mat poradnik cz1 gim II

Jacek M. Jędrzejewski Kinga Gałązka Edward Lesiak
MATEMATYKA
KROK PO KROKU
Poradnik metodyczny
Klasa II gimnazjum
Projekt okładki
Barbara Zawadzka
Redaktor merytoryczny
Joanna Gonciarz
Redaktor techniczny
Małgorzata Niedziałomska
Grafika komputerowa i rysunki
Mieczysław Potocki
Poradnik jest częścią obudowy programu nauczania matematyki w klasach I–III gimnazjum pod tytułem MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: 219/00.
Wydanie I
© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne
RES POLONA Sp. z o.o.
ISBN 83-7071-253-3
WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 Łódź, ul. Gdańska 80, tel. (0-42) 636-36-34, fax 637-30-10
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: [email protected]
Spis treści
Wstęp / 5
Komentarz do podręcznika / 7
Pole figury geometrycznej płaskiej / 7
Liczby rzeczywiste / 10
Wyrażenia algebraiczne / 11
Funkcje / 12
Równania i nierówności / 17
Relacje między figurami geometrycznymi / 20
Lekcja po nowemu / 23
Budowa lekcji / 27
Nasze pomysły na Twoje lekcje / 31
Scenariusz zajęć / 33
Odpowiedzi do zadań / 43
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramką z ,,!” / 43
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań
ramką z ,,?” / 51
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych
/ 58
WSTÊP
Otrzymujecie Państwo poradnik będący jedną z części kompletu materiałów do nauczania matematyki w klasie drugiej gimnazjum MATEMATYKA KROK PO KROKU. W poradniku są zawarte materiały ułatwiające organizację procesu nauczania–uczenia się, przykładowy scenariusz
zajęć, odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ramką z ,,!”,
w ćwiczeniach
zbiorze zadań ramką z ,,?” oraz zadań oznaczonych
sprawdzających.
Komplet do nauczania matematyki w klasie drugiej gimnazjum zawiera: program nauczania, podręcznik, zbiór zadań, ćwiczenia sprawdzające,
rozkład materiału oraz poradnik metodyczny.
Program nauczania. Opracowany został zgodnie z Podstawą programową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gimnazjów. Zawiera: założenia ogólne, szczegółowe cele kształcenia matematycznego, założenia szczegółowe programu, propozycje metod oceny
osiągnięć uczniów, ogólny układ materiału w gimnazjum, orientacyjny
przydział godzin oraz materiał nauczania z podziałem na poszczególne
klasy. W programie uwzględniono tygodniowo 4 godziny matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciągu 33 tygodni.
Podręcznik. Zawiera wiele różnych elementów, których celem jest
wzbudzenie zainteresowania uczniów. Układ podręcznika Matematyka
krok po kroku umożliwia rytmiczną realizację programu oraz sprzyja stosowaniu aktywnych metod nauczania.
Zbiór zadań. Jest uzupełnieniem i rozszerzeniem zagadnień zawartych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trudności, które umożliwiają utrwalenie zdobytych umiejętności i rozwijanie
zainteresowań uczniów. W zbiorze zawarte są zadania z treścią łączącą
matematykę z innymi dziedzinami wiedzy oraz takie, które wskazują na
5
praktyczne zastosowania matematyki. Ustalając tematykę Impresji matematycznych, można bazować na znajdujących się w zbiorze zadaniach
otwartych.
Ćwiczenia sprawdzające. Są propozycją krótkich sprawdzianów,
które mogą być użyte do samodzielnych prac uczniów w klasie czy też
w domu. Sposoby ich wykorzystania zależą od inwencji nauczyciela.
Rozkład materiału. Został opracowany tak, że może być podstawą planowania pracy przez nauczyciela. W wielu placówkach dyrektorzy zezwolili nauczycielom na bezpośrednie korzystanie z rozkładu bez konieczności
przepisywania go. Rozkład materiału zawiera dokładny plan realizacji
zajęć z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zoperacjonalizowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie materiału jest zaplanowana bieżąca kontrola procesu nauczania–uczenia się
(kartkówki Teraz Ty, prace klasowe Godzina szczerości) umożliwiająca
dokonanie ewaluacji procesu dydaktycznego. Proponowane Impresje matematyczne wskazują na miejsca, gdzie możliwe jest realizowanie ścieżek
międzyprzedmiotowych.
6
KOMENTARZ
DO PODRÊCZNIKA
W podręczniku dla klasy drugiej poruszamy między innymi trudne zagadnienia dotyczące pól figur geometrycznych, czyli teorii miary Jordana oraz zagadnienia związane z funkcją. W toku realizacji tych zagadnień wiele poważnych niedociągnięć dotyczy głównie stosowania
oznaczeń funkcji, jej wartości, a także równania wykresu funkcji. Z tego
względu w poradniku są analizowane zagadnienia teoretyczne, które
umożliwią ujednolicenie stosowanej terminologii oraz pewniejsze działania nauczycieli.
Pole figury geometrycznej płaskiej
Ustalmy pewien kwadrat i nazwijmy go kwadratem jednostkowym.
Wprowadźmy na płaszczyźnie układ współrzędnych, którego jednostką
długości jest długość boku ustalonego kwadratu jednostkowego.
Rozważmy figurę F na płaszczyźnie z danym układem współrzędnych.
Proste o równaniach x = k i y = l,
gdzie k, l przebiegają zbiór liczb
całkowitych, wyznaczają sieć
kwadratową. Boki kwadratów tej
sieci mają długości równe jednostce. Obliczamy liczbę kwadratów jednostkowych tej sieci,
które są zawarte w figurze F; ich
liczbę oznaczmy p1.
y
F
1
x
0
1
7
Obliczamy następnie liczbę kwadratów jednostkowych tej sieci, które
mają przynajmniej jeden punkt wspólny z daną figurą; ich liczbę oznaczmy P1. Oczywiście
p1 ≤ P1
Jeśli p1 = P1, to wspólną wartość p1 i P1 nazywamy polem figury F.
Dla figury F nie będącej wielokątem zazwyczaj p1 < P1. Proste o równaniach x = k , y = l , gdzie k, l przebiegają zbiór liczb całkowitych,
10
10
wyznaczają sieć kwadratową będącą zagęszczeniem pierwszej sieci.
Niech p2 będzie liczbą kwadratów jednostkowych tej sieci zawartych
w figurze F, a P2 liczbą kwadratów jednostkowych mających przynajmniej jeden punkt wspólny z figurą F. Wtedy
p1 ≤ p2 ≤ P2 ≤ P1
Zagęszczając podobnie sieć, otrzymujemy ciągi liczb ( pn )n=1 i (Pn )n=1
∞
∞
takie, że
p n ≤ pn+1 ≤ P n+1 ≤ P n dla n ∈ N
Liczbą kwadratów jednostkowych sieci n-tego kroku zawartych w figurze F jest pn · 10 n, natomiast Pn · 10 n jest liczbą kwadratów jednostkowych
sieci n-tego kroku mających przynajmniej jeden punkt wspólny z figurą F.
Ciąg ( pn )n=1 jest niemalejący i ograniczony z góry, ma więc granicę, któ∞
rą oznaczmy p . Ciąg (Pn )n=1 jest nierosnący i ograniczony z dołu, ma
∞
więc granicę, oznaczmy ją P . Oczywiście
p ≤ P
Jeśli p = P , to figurę F nazywamy figurą geometryczną mierzalną (w sensie Jordana), a wspólną wartość p i P nazywamy polem (miarą) figury F.
Często pole to (miarę) oznaczamy P lub PF.
Możemy dowieść, że jeśli figury F1 i F2 są mierzalne i nie zachodzą na
siebie, tzn. nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, to suma figur
F1 ∪ F2 też jest mierzalna oraz
PF1 ∪ F 2 = PF1 + PF2
Własność ta to addytywność miary.
8
Teorię tę przypominamy, aby w razie potrzeby rozwinąć pierwszy temat
Pojęcie pola figury. Jednostki pola.
Wiedząc, że dana figura F jest mierzalna, każdą liczbę pn (n = 1, 2, 3, ...)
nazywamy przybliżeniem z niedomiarem pola figury F, a liczbę
Pn (n = 1, 2, 3, ...) nazywamy przybliżeniem z nadmiarem pola figury F.
Mamy bowiem
pn ≤ P ≤ Pn
Nie wszystkie figury geometryczne są mierzalne. Na przykład figurą
niemierzalną jest kwadrat o wierzchołkach w punktach (0, 0), (0, 1), (1, 1),
(1, 0), z którego ,,wyrzucamy” wszystkie punkty o obu współrzędnych
wymiernych. Nie istnieje żaden kwadrat zawarty w tym ,,kwadracie–sicie”.
Najmniejszym kwadratem, zawierającym ów ,,kwadrat–sito”, jest kwadrat o wierzchołkach: (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0).
Łatwo zauważamy, że odcinek możemy zawrzeć w sumie kwadratów,
których suma pól jest dowolnie mała. Wynika stąd, że pole odcinka jest
równe 0. W podręczniku omawiamy konstrukcję dywanu Sierpińskiego.
W tym przypadku również możemy dowieść, że jest to figura geometryczna mierzalna i jej miara jest równa 0.
Korzystając z addytywności funkcji pola, dowodzimy wzór określający pole równoległoboku, co poglądowo możemy przedstawić, używając
talii kart. Prostokąt odpowiadający
bokowi równo ułożonej talii kart ma
takie samo pole, jak równoległobok
utworzony przez bok talii kart przesuniętej wzdłuż jednej krawędzi.
Wprowadzenie wzoru na pole trójkąta poprzedzamy obliczeniem pola
trójkąta prostokątnego. Do dowolnego trójkąta prostokątnego dorysowujemy trójkąt przystający tak, aby powstał prostokąt. Pole prostokąta umiemy obliczyć, zatem pole rozważanego trójkąta jest równe połowie pola
tego prostokąta.
Przestrzegamy przed metodą dzielenia prostokąta wzdłuż jego przekątnej.
Rozcięcie prostokąta może służyć jedynie do zaobserwowania zależności
pomiędzy polem trójkąta prostokątnego a polem prostokąta. Uzasadnienie
powinniśmy jednak poprowadzić w opisany powyżej sposób.
9
Wzór na pole trapezu tłumaczymy uczniom za pomocą podziału trapezu na dwa trójkąty mające tę samą wysokość.
Zanim zajmiemy się rozważaniami dotyczącymi pola koła, proponujemy omówienie zagadnienia długości okręgu. W okrąg wpisujemy n-kąty
foremne. Obliczamy obwody wielokątów, ciąg tych obwodów tworzy
ciąg przybliżeń z niedomiarem długości okręgu. Metoda ta jest opisana
w podręczniku na stronie 31 i 32.
W sposób zrozumiały dla wszystkich uczniów tłumaczymy także wzór na
pole koła. Bardziej zainteresowanym uczniom możemy przedstawić kilka
kroków tej metody, tworząc ciąg przybliżeń pola koła i tłumacząc, iż
w granicy otrzymamy odpowiedni wzór.
Liczby rzeczywiste
Rozdział Liczby rzeczywiste jest w znacznej mierze przypomnieniem
i powtórzeniem wiadomości z klasy pierwszej, a rozszerzenie teorii
ma umożliwić uczniom uzyskanie większej wprawy w wykonywaniu
obliczeń.
Zaczynamy od przypomnienia definicji potęgi o wykładniku naturalnym, własności tych potęg oraz określenia potęgi o wykładniku całkowitym. Własności potęg o wykładnikach całkowitych są analogiczne do własności potęg o wykładnikach naturalnych. Wskazane byłoby, aby własności
te były uzasadnione przez uczniów. W podręczniku podaliśmy dowody
tylko dla niektórych własności i to z pewnymi ograniczeniami.
Na przykład własność
a k · a p = a k +p
została uzasadniona dla przypadku, gdy k < 0 i p < 0.
Pozostałe możliwe przypadki nauczyciel może sam uzasadnić, oczywiście w klasie, która jest tym problemem zainteresowana. Zwracamy tu
tylko uwagę na niepełne uzasadnienie tej własności. Temat dotyczący potęg o wykładnikach całkowitych pozwala na wskazanie zastosowania potęg do tworzenia bardzo małych i bardzo dużych jednostek pochodnych.
Temat Pierwiastki rozpoczynamy od przypomnienia wiadomości o pierwiastkach drugiego i trzeciego stopnia. Podobnie określamy pierwiastki
stopnia większego od 3. Zwracamy uwagę, iż, tak jak w przypadku pierwiastków stopnia trzeciego, pierwiastki stopnia nieparzystego definiujemy
10
dla każdej liczby rzeczywistej, natomiast pierwiastki stopnia parzystego,
z oczywistych powodów, mogą być określone tylko dla liczb nieujemnych.
Rozwiązując zadania związane z problemami życia codziennego, w których mają zastosowanie pierwiastki, zwracamy uwagę na stosowanie odpowiednich przybliżeń.
W wielu zastosowaniach (teoretycznych) ważne jest, aby liczba w swoim zapisie nie miała pierwiastków w mianowniku. W tym celu zajmujemy
się problemem usuwania niewymierności z mianownika. Omawiamy najprostsze sposoby usuwania niewymierności z mianownika, bowiem
uczniowie nie znają jeszcze wzorów skróconego mnożenia. Przy tej okazji konieczne jest przekształcanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki. Postępujemy tu w sposób analogiczny do rozszerzania ułamków,
mnożąc licznik i mianownik przez odpowiedni pierwiastek. Staramy się
wpoić uczniom zasadę, iż dobrze jest przedstawiać dane liczby w najprostszej postaci. Należy zatem dokonać mnożeń i redukcji wyrazów podobnych (pierwiastki traktujemy jako zmienne w wyrażeniach algebraicznych i tak z nimi postępujemy). Staramy się, aby własności te omawiać,
rozwiązując różnorodne zadania zawierające treści z życia codziennego.
Wyrażenia algebraiczne
Rozdział Wyrażenia algebraiczne zaczynamy od wprowadzenia wzorów skróconego mnożenia. Omawiamy odpowiednie wzory na kwadrat
sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów. Formułujemy wzory w postaci tradycyjnej oraz stosujemy zapis schematyczny.



+
2
 =

2



–
2
 =

2



+
 
·
 
–
+
+



2
+2·
·
2
– 2·
·
=
2
–
2
Taka forma zapisu schematycznego jest według nas przydatna dla uczniów.
Użycie symboli graficznych, w przeciwieństwie do liter, powoduje, że
uczniowie mają mniej wewnętrznych oporów przy zastępowaniu ich bardziej skomplikowanymi wyrażeniami algebraicznymi.
11
Wzory skróconego mnożenia podajemy w wersji tradycyjnej jak i ,,odwróconej”:
a 2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)2
a 2 − b 2 = (a − b) ⋅ (a + b)
Oprócz zapisów symbolicznych wzorów skróconego mnożenia podajemy
zawsze ich słowne sformułowania. Jest to ważne dla uczniów, bowiem
uczą się w ten sposób formułowania myśli i wypowiadania ich w poprawnej formie. Szczególną uwagę należy zwrócić na różnicę kwadratów,
gdyż wzór ten jest przydatny do usuwania niewymierności z mianownika.
Proponujemy też, aby w trakcie nauki stosować wersje wzorów sprzyjające uogólnieniom:
(a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a 2 + b 2 − 2ab
Istotnymi zagadnieniami w rozdziale Wyrażenia algebraiczne są zagadnienia dotyczące wyłączania wspólnego czynnika poza nawias i metody grupowania wyrazów. Wykorzystujemy je do rozwiązywania równań
i nierówności. Dlatego tematy te, z pozoru występujące bez istotnego powodu, są ważne dla dalszego kształcenia uczniów.
Jak zawsze staramy się, aby zadania proponowane przez nas były różnorodne, urozmaicone i łączyły wiele różnych umiejętności.
Funkcje
Znając teorię mnogości i rozumiejąc pojęcie pary uporządkowanej, możemy zdefiniować iloczyn kartezjański zbiorów A i B jako zbiór wszystkich
par uporządkowanych, których pierwszym elementem pary jest element
zbioru A, a drugim elementem pary jest element zbioru B. Mamy więc
A× B =
{(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ponieważ para (a, b) jest równa parze (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c
i b = d, więc
A × B ≠ B × A, gdy A ≠ B
12
Relacją między elementami zbioru A i elementami zbioru B nazywamy
każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A × B. W szczególności relacją
jest zbiór pusty. Zbiór A × B jest też relacją, jest to relacja pełna – każdy
element zbioru A jest w relacji z każdym elementem zbioru B.
Ważnymi typami relacji są relacje: równoważności, równości i porządku,
o których wspominamy w klasie trzeciej.
Teraz przypomnijmy podstawowe wiadomości o relacji ℜ zawartej
w zbiorze A × B. Dla każdej relacji ℜ zawartej w zbiorze A × B można
utworzyć zbiór ℜ −1 określony następująco:
ℜ −1 =
{(b, a) : (a, b) ∈ ℜ}
Zbiór ten jest relacją między elementami zbioru B a elementami zbioru A,
jest zatem relacją w zbiorze B × A. Relację tę nazywamy relacją odwrotną
do relacji ℜ . Wiadomości te wystarczą do zrozumienia dalszych rozważań dotyczących funkcji.
Relację f ⊂ X × Y, gdzie X i Y są niepustymi zbiorami, nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli dla każdego
elementu x zbioru X istnieje dokładnie jeden element y zbioru Y taki, że
(x, y) ∈ f
Zapisując tę definicję, stwierdzamy, że:
Relację f ⊂ X × Y, gdzie X i Y są pewnymi niepustymi zbiorami, nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli:
¶
·
∧ ∨ (( x, y) ∈ f )
x ∈X y ∈Y
∧ ∨ ∧ [(( x, y1) ∈ f ∧ ( x, y2 ) ∈ f ) ⇒ y1 = y2 ]
x ∈X y1 ∈Y y 2 ∈Y
Funkcję taką oznaczamy symbolem f : X → Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f (czasem też – zbiorem argumentów), zbiór Y nazywamy
przeciwdziedziną funkcji f.
Dla elementu x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y ∈ Y taki, że
(x, y) ∈ f
Ten jedyny element y pozostający w relacji z elementem x nazywamy
wartością funkcji f w punkcie x lub wartością funkcji f dla argumentu x
i oznaczamy symbolem f(x), co możemy zapisać
y = f (x)
13
Funkcję można określić za pomocą opisu słownego, wzoru (analitycznego), wykresu oraz tabelki, grafu lub zbioru par uporządkowanych tworzących funkcję, tzn. par (x, f (x)), gdzie x ∈ X, w przypadku gdy dziedziną jest zbiór skończony złożony z niewielkiej liczby elementów.
Opis słowny jest regułą, przepisem, prawem, według którego dla każdego
argumentu wybieramy dokładnie jeden element, który nazywamy wartością funkcji dla danego argumentu.
W przypadku funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej szczególnie
użyteczny jest wzór analityczny. Na przykład wzór
f (x) = 3x2 – 7x + 13
określa funkcję f : R → R, która każdej liczbie rzeczywistej x przypisuje
wartość 3x2 – 7x + 13. Wartość tę oznaczamy jako f (x). Często w takim
przypadku nie jest podana dziedzina funkcji. Przyjmujemy wtedy, że
dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których
wyrażenie definiujące daną funkcję jest określone. Zbiór ten nazywamy
czasem dziedziną naturalną funkcji. Na przykład wzory
f ( x) = 1 − x 2
i
g( x ) =
x2 − 1
określają dwie funkcje. Dziedziną funkcji f jest przedział 〈–1, 1〉, natomiast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Może się zdarzyć i tak, że celowo zmniejszamy dziedzinę naturalną
rozważanej funkcji, na przykład funkcja g : 〈–1, 1〉 → R dana wzorem
g( x ) =
x 2 − 1 ma dziedzinę 〈–1, 1〉, natomiast jej dziedziną naturalną
jest zbiór liczb rzeczywistych.
Gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym, którego elementy
możemy wypisać, stosujemy tabelkę, graf lub zbiór par uporządkowanych
tworzących funkcję. Przedstawiona tabelka, graf i zbiór par określają tę
samą funkcję.
14
0
0
x
0
1
2
3
1
1
f (x)
0
1
0
1
2
2
3
3
{(0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 1)}
Funkcję tę można określić słownie następująco: każdej liczbie należącej
do zbioru {0, 1, 2, 3} przyporządkowujemy resztę z dzielenia danej liczby
przez 2.
W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych przyjmujemy zawsze,
że przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Czasami warto się zająć zbiorem wartości danej funkcji. Jest on podzbiorem przeciwdziedziny, ale nie zawsze musi się z nią pokrywać.
Wykresem funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej f : X → R,
gdzie X jest dziedziną funkcji f, jest zbiór
{(x, y) ∈ X × R : y =
f ( x) ∧ x ∈ X
}
Zauważmy, że wykres określiliśmy za pomocą relacji podobnie jak funkcję.
Faktycznie jest więc funkcją rozumianą jako relacja.
Wprowadzając pojęcie funkcji, używamy często określenia przyporządkowanie.
Dla każdego argumentu x należącego do dziedziny funkcji f istnieje
dokładnie jeden element y ze zbioru Y, który jest wartością danej funkcji dla tego argumentu.
Tak więc
x a f (x)
możemy rozumieć jako przyporządkowanie.
Proponujemy jednak jak najrzadziej używać wyrazu przyporządkowanie.
Lepiej ,,ducha’’ funkcji oddają wyrazy: reguła, przepis, gdyż znaczenia
tych wyrazów doskonale pasują do pojęcia funkcji.
Do oznaczenia funkcji stosujemy najczęściej litery f, g, h. Natomiast
symbole f(x), g(y), h(u) oznaczają odpowiednio: wartość funkcji f w punkcie x, wartość funkcji g w punkcie y, wartość funkcji h w punkcie u. Ważne
jest, aby wyraźnie odróżniać funkcję od wartości funkcji dla danego argumentu (patrz ramka w podręczniku na stronie 109).
Uwaga: Nie wolno utożsamiać wzoru
określającego funkcję z funkcją.
Realizując zagadnienia przedstawione w rozdziale 4., warto omówić
zarówno te zależności (relacje), które są funkcjami, jak i te, które funkcjami
nie są. Warto też omówić przyporządkowanie jednoznaczne, pojęcie bliskie
pojęciu funkcji, ale różniące się od funkcji brakiem następującego warunku:
każdy element pierwszego zbioru ma swój odpowiednik w drugim zbiorze.
15
Następnie omawiamy zbiór wartości funkcji, podkreślając jego znaczenie w odróżnieniu od przeciwdziedziny, którą się nie zajmujemy. Kolejnym zagadnieniem są sposoby określania funkcji. Podajemy różne przykłady i zachęcamy uczniów do podawania własnych przykładów funkcji
określonych różnymi sposobami.
Chcąc narysować wykres funkcji, posługujemy się często tabelką częściową. Tabelkę sporządzamy tak, aby podać wartości rozważanej funkcji
dla kilku charakterystycznych argumentów. W tym celu możemy się posłużyć również grafem. Graf częściowy sporządzamy dla kilku argumentów. Nie może być więc traktowany jako pełne określenie funkcji. Służy
wyłącznie do uprzystępnienia uczniom pewnych własności.
Rozwiązując problemy związane z wykresem funkcji, definiujemy miejsca zerowe. Staramy się wyznaczyć je na podstawie wykresu, a następnie
tłumaczymy na przykładach takie pojęcia, jak: funkcja rosnąca, malejąca,
stała.
Funkcję liniową definiujemy w zbiorze R, podając jej wzór. Wykresem
tej funkcji jest prosta, której równanie ma postać
y = ax + b
gdzie a i b są pewnymi stałymi liczbami.
Zwróćmy uwagę na znaczenie poszczególnych symboli:
f – nazwa funkcji
f(x ) – wartość funkcji f w punkcie x
y = f (x ) – równanie wykresu funkcji f
f (x ) = ax + b – wzór definiujący funkcję f
y = ax + b – równanie prostej będącej wykresem
funkcji liniowej f określonej
wzorem f (x ) = ax + b
Omawiając wykres funkcji liniowej, wprowadzamy pojęcia funkcji rosnącej i funkcji malejącej. Zwracamy uwagę na warunek równoległości wykresów funkcji liniowych. Ćwiczymy znajdowanie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Wykorzystujemy w tym celu własności
funkcji liniowych i wartości funkcji w danych punktach (nie posługujemy
się układami równań). W rozważaniach dotyczących miejsc zerowych
funkcji liniowych nawiązujemy do równań oraz możliwości odczytania
miejsc zerowych z wykresu funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
16
Powtórzenie wiadomości o funkcjach powinno zawierać pewne elementy statystyki, w tym zbieranie i porządkowanie danych. Nie zapominajmy, że funkcje (w tym funkcje liniowe) służą do opisu wielu sytuacji
znanych nam z życia, nie należy więc pomijać zadań tekstowych.
Warto również wspomnieć, że wykres funkcji zależy od jej dziedziny, co
można sprawdzić, wykorzystując komputer. Zarówno w przypadku funk2
cji określonej wzorem f ( x) = xx −−11 , jak i funkcji określonej wzorem
g(x) = x + 1 na monitorze ekranu jako wykres pojawia się prosta o równaniu y = x + 1, chociaż do wykresu funkcji f nie należy punkt o współrzędnych (1, 2). Programy komputerowe są w większości tak ułożone, że wy2
kres funkcji f określonej wzorem f ( x) = xx −−11 wykonują tak, jak wykres
funkcji f1( x) =
 x2 − 1

 x −1
 2

dla x ≠ 1
dla x = 1
2
, ponieważ lim x − 1 = 2 .
x −1
x →1
Równania i nierówności
Równaniami zajmowaliśmy się już w klasie pierwszej. W klasie drugiej będziemy się zajmować rozwiązywaniem równań liniowych, równań
sprowadzających się do równoważnych im równań liniowych oraz równań wyższych stopni, których lewą stronę można przedstawić w postaci
iloczynu czynników liniowych zaś prawą stroną jest 0. Na początku przypominamy i utrwalamy wiadomości związane z rozwiązaniem równania,
zbiorem rozwiązań równania oraz równaniami równoważnymi.
Równanie liniowe (z jedną niewiadomą) definiujemy jako równanie,
którego prawa i lewa strona odpowiadają wzorom funkcji liniowych.
Równaniem liniowym nie jest równanie:
x2 + x = x2 – 1
chociaż jest równoważne równaniu liniowemu.
Omawiamy równania sprzeczne i tożsamościowe, ograniczając te ostatnie do równań liniowych z jedną niewiadomą. W podręczniku nie zajmujemy się rozwiązywalnością równania liniowego w przypadku ogólnym.
W klasie o większym stopniu zainteresowania matematyką możemy doprowadzić do utworzenia algorytmu rozwiązywania równań liniowych.
17
Algorytm rozwiązywania równań liniowych
5
ZAPISZ RÓWNANIE
W POSTACI
ax + b = 0
TAK
5
Czy
a = 0?
TAK
NIE
Czy
b = 0?
−b
5
ROZWIĄZANIEM
JEST LICZBA
5
5
NIE
RÓWNANIE
SPRZECZNE
RÓWNANIE
TOŻSAMOŚCIOWE
5
5
5
a
STOP
STOP
STOP
Przy niemal każdej okazji podkreślamy związek równania liniowego
z funkcją liniową. Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiązaniem odpowiedniego równania liniowego i odwrotnie.
Rozwiazując równania wyższych stopni, zaczynamy stosować wzory
skróconego mnożenia oraz metodę wyłączania wspólnego czynnika poza
nawias.
Temat Nierówności liniowe realizujemy analogicznie do zagadnień związanych z równaniami liniowymi. Zwracamy przy tym uwagę na związek
nierówności liniowej:
ax + b ≤ 0
z określeniem, dla jakich argumentów funkcja liniowa f dana wzorem
f (x) = ax + b
ma wartości niedodatnie. Zbiory rozwiązań nierówności liniowych przedstawiamy w postaci odpowiednich przedziałów na osi liczbowej.
18
Zbiorem rozwiązań nierówności x – 1 > 0 jest zbiór (1, ∞).
Rozwiązania nie należy zapisywać w postaci
x ∈ (1, ∞). Jest to bowiem inny zapis
nierówności x > 1.
Odrębnymi zagadnieniami w rozdziale są: proporcja, proporcjonalność i proporcjonalność odwrotna. O proporcji mówimy w odniesieniu do
czterech wielkości. Wprowadzamy mnożenie ,,na krzyż”. Proporcje stosujemy najczęściej do rozwiązywania zadań.
Proporcjonalność jest funkcją liniową, której wyraz wolny jest równy 0.
Wprowadzając pojęcie proporcjonalności, naszym zdaniem, początkowo
należy się ograniczyć do dodatniego współczynnika proporcjonalności.
Później należałoby wyjaśnić uczniom, jak traktować proporcjonalność
wyrażoną wzorem:
f (x) = ax, gdy a < 0
W tym przypadku, gdy argument rośnie dwukrotnie, wartość funkcji maleje dwukrotnie, co jest zgodne z zasadą proporcjonalności, ale kłóci się
z intuicyjnym odbiorem proporcjonalności przez uczniów. Dla proporcjo-
( )
nalności określonej wzorem f (x) = –3x obliczamy wartości f (–1) i f − 1 .
2
1
Wówczas f (–1) = 3, ale dla argumentu dwa razy większego, czyli − 2 ,
( )
otrzymujemy f − 12 = 23 , czyli wartość dwa razy mniejszą.
W zadaniach proporcjonalność stosujemy najczęściej do opisu sytuacji
i problemów z życia codziennego.
Również proporcjonalność odwrotna jest opisana funkcją f postaci:
f ( x) = ax
gdzie a jest pewną ustaloną liczbą, x ∈ R \{0}.
Wiele problemów z naszego najbliższego otoczenia może być opisanych
za pomocą proporcjonalności odwrotnej i na te zastosowania proporcjonalności zwracamy największą uwagę.
19
Relacje między figurami geometrycznymi
Rozdział ten można podzielić na dwie części. Pierwsza zawiera informacje o symetrii osiowej i symetrii środkowej, druga odnosi się do przystawania figur geometrycznych. Symetrię osiową wprowadzamy przez
pewne uproszczenia związane z lustrzanym odbiciem przedmiotu. W definicji symetrii osiowej nie wykorzystujemy pojęcia wektorów, ponieważ
nie jest uwzględnione w podstawie programowej, a nie chcieliśmy wprowadzać zbyt dużych rozszerzeń. Nie odwołujemy się również do tego, że
symetria osiowa jest przekształceniem płaszczyzny w płaszczyznę. Dlatego przyjęliśmy równoważny warunek definicyjny, znacznie prostszy
i łatwiejszy do zrozumienia intuicyjnego przez uczniów.
Nawiązując w symetrii osiowej do odbicia lustrzanego, stwarzamy
okazję do przeprowadzenia różnorodnych doświadczeń z lusterkami.
W czasie doświadczeń należy uwzględniać różną liczbę lusterek oraz
ustawiać je pod różnymi kątami. Ćwiczenia takie umożliwiają uczniom
odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.
Wprowadzając definicję symetrii środkowej, postąpiliśmy analogicznie jak przy wprowadzaniu pojęcia symetrii osiowej.
Omawiając własności symetrii osiowej, podajemy informacje o obrazach
różnych podstawowych figur w tej symetrii. Nie omijamy izometryczności symetrii. Zwracamy uwagę na wykorzystanie symetrii osiowej w przyrodzie i jej praktyczne zastosowania. Ponieważ uczniowie znają już pojęcie funkcji, wskazane byłoby zwrócenie uwagi na fakt, że przekształcenia
geometryczne są również funkcjami.
Pokazujemy na przykładzie powinowactwa osiowego przekształcenie
nieizometryczne.
B'
B
A'
A
20
Punkt A' jest obrazem
punktu A w powinowactwie osiowym
o skali k = 2.
Można podjąć próby określania innych rodzajów przekształceń zarówno
izometrycznych, jak i nieizometrycznych oraz odnieść się do perspektywy stosowanej w malarstwie.
Omawiając oś symetrii, staramy się, aby uczniowie potrafili rozstrzygnąć, czy dana figura ma oś symetrii, a w przypadku gdy ma – wskazać ją.
Chcemy, aby uczniowie nauczyli się tworzyć wzory powstałe przez symetryczne odbicie wzoru podstawowego.
Z osią symetrii odcinka wiążemy zagadnienia symetralnej odcinka
oraz okręgu opisanego na trójkącie. Warto zauważyć, że w przypadku,
gdy trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie
jest jednocześnie środkiem przeciwprostokątnej, a jego promień jest równy połowie długości przeciwprostokątnej. Podkreślamy tę własność jako
bardzo ważną w rozwiązywaniu różnego typu zadań, w tym zadań konstrukcyjnych.
Konstrukcja dwusiecznej kąta jest jednocześnie konstrukcją osi symetrii danego kąta. Zauważając, że trzy dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie i korzystając z własności dwusiecznej, możemy
stwierdzić, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Uczniom bardziej niż przeciętnie
zainteresowanym matematyką możemy postawić problem możliwości
opisania oraz wpisania okręgu w dany czworokąt (patrz zadanie wyróżnione w podręczniku ramką z wykrzyknikiem na stronie 191).
Zagadnienia, które omawiane były przy symetrii osiowej, powtarzamy
przy symetrii środkowej. Stwierdzamy więc, że symetria środkowa jest
izometrią, znajdujemy obrazy podstawowych figur geometrycznych w symetrii środkowej. Staramy się, aby uczniowie dostrzegali również figury
mające środek symetrii oraz potrafili skonstruować figury środkowosymetryczne. Przy tej okazji można rozważać problem, czy istnieją figury,
które mają wiele środków symetrii (np. prosta, powtarzalne wzory).
Uczniowie łatwo zauważają, że figura mająca
osie symetrii nie musi mieć środka symetrii,
uważają natomiast, że figura mająca środek
symetrii musi mieć osie symetrii. Dlatego należy im pokazać jako przykład figurę przedstawioną na rysunku, która ma środek symetrii, a nie ma osi symetrii.
21
Podajemy także wzory na współrzędne obrazu danego punktu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Wielokąty foremne mają oś symetrii, a 2n-kąty foremne środek symetrii. Nic dziwnego, że omawiając zagadnienia związane z symetrią, proponujemy rozważyć wielokąty foremne. Warto zauważyć, że dla danego
2n-kąta foremnego środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego
pokrywają się. Przy tej okazji można opowiedzieć o wielokątach gwiaździstych. Wiele własności wielokątów foremnych i wielokątów gwiaździstych uczniowie mogą sami zauważyć i udowodnić. Mamy tu więc wiele
miejsca na stosowanie aktywnych metod nauczania.
Realizując tematy związane z symetrią środkową i osiową, stosujemy
w zadaniach oba rodzaje symetrii, znajdując obrazy punktów i innych
figur. Stosowanie w przykładach obu rodzajów symetrii stanowi wprowadzenie do składania przekształceń i możliwości określenia (w przyszłości) przesunięcia oraz obrotu. Składanie przekształceń geometrycznych jest łatwiejsze do zrozumienia przez uczniów od składania funkcji
liczbowych.
W temacie Przystawanie figur wprawdzie definiujemy przystawanie
figur, ale dokładniejsze omówienie tego pojęcia jest niemożliwe z powodu braku określenia przesunięcia i obrotu. Dlatego proponujemy od razu
omówienie cech przystawania trójkątów, gdyż z trójkątów można utworzyć każdy wielokąt, a zagadnienia takie były realizowane również w szkole podstawowej.
Warto poświęcić trochę czasu na lekcji, aby uczniowie przećwiczyli
różne cechy przystawania trójkątów zarówno w zadaniach analitycznych,
jak i konstrukcyjnych.
22
LEKCJA PO NOWEMU
Tradycyjny model lekcji zna każdy nauczyciel. Jednak nowoczesne
zajęcia edukacyjne z uczniami powinny być tak organizowane, aby dzieci
zdobywały wiedzę w sposób aktywny, stając się twórcami i animatorami procesu uczenia się. Rozszerzanie wiedzy i umiejętności powinno
się odbywać przez przeżywanie i doświadczanie. Lekcja musi być zatem
tak zorganizowana, aby każdy uczeń mógł pracować we własnym tempie
i na miarę własnych możliwości. Jest to oczywiście bardzo trudne zadanie
dla nauczyciela, gdyż na takiej lekcji powinien się znaleźć również czas
na poszukiwanie informacji w różnych źródłach, dyskusje z innymi
uczniami. Nauczyciel nie powinien wskazywać rozwiązania problemu,
ale powinien być:
– organizatorem pracy,
– konsultantem,
– doradcą pomagającym znaleźć różne jego rozwiązania.
Na lekcji staramy się stwarzać możliwości wyposażania ucznia w pewien zasób informacji i umiejętności ważnych do funkcjonowania w demokratycznym społeczeństwie oraz niezbędnych w przyszłej pracy zawodowej. Umiejętności te, preferowane przez autorów Podstawy programowej
kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gimnazjów,
to między innymi:
– efektywne współdziałanie w zespole,
– rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
– skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
– planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się.
Efektywne współdziałanie w zespole to jedna z najważniejszych
umiejętności, która będzie przydatna młodemu człowiekowi w dorosłym
życiu. W czasie lekcji uczeń powinien się zatem nauczyć współpracy
z innymi, polegającej na wspólnym dążeniu do celu, pełnieniu różnych ról
23
w grupie i ponoszeniu związanej z tym odpowiedzialności. Efekty pracy
zespołu są uzależnione nie tylko od możliwości intelektualnych uczniów,
ale również od organizacji pracy. Aby grupa funkcjonowała aktywnie, są
potrzebni: lider – kierujący pracą, sekretarz – notujący pomysły członków
grupy, prezenter – przedstawiający wyniki pracy zespołu.
Przed rozpoczęciem zajęć nauczyciel musi ustalić odpowiednie zasady,
które będą ukierunkowywały zachowanie uczestników (patrz Zasady pracy w grupie i Zasady dobrego porozumiewania się w grupie w Matematyce krok po kroku. Poradnik metodyczny. Klasa I gimnazjum). Nauczyciel
powinien też się zastanowić nad właściwą motywacją uczniów do pracy,
nad zapewnieniem im poczucia bezpieczeństwa (aby na przykład prezentacja nie przerodziła się w wyśmiewanie cudzych pomysłów), nad organizacją przestrzeni sali lekcyjnej (aby każdy miał dostęp do źródeł informacji).
Uczniowie pracujący w grupie stawiają sobie różne pytania:
• Co uzyskam w wyniku współpracy z innymi osobami?
• Czy moje potrzeby intelektualne zostaną zaspokojone w czasie pracy grupowej?
• Czy wystarczająco często mam okazję do zabierania głosu?
• Czy pozostali uczestnicy słuchają tego, co mówię?
• Czy grupa jest dla mnie tak ważna, że jestem gotowy(-a) do aktywnego zaangażowania się w jej pracę?
Aby uniknąć wielu ,,pułapek”, które mogą się pojawić przy pierwszych
próbach organizowania zajęć wykorzystujących pracę w grupach, proponujemy skorzystać
z gotowych scenariuszy, a następnie próbować je modyfikować i wreszcie, po
dojściu do wprawy,
przygotowywać swoje materiały.
Efektywne współdziałanie w zespole
Umiejętność rozwiązywania problemów w twórczy sposób potrzebna jest każdemu z nas. Należy zatem na tę umiejętność zwrócić
szczególną uwagę, przygotowując lekcje nowego typu. Takie zajęcia powinny stworzyć uczniom możliwości stawiania hipotez, opierania się na
24
analogiach, wykorzystywania wiedzy z różnych dziedzin, analizowania
i matematyzowania sytuacji z życia codziennego. Aktywna postawa ucznia
wobec trudnych i nietypowych problemów stwarza
niebezpieczeństwo popełniania błędów, ale także
możliwość ich weryfikowania. W ten sposób uczeń
nabiera pewności siebie
oraz odważniej podejmuje
próby formułowania nawet
Rozwiązywanie problemów w twórczy sposób
nietypowych wniosków.
Skutecznie komunikować się w różnych sytuacjach uczymy dzieci
od najmłodszych klas szkoły podstawowej. Mamy nadzieję, że gimnazjalista jest już wdrożony do stosowania różnych metod komunikowania się.
W gimnazjum zwracamy zatem baczniejszą uwagę na umiejętność właściwego interpretowania komunikatów przekazywanych w różny sposób (np.
za pomocą języka ciała, obrazu) i umiejętność świadomego przekazywania
właściwie skonstruowanych komunikatów.
Pracując przez dłuższy czas z tymi samymi grupami uczniów, należy zwrócić uwagę, czy komunikacja w grupach ulega poprawie, czy
uczniowie prezentują swoje potrzeby i poglądy w sposób coraz bardziej
otwarty. Konieczność realizacji ścieżek edukacyjnych zmusza nas do poszukiwania niekonwencjonalnych metod pracy. Zatem lekcje uwzględniające
opisane aspekty w znacznym stopniu ułatwią integrację wiedzy z różnych
Skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach
dziedzin nauki.
Planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się to jedna z najtrudniejszych umiejętności, jaką zdobywa uczeń. Aby młody człowiek stał się odpowiedzialny za własne uczenie się, musi się zastanowić
25
Planowanie i organizowanie własnego uczenia się
czego, po co i jak się
uczyć oraz gdzie może
wykorzystać swoje umiejętności. Ważne jest, aby
uczniowie uświadomili sobie zakres posiadanej wiedzy, cele i sposoby uczenia
się, swoje mocne i słabe
strony.
Dzieci powinny zatem się nauczyć:
– autorefleksji, czyli umiejętności analizowania swoich dokonań w procesie uczenia się,
– oceniania własnej pracy,
– ustalania wpływów otoczenia na osiąganie sukcesów lub ponoszenie
porażek.
Analizę wyników własnej pracy dzieci powinny wykorzystać do opracowania właściwej strategii uczenia się, wiedzę naukową postrzegać zaś
jako podstawę inspirującą do tworzenia indywidualnych technik i metod
pracy w samodoskonaleniu się. Lepsze poznanie samego siebie, świadome
rozpoznanie własnych zdolności pomoże uczniom w samorealizacji.
Przyzwyczajając uczniów do oceniania własnej pracy, należy pamiętać, że każdy człowiek pragnie potwierdzenia i wzmocnienia poczucia
własnej wartości. Stawiajmy zatem uczniom cele, które mogą osiągać,
wspierajmy ich rozwój i umiejętnie kierujmy procesem samooceny.
Uczenie się jest jak jazda samochodem w górach.
26
Budowa lekcji
Zgodnie z wymogami współczesnego kształcenia, nauczyciel powinien być organizatorem działań dydaktycznych, stwarzającym uczniom
warunki do aktywnego zdobywania wiedzy. W związku z tym zajęcia powinny być tak przygotowane, aby umożliwić uczniom utrwalenie posiadanej wiedzy, zastosowanie jej w nowych sytuacjach, zdobycie nowych
wiadomości i umiejętności. Jedną z propozycji jest model zajęć opracowany przez uczestników programu Kreator, działającego pod patronatem
MEN, przy wsparciu ekspertów Unii Europejskiej. W modelu zajęć
uwzględniono pięć etapów lekcji:
– zaangażowanie,
– badanie,
– przekształcanie,
– prezentacja,
– refleksja.
Taki model lekcji pozwala na dostosowanie czasu zajęć do możliwości
uczniów danej klasy. Na rozwiązanie problemu należy zatem przeznaczyć
tyle jednostek lekcyjnych, ile wymaga tempo pracy dostosowane do aktualnych możliwości i potrzeb dzieci (stąd między innymi w proponowanym
przez nas Rozkładzie materiału nauczania znalazła się rubryka – Uwagi
o realizacji).
Praca nauczyciela polega głównie na precyzyjnym formułowaniu problemu, który mają rozwiązać uczniowie, przygotowaniu odpowiednich
materiałów, motywowaniu uczniów do działania, na przykład przez określenie korzyści wynikających z celów, które muszą osiągnąć. Nauczyciel
pomaga też uczniom w ocenie wykonanej pracy oraz jej efektów.
Celem pierwszego etapu lekcji, nazwanego zaangażowaniem, jest zachęcenie uczniów do pracy, rozbudzenie w nich ciekawości twórczej i poznawczej. Należy jasno formułować zadania, które
muszą rozwiązać uczniowie, a następnie umożliwić
dzieciom stworzenie odpowiednich struktur organizacyjnych (np. grupa), określić czas pracy na poszczególnych etapach lekcji.
Zaangażowanie
27
Na tym etapie lekcji można wykorzystać ciekawostki historyczne, anegdoty, nietypowe zadania znajdujące się w podręczniku na początku każdego tematu.
Pierwszy etap zajęć możemy rozpocząć już na innej lekcji. Proponujemy wprowadzenie do tematu opracować wspólnie z nauczycielem, na przykład języka polskiego w ramach ścieżki ,,Edukacja czytelnicza i medialna”. Na lekcji języka polskiego można się zająć zagadnieniami związanymi
z filmem ,,Gwiezdne wojny”, a na lekcji matematyki obliczeniem odległości między planetami, na których lądowali bohaterowie filmu (ćwiczenie umiejętności wykonywania działań na potęgach i pierwiastkach).
Znakomitym bodźcem do pracy będzie dla ucznia nagroda.
Może to być ocena stopniowa, ale dobrym pomysłem
jest też zwolnienie ucznia z wykonania pracy domowej,
powierzenie mu funkcji reżysera najbliższej klasowej
inscenizacji lub nagrodzenie go... batonikiem.
Badanie polega na samodzielnej analizie przez uczniów otrzymanego
zadania. Dzieci dyskutują, próbują wykorzystać wcześniej zdobyte wiadomości i umiejętności, stawiają hipotezy, sprawdzają
je, zbierają potrzebne informacje. Opracowują strategię działania, łączą wiadomości z różnych dziedzin,
matematyzując postawiony
problem. Na tym etapie lekcji nauczyciel staje się obBadanie
serwatorem i słuchaczem.
Uczeń nie jest chodzącym komputerem,
mającym pamięć 60 MB.
Dbajmy więc o to, aby na lekcji mógł korzystać
z encyklopedii, wszelkiego rodzaju tablic, podręcznika.
28
Trzeci etap lekcji jest
poświęcony przekształcaniu – uczniowie realizują
plan ustalony na etapie badania. Porządkują posiadaną wiedzę, nabywają nowe
umiejętności i wykorzystują je do rozwiązywania
problemów w twórczy spoPrzekształcanie
sób. Nauczyciel może być
konsultantem i inspiratorem, niepodsuwającym gotowych rozwiązań, ale
stawiającym pytania otwarte. Wynik pracy uczniów zależy od ich zaangażowania, umiejętności współpracy, pomysłowości, kreatywności.
Trwałość nabytej przez ucznia wiedzy zależy od zrozumienia problemu i aktywności w czasie jego rozwiązywania.
Należy pamiętać, że sposób dochodzenia
do rozwiązania zadania jest równie ważny
jak samo rozwiązanie, a może nawet ważniejszy.
W czasie prezentacji przedstawiciele grup (prezenterzy) relacjonują
wyniki pracy. Następuje porównanie rozwiązań i otrzymanych wyników.
W tym momencie warto zwrócić uwagę na precyzję i jasność formułowanych wypowiedzi, umiejętność i atrakcyjność przekazania informacji,
a więc na sposób komunikowania się uczniów. Uczniowie mogą zadawać
pytania prezenterom i nauczycielowi, dyskutować,
wspólnie wyciągać wnioski, dokonać syntezy zdobytych wiadomości i umiejętności. Można też uzgodnić wspólne stanowisko
całej klasy (lub kilku grup)
na dany temat.
Prezentacja
Prezenterzy nie muszą efektów pracy przedstawiać
wszystkim uczniom, ale na przykład tylko innej grupie.
29
Refleksja to ostatni
etap pracy ucznia na lekcji.
Po zakończeniu zajęć każdy z uczestników powinien
w milczeniu zastanowić się
przez chwilę nad zdobytymi doświadczeniami.
Refleksja
Ten etap lekcji powinien być ukierunkowany przez nauczyciela, stawiającego odpowiednie pytania:
• Czego się dowiedziałeś(-aś)?
• Czemu służyły przyjęte metody pracy?
• Jakie były Twoje odczucia?
• Jak układała się Twoja współpraca z innymi?
• Jaki był Twój wkład w rozwiązanie problemu?
• Czy zdarzyło się coś ważnego dla Ciebie w czasie lekcji?
• Czy udało się rozwiązać problem?
Ważnym elementem refleksji jest samoocena pracy uczniów i ocena
ich dokonań przez nauczyciela. Rola nauczyciela na tym etapie jest bardzo ważna. Powinien on w umiejętny sposób dodawać odwagi uczniom,
aby podzielili się swoimi doświadczeniami i spostrzeżeniami, pomóc
w zrozumieniu zdobytych doświadczeń i zachęcać do wykorzystania ich
w codziennym życiu. Prowadzący musi zaplanować na ten etap zajęć wystarczająco dużo czasu.
Refleksja to nie strata czasu, choć początkowo może to tak wyglądać.
Poczekaj cierpliwie przynajmniej rok na efekty swojej pracy.
Niestety, praca nauczyciela po zajęciach się nie kończy. Nauczyciel
powinien dokonać ewaluacji własnej pracy, odpowiadając na pytania:
• Czy jestem zadowolony(-a) z przeprowadzonej lekcji?
• Co było dla uczniów najciekawsze w czasie lekcji?
• Czego się sam(-a) nauczyłem(-am)?
• Czy zaplanowałem(-am) właściwie czas pracy?
30
•
•
•
•
Co było dla mnie najważniejsze?
Co było dla mnie najtrudniejsze?
Jak oceniam swoją pracę?
Co mogę ulepszyć?
Ewaluacja
Nasze pomysły na Twoje lekcje
Rozpoczynając zajęcia z uczniami w klasie drugiej gimnazjum, zakładamy, że znają zasady pracy w grupie, umieją skutecznie się komunikować oraz próbują planować i oceniać proces uczenia się. Dlatego tempo
pracy na lekcjach może być większe niż w klasie pierwszej.
Zajęcia planujemy tak, aby wykorzystać zainteresowania i możliwości
uczniów. Należy pamiętać też o egzaminie czekającym uczniów po klasie
trzeciej gimnazjum. Mamy więc na uwadze zadania wynikające ze standardów egzaminacyjnych, jak również realizacji ścieżek edukacyjnych.
Staramy się tak opracować lekcję, aby uczeń mógł stosować zintegrowaną
wiedzę do rozwiązywania problemów.
Przedstawiony scenariusz proponujemy wykorzystać na lekcjach podsumowujących rozdział Liczby rzeczywiste. Zajęcia tego typu można
przygotować wspólnie z nauczycielami innych przedmiotów, na przykład
języka polskiego. Można też poprosić uczniów o przygotowanie materiałów umożliwiających przeprowadzenie pierwszego etapu lekcji, czyli
zaangażowania. W scenariuszu uwzględniliśmy wszystkie etapy lekcji,
które omówiliśmy w poradniku.
Twoja lekcja jest jak monodram.
No tak, tylko ja jeden jestem autorem,
scenarzystą, reżyserem i aktorem.
31
SCENARIUSZ ZAJĘĆ
DLA KLASY II GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział
Liczby rzeczywiste
Numer i temat zajęć
(według rozkładu materiału)
29. Zaprawa przed sprawdzianem
30. Treningu nigdy za wiele
Czas: 2 × 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
" będzie doskonalił umiejętności związane z wykonywaniem działań
na liczbach rzeczywistych,
" będzie formułował i sprawdzał hipotezy, analizował sytuacje problemowe, tworzył i realizował plan rozwiązania, stosował zintegrowaną wiedzę do rozwiązywania problemów,
" będzie wykorzystywał umiejętności właściwego komunikowania
się (ścieżka czytelnicza i medialna) do prezentacji wyników pracy,
" będzie odczytywał informacje przedstawione w formie tekstu, wykresu, rysunku,
" dokona samooceny.
Sposoby pracy:
" indywidualna praca uczniów,
" praca w grupach,
" dyskusja i refleksja.
Materiały do zajęć:
" artykuły papiernicze,
" kalkulatory,
" encyklopedie, tablice astronomiczne,
" kartki z Opowiadaniem Panady,
" karty z danymi pomocniczymi,
" Karta pytań,
" Arkusz samooceny.
Uwagi:
" W czasie lekcji uczniowie będą pracowali zarówno indywidualnie,
jak i w grupach. Należy mieć to na uwadze, organizując miejsca
pracy dla uczniów.
" Jeśli dysponujemy większą liczbą encyklopedii lub tablic astronomicznych, możemy poprosić uczniów o samodzielne wyszukanie
potrzebnych danych.
" Opowiadanie Panady możemy modyfikować w zależności od
umiejętności klasy. Podobnie regulujemy czas pracy uczniów.
" Uczniowie mogą korzystać z kalkulatorów, jednak sugerujemy też
wykorzystanie w obliczeniach własności działań na potęgach.
34
Przebieg zajęć:
1. Zaangażowanie
Nauczyciel informuje uczniów, że przeczytał bardzo ciekawe opowiadanie Ziemianina Panady i chciałby, aby zapoznali się z tym tekstem
również jego uczniowie. Ponieważ wyprawę do Dimi polecają ostatnio
wszystkie biura podróży, to warto zorientować się, jak tam jest naprawdę.
Uczniowie otrzymują kartki z Opowiadaniem Panady i karty z danymi
pomocniczymi.
2. Badanie
Uczniowie czytają tekst opowiadania, ewentualnie sporządzają notatki.
Wykorzystują dane pomocnicze do określania nieznanych wielkości.
W razie potrzeby korzystają z encyklopedii, tablic astronomicznych.
3. Przekształcanie
Nauczyciel dzieli dzieci na grupy. Uczniowie organizują swoją pracę
w grupach, wybierają lidera, sekretarza i prezentera. Każda grupa musi
odpowiedzieć na pytania zawarte w Karcie pytań i przygotować prezentację wyników w atrakcyjnej formie, może to być na przykład plakat, scenka.
4. Prezentacja
Grupy prezentują swoje przemyślenia, porównują wyniki. Dyskutują
o poprawności rozwiązań.
5. Refleksja
Każdy z uczestników zastanawia się przez chwilę nad zdobytymi w czasie zajęć doświadczeniami. Teraz uczniowie mówią o tym, jaki był cel
zajęć, jakie umiejętności zdobyli, jakie utrwalili, czemu służyły przyjęte
metody pracy, jakie odczucia towarzyszyły im w trakcie pracy, czy
zdarzyło się coś, co ich szczególnie poruszyło, czy łatwo (trudno) było
rozwiązać postawione przed grupą zadania i dlaczego.
Uczniowie dokonują samooceny, wypełniając specjalne arkusze rozdane przez nauczyciela. Również nauczyciel ocenia pracę uczniów,
ewentualnie wystawia oceny stopniowe.
W ramach pracy domowej nauczyciel poleca dokończenie opowiadania Panady. Dopisując tekst, uczniowie mogą się posłużyć niewykorzystanymi danymi pomocniczymi. Muszą też ułożyć matematyczne
pytania do dopisanej części opowiadania.
35
OPOWIADANIE PANADY
Do Dimi, leżącej na Księżycu, zostałem zaproszony przez mojego przyjaciela w 120 roku panowania króla Gi-Mi. Niestety, nie od razu mogłem
wyruszyć w drogę. Przedłużała się budowa podziemnego labiryntu, który
zamówił u mnie Władca Podziemi. Ziemia pięciokrotnie okrążyła Słońce,
nim ukończyłem budowę labiryntu. Na przygotowaniach do drogi upłynął
mi jeszcze jeden ziemski rok. Wreszcie wsiadłem do Podniebnego Ptaka
i wystartowałem. Rakieta wlokła się niemiłosiernie. A na dodatek Księżyc
był w swojej odległości maksymalnej od Ziemi. Podróż trwała więc o pięć
dni dłużej, niż gdyby Księżyc był w odległości minimalnej od Ziemi.
Dobrze, że przespałem prawie całą podróż, bo inaczej okropnie bym
się nudził. Podniebny Ptak łomotał, klekotał, ale na ogół sprawował się
dobrze. Dopiero nad samym Księżycem zepsuł się pokładowy komputer
i ostatnie dwie godziny spadaliśmy swobodnie na Srebrny Glob. Okazało
się, że zboczyliśmy z wyznaczonej trasy i wlecieliśmy do krateru Newtona. Gdy rakieta uderzyła o jego dno, przeszedłem na sterowanie ręczne.
Z trudem wydostaliśmy się z krateru i dobrnęliśmy do lądowiska. Gdy
opuściłem uszkodzoną rakietę, bolało mnie całe moje osiemdziesięciokilogramowe ciało. Myślałem, że nie zrobię kroku, ale okazało się, że
mogę nawet biegać.
Na Księżycu powitał mnie mój przyjaciel Mi-Mi i od razu zawiózł do
Diamentowej Strefy. Nie myślcie sobie, że to pięciogwiazdkowa restauracja, w której podają księżycowe specjały. Diamentowa Strefa to po prostu
kopalnia diamentów. Założył ją już w pierwszym roku panowania król
Fi-Mi, poprzedni władca Dimi. Pracuje tam 1000 robotników, z których
każdy wydobywa 102 diamentów dziennie. Przeciętny diament waży tu
2 karaty. Największy diament, jaki znaleziono do tej pory, ważył po oszlifowaniu 6,4 · 103 karatów. Podzielono go na 100 mniejszych jednakowych brylantów, które zdobią obecnie koronę króla Gi-Mi.
W kopalni pracowałem dwa dimińskie lata. Co prawda marnie płacili, ale
codziennie 10 –2 wszystkich wydobytych przeze mnie diamentów stawało
się moją własnością.
W Dimi właściwie było nudno. Jedyną atrakcją były wyścigi wokół
największego księżycowego krateru. Z powodu małego przyciągania
można było rozwijać duże prędkości. Nasze pojazdy pędziły ze średnią
prędkością 600 km/h.
36
WIADOMOŒCI DIMIÑSKIE
Każdy król w Dimi panuje 200 lat. Rok zerowy to pierwszy rok
panowania pierwszego króla w Dimi. Gi-Mi to setny z kolei król
Dimi.
Rok w Dimi to 100 ziemskich dni.
Mieszkańcy Dimi pracują w ciągu roku tylko 60 dni.
Waga diamentów wydobywanych w Diamentowej Strefie jest podana według jednostki masy stosowanej na Ziemi. Karat to 0,2 g.
37
KSIʯYC I ZIEMIA
27
Księżyc
dn
i
Ziemia
O rbita Księżyca
38
WIADOMOŒCI O KSIʯYCU
Masa Księżyca
około 7 · 1022 kg
Średnia gęstość
około 3 g/cm3
Powierzchnia Księżyca
około 237 · 106 km2
Przyśpieszenie grawitacyjne
około 162 cm/s2
Wiek Księżyca
około 4 · 109 lat
Temperatura na powierzchni Księżyca
od –160°C w nocy
do +120°C w dzień
Największy krater Mare Orientale
965 km średnicy
Najgłębszy krater Newton
około 8000 m
Pierwiastki występujące w skałach Księżyca
Tlen 40%
Krzem 20%
Inne
Wapń
10%
Żelazo
15%
39
KARTA PYTAÑ
40
1.
W którym roku panowania króla Gi-Mi Panada przybył do Dimi?
2.
Ile ważył Panada na Księżycu?
3.
Ile dni trwał lot Podniebnego Ptaka?
4.
Na jakiej wysokości nad powierzchnią Księżyca zepsuł się
pokładowy komputer?
5.
Ile dziennie diamentów jest wydobywanych w Diamentowej
Strefie?
6.
Ile diamentów wydobyto od początku istnienia kopalni?
7.
Ile waży każdy brylant zdobiący koronę króla Gi-Mi?
8.
Ile diamentów miał Panada, gdy zakończył pracę w kopalni?
Ile ważyły wszystkie diamenty Panady?
9.
Jak długo pojazd prowadzony przez Panadę wykonywał jedno
okrążenie wokół największego księżycowego krateru?
ARKUSZ SAMOOCENY
Odpowiedz na pytania, wpisując: tak, nie, niezupełnie.
3
3
3
3
3
3
3
Czy przeczytany tekst był dla Ciebie
całkowicie zrozumiały?
Czy czas przeznaczony na wykonanie
zadania był dla Ciebie wystarczający?
Czy jesteś zadowolony(-a) ze współpracy
z kolegami i koleżankami w grupie?
Czy uważasz, że pracowałeś(-aś),
najlepiej jak potrafisz?
Czy przestrzegałeś(-aś) zasad dobrego
porozumiewania się w grupie?
Czy w czasie lekcji dowiedziałeś(-aś) się
czegoś szczególnie interesującego?
Czy potrafiłbyś(-abyś) teraz samodzielnie
wykonać wszystkie potrzebne obliczenia,
rozwiązując zadania podobne do tych,
które wystąpiły na lekcji?
41
42
ODPOWIEDZI DO ZADAÑ
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramką z ,,!”
Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ramką z wykrzyknikiem. Zadania te są przeznaczone dla uczniów szczególnie
zainteresowanych matematyką i wymagają nietypowego rozwiązania.
s. 11. x = 2, y = 9
2
2
2
2
s. 16. PK = a , PK = a , PK = a , PK n = a
2
3
1
n +1
4
s. 17.
PK
1
PK
8
16
2
=2
1
1
s. 21. P1 = 4 ⋅ P = 4 ⋅
a2 3
4
a2 3
P2 = 1 ⋅ P1 = 3
4
a2 3
42
a
4
a2 3
P3 = 1 ⋅ P2 = 4
4
=
a
4
a2 3
Pn = 1 ⋅ Pn −1 = n+1
4
4
s. 25. Można utworzyć 26 równoległoboków. Największe pole ma kwadrat i jest
ono równe 4.
43
D
s. 28. P1 + P3 = P1 + P4, stąd
C
b
+
h=
P3 = P4
E
P = P1 + P2 + P3 + P4
P3 = 1 ⋅ ah − 1 ⋅ ah1 = a ⋅ (h − h1 )
2
2
2
a
A
B
P4 = 1 ⋅ bh − 1 ⋅ bh2 = b ⋅ (h − h2 )
2
2
2
P3 ⋅ P4 = a (h − h1 ) ⋅ b ⋅ (h − h2 ) =  a ⋅ (h − h2 ) ⋅  b ⋅ (h − h1 ) = P1 ⋅ P2
2
2
2
2
Zatem
P = P1 + P2 + 2 P1P2
P3 = P4 = P1 ⋅ P2
s. 33. LF = d · π, gdyż
d = 2r1 + 2r2
LF
2
F
= 2 π ⋅ (2r1 + 2r2 ) = 2 ⋅ π
1
A
d
B
s. 36. Długość przeciwprostokątnej jest równa a 2 . Zatem
PF =
1
2
a 2

 2 
⋅ π
2
−
( 14 ⋅ πa
2
−
1
2
)
⋅ a2 =
1
2
⋅ a2
s. 41. (r + 1)2 = r 2 + (r − 1)2
r2 + 2r +1 = r2 + r2 – 2r + 1
r2
r–1
r
– 4r = 0
r(r – 4) = 0
r = 0 lub r = 4
r+
1
1
Promień większego koła jest równy 4, zatem pole wyróżnionej figury jest
równe 4π.
44
s. 44. Pole czworokąta AFDE jest
równe polu pięciokąta ABCDE.
Pola trójkątów BDF i DBC są
równe.
p s
E
D
A
C
B
F
p
s
s. 47. Musi być spełniona nierówność 11k > kk.
Ponieważ 11 · 4 < 44, więc tym bardziej dla k > 4 mamy 11k < kk.
k
Tak więc dla k ∈ {2, 3} spełniona jest nierówność k10 k + k > k k .
1
s. 53. Można ułożyć obok siebie 2,74 ⋅ 10− 7 cząsteczek H2, czyli około 3,6 · 106
cząsteczek.
s. 56. Możemy zapisać, że
(
)
1−1 ⋅ 3−1 + 3−1 ⋅ 5−1 + 5−1 ⋅ 7−1 + 7−1 ⋅ 9 −1 = 2 −1 ⋅ 1 − 9 −1 =
4
9
s. 59. Na polu zielonym znajduje się iloczyn wyrażeń z pól żółtych.
W miejsce ,,?” należy wpisać 1, gdyż
s. 63.
s. 67.
n m
an =
n⋅m
an =
m
( 1x ) ⋅ ( 1x ) ⋅ x
2
3
5
= 1 dla x ≠ 0.
a
1
1
= 1
1
1
+
1
1+ 2
=
2
1
1
+
1
1+ 2
+
1
2+ 3
=
1
1
+
1
1+ 2
+
1
2+ 3
+K+
3
1
n−1 +
n
=
n
45
2 =1+
s. 70.
3 =1+
1
1
2+
5 =2+
1
2+
2+K
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+K
1
1
4+
1
4+K
4+
s. 74. Najkrótszy bok trójkąta prostokątnego, którego kąty ostre mają miary 30°
i 60°, ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.
Zatem AB = 1 i AE = 1
4
2
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy DE = 14 ⋅ 3
Podobnie obliczamy długości pozostałych boków łamanej. Otrzymujemy:
L =
3
4
42 + 37 3
3 3
9 3
+ 3 +
+ 9 +
=
8
16
32
64
64
s. 78. Podnosząc każdą ze stron do kwadratu, otrzymujemy:
(
8 + 18
( 50 )
2
)
2
= 8 + 2 ⋅ 8 ⋅ 18 + 18 = 26 + 2 144 = 26 + 24 = 50
= 50
8 + 18 =
Oznacza to, że
50
s. 83. Każdą stronę równości podnosimy dwukrotnie do kwadratu, otrzymując:
(



)
2
2
12 − 3  =

(
12 − 3
)
2
= 12 − 2 ⋅ 12 ⋅ 3 + 3 =
= 15 − 2 ⋅ 36 = 15 − 12 = 3
( 3 ) 



2
2
=
( 3)
2
=3
Poprawny wynik uzyskamy również, stosując jednokrotne podnoszenie
do kwadratu.
46
Otrzymamy wówczas:
(
( 3)
12 − 3
2
s. 87.
(
(
=
)
2
= 12 − 3 = 2 3 − 3 =
3
3
)(
2) ⋅ (
)
2) ⋅ (
1− 2 ⋅
1 + 2 = 1 − 2 = −1 = ( − 1)
1−
1+
)(
2− 3 ⋅
2 −1
)
2 + 3 = ( − 1) ⋅ ( − 1) = ( − 1)
3−1
Ogólnie
(
)(
1− 2 ⋅
)
1+ 2 ⋅K⋅
(
)(
n−1 − n ⋅
)
n − 1 + n = (− 1)n −1
dla n ∈ N oraz n > 1
s. 89. 20000012 – 19999992 = (2000001 – 1999999) · (2000001 + 1999999) =
= 2 · 4000000 = 8000000
s. 93.
( )
a+b
2
2
−
( ab )
2
=
2
a + 2ab + b
4
2
( )
2
2
− 2ab + b
a−b
− ab = a
=
4
2
2
gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi o tych samych znakach.
s. 97. Niech x oznacza szukaną liczbę. Wówczas
2(x +1) + x(x + 1) = 12
(x + 1) · (x + 2) = 12
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równy 12, gdy liczbami
tymi są 3 i 4, zatem rozwiązaniem jest liczba 2.
s. 100. Sposób I
221 ⋅ 3332 + 221 ⋅ 4442 − 221 ⋅ 3332 − 221 ⋅ 4402
221
=
=
=
[
]
221 ⋅ (333 − 330) ⋅ (333 + 330) + (444 − 440) ⋅ (444 + 440)
221
221 ⋅ (3 ⋅ 663 + 4 ⋅ 884)
221
=
221 ⋅ 221 ⋅ (3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4)
221
=
=
25 = 5
47
Sposób II
221 ⋅ 3332 + 221 ⋅ 4442 − 221 ⋅ 3332 − 221 ⋅ 4402
221
=
=
s. 102.
(
)
(
221 ⋅ 1112 ⋅ 32 + 4 2 − 221 ⋅ 110 2 ⋅ 32 + 4 2
221
221 ⋅ 25 ⋅ (111 − 110) ⋅ (111 + 110)
221
=
)
=
=
221 ⋅ 25 ⋅ 1 ⋅ 221
221
(
221 ⋅ 25 ⋅ 1112 − 110 2
221
)
=
=5
( x − 1)2 − 1 = 3
[( x − 1) − 1] ⋅ [( x − 1) + 1] = 3
( x − 2) ⋅ x
=3
Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 3, gdy liczbami tymi są 1 i 3,
zatem x = 2.
s. 107. Każdej liczbie naturalnej został przyporządkowany jej pierwiastek kwadratowy.
s. 110. Tak. Dziedziną tej funkcji jest zbiór {3, 7, 9}, a zbiorem wartości {7, 9}.
s. 113. Nie, gdyż j( x) = f [g( x)] = ( x − 1)2
natomiast y( x ) = g[ f ( x )] = x 2 − 1
Zatem
2
j(0) = (0 − 1) = 1, ale y(0) = 02 − 1 = −1
s. 118. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 1.
Wykresem funkcji jest prosta o równaniu y = x + 1 z wyłączeniem punktu o współrzędnych (1, 2).
s. 123. Nie, prosta prostopadła do osi x nie jest wykresem żadnej funkcji.
s. 128. Tak, proste te są prostopadłe i przecinają się w początku układu współrzędnych. Prosta o równaniu y = –2x jest prostopadła do prostej o równaniu y = 1 x . Prosta o równaniu y = − a1 ⋅ x jest prostopadła do pro2
stej o równaniu y = ax, gdy a ≠ 0.
Ogólnie, dwie proste o równaniach y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 · a2 = –1.
s. 132. Dwusieczne kątów wyznaczone przez dane proste są zawarte w prostych o równaniach x = 2 i y = –1.
48
s. 136. Nie, dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 0,
natomiast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
s. 141. Nie, nie można.
s. 147. Równanie można przekształcić w równoważne mu równanie
(
)(
)(
)
(
)
x 49 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 4 + 1 ⋅ x 6 + 1 ⋅ K ⋅ x100 + 1 = 0
Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 0, ponieważ każda z liczb występujących w nawiasach jest dodatnia dla dowolnej liczby rzeczywistej.
s. 150. Równaniem odpowiadającym treści zadania jest 5x + 6xy = 70,
gdzie x oznacza liczbę stołów, a y liczbę krzeseł przy każdym stole.
Jedynym rozwiązaniem tego równania utworzonym z liczb naturalnych
są liczby: x = 2 i y = 5. W pokoju są zatem 2 koty.
s. 154. Spełnione muszą być warunki: 1 – x ≥ 0 i 5 + x ≥ 0, czyli x ≤ 1 i x ≥ –5.
Dla x ∈ 〈–5, 1〉 nierówność 1 – 2x + x2 ≤ 5 + x jest równoważna danej.
Przekształcając ją, otrzymujemy:
x2 – 3x – 4 ≤ 0
(x + 1) · (x – 4) ≤ 0
stąd x + 1 ≤ 0 i x – 4 ≥ 0 lub x + 1 ≥ 0 i x – 4 ≤ 0
x ≤ –1 i x ≥ 4
lub x ≥ –1 i x ≤ 4
Stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań danej nierówności jest przedział
〈–1, 1〉.
s. 159. Nierówność x3 < x < x2 możemy rozpatrywać jako układ dwóch nierówności x3 < x i x < x2.
Zbiór rozwiązań nierówności x3 < x jest sumą przedziałów (– ∞, –1)
i (0, 1), natomiast zbiór rozwiązań nierówności x < x2 jest sumą przedziałów (– ∞, 0) i (1, ∞). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności x3 < x < x2
jest przedział (– ∞, –1).
s. 166. Do skonstruowania spirali został wykorzystany złoty podział odcinka.
s. 170. Dla x, y ∈ N i x < 10 jedynym rozwiązaniem równania są liczby: x = 3
i y = 4.
s. 171. Zauważmy, że 5 ⋅ 1 = 2,5
0,4 ⋅ 6 1 = 2,5
2
4
(− 15) ⋅ (− 16 ) = 2,5
W miejsce ,,?” należy wpisać
5 ⋅ ? = 2,5
5
.
2
49
s. 175. Z proporcji x : y : z = 1 : 2 : 3 wynika, że y = 2x i z = 3 y . Wiedząc, że
2
x + y = 6 i y = 2x, otrzymujemy x = 2, y = 4, zatem z = 6.
s. 178. Na prostej s wybieramy dwa różne punkty A i B. Rysujemy dwa okręgi:
jeden o środku w punkcie A i promieniu AP , drugi o środku w punkcie B
i promieniu BP . Punkty przecięcia okręgów są punktami symetrycznymi względem prostej s. Punkt R jest punktem symetrycznym do punktu P względem prostej s.
s
P
s
P
B
B
R
R
A
A
s. 182. Tak.
s. 184. Tak. Punktem tym jest początek układu współrzędnych.
s. 188. Okrąg można opisać na czworokącie, którego suma miar przeciwległych kątów jest równa 180°. Okrąg można opisać tylko na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie.
s. 191. Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły, którego sumy długości
przeciwległych boków są równe.
s. 195. Figura F pokrywa się z figurą F", jeżeli proste k i l się pokrywają.
Figura F" jest obrazem figury F w symetrii środkowej, jeżeli proste k i l są
prostopadłe. Środkiem symetrii jest wówczas punkt przecięcia prostych.
s. 198. Nie. Istnieją figury, które mają środek
symetrii, ale nie mają osi symetrii.
50
s. 200. Gdy n = 2, wielokątem tym jest kwadrat. Rysujemy okrąg, a prostopadłe
średnice wyznaczają wierzchołki kwadratu. Prowadząc symetralne boków
kwadratu, wyznaczamy na okręgu
punkty, które wraz z wierzchołkami
kwadratu wyznaczają nam wierzchołki ośmiokąta foremnego. Postępując
podobnie, uzyskujemy wierzchołki
wielokątów foremnych, których liczbę boków określa wzór 2n.
s. 203. Przekształcenie to jest powinowactwem osiowym względem prostej p.
s. 207. Wysokość trójkąta równobocznego należy podzielić na trzy przystające odcinki.
s. 210. x' = 2p – x, y' = 2q – y
s. 11. Pole każdego trójkąta prostokątnego
jest równe połowie pola kwadratu,
którego przekątna jest odpowiednim
bokiem trójkąta.
P1 =
1
2
⋅ 3⋅ 3 =
9
2
P2 = 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16
2
2
a=3
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań
ramką z ,,?”
c=
5
b=4
P3 = 12 ⋅ 5 ⋅ 5 = 25
2
51
Zauważmy, że 9 + 16 = 25 , czyli P1 + P2 = P3
2
2
2
Ogólnie, jeśli długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oznaczymy a, b, natomiast długość przeciwprostokątnej c, to
P1 = 1 a 2
P2 = 1 b 2
2
P3 = 1 c 2
2
2
Wiedząc, że trójkąt jest prostokątny, mamy
a 2 + b2 = c 2
a2 + b 2
2
a2
2
2
=c
2
2
2
+ b = c , czyli P1 + P2 = P3
2
2
s. 12. Środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach. Jeżeli P
oznacza pole podstawowego trójkąta, to pole powstałego trójkąta jest
równe:
a)
d)
( 12 ) ⋅ P
( 12 ) ⋅ P,
3
n
b)
( 12 )
4
⋅P
c)
( 12 )
10
⋅P
gdzie n oznacza liczbę powtórzeń konstrukcji środkowej
trójkąta.
s. 20. Niech r1 oznacza promień konstruowanego koła.
Wówczas P = πr2 oraz P1 = πr12
Jeśli P1 = nP, to
πr12 = n · πr2
r12 = n · r2
r1 = n r , gdzie n ∈ N i n ≥ 2
Należy skonstruować koło, którego promień jest równy r n .

4
s. 22. zad. 108. 11π − π  1 + K +
1 
4
n − 2 
s. 22. zad. 111. Niech r1 oznacza promień konstruowanego okręgu.
Wówczas L = 2πr oraz L1 = 2πr1
Jeśli L1 = nL, to
2πr1 = n · 2πr
r1 = n · r
Należy skonstruować okrąg, którego promień jest równy n · r.
52
s. 26. 53 = 125 > 100 > 102
( )
530 = 53
( )
10
> 102
10
= 1020
Liczba 530 ma nie mniej niż 21 cyfr.
s. 27. Cyfrą jedności potęgi liczby 9 o wykładniku nieparzystym jest 9, natomiast o wykładniku parzystym (różnym od 0) cyfra 1.
s. 30. 2 −1 ⋅ 4 −1 + 4 −1 ⋅ 6 −1 + K + (2n)
−1
⋅ (2n + 2)
−1
=
n
4(n + 1)
s. 40. Stosunek długości boku kwadratu do długości jego przekątnej jest stały
i wynosi 1 :
2.
n+1
s. 41. Zauważmy, że an + 1 = an ⋅ 1 dla n ∈ N+, wtedy an =  1 
 2
2


a11 =  1 
Zatem
12
 2
(6)
= 1
6


a12 =  1 
= 1
 2
64
13
=
2
128
s. 44. PF = πr12 – πr22
()
 2

π 1
1
4
2

− r22  = 5 π

36
− r22 = 5
36
9 − 36r22 = 5
4 − 36r22 = 0
(2 + 6r22 ) ⋅ (2 − 6r22 ) = 0,
skąd
r2 = 13 , gdyż promień nie może być liczbą ujemną
s. 50.
(a + b + c + d )2 = a2 + b2 + c2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Ogólnie
(a + b + c + K+ p + r )2 = a2 + b2 + c2 + K+ p2 + r 2 + 2ab + 2ac + K+ 2 pr
albo
2
 k 
 ai  =


 i =1 
∑
k
∑
i =1
ai2 + 2
k
i
∑ ∑ ai aj
i =1 j =1
53
s. 52. (a − b − c − d ) = a2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ab − 2ac − 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
2
Ogólnie
(a − b − c −K− p − r )2 = a2 + b2 +K+ p2 + r 2 − 2ab −K− 2ar + 2bc +K+ 2 pr
s. 61. a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
= (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 · 11 =
10 ⋅ 11
2
= 55
b) 1 + 2 + 3 + ... + 18 + 19 + 20 =
(1 + 20) + (2 + 19) + ... + (9 + 12) + (10 + 11) = 10 · 21 =
Ogólnie
1 + 2 + 3 + ... + n =
s. 63.
20 ⋅ 21
= 210
2
n(n + 1)
2
(a + b)4
= a 4 + 4a 3b + 6a2b2 + 4ab 3 + b 4
(a − b)4
= a 4 − 4a3b + 6a 2b 2 − 4ab 3 + b 4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2
+ 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5
(a − b)5
= a 5 − 5a 4b + 10a3b 2 − 10a 2b 3 + 5ab 4 − b5
(a + b)6
= a 6 + 6a 5b + 15a 4b2 + 20a 3b 3 + 15a2b 4 + 6ab 5 + b 6
(a − b)6
= a6 − 6a 5b + 15a 4b 2 − 20a 3b 3 + 15a 2b 4 − 6ab 5 + b 6
(a + b)n =  0 ⋅ a n +  1 ⋅ a n −1b +  2 ⋅ a n − 2b2 + K +  n−1 ⋅ ab n−1 +  n ⋅ b n
n
n
n
n
n
(a − b)n =  0 ⋅ a n −  1 ⋅ a n−1b +  2 ⋅ a n− 2b2 + K +
n
n −1  n 
+ (− 1)
⋅
 ⋅ ab
 n −1
n
n −1
n
n  n
+ (− 1) ⋅   ⋅ b n
 n
n
gdzie   jest symbolem Newtona.
k
 
 n
n!
. Wartości
Dla liczb naturalnych n, k takich, że n ≥ k   =
k! ⋅ (n − k )!
 k
symboli Newtona są równe odpowiednim liczbom występującym w trójkącie Pascala. Należy zwrócić uwagę na fakt, że suma wykładników potęg a i b jest równa n.
54
s. 76. Ponieważ f ( x0 ) = 0 i g( x0 ) = 0
więc h( x0 ) = a ⋅ f ( x0 ) + b ⋅ g( x0 ) = a ⋅ 0 + b ⋅ 0 = 0
a to znaczy, że x0 jest miejscem zerowym funkcji h.
s. 81. Wyznaczamy wzory określające funkcje f, g i h:
f ( x) = 3 x + 5
2
f ( x ) + g( x)
2
g( x) = − 12 x + 1
h( x) = 12 x + 3
= 1 x + 3 = h ( x)
2
s. 83. a) Niech funkcja liniowa f spełniająca warunek f(–x) = f(x) będzie określona wzorem f (x) = ax + b dla x ∈ R.
Jeśli – f (–x) = –[a · (–x) + b] = ax – b, to
ax – b = ax + b
2b = 0
b=0
Ponadto, gdy funkcja f określona jest wzorem f (x) = ax,
to – f (–x) = –[a · (–x)] = ax = f (x).
Jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi ten warunek są funkcje
określone wzorem f(x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
b) Niech funkcja liniowa spełniająca dany warunek będzie określona
wzorem f (x) = ax + b.
Wtedy f (0) + f (1) = f (0 + 1) = f (1), czyli
a·b+b+a·1+b=a·1+b
b=0
Jeśli funkcja liniowa f jest określona wzorem f (x) = ax,
to dla dowolnych x1, x2 mamy
f ( x1 + x2 ) = a ⋅ ( x1 + x2 ) = ax1 + ax2 = f ( x1 ) + f ( x2 ).
Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem f (x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
c) Jeśli funkcja f określona wzorem f (x) = ax + b spełnia dla dowolnej
liczby rzeczywistej k warunek f (kx) = k · f (x),
to w szczególności f (2x) = 2 · f (x), czyli
a · (2x) + b = 2 · (ax + b)
2ax + b = 2ax + 2b
b=0
55
Jeśli zatem funkcja liniowa f dana jest wzorem f (x) = ax, gdzie a jest
dowolną liczbą rzeczywistą,
to f (kx) = a · (kx) = k · (ax) = k · f (x), gdzie k jest dowolną liczbą
rzeczywistą.
Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem f (x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
d) Niech funkcja liniowa f dana wzorem f (x) = ax + b spełnia następujący warunek: f (–x) = f (x).
Jeśli f (–x) = a · (–x) + b = –ax + b dla dowolnego x ∈ R, to
–ax + b = ax + b
2ax = 0
w szczególności 2a · 1 = 0
a=0
Jeśli funkcja liniowa f jest dana wzorem f (x) = b,
to f (–x) = b = f (x) dla dowolnego x ∈ R, czyli jedynymi funkcjami
liniowymi spełniającymi dany warunek są funkcje stałe.
s. 87. Niech funkcje liniowe f i g będą określone wzorami:
f (x) = ax + b
g(x) = a1x + b1
Wówczas h( x) = f (g( x )) = a ⋅ (a1x + b1 ) + b = aa1 ⋅ x + ab1 + b
Funkcja h jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym a · a1.
s. 92. a) m = –2
b) m = 9
c) nie istnieje takie m
d) m = –1
s. 97. a) 8
b) 8
c) 8
Zadanie pokazuje, jak można w różny sposób sformułować to samo zagadnienie. Wskazane byłoby, aby uczniowie samodzielnie układali zadania tego typu.
s. 100.
x−1 −3< 0
x −1 < 3
–3 < x – 1 < 3
–2 < x < 4
Zbiorem rozwiązań jest przedział (–2, 4).
x−1
2
− 9 < 0 ⇔ x −1
2
− 32 < 0 ⇔ x − 1 − 3 < 0
x −1
4
− 92 < 0 ⇔ x − 1
4
− 34 < 0 ⇔ x − 1 − 3 < 0
x−1
100
− 3100 < 0 ⇔ x − 1
100
− 3100 < 0 ⇔ x − 1 − 3 < 0
Zbiorem rozwiązań jest przedział (–2, 4).
56
s. 102. Iloczyn jest liczbą ujemną, jeżeli wśród czynników jest nieparzysta
liczba czynników ujemnych. W tym przypadku musi być zatem
(–3) · (–2) · (–1) · 0, a ten iloczyn jest równy 0.
Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych nie może być liczbą ujemną.
Wskazane byłoby przy okazji tego zadania uogólnienie zagadnienia
i przedyskutowanie różnych sytuacji.
2
3
1
30
s. 110. a) 4 7 godziny b) 3 4 godziny c) 2 2 godziny d) 6 + n godziny
s. 116. Doświadczenia przeprowadzane z lusterkami umożliwią dokonania
wielu ciekawych spostrzeżeń. Zastosowanie kolorowych skrawków papieru ułatwi odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.
s. 119. zad. 659. Na przykład pięciokąt.
s. 119. zad. 663. Wielokąt ten ma co najmniej 4 wierzchołki.
a) 4 wierzchołki
b) 6 wierzchołków
c) 12 wierzchołków
s. 122. Otrzymane punkty są wierzchołkami ośmiokąta.
s. 124. Suma miar kątów przeciwległych jest równa 180°.
s. 130. Trójkąty równoboczne zbudowane na
przeciwległych bokach dowolnego
równoległoboku są symetryczne względem punktu przecięcia przekątnych.
s. 134. W 1801 roku C. Gauss dowiódł, że za pomocą cyrkla i linijki można wykonać konstrukcję wielokąta o liczbie boków równej m = 2n · p1 · ... · pk,
gdzie p1, p2, ... , pk są liczbami pierwszymi Gaussa, czyli liczbami postaci
r
p = 22 + 1, gdzie r jest liczbą naturalną. Liczbami pierwszymi Gaussa
są, na przykład: 3, 5, 17, 257, 65337.
s. 135. W przypadku wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków nie otrzymamy wielokąta gwiaździstego.
57
s. 138. Tak. Wszystkie trzy okręgi mają równe promienie.
s. 141. zad. 786. Powstały dwie pary
trójkątów przystających.
p
G
∆ABO ≡ ∆FEO
∆CDO ≡ ∆GHO
C
A
B 0
E
F
H
D
s. 141. zad. 788. W zadaniach tego typu ćwiczymy wyobraźnię dzieci. Wskazane byłoby wykorzystanie wielokątów foremnych o różnej liczbie boków i układanie wielokątów z trójkątów równoramiennych. Uczniowie
mogliby określić różnicę w postępowaniu w różnych sytuacjach.
s. 142. Należy rozpatrywać wielokąty foremne. Otrzymane liczby tworzą ciąg
liczbowy, którego wyrazy dążą do 1.
1
1
s. 145. zad. 807. a) 8
b) 16
s. 145. zad. 809. a) 2 boki
c)
1
d)
210
b) 2 boki
c) 3 boki
( 12 )
n
d) 3 boki
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych
s. 6. i 8. Oznaczmy długość odcinka AŁ = a. Z własności trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary 30° i 60°, wynika, że
a 3
ŁÓ = 12 a i ÓA =
2
ÓR = ÓA + AR =
a 3
2
(
)
a 3 +1
, gdyż
+a=
2
2
PUPAŁ = P1 = a2
PMRÓZ = P2 =
58

a


(
)

3 +1 

2

2
=
a2
(
)
3 +1
4
2
AR = ŁÓ
P1
P2
=
a2
a2
(
)
3 +1
2
=
4
3+1+ 2 3
=
4
4+2 3
=
(
4⋅ 4 − 2 3
)
16 − 12
= 4−2 3
4
s. 10. Przez jeden z wierzchołków, np. C,
prowadzimy prostą k, która nie zawiera przekątnej czworokąta. Przez
punkt B prowadzimy prostą p równoległą do prostej k. Punkt wspólny prostej k i boku AB oznaczamy E.
Na prostej p wybieramy dowolny
punkt F. Łączymy punkt F z punktami
E i C. Otrzymany pięciokąt AEFCD
ma pole równe polu czworokąta
ABCD, gdyż P,CEF = P,CEB .
s. 12. Przez wierzchołki C i E prowadzimy
przekątną. Przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do CE.
Rysujemy prostą zawierającą bok BC
pięciokąta. Punkt wspólny tej prostej
i prostej p wyznacza wierzchołek
czworokąta F.
Czworokąt ABFE ma takie samo pole
jak pięciokąt ABCDE, gdyż
P,CFE = P,EBC .
s. 14. Promień mniejszego półkola jest równy wysokości trójkąta równoramien-
C
D
F
A
E
k
B
p
A
E
D
B
C
F
p
E
A
r
nego DEC, w którym CD = 3 cm,
DE = CE = 2 cm.
B
C
D
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
r =
22 − (1,5)2 =
4 − 2,25 = 1,75 ≈ 1,32
Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:
P=
1
π ⋅ 22
2
− π ⋅ (1,32) ≈ 3,54
1
2
2
Pole zaznaczonej figury ma około 3,54 cm2.
59
s. 16. Promień mniejszego półkola jest równy wysokości trójkąta równoramien-
M
N
nego NEM, w którym NM = 5 cm,
r
NE = ME = 3 cm.
K
E
L
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
32 − (2,5) =
r =
2
9 − 6,25 =
2,75 ≈ 1,66
Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:
P=
1
2
π ⋅ 32 −
1
π⋅
2
(1,66)2 ≈ 3,13
Pole zaznaczonej figury ma około 3,13 cm2.
s. 18. i 20. Nie. Druga potęga liczby naturalnej w rzędzie jedności może mieć
jedną z następujących cyfr: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
a b =
s. 22.
4
a 2b
1
1
1
1
2
1
( )
1
4
( )
1
4

2
a b =  a ⋅ b 2  = a 2 ⋅ b 4 = a 4 ⋅ b 4 = a 2b


b a =
s. 24.
4
1
(
4
a 2b
=
4
b 2a
b2a
1
1
1
2
1

2
b a =  b ⋅ a 2  = b 2 ⋅ a 4 = b 4 ⋅ a 4 = b 2a


s. 26.
=
)
2
3333333 + 1 = 3333333 + 1 + 2 3333333 = 3333334 + 2 3333333
Liczba
(
)
3333333 + 1
2
jest liczbą niewymierną, gdyż liczba
3333333
jest liczbą wymierną.
s. 28.
(
)
2
7777777 − 1 = 7777777 + 1 − 2 7777777 = 7777778 − 2 7777777
Liczba
(
)
7777777 − 1
2
jest liczbą niewymierną, gdyż liczba
7777777
jest liczbą wymierną.
s. 30. Z trójkąta Pascala odczytujemy współczynniki odpowiadające potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc
(a − b ) 4
60
= a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab 3 + b 4
s. 32. Z trójkąta Pascala odczytujemy współczynniki odpowiadające potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc
( − a + b) 4
= a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab 3 + b 4
( )
(
)
a + a = a ⋅ (1 + a ) = a ⋅ (1 + a) ⋅ (1 − a + a )
n − 5n + 4n = n ⋅ (n − 5n + 4) = n ⋅ (n − n − 4n + 4) =
= n ⋅ [n ⋅ (n − 1) − 4 ⋅ (n − 1)] = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 4) =
s. 34. x 4 + x = x ⋅ x 3 + 1 = x ⋅ ( x + 1) ⋅ x 2 − x + 1
s. 36.
s. 38.
4
5
3
2
3
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
= ( n − 2) ⋅ ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2)
(
)
(
)
s. 40. p 5 − 5 p 3 + 4 p = p ⋅ p 4 − 5 p 2 + 4 = p ⋅ p 4 − p 2 − 4 p 2 + 4 =
[ (
)
)]
(
(
)(
)
= p ⋅ p2 ⋅ p2 − 1 − 4 ⋅ p2 − 1 = p ⋅ p2 − 1 ⋅ p2 − 4 =
= ( p − 2) ⋅ ( p − 1) ⋅ p ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 2)
s. 42. Rysunek przedstawia
graf funkcji h.
b
a
d
s. 44. Rysunek przedstawia
graf funkcji h.
b
a
c
d
s. 46. Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:
(
)
2
h ( x) = x 2 − 1 − 1 = x 4 − 2 x 2 + 1 − 1 = x 4 − 2 x 2
s. 48. Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:
(
)
h ( x) = x 2 + 1
2
+ 1 = x 4 + 2x2 + 1 + 1 = x 4 + 2x2 + 2
61
s. 50. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział 〈0, 1〉, możemy dokonać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem
h(x) = –2(x + 1) = –2x – 2.
s. 52. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział 〈0, 1〉, możemy dokonać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem
h(x) = 2(x – 1) = 2x – 2.
s. 54. Iloczyn współczynników kierunkowych funkcji liniowych, których
wykresy są prostopadłe, jest równy –1. Zatem funkcja g ma postać
1
2
g( x) = − x + b. Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 1),
musi być spełniony warunek
−
1
2
⋅ 1 + b = 1, zatem
−
1
2
+b=1
b=
3
2
1
2
3
2
Funkcję g określa wzór g( x) = − x + .
s. 56. Iloczyn współczynników kierunkowych funkcji liniowych, których
wykresy są prostopadłe, jest równy –1. Zatem funkcja g ma postać
1
2
g( x) = − x + b. Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 0),
musi być spełniony warunek
−
1
2
⋅ 1 + b = 0, zatem
−
1
2
+b=0
b=
1
2
1
2
1
2
Funkcję g określa wzór g( x) = − x + .
s. 58.
(x
4
)(
)
(
)
+ 1) = 0
+ x 2 ⋅ x 6 + x 2 ⋅ K ⋅ x102 + x 2 = 0
(
)(
)
(
x 98 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 4 + 1 ⋅ K ⋅ x100
Równanie spełnia tylko liczba 0, gdyż dla każdego x ∈ R i n ∈ N+ ,
x 2n + 1 > 0.
62
s. 60.
(x
5
)(
)
(
)
⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ K ⋅ ( x + 1) = 0
+ x 3 ⋅ x 7 + x 3 ⋅ K ⋅ x101 + x 3 = 0
x144
2
4
98
Równanie spełnia tylko liczba 0, gdyż dla każdego x ∈ R i n ∈ N+ ,
x 2n + 1 > 0.
s. 62. Oznaczmy:
x – liczba monet dwudziestogroszowych
140 – x – liczba monet pięćdziesięciogroszowych
0,2 · x – wartość monet dwudziestogroszowych
0,5 · (140 – x) – wartość monet pięćdziesięciogroszowych
0,2 · x + 0,5 · (140 – x) = 25
0,2 · x + 70 – 0,5 · x = 25
– 0,3 · x = – 45
x = 150
Jeśli monet dwudziestogroszowych jest 150, to monet pięćdziesięciogroszowych powinno być –10. Liczba monet nie może być wyrażona liczbą
ujemną. 25 złotych nie da się rozmienić na monety dwudziestogroszowe
i pięćdziesięciogroszowe tak, aby razem było ich 140.
s. 64. Oznaczmy:
x – liczba monet pięćdziesięciogroszowych
100 – x – liczba monet dwudziestogroszowych
0,5 · x – wartość monet pięćdziesięciogroszowych
0,2 · (100 – x) – wartość monet dwudziestogroszowych
0,5 · x + 0,2 · (100 – x) = 25
0,5 · x + 20 – 0,2 · x = 25
0,3 · x = 5
x = 16
2
3
Liczba monet musi być wyrażona liczbą naturalną. 25 złotych nie można
rozmienić na monety dwudziestogroszowe i pięćdziesięciogroszowe tak,
aby było ich razem 100.
(
)
s. 66. Przekształcając nierówność 4 a 2 − 3 ≥ −12 , otrzymujemy:
– 3 ≥ –3
≥0
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a ∈ R.
a2
a2
63
(
)
s. 68. Przekształcając nierówność 3 3a 2 − 4 ≥ −12 , otrzymujemy:
– 4 ≥ –4
≥0
2
a ≥0
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a ∈ R.
3a2
3a2
s. 70. Z proporcji x : y : 5 = 2 : 4 : 6 wynika, że
y
5
=
4
,
6
więc
6y = 20
y=
20
6
y=
10
3
2
x
1
5
1
4
Rozpatrując proporcję y = , otrzymujemy x = y, czyli x = .
2
4
3
s. 72. Z proporcji x : y : 4 = 1 : 5 : 3 wynika, że
y
4
5
3
= , więc
3y = 20
y=
20
3
1
x
Rozpatrując proporcję y = , otrzymujemy x = y, czyli x = .
5
5
3
s. 74. Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA2. Wyznaczamy punkt A1
będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej k. Następnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A1A2. Proste k i p są
szukanymi prostymi.
C
A
B
k
64
p
s. 76. Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA2. Wyznaczamy punkt A1
będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej k. Następnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A1A2. Proste k i p są
szukanymi prostymi.
C
p
B
A
k
s. 78. i 80. Wyznaczamy środek mniejszego okręgu. Przez punkt wyznaczony
przez jeden z końców średnicy tego okręgu prowadzimy styczną do
niego. Punkty przecięcia stycznej z większym okręgiem wyznaczają
dwa wierzchołki trójkąta: A i B. Trzeci wierzchołek C wyznaczamy,
rysując symetralną odcinka AB.
C
O
r
A
B
Trójkątem spełniającym warunki zadania jest trójkąt równoboczny.
Zadanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy szerokość powstałego
pierścienia jest równa promieniowi mniejszego okręgu.
65
s. 82. i 84. Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r jest równa r. Zatem pole PW jest równe:
PW = 6 ⋅
r2 3
4
=
3r 2 3
2
Długość boku sześciokąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu r jest równa
PO = 6 ⋅
2r 3
3
 2r 3  2

 ⋅ 3
 3 
4
. Zatem pole PO jest równe:
= 2r 2 3
Różnica pól PO − PW = 2r 2 3 −
Stosunek pól
PO
PW
=
2r 2 3
3r
2
=
3
3r 2 3
2
=
r2 3
2
4
3
2
s. 86. i 88. Przyprostokątne trójkąta o polu 18 mają długości 4 i 9. Długość jego
przeciwprostokątnej jest równa
jące.
66
97 . Obydwa trójkąty są przysta-
Pola wszystkich narysowanych figur są równe. Ćwiczenia umożliwiające tworzenie figur o różnych kształtach, ale równych polach proponujemy przeprowadzić
w celu uświadomienia uczniom nieprawdziwości twierdzenia:
Figury o równych polach są przystające,
które jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia:
Figury przystające mają równe pola.
67
68
69