε.
Teraz zdefiniujmy dla każdego x ∈ G:
ηx = U 1x .
ηx jest po prostu kolumną macierzy U o indeksie x. Zauważmy, że:
||ηx − Q1x || ¬ ||U − Q|| · ||1x || ¬ ε.
(3.11)
|(1 − ||ηx ||)| ¬ ε.
(3.12)
Z tego wynika:
Z nierówności 3.11 mamy, że:
||ηx − ηy || ¬ ||ηx − Q1x || + ||Q1x − Q1y || + ||Q1y − ηy || ¬ 2ε + ||Q1x − Q1y ||
Ostatni składnik sumy spełnia natomiast:
||Q1x − Q1y ||2 = 2(1 − hQ1x , Q1y i) =
= 2(1 − hQ∗ Q1x , 1y i
= 2(1 − hT 1x , 1y i)
¬ 2 1 − e−t||F (x)−F (y)||
2
.
Wybierzmy R > 0 i przyjmijmy:
t=
ln(1 + ε)
.
ρ2+ (R)
Wtedy dla każdych x, y ∈ G takich, że d(x, y) < R zachodzi:
2 1 − e−t||F (x)−F (y)||
2
¬2 1−
1
1+ε
¬ 2ε.
Wobec tego dla elementów x, y grupy G spełniających d(x, y) < R zachodzi:
||ηx − ηy || ¬ 4ε.
21
Zdefiniujmy teraz:
ϑx =
ηx
.
||ηx ||
Wtedy zachodzi
||ϑx || = 1
oraz:
ηx
1 1 ||ϑx − ηx || = ||ηx || ¬ 1 −
.
− ηx = 1 −
||ηx ||
||ηx || ||ηx || Uwzględniając nierówność 3.12 otrzymujemy:
1−
1
1
1
¬1−
¬1−
.
1−ε
||ηx ||
1+ε
Wobec tego otrzymujemy:
ε
ε
ε
1 − 1 ¬ max
,
=
.
||ηx ||
1−ε 1+ε
1−ε
Wobec tego otrzymaliśmy, że dla x, y ∈ G takich, że d(x, y) < R zachodzi:
||ϑx − ϑy || ¬ ||ϑx − ηx || + ||ηx − ηy || + ||ηy − ϑy || ¬ 4ε + 2
ε
→0
1−ε
, gdy ε → 0.
Jako, że U ma skończoną propagację, istnieje taka stała E > 0, że ϑx ⊆ B(x, E). Na koniec zauważmy, że funkcje ϑx są elementami l2 (X) i spełniają założenia Twierdzenia 1.4.1 co
ostatecznie dowodzi, że grupa G ma Własność A.
22
Bibliografia
[Lsg] Piotr Nowak, Gouliang Yu, Large Scale Geometry
[Gnfa] Y. Benyamini and J. Lindenstrauss, Geometric nonlinear functional analysis. Vol.
1, volume 48 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American
Mathematical Society, Providence, RI, 2000
[Fma] A. Friedman, Foundations of modern analysis, New York, 1982
[Bro] Brodzki, Jacek, Niblo, Graham A. and Wright, Nicholas, Property A and exactness of
the uniform Roe algebra, L’Enseignement Mathématique, 2008
[AGS] Goulnara Arzhantseva, Erik Guentner, Jan Spakula, Coarse non-amenability and coarse embeddings, arXiv:1101.1993v1
[Ped] G. K. Pedersen, C ∗ -algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1979
[Novi] M. Kreck, W. Luck, Review of the Novikov Conjecture, Geometry and Algebra, Boston,
Berlin, 2005, ISBN 3-7643-7141-2
23