RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN
Transkrypt
RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN
RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN Arkadiusz Ploski (Kielce) Pojecie rugownika należy do algebry klasycznej. W ostatnich latach , w zwiazku ze wzrostem znaczenia metod efektywnych algebry ukazalo sie, wiele , podreczników i artykulów poświeconych temu pojeciu. Jednak nie wszystkie , , , użyteczne wlasności rugownika sa, dostatecznie znane: do nich należy formula dla rugownika jako jakobianu pewnego ciagu wielomianów. Celem tego ar, tykulu jest przypomnienie tej formuly należacej do Nasha (por. [8], str 412) , i zastosowanie jej do dowodu lematu Hensela (por. [6], Rozdzial I i [9]). Klasyczny wyklad wlasności rugownika Czytelnik znajdzie w podreczniku A. Mo, stowskiego i M. Starka [7]. Wiele interesujacych twierdzeń o rugowniku można , znaleźć w podrecznikach [2] oraz [3] gdzie mimo encyklopedycznego charak, teru tych ksiażek zwiazek z jakobianem nie jest wspomniany. Z nowszych ar, , tykulów o rugowniku cytujemy [4], autorzy podaja, tam jawny opis jednomianów wystepuj acych w rugowniku. Szereg zastosowań tytulowego pojecia Czytelnik , , , znajdzie w artykulach [10, 11, 12]. 1 Rugownik Niech m > 0 i n > 0 bed zmiennych , , a, liczbami calkowitymi. Ustalmy dwa ciagi ~ = (A0 , . . . , An ), B ~ = (B0 , . . . , Bm ) i rozważmy wielomiany jednej zmienA ~ X) = A0 X n + A1 X n−1 + · · · + An oraz nej X o ogólnych wspólczynnikach F (A, ~ X) = B0 X m +B1 X m−1 +· · ·+Bm . Sa to elementy pierścienia Z[A, ~ B][X]. ~ G(B, , m−1 W pierścieniu tym rozważamy ciag wielomianów P (X) = X F (X), P (X) = 0 1 , X m−2 F (X), . . . , Pm−1 (X) = F (X), Pm (X) = X n−1 G(X), Pm+1 (X) = ~ B)X ~ m+n−1 + X n−2 G(X), . . . , Pm+n−1 (X) = G(X). Napiszmy Pi (X) = ci0 (A, m+n−2 m+n−1 ~ ~ ~ ~ ci1 (A, B)X + · · · + ci,m+n−1 (A, B)X dla i = 0, 1, . . . , m + n − 1 i rozważmy macierz ~ B) ~ = [cij (A, ~ B)] ~ SY L(A, i=0,1,...,m+n−1 . j=0,1,...,m+n−1 Macierz wyżej zdefiniowana, nazywamy macierza, Sylvestera. Pierwsze m wierszy macierzy Sylvestera zawiera ciag , A0 , . . . , An oraz zera, ostatnie n wierszy tej macierzy zawiera ciag B , . . . , B 0 m oraz zera. , Rugownikiem Sylvestera (dalej krótko: rugownikiem) nazywamy wyznacznik ~ B) ~ = det SY L(A, ~ B) ~ ∈ Z[A, ~ B]. ~ R(A, ~ X) = A0 X 3 + A1 X 2 + PRZYKLAD. Niech n = 3 i m = 2. Wówczas F (A, 2 ~ A2 X + A3 , G(B, X) = B0 X + B1 X + B2 . Mamy 1 ~ X) = A0 X 4 + A1 X 3 + A2 X 2 + A3 X + 0 XF (A, ~ X) = 0 X 4 + A0 X 3 + A1 X 2 + A2 X + A3 F (A, ~ X) = B0 X 4 + B1 X 3 + B2 X 2 + 0 X + 0 X 2 G(B, ~ X) = 0 X 4 + B0 X 3 + B1 X 2 + B2 X + 0 XG(B, ~ X) G(B, a wiec , = 0 X 4 + 0 X 3 + B0 X 2 + B1 X + B2 ~ B) ~ = R(A, A0 0 B0 0 0 A1 A0 B1 B0 0 A2 A1 B2 B1 B0 A3 A2 0 B2 B1 0 A3 0 0 B2 . Przypomnijmy podstawowa, wlasność rugownika. Wlasność 1 Niech K bedzie cialem i niech ~a = (a0 , . . . , an ) ∈ Kn+1 i ~b = , m+1 (b0 , . . . , bm ) ∈ K bed że a0 6= 0 lub b0 6= 0. Wtedy wielo, , a, takimi ciagami, miany F (~a, X), G(~b, X) ∈ K[X] maja, wspólny dzielnik dodatniego stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy R(~a, ~b) = 0. Dowód. Wprost z definicji rugownika wynika, że warunek R(~a, ~b) = 0 zachodzi dokladnie wtedy, gdy ciag wielomianów X m−1 F (~a, X), . . . , F (~a, X), , n−1 ~ ~ X G(b, X), . . . , G(b, X) jest liniowo zależny nad cialem K. Oznacza to, że istnieja, Φ(X), Ψ(X) ∈ K[X] nie równe jednocześnie zero takie, że Φ(X)F (~a, X) = Ψ(X)G(~b, X) przy czym obie strony równości sa, stopnia 6 m + n − 1. Jest to równoważne z istnieniem wspólnego podzielnika dodatniego stopnia wielomianów F (~a, X), G(~b, X) (por. [7], Lemat na stronie 103). 2 Rugownik i jakobian Zatrzymujemy oznaczenia wprowadzone wyżej. Rozważmy tożsamość (1) ~ X)G(B, ~ X) = F (A, ~ B)X ~ m+n + Q1 (A, ~ B)X ~ m+n−1 + · · · + Qm+n (A, ~ B) ~ = Q0 (A, ~ B][X]. ~ ~ ~ ~ ~ w pierścieniu Z[A, Jest wiec , Q0 (A, B) = A0 B0 , Q1 (A, B) = A0 B1 + ~ ~ A1 B0 , . . . , Qm+n (A, B) = An Bm . Mamy Wlasność 2 (2.1) ~ B) ~ SY L(A, = J(Q1 , ..., Qm+n ) J(B1 ,...,Bm ,A1 ,...,An ) , (2.2) ~ B) ~ R(A, = ..., Qm+n ) 1, (−1)mn det J(Q J(A1 ,...,An ,B1 ,...,Bm ) . (macierz Jacobiego wielomianów Q1 , . . . , Qm+n ), 2 Dowód. Różniczkujac tożsamość (1) wzgledem zmiennych B1 , . . . , Bm , , , A1 , . . . , An otrzymujemy (2) ~ X) = X m−1 F (A, .. . ~ X) F (A, = n−1 ~ X G(B, X) = .. . ~ X) G(B, = ∂Q1 m+n−1 ∂B1 X + ∂Q2 m+n−2 ∂B1 X ∂Q1 m+n−1 + ∂Bm X ∂Q1 m+n−1 + ∂A1 X ∂Q1 m+n−1 ∂An X + + ··· + ∂Qm+n ∂B1 ∂Q2 m+n m+n−2 + · · · + ∂Q ∂Bm X ∂Bm ∂Q2 m+n m+n−2 + · · · + ∂Q∂A ∂A1 X 1 ∂Q2 m+n−2 ∂An X + ··· + ∂Qm+n ∂An Wlasność (2.1) wynika bezpośrednio z formul (2) i definicji macierzy Sylvestera. Wlasność (2.2) otrzymujemy z wlasności (2.1). 3 Lemat Hensela ~ bedzie pierścieniem szeregów formalnych p zmiennych X ~ = Niech k[[X]] , ~ (X1 , . . . , Xp ) o wspólczynnikach w ciele k. Rozważmy ciag , P = (P1 , . . . , Pq ) ∈ ~ ~ = (Y1 , . . . , Yq ) i niech ~c = (c1 , . . . , cq ) ∈ ])q wielomianów zmiennych Y (k[[X]][Y k q . Mamy nastepuj ace , , Twierdzenie o funkcjach uwiklanych J(P ,...,P ) Zalóżmy, że P~ (0, ~c) = 0 oraz det J(Y11 ,...,Yqq) (0, ~c) 6= 0. Wtedy istnieje jedyny ~ X) ~ = (C1 (X), ~ . . . , Cq (X)) ~ taki, że C( ~ ~0) = ~c oraz ciag C( , szeregów potegowych , ~ ~ ~ ~ P (X, C(X)) = 0. Twierdzenie powyższe jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o szeregach uwiklanych (por. [5], Twierdzenie 7.1, gdzie autorzy rozważaja, szeregi o wspólczynnikach rzeczywistych. Podany tam dowód przenosi sie, bez zmian na przypadek dowolnego ciala). Stosujac , formule, Nasha (2.2) i podane wyżej twierdzenie udowodnimy slynny ~ Y ) = c0 (X)Y ~ N + c1 (X)Y ~ N −1 + · · · + cN (X) ~ ∈ Lemat Hensela Niech F (X, ~ k[[X]][Y ] bedzie wielomianem stopnia N > 1. Zak ladamy, że istniej a , ciagi , , (a1 , . . . , an ) ∈ k n i (b1 , . . . , bm ) ∈ k m n, m > 0, m + n = N takie, że (α) F (~0, Y ) = c0 (0)Y n + a1 Y n−1 + · · · + an Y m + b1 Y m−1 + · · · + bm jest rozkladem wielomianu F (~0, Y ) na czynniki wzglednie pierwsze. , Wówczas istnieje jedyny rozklad postaci ~ Y ) = c0 (X)Y ~ n + a1 (X)Y ~ n−1 + · · · + an (X) ~ · (β) F (X, ~ m−1 + · · · + bm (X) ~ ~ · Y m + b1 (X)Y w k[[X]][Y ] taki, że ai (0) = ai dla i = 1, . . . , n oraz bj (0) = bj dla j = 1, . . . , m Dowód. Nawiazuj ac , , do oznaczeń wprowadzonych w §1 tego artykulu oznaczmy ~ 0 = (A1 , . . . , An ), B ~ 0 = (B1 , . . . , Bm ) oraz ~a0 = (a1 , . . . , an ) i ~b0 = (b1 , . . . , bm ). A 3 Rozważmy wielomiany ~ A ~0, B ~ 0 ) = Qi (c0 (X), ~ A ~ 0 , 1, B ~ 0 ) ∈ k[[X]][ ~ A ~0, B ~ 0] qi (X, (3) dla i = 1, 2, . . . , m + n. Z (1) otrzymujemy ~ n + A1 Y n−1 + · · · + An Y m + B1 Y m−1 + · · · + Bm = c0 (X)Y ~ m+n + q1 (X, ~ A ~0, B ~ 0 )Y m+n−1 + · · · + qm+n (X, ~ A ~0, B ~ 0) = c0 (X)Y (4) a z wlasności Nasha (2.2) (5) det J(q1 , ..., qm+n ) ~ ~ 0 ~ 0 ~ A ~ 0 , 1, B ~ 0 ). (X, A , B ) = (−1)mn R(c0 (X), J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ) ~ Podstawienie elementów ~0 ∈ k p , ~a0 ∈ k n i ~b0 ∈ k m na miejsce zmiennych X, 0 ~0 ~ A , B w formule (4) i zalożenie (α) implikuja, qi (~0, ~a0 , ~b0 ) = ci (~0) (6) dla i = 1, . . . , m + n. To samo podstawienie i formula (5) pokazuje, że (7) det J(q1 , ..., qm+n ) ~ 0 ~ 0 (0, ~a , b ) = (−1)mn R(c0 (~0), ~a0 , 1, ~b0 ). J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ) ~ A ~0, B ~ 0 ) = qi (X, ~ A ~0, B ~ 0 ) − ci (X) ~ dla i = 1, . . . , m + n. Jest Oznaczmy teraz pi (X, wiec na mocy (6) i (7): , (8) pi (~0, ~a0 , ~b0 ) = 0 dla i = 1, . . . , m + n J(p1 , ..., pm+n ) ~ 0 ~ 0 oraz det (0, ~a , b ) 6= 0 J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ) gdyż R(c0 (~0), ~a0 , ~b0 ) jako rugownik wzglednie pierwszych wielomianów c0 (~0)Y n + , n−1 m m−1 a1 Y + · · · + an i Y + b1 Y + · · · + bm jest 6= 0. Stosujac twierdzenie o funkcjach uwiklanych do ciagu p~ = , , (p1 , . . . , pm+n ) i punktu (~0, ~a0 , ~b0 ) stwierdzamy, że istnieje jedyny ~ . . . , an (X), ~ b1 (X), ~ . . . , bm (X)) ~ ~ m+n taki, ciag (a1 (X), ∈ k[[X]] że , ~ ~ ~ ~ (a1 (0), . . . , an (0), b1 (0), . . . , bm (0)) = (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) oraz ~ a1 (X), ~ . . . , an (X), ~ b1 (X), ~ . . . , bm (X)) ~ ~ m+n . Warunki te p~(X, = ~0 w k[[X]] sa, równoważne warunkom (β) co dowodzi lematu Hensela. Uwagi 1) W podanym przez nas dowodzie lematu Hensela pierścień szeregów formal~ można zastapić przez dowolny pierścień lokalny A, w którym nych k[[X]] , prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwiklanych w cytowanej przez nas formie. W szczególności lemat Hensela prawdziwy jest dla pierścienia ~ zbieżnych szeregów o wspólczynnikach w ciele z waluacja zupelna k{X} , , k. 4 2) Wyprowadzenie lematu Hensela z użyciem formuly Nasha dla rugownika pojawia sie, w pracach [6, 9]. Najbardziej popularny dowód lematu Hensela w geometrii analitycznej opiera sie, na twierdzeniu przygotowawczym Weierstrassa (por. [1] i [5]). Dowód ten jest krótki w przypadku gdy cialo przypadek dowolnego ciala k wymaga dok jest algebraicznie domkniete, , datkowych rozważań. 3) M. Nagata wprowadzil na poczatku lat 50-tych minionego wieku pojecie , , pierścienia Hensela jako pierścienia lokalnego, w którym prawdziwy jest lemat Hensela. Pojecie to studiowane bylo przez wielu autorów i dzisiaj , umieszczane jest w kursach algebry przemiennej. Dobre wprowadzenie do przedmiotu Czytelnik znajdzie w monografii [6]. 4) Czesto lemat Hensela jest formulowany w slabszej formie: dla wielomianów , unormowanych. Jednak przedstawiona w tym artykule mocniejsza postać pozwala na porównanie lematu Hensela z twierdzeniem przygotowawczym Weierstrassa (por. wniosek z lematu Hensela podany niżej). Przypomnijmy, że wielomianem wyróżnionym stopnia m > 0 nazywamy wielo~ taki, że b1 (~0) = . . . = ~ m−1 + · · · + bm (X) ~ ∈ k[[X]] mian postaci Y m + b1 (X)Y ~ bm (0) = 0. Wniosek (Twierdzenie przygotowawcze dla wielomianów) ~ Y ) = c0 (X)Y ~ N + c1 (X)Y ~ N −1 + · · · + cN (X) ~ ∈ k[[X]][Y ~ Niech F (X, ] bedzie wie, ~0, Y ) jest dodatni i skończony. lomianem stopnia N takim, że rzad m = ord F ( , ~ Y ) = U (X, ~ Y )W (X, ~ Y ) w k[[X]][Y ~ ~ Y) Wtedy F (X, ] gdzie U (~0, 0) 6= 0 zaś W (X, jest wielomianem wyróżnionym (koniecznie stopnia m). Para U, W jest jedyna. Dowód. Gdy m = N wniosek jest trywialny, zalóżmy wiec, że m < N . Mamy , zatem F (~0, Y ) = c0 (~0)Y N + c1 (~0)Y N −1 + · · · + cN −m (~0)Y m = (c0 (~0)Y N −m + c1 (~0)Y N −m−1 + · · · + cN −m (~0))Y m i istnienie rozkladu wynika z lematu Hensela bo cN −m (~0) 6= 0 na mocy definicji liczby m. ~ Aby sprawdzić jednoznaczność zalóżmy, że F = U W w k[[X]][Y ] gdzie ~ U (0, 0) 6= 0 oraz W jest wielomianem wyróżnionym. Jest zatem U (~0, Y ) = c0 (~0)Y N −m + c1 (~0)Y N −m−1 + · · · + cN −m (~0) i W (~0, Y ) = Y m a wiec , jedyność pary U, W wynika z jednoznaczności w lemacie Hensela. Oczywiście powyższy wniosek prawdziwy jest także dla szeregów zbieżnych i ogólnie dla wielomianów zmiennej Y o wspólczynnikach w pierścieniu lokalnym, w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwiklanych. Literatura [1] S. S. Abhyankar, Local Analytic Geometry, Academic Press 1964, [2] , Lectures on Algebra, vol I, World Scientific 2006, [3] F. Apèry, J. P. Jouanolou, Élimination. Le cas d’une variable, Hermann 2007, [4] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov and A. V. Zelevinsky, Newton Polytopes of the Classical Resultant and Discriminant, Advances in Math. 84 (1990), 237-254, 5 [5] St. Lojasiewicz, J. Stasica, Analiza formalna i funkcje analityczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego 2005, [6] J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton 1980, [7] A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1965, [8] J. Nash, Real Algebraic Manifolds, Annals of Math. vol. 56, No. 3, November 1952, [9] A. Ploski, Remarque sur le lemme de Hensel, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. 28 (1980), no 3-4, 115-116, [10] , Teoria eliminacji i niezmienniki algebraiczne, I Konferencja Zastosowań Niezmienników Algebraicznych, Warszawa, 26-27 listopada 1994, str. 21-30, [11] , Efektywne Twierdzenie o Zerach, Materialy XVIII Konferencji Szkoleniowej z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej, Lódź 1997, str. 4551, [12] , Wstep do lokalnej teorii krzywych algebraicznych, Materialy na , XXVIII Konferencje, Szkoleniowa, z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej Zespolonej, Lódź 2007, str. 21-40. SYLVESTER RESULTANT AND JACOBIAN Summary. For any integers n > 0 and m > 0 we take interminates ~ = (A0 , . . . , An ), B ~ = (B0 , . . . , Bm ) and X and let R(A, ~ B) ~ be the SylveA ster resultant of the polynomials F (X) = A0 X n + A1 X n−1 + · · · + An and G(X) = B0 X m + B1 X m−1 + · · · + Bm . ~ B)X ~ m+n + Q1 (A, ~ B)X ~ m+n−1 + · · · + Let F (X)G(X) = Q0 (A, ~ B) ~ in Z[A, ~ B][X]. ~ ~ B) ~ = Qm+n (A, In this article we recall that R(A, ..., Qm+n ) 1, (−1)mn det J(Q J(A1 ,...,An ,B1 ,...,Bm ) (see J. Nash, Annals of Math. vol 56, No. 3, November 1952, page 412). Then using the above formula and the Implicit Function Theorem we prove Hensel’s lemma for polynomials with coefficients in the formal (convergent) power series rings. 6