Algebra. Grupy i pierścienie

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Artur „Kozaq” Sowiński
Minimum programowe
Algebra
Toruń 2009
1
Struktury Algebraiczne
Lp
1
2
3
4
5
6
Nazwa Własności
Wewnetrzność
˛
Łaczność
˛
Element Neutralny
Element Przeciwny
Przemienność
Rozdzielność
Własność
∀ x,y∈G x + y ∈ G
∀ x,y∈G x + y = y + x
∃e∈G ∀ x∈G x + e = e + x = x
∀ x∈G ∃y∈G x + y = y + x = e
∀ x,y∈G x + y = y + x
∀ x,y,z∈G x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ∧ (y + z) · x = (y · x) + (z · x)
Nazwa Struktury
Oznaczenie Własn. (G, +)
Półgrupa
(G, +)
1-2
Monoid
(G, +)
1-3
Grupa
(G, +)
1-4
Grupa Abelowa
(G, +)
1-5
Pierścień
(G, +, ·)
1-5
Pierścień z 1
(G, +, ·)
1-5
Pierścień Przemienny z 1
(G, +, ·)
1-5
Ciało
(G, +, ·)
1-5
Własn. (G, ·)
Własn. +/·
1-2
1-3
1-3, 5
1-5
6
6
6
6 & 0,1
Definicja 1 . Podgrupa (H, ∗) grupy (G, ∗) (oznaczenie H ⊆ G ) spełnia własności:
1. H ⊂ G
2. 1G ∈ H
3. ∀h,k∈H h ∗ k ∈ H
4. ∀h∈H ∃k∈H h ∗ k = 1G
5. ∀h∈H h−1 ∈ H
1
2
Przykłady grup
Przykład 1 .
• Permutacja σ = (4 8 1 3 7 6 5 2) rozkłada sie˛ na cykle (1 4 3) (2 8) (5 7)
• Jej znak wynosi sgn(σ) = (−1)(3−1) · (−1)(2−1) · (−1)(2−1) = 1
• Cykl (1 4 3) rozkłada sie˛ na transpozycje (12) (23) (34) (12)
• Permutacje˛ σ nazywa sie˛ parzysta˛ gdy sgn(σ) = 1, a nieparzysta˛ gdy sgn(σ) = −1
Twierdzenie 1 . Własności transpozycji
• Grupa permutacji stopnia n jest generowana przez n − 1 transpozycji
• sgn : S n → {−1, 1} jest homomorfizmem grup
Przykład 2 . Przykłady grup:
• Grupa Symetryczna S n — zbiór permutacji zbioru {1, ..., n} w siebie
• Grupa Alternujaca
˛ An — zbiór permutacji parzystych zbioru {1, ..., n} w siebie
• Grupa addytywna liczb wymiernych (Q, +)
• Grupa multiplikatywna liczb wymiernych (Q\{0}, · ) = Q∗
Twierdzenie 2 . Każda podgrupa grupy (Z, +) jest postaci (nZ, +) dla n ∈ N
Definicja 2 . Grupa addytywna reszt (Zn , ⊕)
1. n ∈ N
2. Zn = {0, ..., n − 1}
3. ∀k,l∈Zn k ⊕ l := (k + l) mod n
(reszta z dzielenia k + l przez n)
Twierdzenie 3 . Własności grupy (Zn , ⊕)
1. Cykliczna, generatorem jest dowolna liczba wzglednie
˛
pierwsza z n
L
2. G — skończenie generowana ⇒ G =
(Zni , ⊕)
i
2
3
Morfizmy Grup
f : (G, ∗) → (H, )
Homomorfizm
Monomorfizm
Epimorfizm
Izomorfizm
Endomorfizm
Automorfizm
Wymagania
∀a,b∈G f (a ∗ b) = f (a) f (b)
Homomorfizm różnowartościowy
Homomorfizm „na”
Homomorfizm odwracalny
Homomorfizm ∧ (G, ∗) = (H, )
Izomorfizm ∧ (G, ∗) = (H, )
Definicja 3 . Dla dowolnego homomorfizmu f : (G, ∗) → (H, ) definiujemy:
• Jadro
˛
homomorfizmu jako Ker( f ) = {g ∈ G : f (g) = 1H } = f −1 (1H ) ⊆ (G, ∗)
• Obraz homomorfizmu jako Im( f ) = {h ∈ H : ∃g∈G f (g) = h} = ( f (G), ∗) ⊆ (H, )
Twierdzenie 4 . Niech f : (G, ∗) → (H, ) bedzie
˛
homomorfizmem grup
• f jest monomorfizmem ⇔ Ker( f ) = {1G }
• f jest epimorfizmem ⇔ Im( f ) = H
Przykład 3 . Niech f, g, h, i : (Z, +) → (Z, +)
Homo Mono Epi Izo
2
f (x) = x
NIE
NIE NIE NIE
g(x) = x mod 5 TAK
NIE NIE NIE
h(x) = 2 · x
TAK
TAK NIE NIE
i(x) = −x
TAK
TAK TAK TAK
Ponadto g∗ : (Z, +) → (Z5 , +) dane wzorem g∗ (x) = g(x) jest epimorfizmem.
Definicja 4 .
(G, ∗), (H, ) sa˛ izomorficzne ⇔ istnieje izomorfizm f : (G, ∗) → (H, ), ozn. (G, ∗) ' (H, )
Przykład 4 .
• (G, ∗) ' (G, ∗)
• (Q, +) ; Q∗
Twierdzenie 5 . Cayley.
∀(G,∗),|G|=n (G, ∗) ' (Im(G), ∗) ⊂ S n
3
4
Twierdzenia o Izomorfizmie dla Grup
Definicja 5 . Dzielnik Normalny grupy (G, ∗) — podgrupa H ⊂ G o własności:
∀h∈H ∀g∈G g ∗ h ∗ g−1 ∈ H, oznaczenie H C G
Przykład 5 .
• 1G C G oraz G C G
• G — abelowa ⇒ ∀H∈G H C G
• Ker( f ) C G
Definicja 6 . Niech (G, ∗) —grupa, N C G oraz H ⊆ G
1. Warstwa elementu g ∈ G w H ⊆ G — zbiór gH = {g ∗ h : h ∈ H} ⊂ G
2. Indeks podgrupy H — liczba warstw, oznacza sie˛ [G : H]
3. Zbiór ilorazowy (G /N ) = {g ∗ N : g ∈ G}
4. Grupa Ilorazowa (G /N , ), gdzie gN hN = {(g ∗ h)N}
Twierdzenie 6 . Lagrange’a. Jeżeli H ⊆ G, to |G| = |H| · [G : H]
Twierdzenie 7 . I Twierdzenie o Izomorfizmie.
Jeżeli f : (G, ∗) → (H, ) jest homomorfizmem, to:
G
/Ker( f ) ' Im( f )
Twierdzenie 8 . II Twierdzenie o Izomorfizmie.
Niech H ⊆ G, K C G. Wówczas:
H
/(H∩K) '
4
HK
/K
5
Centrum Grupy i Komutant
Definicja 7 .
Centrum grupy (G, ∗) — podgrupa C(G) = {g ∈ G : ∀a∈G g ∗ a = a ∗ g}
Definicja 8 .
• Komutator elementów a, b ∈ G — element [a, b] = a ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1
• Komutant grupy G — [G, G] = [a1 , b1 ] ∗ ... ∗ [an , bn ], gdzie ∀i=1,...,n ai , bi ∈ G
Twierdzenie 9 . O komutantach
1. [G, G] C G
2. Grupa ilorazowa G /[G,G] jest abelowa
3. H C G ⇒ (G /H abelowa ⇔ [G, G] ⊂ H)
4. H ⊂ G oraz [G, G] ⊂ H ⇒ H C G
Definicja 9 . Niech (G, ∗) — grupa, B ⊂ G
Podgrupa˛ generowana˛ przez zbiór B ⊂ G nazywamy
hBi = {g ∈ G : g = bk11 ∗ ... ∗ bknn , bi ∈ B, ki = 1}
Twierdzenie 10 Własności:
• hBi jest najmniejsza˛ podgrupa˛ zawierajac
˛ a˛ B
• hBi = G ⇒ B jest zbiorem generatorów G
• G jest grupa˛ cykliczna˛ ⇔ ∃g∈G G = hgi
5
6
Pierścienie i Ideały
Przykład 6 Przykłady pierścieni:
• Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ·)
• Pierścień wielomianów
• Pierścień macierzy kwadratowych nad ciałem (Mn (K), +m , ·m )
• Pierścień reszt (Zn , ⊕, )
Twierdzenie 11 Zn — ciało ⇔ n — liczba pierwsza
Definicja 10 Ideał (I, , ) pierścienia (R, , ) spełnia nastepuj
˛ ace
˛ własności:
1. (I, ) ⊆ (R, )
2. r ∈ R ∧ i ∈ I ⇒ (r
i) ∈ I
Oznaczenie: (I, , ) C (R, , )
Definicja 11 Ideał (I, , ) pierścienia (R, , ) jest:
1. Pierwszy, gdy (r
s ∈ I ⇒ r ∈ I ∧ s ∈ I)
2. Maksymalny, gdy ∀ J I ∈ J ⇒ I = J, gdzie (J, , ) C (R, , )
3. Właściwy, gdy I , R
P
4. Skończenie generowany, gdy ∃A⊂R, |A|<∞ I = hAi = { ki
ai }
ki ∈ R, ai ∈ A
5. Główny, gdy jest skończenie generowany ∧ |A| = 1
Twierdzenie 12 W dowolnym pierścieniu (R, , ) każdy ideał maksymalny jest pierwszy
6