1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h)
Transkrypt
1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -1- 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h) 1.1. Systemy LTI Pojęcie systemy LTI oznacza liniowe systemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time - Invariant ). W literaturze polskiej częściej używa się terminu SLS ( systemy liniowo stacjonarne). Rozumienie pojęcia liniowości i stacjonarności pozwala na identyfikację klasy systemu i przyjęcie odpowiednich metod analizy. Termin systemy liniowe definiuje klasę systemów, w których odpowiedź (sygnał wyjściowy) jest superpozycją składowych stanowiących odpowiedzi systemu na pojedyncze składowe wymuszenia (sygnału wejściowego). x[n] liniowy system dyskretny y[n] Założymy, że jeżeli na wejście systemu podamy sygnał x1[n] to na wyjściu otrzymamy sygnał y1[n] oraz jeżeli na wejście systemu podamy sygnał x2[n] to na wyjściu otrzymamy sygnał y2[n]. system x1 [n] → y1 [n] system x2 [n] → y 2 [n] Jeżeli system jest liniowy to spełniony jest warunek addytywności oraz jednorodności system a ⋅ x1 [n] + b ⋅ x2 [n] → a ⋅ y1 [n] + b ⋅ y 2 [n] Inaczej mówiąc sygnał wyjściowy y1 zależy wyłącznie od sygnału wejściowego x1 oraz charakterystyk systemu, nie zależy natomiast od żadnego innego sygnału wejściowego. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -2- Przykład dyskretnego systemu liniowego y[n ] = − x[n] 2 System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka podana na jego wejście zmieni znak i zmniejszy swoją wartość dwukrotnie. Podamy na wejście układu dyskretne sygnały sinusoidalne x1 [n] = sin(ωnT p ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz x2 [n] = sin(3ωnT p ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz oraz sumę sygnałów x1 i x2 x3 [n ] = x1 [n] + x2 [n] = sin(ωnT p ) + sin(3ωnT p ) x1[n] y1[n] |Y1[m]| 0.5 t t f 1 x2[n] y2[n] 2 3 4 |Y2[m]| 0.5 t t f 1 x3[n]=x 1[n]+x2[n] y3[n] 2 3 4 |Y3[m]| 0.5 t t f 1 2 3 4 Z wykresu czasowego oraz widmowego widać, że sygnał y3 stanowi sumę sygnałów y1 i y2 (sumowanie próbka po próbce, suma dwóch harmonicznych, pierwszej i trzeciej). Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -3- Przykład systemu nieliniowego y[n ] = ( x[n]) 2 System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka podana na jego wejście zostanie podniesiona do kwadratu. Podamy na wejście układu dyskretne sygnały sinusoidalne x1 [n] = sin(ωnT p ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz x2 [n] = sin(3ωnT p ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz x1[n] y1[n] |Y1[m]| 0.5 t t f 1 x2[n] y2[n] 2 3 4 5 6 |Y2[m]| 0.5 t t f 1 x3[n]=x 1[n]+x2[n] y3[n] 2 3 4 5 6 |Y3[m]| 0.5 t t f 1 Obliczymy przebiegi wyjściowe y1 i y2 x1 [n] = sin(ωnT p ) 2 3 4 5 6 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -4- y1 [n ] = ( x1 [n]) = sin(ωnT p ) ⋅ sin(ωnT p ) 2 Wykorzystując przekształcenia trygonometryczne sin (α ) ⋅ sin (β ) = 1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 Otrzymujemy pierwszy przebieg wyjściowy y1 [n] = [ 1 1 − cos(2ωnT p ) 2 ] oraz analogicznie drugi przebieg wyjściowy y 2 [n] = [ 1 1 − cos(6ωnT p ) 2 ] Jeżeli sygnałem wejściowym będzie suma sygnałów x1 i x2 x3 [n ] = x1 [n] + x2 [n] = sin(ωnT p ) + sin(3ωnT p ) otrzymamy: y3 [n] = ( x1 [n] + x2 [n]) 2 y3 [n] = ( x1 [n]) + 2 x1 [n]x2 [n] + ( x2 [n]) 2 2 stąd y3 [n ] = [ ] [ ] [ 1 1 1 − cos(2ωnT p ) + cos(2ωnT p ) − cos(4ωnT p ) + 1 − cos(6ωnT p ) 2 2 ] Zauważmy, że w sygnale wyjściowym y3 pojawiają się harmoniczne, które nie występują w żadnym sygnale wejściowym (2,4). Równanie definiujące liniowość nie jest zatem spełnione. System jest nieliniowy. Systemy nieliniowe są trudne do analizowania, są jednak sporadycznie wykorzystywane w praktyce cyfrowego przetwarzania sygnałów. Przykładem mogą być nieliniowe filtry cyfrowe. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać tylko systemy liniowe. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -5- W systemie niezmiennym w czasie przesunięcie w czasie w ciągu wejściowym powoduje równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym1. Jeżeli reakcją układu na wymuszenie x będzie odpowiedź y system x[n] → y[n] to na wymuszenie x przesunięte w czasie (o k próbek) układ odpowie sygnałem y tak samo opóźnionym system x[n − k ] → y[n − k ] Przykład systemu niezmiennego w czasie y[n ] = − x[n] 2 system x ' [n] = x[n + 4] → y ' [n] = y[n + 4] x1[n] y1[n] 0.5 t x'1[n] t y'1[n] 0.5 t t Przykładem procesu cyfrowego przetwarzania nie spełniającego warunku niezmienności w czasie jest podpróbkowywanie (wybieranie niektórych próbek przebiegu). Dalej będziemy rozpatrywać tylko systemy niezmienne w czasie 1 Czasami można spotkać definicję stacjonarności jako brak zmian parametrów układu w czasie. Jednak taka definicja nie jest kompletna. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -6- Analiza systemów LTI Dzięki właściwościom systemów LTI, można w prosty sposób przewidywać ich funkcjonowanie. Pełną informację o systemie gwarantuje znajomość odpowiedzi impulsowej. Odpowiedź impulsowa systemu jest to sygnał (ciąg ) wyjściowy w dziedzinie czasu, gdy sygnałem wejściowym jest impuls jednostkowy, tzn. sygnałem wejściowym jest pojedyncza próbka o wartości jeden, natomiast wszystkie próbki przed i po niej mają wartość równą zero. x[n] liniowy system dyskretny x[n] y[n] y[n] 1 t 0 t 0 Znając odpowiedź impulsową systemu LTI, można określić odpowiedź dla dowolnego sygnału wejściowego jako splot tego sygnału z odpowiedzią impulsową. Odpowiedź impulsowa umożliwia wyznaczenie transmitancji widmowej systemu LTI, oraz analizę systemu w dziedzinie częstotliwości. Systemy LTI mają użyteczną dla analizy właściwość przemienności, dzięki której można zamieniać kolejność połączonych szeregowo bloków systemu, bez wpływu na sygnał wyjściowy. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -7- 1.2. Sygnały Termin przetwarzanie sygnałów należy rozumieć jako analizowanie zmiennych w czasie procesów fizycznych. Ze względu na typ reprezentacji sygnałów w dziedzinie czasu przetwarzanie dzieli się na: • analogowe przetwarzanie sygnałów2 (sygnały o czasie ciągłym, syg. analogowe) Zmienna niezależna czasu jest ciągła. • cyfrowe przetwarzanie sygnałów (sygnały o czasie dyskretnym, syg. dyskretne) W tym przypadku zmienna niezależna czasu jest kwantowana, tak że otrzymuje się wartości sygnału w dyskretnych punktach. Sygnał jest reprezentowany jako ciąg wartości. Oprócz kwantowania osi czasu, sygnał dyskretny może mieć kwantowane wartości, taki sygnał nazywany jest sygnałem cyfrowym. Sygnały analogowe f(t) f(t0) t 0 t0 Rys.1 Sygnał analogowy Sygnałem analogowym określamy sygnał ciągły w czasie, który może przyjmować ciągły zakres wartości chwilowej. Przykładem takiego sygnału jest napięcie podawane na wejście oscyloskopu, dając na jego ekranie obraz przebiegu jako ciągłą w czasie funkcję. Elektryczne sygnały analogowe przetwarza się w układach analogowych takich jak np. rezystory, kondensatory, dławiki, transformatory, filtry analogowe, wzmacniacze operacyjne itd. , lub przetwarza się je do postaci dyskretnej (próbkuje). 2 Termin analogowy wywodzi się od elektronicznych komputerów analogowych, które rozwiązywały złożone układy równań różniczkowych. Wykorzystywano analogie badanych modeli matematycznych do modeli elektrycznych. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -8- Sygnały dyskretne f[n] f[k] n 0 k Tp Rys.2 Sygnał dyskretny Wykorzystując przetworniki analogowo-cyfrowe3 sygnały analogowe próbkuje się w równych odstępach czasu. Przedział czasu Tp pomiędzy kolejnymi próbkami nazywa się okresem próbkowania. Otrzymuje się sygnał dyskretny jako ciąg wartości, które są indeksowane za pomocą liczb całkowitych: f [n ] = f (nT p ) Częstotliwość próbkowania fp jest równa odwrotności okresu próbkowania: fp = 1 Tp Wybór wartości częstotliwości próbkowania zależy od własności widmowych przetwarzanego sygnału analogowego oraz specyfiki procesu próbkowania. Matematyczna reprezentacja sygnału dyskretnego Matematycznie proces próbkowania polega pomnożeniu sygnału analogowego f(t) z nieskończonym szeregiem impulsów (delt) Diraca d(t). Impulsy w takim szeregu powtarzają się z okresem Tp . Szereg impulsów Diraca opisuje zależność: ∞ d (t ) = ∑ δ (t − nT p ) −∞ Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej długości ( jest to miara pola powierzchni delty), oddalonych od siebie o stały przedział czasu równy Tp (okres próbkowania). 3 Patrz temat dotyczący budowy i działania przetworników A/C Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -9- δ (t − nT p ) d(t) 1 t 0 t0 = nTp Tp Rys.3 Szereg impulsów Diraca Zatem sygnał dyskretny (ozn. f*(t) ) opisuje zależność: f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t ) ∞ f * (t ) = f (t ) ⋅ ∑ δ (t − nT p ) −∞ Wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy wyrażenie opisujące sygnał dyskretny: ∞ f * (t ) = ∑ f (nT p )⋅ δ (t − nT p ) −∞ Zapis ten należy interpretować jako szereg impulsów Diraca o polach równych wartościom próbkowanej funkcji analogowej w punktach, w których znajdują się delty szeregu d(t). f (nTp )⋅ δ (t − nTp ) f*(t) t 0 t0 = nTp Rys.4 Sygnał dyskretny Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -10- Widmo sygnału dyskretnego. F { f * (t )} Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala na lepiej rozumieć zagadnienia przetwarzania sygnałów. Przetwarzaniu sygnałów dyskretnych, technikami Fouriera będą poświęcone osobne wykłady wyjaśniające zagadnienia dyskretnej transformaty Fouriera (DFT oraz FFT). Tu wykorzystamy znane już ciągłe przekształcenie Fouriera. Widmo delty Diraca zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi: ∞ F {δ (t )} = ∫ δ (t )e − jωt dt = 1 −∞ F 1 δ (t ) → Pary transformat wynikające z właściwości przekształcenia Fouriera: F e − jωT δ (t − T ) → F 2πδ (ω ) 1 → F 2πδ (ω − ω e jω0t → 0 ) Widmo przebiegu okresowego, pozwala zauważyć charakterystyczną właściwość widma sygnału dyskretnego. Wykorzystamy zespolony szereg Fouriera. Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać f (t ) = ∞ ∑c e k = −∞ jkω 0t k Jego transformata Fouriera ∞ F ( jω ) = F ∑ c k e jkω 0t k =−∞ F ( jω ) = ∑ c F {e ∞ k = −∞ k jkω 0t } F ( jω ) = 2π ∞ ∑ c δ (ω + kω ) k = −∞ k 0 gdzie T 1 0 c k = ∫ f (t )e − jkω0t dt T0 0 2π ω0 = T0 współczynniki szeregu odstępy między impulsami widma Wynika z tego, że widmo dowolnego sygnału okresowego, opisuje szereg impulsów Diraca oddalonych od siebie o stałą wartość ω0 i o polach równych odpowiednio 2π c k . Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -11- ω t ω t Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić, że sygnał złożony z impulsów Diraca odległych od siebie o stałą wartość (sygnał dyskretny) posiada okresowe widmo. Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma swoje ważne konsekwencje w teorii próbkowania. Szereg impulsów Diraca rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu okresowego d (t ) = ∞ ∑ δ (t − kT ) p k = −∞ Po przedstawieniu d(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera d (t ) = ∞ ∑c e k = −∞ jkω p t k współczynniki tego szeregu wynoszą 1 ck = Tp Tp / 2 ∫ δ (t )e − jω p kt dt = −T p / 2 1 Tp Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać D ( jω ) = 2π Tp ∞ k = −∞ 2π p ∑ δ ω + k T Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca powtarzających się z okresem Tp (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem impulsów Diraca powtarzających się z okresem 2π / T p (w dziedzinie częstotliwości). Ważne spostrzeżenie, że zmniejszając odstępy między impulsami w dziedzinie czasu ( większa częstotliwość próbkowania ) zwiększają się odstępy miedzy deltami w dziedzinie częstotliwości (i odwrotnie). Ta prosta zależność ma fundamentalne znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -12- Do obliczenia transformaty Fouriera sygnału dyskretnego F { f * (t )} wykorzystamy wcześniejsze zależności. Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z dziedzinie częstotliwości ): F { f (t ) ⋅ d (t )} = F { f * (t )} = 1 F { f (t )}∗ F {d (t )} 2π 1 F { f (t )}∗ F {d (t )} 2π W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego jako F * ( jω ) = 1 F ( jω ) ∗ D ( jω ) 2π oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy: F * ( jω ) = F ( jω ) ∗ 1 Tp ∞ k = −∞ 2π p ∑ δ ω + k T Pamiętamy, że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej funkcji do punktu, w którym znajduje się delta. Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem impulsów, to następuje powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w których znajdują się impulsy Diraca. Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku powielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i przesuwania tych powieleń o wielokrotności ωp. ωp = 2π Tp Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać: F * ( jω ) = 1 Tp ∞ k = −∞ 2π p ∑ F jω + jk T Operację próbkowania sygnału analogowego f(t) można przedstawić graficznie w postaci wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ® -13- f(t) f(t) ω t 0 0 D(ω) d(t) 2π 1 ω t 0 0 ωp Tp f*(t) F*(ω) ω t 0 0 ωp Rys 5. Graficzne przedstawienie operacji próbkowania Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego zależy od częstotliwości próbkowania. W niektórych wypadkach w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału analogowego, może występować nakładanie się powieleń. Ten niepożądany efekt nazywany aliasingiem wymusza stosowanie dodatkowej filtracji analogowej (filtry antyaliasingowe) oraz odpowiednich technik próbkowania. ( koniec)