lista ćwiczeń

Analiza harmoniczna lista zada«
‚wiczenie
2.3. Dlaczego P nie jest g¦stym podzbiorem L ∞ (T)?
2.4. Wywnioskuj, »e funkcje fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0) oraz gn (x) = sin(nx)
(n ≥ 1) tworz¡ (ª¡cznie) ukªad ortogonalny zupeªny na L 2 (T).
‚wiczenie
2.5. Wywnioskuj, »e funkcje fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0) tworz¡ ukªad ortogonalny zupeªny na L 2 ([0, π]).
‚wiczenie
‚wiczenie 2.6. Wywnioskuj, »e funkcje fn (x) = sin(nx) (n ≥ 1) tworz¡ ukªad ortogonalny zupeªny na L 2 ([0, π]).
2.7. Podaj analogiczne cztery zupeªne ukªady ortogonalne funkcji w L 2 ([a, b])
dla a, b ∈ R, a < b.
‚wiczenie
‚wiczenie
2.11. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera funkcji
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
f3 (x) = |x|,
f4 (x) = 1(0,π) (x) − 1(−π,0) (x),
f5 (x) = |sin x| ,
f6 (x) = sin x2
(wszystkie funkcje okre±lone na przedziale [−π, π)).
‚wiczenie 2.12. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera miary δ0 i ogólniej δa
(gdzie δa (E) = 1E (a) jest miar¡ Diraca skupion¡ w a).
‚wiczenie
2.13. Sprawd¹, »e je±li f = a1 f1 + a2 f2 , to fˆ = a1 fˆ1 + a2 fˆ2 (f1 , f2 ∈ L 1 (T),
‚wiczenie
2.14. Wywnioskuj z twierdzenia
a1 , a2 ∈ C).
f (x) = a0 +
∞
X
??, »e je±li f ∈ L ([0, π]), to
2
an cos(nx)
n=1
(szereg cosinusów bezwzgl¦dnie zbie»ny w L 2 ([0, π])), gdzie dla n ≥ 1,
Z
Z
1 π
2 π
a0 =
f (x)dx,
an =
f (x) cos(nx)dx.
π 0
π 0
‚wiczenie
2.15. Udowodnij analogicznie, »e je±li f ∈ L 2 ([0, π]), to
f (x) =
∞
X
bn sin(nx)
n=1
(szereg sinusów bezwzgl¦dnie zbie»ny w L 2 ([0, π])), gdzie dla n ≥ 1,
Z
2 π
bn =
f (x) sin(nx)dx.
π 0
2.16. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenia i zwi¡zek pomi¦dzy ró»nymi rodzajami szeregów Fouriera (zespolony, cosinusów, sinusów), znajd¹ rozwini¦cia w szereg
sinusów i szereg cosinusów funkcji
‚wiczenie
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
f3 (x) = sin x
(wszystkie funkcje okre±lone na przedziale [0, π]).
3.7. Dlaczego powy»szy wniosek nie stosuje si¦ do f (x) = x mimo, »e funkcja
ta jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna?
‚wiczenie
1
2
3.8. Znaj¡c wspóªczynniki szeregu Fouriera funkcji f (x) = x, wyznacz rozwini¦cie funkcji f (x) = x2 (w obu przypadkach x ∈ [−π, π)).
‚wiczenie
3.9. W podobny sposób znajd¹ rozwini¦cie funkcji f (x) = x3 − π 2 x, a nast¦pnie g(x) = x3 (ponownie x ∈ [−π, π)).
‚wiczenie
3.13. Niech α ∈ (−1, 1) oraz f (x) = |x|α dla x ∈ [−π, π). Uzasadnij, »e
|n|1+α fˆ(n) ma granic¦ przy n → ±∞.
‚wiczenie
3.14. Niech a ∈ (0, π), ϑ ∈ (0, 12 ] i niech In b¦dzie ci¡giem przybli»e« zbioru
Cantora: I0 = (−a, a), Ik+1 = (−(1 − ϑ)a + ϑIk ) ∪ ((1 − ϑ)a + ϑIk ) dla k = 0, 1, ... Niech
1 k
) 1Ik (x). Uzasadnij, »e
ponadto fk (x) = ( 2ϑ
‚wiczenie
fk ( x+a
− a) + fk ( x−a
+ a)
ϑ
ϑ
.
2ϑ
Wykorzystaj ten fakt do indukcyjnego dowodu równo±ci
Z a
k−1
2 sin(ϑk aξ) Y
−iξx
fk (x)e
dx =
cos(ϑj (1 − ϑ)aξ)
kξ
ϑ
−a
j=0
fk+1 (x) =
dla ξ 6= 0 oraz k = 0, 1, ...
3.15. Niech µ oznacza *sªab¡ granic¦ ci¡gu miar fk (x)dx z poprzedniego
¢wiczenia, czyli miar¦ Cantora (dlaczego granica w istocie istnieje?). Wywnioskuj, »e
‚wiczenie
µ̂(n) = 2a
∞
Y
cos(ϑj (1 − ϑ)na).
j=0
Badanie wªasno±ci powy»szego niesko«czonego iloczynu jest bardzo skomplikowanym zadaniem. Znajd¹ informacje na temat twierdzenia WieneraWintnera dotycz¡cego tego
iloczynu.
‚wiczenie
4.1. Udowodnij, »e splot jest przemienny, ª¡czny i dwuliniowy.
4.2. Zauwa», »e kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ dla f ∈ L 1 (T) i g ∈ L ∞ (T), a
tak»e kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 dla f, g ∈ L 2 (T). Udowodnij, »e kµ ∗ f k ≤ kµkkf k1 ,
kµ ∗ νk ≤ kµkkνk dla f ∈ L 1 (T) oraz µ, ν ∈ M (T).
‚wiczenie
4.3. Niech g ∈ L 1 (T). Dla f ∈ C(T) okre±lmy Λf = f ∗ g(0). Sprawd¹,
»e Λ jest ci¡gªym funkcjonaªem liniowym na C(T). Przybli»aj¡c funkcj¦ sign g(x) przy
pomocy funkcji ci¡gªych, wyznacz norm¦ Λ.
‚wiczenie
4.6. Niech g ∈ L 1 (T). Dla f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗ g . Sprawd¹,
»e T jest ci¡gªym operatorem liniowym na L 1 (T), L ∞ (T) i C(T). Wyznacz norm¦
tego operatora na ka»dej z tych przestrzeni (mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie przypadek, gdy
g ∈ C(T) i wróci¢ do tego zadania w peªnej ogólno±ci po rozdziale ).
‚wiczenie
??
4.7. Niech g ∈ L ∞ (T). Dla f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗g . Sprawd¹, »e
T jest ci¡gªym operatorem liniowym z L 1 (T) w L ∞ (T) i wyznacz jego norm¦ (ponownie
mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie przypadek, gdy g ∈ C(T) i wróci¢ do tego zadania w peªnej
ogólno±ci po rozdziale ).
‚wiczenie
??
4.9. Udowodnij, »e Sk f (x) → a gdy k → ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
S̃k f (x) → a gdy k → ∞.
‚wiczenie
3
4.10. Wyka», »e dla en (x) = einx (n ∈ Z) zachodzi Sk en = en gdy k ≥ |n|
oraz Sk en = 0 gdy 0 ≤ k < |n|. Wyznacz analogicznie Sk f dla f (x) = cos(nx) oraz
f (x) = sin(nx).
‚wiczenie
4.11. Uzasadnij, »e je±li g = Sk f , to ĝ(n) = fˆ(n) gdy |n| ≤ k , ĝ(n) = 0 w
przeciwnym przypadku.
‚wiczenie
4.12. Zauwa», »e Sk (zaw¦»one do L 2 (T)) jest rzutem ortogonalnym na przestrze« wielomianów trygonometrycznych stopnia co najwy»ej k (przy naturalnej denicji
stopnia wielomianu trygonometrycznego jakiej?).
‚wiczenie
4.14. Sporz¡d¹ wykresy kilku pierwszych funkcji Dk i D̃k .
‚wiczenie
4.15. Udowodnij, »e dla k ≥ 1 zachodzi
Z π
π
1
1
Dk (x)dx =
D̃k (x)dx = 1.
2π −π
2π −π
‚wiczenie
Z
‚wiczenie
π
) dla x ∈ [−π, π] \ {0} i k ≥ 0.
4.17. Udowodnij, »e |Dk (x)| ≤ min(2k + 1, |x|
‚wiczenie
4.18. Wyznacz normy operatorów Sk i S̃k , dziaªaj¡cych z L 1 (T) w L ∞ (T).
4.19. Udowodnij, »e istniej¡ staªe C1 , C2 > 0, takie »e
Z π
Z π
sin( n2 x) sin( n2 x) 1
1
dx ≤ C2 log(1 + n)
C1 log(1 + n) ≤
dx ≤
2π −π tan x2 2π −π sin x2 ‚wiczenie
dla wszystkich n ≥ 0. Wykorzystaj to do oszacowania norm operatorów Sk oraz S̃k ,
dziaªaj¡cych na L 1 (T) oraz na C(T), a tak»e funkcjonaªów Λk f = Sk f (0) oraz Λ̃k f =
S̃k f (0) na przestrzeni C(T).
4.20. Z poprzedniego ¢wiczenia i zasady BanachaSteinhausa wywnioskuj,
»e istnieje funkcja f ∈ L 1 (T), dla której ci¡g Sk f nie jest zbie»ny w L 1 (T). W podobny
sposób wyka», »e istnieje funkcja f ∈ C(T), dla której ci¡g Sk f (0) nie jest zbie»ny.
‚wiczenie
‚wiczenie
1
2π
Z
4.21. Udowodnij, »e ci¡g
n
π sin(
x)
2
dx − 4 log(1 + n)
x
sin π2
−π
2
jest zbie»ny. (Nie jest to bardzo trudne, ale raczej nieprzydatne).
5.2. Udowodnij, »e je±li f ∈ C 1 (T) oraz f 0 speªnia warunek Höldera z dowolnym wykªadnikiem α ∈ (0, 1] (co jest cz¦sto zapisywane w postaci f ∈ C 1,α (T)), to
szereg Fouriera f jest bezwzgl¦dnie i jednostajnie zbie»ny do f .
‚wiczenie
‚wiczenie
∞
X
n=1
5.8. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji f (x) = |x|, wyznacz
1
,
(2n − 1)2
∞
X
1
,
n2
n=1
∞
X
(−1)n−1
n=1
n2
.
5.9. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji f (x) = x, wyznacz
∞
∞ X
X
(−1)n−1
(−1)n−1 (−1)n−1
,
+
.
2n
−
1
3n
−
2
3n
−
1
n=1
n=1
‚wiczenie
‚wiczenie
5.10. Znajd¹ informacje na temat tzw. efektu Gibbsa .
4
5.13. Udowodnij, »e szeregi Fouriera funkcji caªkowalnych mo»na caªkowa¢
wyraz po wyrazie nawet wtedy, gdy nie s¡ zbie»ne.
‘ci±lej: udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (T), a, b ∈ R, a < b, to
Z b
X
fˆ(0)(b − a)
1
einb − eina
f (x)dx =
+ lim
fˆ(n)
,
k→∞ 2π
2π
in
a
‚wiczenie
n∈{−k,...,k}\{0}
przy czym szereg po prawej stronie jest zbie»ny nawet wtedy, gdy szereg Fouriera funkcji
f nie jest zbie»ny.
Wywnioskuj, »e je±li f ∈ L 1 (T) odpowiada klasycznemu szeregowi Fouriera
f (x) ∼ a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
n=1
to nawet je±li powy»szy szereg nie jest zbie»ny, zachodzi
Z b
∞ X
sin(nb) − sin(na)
cos(nb) − cos(na)
f (x)dx = a0 (b − a) +
an
− bn
n
n
a
n=1
i szereg po prawej stronie jest zbie»ny.
5.14. Zapisz analogiczny wzór na µ([a, b]) dla µ ∈ M (T) speªniaj¡cych
warunek µ({a}) = µ({b}) = 0. Co wyra»a ten wzór, gdy µ ma atom w a lub b?
‚wiczenie
5.15. Zauwa», »e dla ka»dej miary µ ∈ M (T) o wªasno±ci
R π µ(T) = 0 istnieje
dokªadnie jedna dystrybuanta f miary µ, która speªnia warunek −π f (x)dx = 0, tj.
fˆ(0) = 0. Ponadto udowodnili±my ju», »e fˆ(n) = µ̂(n)/(in) dla n 6= 0. Wprowad¹my
oznaczenie f = I(µ); gdy µ(dx) = g(x)dx, piszemy f = I(g).
1
1
(a) Niech µ(dx) = δ0 (dx) − 2π
dx, tj. µ(E) = 1E (0) − 2π
|E|. Udowodnij, »e dla k ≥ 1,
‚wiczenie
∞
X
1
= (−1)k π I 2k (µ)(0),
2k
n
n=1
∞
X
(−1)n−1
n=1
n2k
= (−1)k−1 π I 2k (µ)(π),
gdzie I oznacza 2k -krotne zªo»enie operacji I , tj. I 2k (µ) = I(I(...I(µ)...)).
(b) Wyznacz warto±ci powy»szych sum dla k = 1 i k = 2.
(c) Przy pomocy komputera wyznacz warto±ci powy»szych sum dla kilku wi¦kszych warto±ci k .
(d) Podaj analogiczny sposób wyznaczania sum
2k
∞
X
n=1
1
,
(2n − 1)2k
∞
X
(−1)n−1
.
2k
(2n
−
1)
n=1
5.17. Przypu±¢my, »e f, g s¡ funkcjami borelowskimi na przedziale (a, b), g
jest nieujemna,
Z s
Z s
F (s) =
f (t)dt,
G(s) =
g(t)dt
‚wiczenie
a
a
s¡ sko«czone dla s ∈ (a, b), G(s) → ∞ gdy s → b oraz |f (s)|/g(s) → 0 gdy s → b− .
Udowodnij, »e |F (s)|/G(s) → 0 gdy s → b− .
−
5.18. Wywnioskuj, »e h jest rosn¡ca na (0, π] oraz h(s) → 0 gdy s → 0+ , to
Z π
h(s)
lim ε
ds = 0.
ε→0+
s2
ε
‚wiczenie
5
6.1. Udowodnij, »e je±li ci¡g an jest zbie»ny do a, to ci¡g ±rednich Cesàro
‚wiczenie
k
1X
an
bk =
k n=1
równie» jest zbie»ny do a. Uzasadnij, »e twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
‚wiczenie
6.2. Dowiedz si¦ o sumowaniu metod¡ Abela.
‚wiczenie
6.5. Udowodnij, »e gdy k ≥ 0, to
1
2π
Z
π
Fk (x)dx = 1.
−π
1
π 2 /x2 ) dla ka»dego x ∈
6.6. Udowodnij, »e 0 ≤ Fk (x) ≤ min(k + 1, k+1
[−π, π] \ {0}.
‚wiczenie
‚wiczenie
6.7. Udowodnij, »e Fk (x) → 0 gdy k → ∞ dla ka»dego x ∈ T \ {0}.
6.8. Udowodnij, »e gdy 0 ≤ k ≤ l, to
k+1
l−k
Sk Fl (x) =
Fk (x) +
Dk (x).
l+1
l+1
‚wiczenie
1
6.10. Uzasadnij, »e ci¡g 2π
Fk speªnia warunek (A) z εk = 0, warunek (B) z
p
p
εk = π/(k + 1) oraz warunek (C) z εk = 3 π/(2k + 2).
‚wiczenie
‚wiczenie
oraz
6.11. Udowodnij, »e je±li funkcje ϕk ∈ L 1 (T) przyjmuj¡ warto±ci rzeczywiste
Z
−ε
lim
k→∞
Z π
+
−π
ϕk (x)dx = 0
ε
dla ka»dego ε > 0, to speªniony jest warunek (B). Sformuªuj analogiczne twierdzenie dla
warunku (C).
‚wiczenie
6.13. Uzupeªnij dowód cz¦±ci (c) i (d) twierdzenia.
6.22. Niech ϕk b¦dzie jedno±ci¡ aproksymatywn¡ oraz ϕ̃k (x) = ϕk (−x).
Udowodnij, »e dla f ∈ C(T) i µ ∈ M (T) zachodzi
Z π
Z π
µ ∗ ϕk (x)f (x)dx =
f ∗ ϕ̃k (x)µ(dx).
‚wiczenie
−π
−π
Wywnioskuj, »e je±li µ ∈ M (T), to µ ∗ ϕk (x)dx d¡»y *sªabo do µ.
6.23. Wywnioskuj z poprzedniego ¢wiczenia, »e je±li µ ∈ M (T), to σk µ(x)dx
d¡»y *sªabo do µ. W szczególno±ci je±li µ̂(n) = 0 dla wszystkich n ∈ Z, to µ = 0.
‚wiczenie
‚wiczenie
Z
x
0
7.1. Wyka», »e dla k ≥ 0 oraz x ∈ (−π, π),
Dk (y)dy ≤ π 2 .
Mo»esz wykorzysta¢ lemat
‚wiczenie
??.
7.2. Uzasadnij, »e
fk,l (x) = 2 sin((k + l)x)
l
X
sin(nx)
n=1
i wobec tego kfk,l k∞ ≤ 4π .
n
Z
= sin((k + l)x)
0
x
x
Dl (y)dy −
2
6
‚wiczenie
7.3. Udowodnij, »e
Sk+l fk,l (x) =
l
X
cos((k + l − n)x)
n
n=1
P
i wobec tego Sk+l fk,l (0) = ln=1 n1 ≥ log l. Wyka» ponadto, »e dla wszystkich x ∈ T,
Sm fk,l (x) = 0 dla m < k oraz Sm fk,l (x) = fk,l (x) dla m ≥ k + 2l.
7.4. Wyka», »e funkcja g jest poprawnie okre±lona, ci¡gªa i ma nast¦puj¡ce
wªasno±ci: g(0) = 0, Skm −1 g(0) = 0, Skm +lm g(0) ≥ am log lm dla wszystkich m ≥ 0.
‚wiczenie
7.5. Dobierz ci¡gi am , km i lm w poprzednim ¢wiczeniu tak, aby ci¡g Sk g(0)
byª nieograniczony.
‚wiczenie
7.6. Dla dowolnego nieograniczonego ci¡gu rosn¡cego wk liczb rzeczywistych
dobierz am , km i lm tak, aby ci¡g (wk / log k)Sk g(0) byª nieograniczony. Porównaj uzyskany wynik z wnioskiem .
‚wiczenie
??
7.7. Niech h ∈ L 1 (T), q ≥ 1 oraz hq (x) = h(qx). Udowodnij, »e ĥq (qn) =
ĥ(n) dla n ∈ Z oraz ĥq (n) = 0 gdy n ∈ Z nie dzieli si¦ przez q . Wywnioskuj, »e
Sql hq (x) = Sl h(qx).
‚wiczenie
‚wiczenie
7.8. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenie i denicj¦ qk , udowodnij, »e
Sqk l g(x) =
k−1
X
εj fj (qj x) + εk Sl fk (qk x).
j=1
gdy l ≤ 1/εk .
7.9. Dla E ⊆ [0, 2π) niech 1q E oznacza zbiór liczb z przedziaªu [0, 2π) postaci
x+2nπ
dla x ∈ E i n ∈ Z. Zauwa», »e 1q E ma t¦ sam¡ miar¦, co E . Wykorzystuj¡c
q
poprzednie ¢wiczenie oraz denicj¦ εj , udowodnij, »e je±li x ∈ q1k Ek , to istnieje l takie, »e
|Sqk l g(x)| > 1/εk − k .
‚wiczenie
7.10. Wywnioskuj, »e je±li x nale»y do niesko«czenie wielu spo±ród zbiorów
to ci¡g Sk g(x) jest rozbie»ny. Wykorzystuj¡c wªasno±¢ zbiorów Ek , udowodnij, »e
szereg Fouriera g jest rozbie»ny dla prawie wszystkich x ∈ T.
‚wiczenie
1
E ,
qk k
‚wiczenie
7.11. Zauwa», »e sin((l + 12 )n(x − xj )) = sin((l + 12 )nx).
7.12. Udowodnij, »e jesli I jest przedziaªem, c ∈ (0, 21 ), a > 2π/(c|I|), b ∈ R
to zbiór E tych x ∈ I dla których | sin(a(x − b))| < c ma miar¦ mniejsz¡ ni» 2c|I|.
‚wiczenie
‚wiczenie
7.14. Zauwa», »e je±li 1 ≤ n < k , to
n
k
1X
1 X ln + 1
SK f (x) =
Fl (x − xj ) +
Fl (x − xj )
k j=1 j
k j=n+1 lj + 1 n
k
1 X lj − ln
+
Dl (x − xj ).
k j=n+1 lj + 1 n
7
‚wiczenie
7.15. Udowodnij, »e je±li 1 ≤ n < k oraz x ∈ In , to
n
l
1 X ln + 1
1X
Fl (x − xj ) ≤ π
Fl (x − xj ) +
0≤
k j=1 j
k j=n+1 lj + 1 n
(wykorzystaj oszacowania j¡dra Fejéra, denicj¦ Ij oraz lj ≥ k 4 ). Wywnioskuj (wykorzystuj¡c podzielno±¢ 2lj + 1 przez 2k + 1), »e
k
1 X lj − ln sin((ln + 12 )x) |Sln f (x)| ≥ − π.
k j=n+1 lj + 1 sin( 12 (x − xj )) ‚wiczenie
7.16. Udowodnij, »e je±li 1 ≤ n < k −
|Sln fl (x)| ≥
√
k oraz x ∈ In , to
k
X
| sin((ln + 21 )x)|
1
−π
1
k
2
sin(
(x
−
x
))
j
n−1
2
j=n+1
| sin((ln + 12 )x)| 1
( 2 log k − 1) − π
4π
(wykorzystaj denicj¦ xj oraz lj+1 ≥ 2lj ).
≥
7.17. Niech ε = (log k)−1/5 i niech E b¦dzie zbiorem tych x ∈ [0, 2π), dla
których |Sln f (x)| > ε12 dla pewnego n. Udowodnij, »e je±li k jest dostatecznie du»e oraz
√
1 ≤ n < k − k , to miara zbióru In \ E wynosi co najwy»ej 12 ε2 |In |. Wywnioskuj, »e dla
dostatecznie du»ych k miara E wynosi co najmniej 2π(1 − ε2 ).
‚wiczenie
8.2. Zauwa», »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), µ ∈ M (Rd ), to fˆ, µ̂ ∈ Cb (Rd ) i kfˆk∞ ≤
kf k1 , kµ̂k∞ ≤ kµk, zatem transformacja Fouriera jest ograniczonym operatorem liniowym
z L 1 (Rd ) w Cb (Rd ) oraz z M (Rd ) w Cb (Rd ).
‚wiczenie
8.3. Sprawd¹, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), g(x) = f (x) oraz h(x) = f (−x), to
ĝ(ξ) = fˆ(−ξ) oraz ĥ(ξ) = fˆ(−ξ).
‚wiczenie
8.4. Sprawd¹, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), a ∈ Rd oraz g(x) = f (a + x), h(x) =
f (a − x), to ĝ(ξ) = eiξ·a fˆ(ξ), ĥ(ξ) = e−iξ·a fˆ(−ξ).
‚wiczenie
8.5. Udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), r > 0 oraz g(x) = rd f (rx), to ĝ(ξ) =
fˆ(ξ/r). Ogólniej, udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), A jest niezdegenerowan¡ macierz¡ d×d
oraz g(x) = | det A|f (Ax), to ĝ(ξ) = fˆ((A−1 )T ξ). Wywnioskuj, »e je±li f (x) = g(|x|) i
f ∈ L 1 (Rd ), to fˆ(ξ) = h(|ξ|) dla pewnej funkcji h. Poczytaj o transformacji Hankela.
‚wiczenie
8.6. Przypu±¢my, »e f1 ∈ L 1 (Rd1 ), f2 ∈ L 1 (Rd2 ) i okre±lmy f (x) =
f1 (x1 )f2 (x2 ) dla x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rd1 , x2 ∈ Rd2 . Udowodnij, »e fˆ(ξ) = fˆ1 (ξ1 )fˆ2 (ξ2 ) dla
ξ = (ξ1 , ξ2 ), ξ1 ∈ Rd1 , ξ2 ∈ Rd2 .
‚wiczenie
8.7. Przypu±¢my, »e f, g ∈ L 1 (Rd ), v ∈ Rd oraz
Z t
f (x + tv) − f (x) =
g(x + sv)ds
‚wiczenie
0
(w szczególno±ci tak jest, gdy v jest j -tym wektorem bazowym, pochodna cz¡stkowa ∂j f
istnieje oraz g = ∂j f ∈ L 1 (Rd )). Udowodnij, »e ĝ(ξ) = iv · ξ fˆ(ξ).
8.8. Przypu±¢my, »e f ∈ L 1 (Rd ), g(ξ) = −iξj f (ξ) oraz g ∈ L 1 (Rd ). Udowodnij, »e pochodna ∂j fˆ istnieje i jest transformat¡ Fouriera g .
‚wiczenie
8
??
8.14. Sprawdzi¢, »e w dowodzie odpowiednich twierdze« w rozdziale
wyd
starczy zamieni¢ T na R i usun¡¢ cz¦±¢ dotycz¡c¡ funkcji nieci¡gªych, by uzyska¢ dowód
twierdzenia .
‚wiczenie
??
8.18. Udowodnij, »e f ∈ L 1 (Rd ) ma warto±ci rzeczywiste wtedy i tylko
wtedy, gdy fˆ(−ξ) = fˆ(ξ).
‚wiczenie
‚wiczenie
gdy
8.19. Udowodnij, »e f ∈ L 1 (Rd ) jest funkcj¡ parzyst¡ wtedy i tylko wtedy,
fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) =
‚wiczenie
wtedy, gdy
Z
Rd
f (x) cos(ξ · x)dx.
8.20. Udowodnij, »e f ∈ L 1 (Rd ) jest funkcj¡ nieparzyst¡ wtedy i tylko
−fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) = i
Z
Rd
f (x) sin(ξ · x)dx.
8.24. Udowodnij, »e F 2 f (x) = (2π)d f (−x) dla f ∈ L 2 (Rd ) oraz »e (2π)−2d F 4
jest operatorem jednostkowym na L 2 (Rd ).
‚wiczenie
8.25. Wywnioskuj z twierdzenia spektralnego, »e L 2 (Rd ) rozkªada si¦ na
ortogonaln¡ sum¦ prost¡ czterech podprzestrzeni liniowych H1 , Hi , H−1 , H−i , na których
(2π)−d/2 F dziaªa jako operator mno»enia odpowiednio przez 1, i, −1, −i.
‚wiczenie
8.31. Niech p, q ∈ [1, ∞] i przypu±¢my, »e p1 + 1q 6= 1. Rozwa»aj¡c funkcje
postaci f (rx) dla dowolnej niezerowej f ∈ L 1 (Rd ) ∩ L ∞ (Rd ), wyka», »e transformacja
Fouriera nie rozszerza si¦ do ograniczonego operatora z L p (Rd ) do L q (Rd ).
‚wiczenie
??
8.32. Rozwa»my funkcj¦ f z lematu . Do czego d¡»y rd/2 fˆ gdy r → ∞?
2
W jaki sposób mo»na interpretowa¢ transformat¦ Fouriera funkcji eia|x| ?
‚wiczenie
9.4. Udowodnij, »e przy oznaczeniach z twierdzenia
L 1 (Rd ) dla wszystkich t > 0.
‚wiczenie
?? zachodzi K ∗ f ∈/
1
t
9.5. Udowodnij twierdzenia analogiczne do powy»szych dla granic
Z
1
lim
max(1 − |ξ|t , 0)fˆ(ξ)eiξ·x dξ
t→∞ (2π)d Rd
‚wiczenie
(istnieje w L 1 (Rd ) i jest równa f ) oraz
Z
1
lim
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
t→∞ (2π)d B(0,t)
(nie musi istnie¢ w L 1 (Rd )).
9.6. Poszukaj informacji o zbiorach Kakeyi/Bezikowicza i ich zastosowaniu
do badania zbie»no±ci granicy
Z
1
lim
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
t→∞ (2π)d B(0,t)
‚wiczenie
w L p (Rd ), p ∈ (1, ∞).
9.8. Niech f (x) = x/(1 + x2 ) dla x ∈ R. Zauwa», »e f ∈ L 2 (R), ale
f∈
/ L 1 (R). Wyznacz Ff .
‚wiczenie
9
9.9. Wykonaj analogiczny rachunek w Rd dla f (x) = (xj /t)Pt (x), gdzie Pt
jest j¡drem Poissona.
‚wiczenie
9.11. Uzasadnij, »e funkcja f z lematu
Z
2α π d/2 ∞ −1+α/2
f (x) = d−α
r
Kr (x)dr.
Γ( 2 ) 0
‚wiczenie
?? speªnia
Wynacz staª¡ cα z tego lematu.
‚wiczenie
9.21. Dla jakich f zachodzi równo±¢ w powy»szym twierdzeniu?
10.2. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Dla x ∈ Q niech |x|p = p−n , gdzie
n ∈ Z ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: licznik i mianownik liczby p−n x (zapisanej w postaci
nieskracalnej) nie dziel¡ si¦ przez p. Przyjmujemy ponadto |0|p = 0. Udowodnij, »e
dp (x, y) = |x − y|p jest metryk¡ na Q, w której dziaªania dodawania i mno»enia s¡ ci¡gªe.
‚wiczenie
10.3. Zbiór liczb p-adycznych Qp to uzupeªnienie przestrzeni metrycznej Q z
metryk¡ dp . Udowodnij,
»e elementy Qp mo»na w naturalny sposób uto»sami¢ z formalP∞
nymi szeregami n=−∞ an pn , w których an ∈ {0, 1, ..., p−1} oraz an = 0 dla dostatecznie
maªych n. Wyka» ponadto, »e dziaªania dodawania i mno»enia s¡ zgodne z naturalnymi
denicjami, tj. dodawanie odbywa si¦ z przeniesieniem po wspóªrz¦dnych, za± mno»enie
jest iloczynem Cauchy'ego szeregów z przeniesieniem. Wywnioskuj, »e Qp jest grup¡
lokalnie zwart¡, a tak»e ciaªem liczbowym (z wy»ej opisanymi denicjami dodawania i
mno»enia).
‚wiczenie
10.4. Zbiór caªkowitych liczb p-adycznych Q∗p (zwany cz¦sto odometrem ) to
analogiczne uzupeªnienie zbioru Z w metryce dp , czyli równowa»nie domkni¦cie zbioru
Z w Qp . Wyka», »e Q∗p jest zwart¡ grup¡ topologiczn¡.
‚wiczenie
10.5. Niech D b¦dzie dowolnym symetrycznym otoczeniem 0 o zwartym
domkni¦ciu, za± G0 najmniejsz¡ domkni¦t¡ podgrup¡ G zawieraj¡c¡
S∞ D. Udowodnij, »e
0
je±li D1 = D, Dn+1 = D + Dn = {x + y : x ∈ D, y ∈ Dn }, to G = n=1 Dn , wobec czego
G0 jest zbiorem otwarto-domkni¦tym, σ -zwartym (tj. b¦d¡cym sum¡ przeliczalnie wielu
zbiorów zwartych).
‚wiczenie
‚wiczenie
10.7. Wska» miary Haara na Rd , Td , Zd , Zp , Qp i Q∗p .
‚wiczenie
10.8. Udowodnij, »e miara Haara jest sko«czona wtedy i tylko wtedy, gdy G
jest zwarta.
10.9. Udowodnij, »e miara Haara jest σ -sko«czona (tj. jest sum¡ przeliczalnie wielu miar sko«czonych) wtedy i tylko wtedy, gdy G jest σ -zwarta (tj. jest sum¡
przeliczalnie wielu zbiorów zwartych).
‚wiczenie
10.10. Udowodnij, »e miara Haara jest symetryczna, tj. µ(E) = µ(−E) dla
wszystkich borelowskich E .
‚wiczenie
‚wiczenie
10.12. Udowodnij, »e Ĝ jest grup¡ topologiczn¡.
10.13. Niech D ⊆ G b¦dzie otoczeniem 0 i ε ∈ (0, π2 ), oraz niech K̂ = {ϕ ∈
Ĝ : ϕ(x) ∈ [−ε, ε] dla x ∈ D} (uto»samiamy T z przedziaªem [−π, π)). Uzasadnij, »e dla
n ≥ 1 istnieje otoczenie zera Dn o zwartym domkni¦ciu i takie, »e Dn + Dn + ... + Dn ⊆ D
(n skªadników po lewej stronie). Dowied¹, »e |ϕ(x)| ∈ [− nε , nε ] dla x ∈ Dn oraz ϕ ∈ K̂ .
Wywnioskuj, »e funkcje z K̂ s¡ jednakowo ci¡gªe i wobec tego K̂ jest zwarty na mocy
twierdzenia ArzeliAscoliego. Wywnioskuj, »e grupa Ĝ jest lokalnie zwarta.
‚wiczenie
10
10.14. Niech x ∈ G oraz ψx : Ĝ → T, ψx (ϕ) = ϕ(x). Udowodnij, ψx jest
charakterem na Ĝ.
‚wiczenie
10.15. Udowodnij, »e je±li G jest zwarta, to funkcje eiψ(x) , gdzie ψ ∈ Ĝ, s¡
wzajemnie ortogonalne wzgl¦dem miary Haara. Wywnioskuj, »e w tej sytuacji Ĝ jest
grup¡ dyskretn¡.
‚wiczenie
10.16. Udowodnij, »e je±li f : R → T jest ci¡gªa, to istnieje ci¡gªa funkcja
f˜ : R → R taka, »e f (x) przystaje do f˜(x) modulo 2π (tzn. f (x) = f˜(x) + 2π Z). Wyka»,
»e funkcja f˜ jest wyznaczona jednoznacznie, je±li za»¡damy, by f (0) ∈ [0, 2π). Przy
tym zaªo»eniu udowodnij (rozwa»aj¡c funkcj¦ f˜(x + y) − f˜(x) − f˜(y)), »e je±li f jest
homomorzmem, to równie» f˜ jest homomorzmem.
‚wiczenie
10.17. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na R s¡ postaci ϕξ (x) = ξx
(mod 2π) (tzn. ϕξ (x) = ξx + 2π Z) dla pewnego ξ ∈ R. Wywnioskuj, »e R̂ jest izomorczna z R.
‚wiczenie
10.18. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na T s¡ postaci ϕn (x) = nx
(mod 2π) (tzn. ϕξ (x + 2π Z) = nx + 2π Z) dla pewnego n ∈ Z. Wywnioskuj, »e T̂ jest
izomorczna z Z.
‚wiczenie
10.19. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Z s¡ postaci ϕξ (k) = ξk (mod 2π)
(tzn. ϕξ (k) = ξk + 2π Z) dla pewnego ξ ∈ [0, 2π). Wywnioskuj, »e Ẑ jest izomorczna z
T.
‚wiczenie
10.20. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Zp s¡ postaci ϕn (k) = nk (mod p)
(tzn. ϕn (k) = nk + pZ) dla pewnego n ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Wywnioskuj, »e Ẑp jest
izomorczna z Zp .
‚wiczenie
‚wiczenie
Ĝd .
10.21. Udowodnij, »e grupa dualna do Gd jest kanonicznie izomorczna z
‚wiczenie
10.22. Opisz grupy dualne do Qp i Q∗p .
‚wiczenie
10.25. Udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (G), to fˆ ∈ C(Ĝ).
10.26. Niech f ∈ L 1 (G) i niech τx (f )(y) = f (x + y). Udowodnij (wykorzystuj¡c g¦sto±¢ Cc (G) w L 1 (G)), »e kτx f − f k1 → 0 gdy x → 0 w G.
‚wiczenie
10.27. Udowodnij lemat RiemannaLebesgue'a : je±li f ∈ L 1 (G), to fˆ ∈
C0 (Ĝ) (tzn. dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K̂ ⊆ Ĝ taki, »e |fˆ(ϕ)| < ε gdy
ϕ ∈ Ĝ \ K̂ ). W tym celu rozwa» otoczenie zera Dε ⊆ G dla którego kτx f − f k1 < ε.
‚wiczenie
10.30. Udowodnij, »e je±li f, g ∈ L 1 (G), to splot f ∗ g(x) jest poprawnie
okre±lony dla prawie wszystkich x ∈ G i wówczas kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
‚wiczenie
10.31. Zauwa», »e je±li f, g ∈ L 2 (G) lub f ∈ L 1 (G) i g ∈ L ∞ (G), to splot
f ∗ g(x) jest poprawnie okre±lony dla wszystkich x ∈ G i kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 albo
kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ .
‚wiczenie
‚wiczenie
10.32. Zauwa», »e splot jest przemienny i ª¡czny.
‚wiczenie
10.33. Udowodnij, »e je±li f, g ∈ L 1 (G), to transformat¡ Fouriera f ∗ g jest
fˆ(ϕ)ĝ(ϕ).
11.2. Udowodnij, »e je±li µ nie skªada si¦ ze sko«czenie wielu atomów, to
(X) jest istotnie wi¦ksze od L p (X).
‚wiczenie
L
p,∞
11
11.3. Udowodnij, »e dla p ∈ (0, ∞) kwazinorma k · kp,∞ nie speªnia nierówno±ci trójk¡ta.
‚wiczenie
11.4. Udowodnij, »e je±li 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞, to L p0 ,∞ (X) ∩ L p1 ,∞ (X)
jest podzbiorem L p (X).
‚wiczenie
11.5. Udowodnij, »e je±li λ > 0, 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞ oraz f ∈ L p,∞ (X),
to fλ ∈ L p1 (X) oraz f λ ∈ L p0 (X).
‚wiczenie
11.6. Udowodnij, »e je±li p ∈ (1, ∞), to kwazinorma k · kp,∞ jest jednostajnie
równowa»na normie
Z
1/p−1
sup (µ(E))
|f (x)|µ(dx) : E ⊆ X, µ(E) ∈ (0, ∞) ,
‚wiczenie
E
w której L p,∞ (X) jest przestrzeni¡ Banacha.
11.9. Udowodnij, »e je±li p, q > 0, f ∈ L p (X), g ∈ L q (X), to f g ∈ L r (X)
oraz kf gkr ≤ kf kp kgkq dla r takiego, »e p1 + 1q = 1r . Udowodnij ponadto, »e
‚wiczenie
kf kp = sup {kf gkr : g ∈ L q (X), kgkq = 1} .
11.10. Udowodnij sªab¡ nierówno±¢ Höldera : je±li p, q ∈ (1, ∞),
f ∈ L , g ∈ L q,∞ , to
p 1/p
q 1/q
kf gk1,∞ ≤ ( q ) + ( p )
kf kp,∞ kgkq,∞ .
‚wiczenie
p,∞
1
p
+
1
q
= 1,
11.11. Wywnioskuj, »e je±li p, q > 0, f ∈ L p,∞ (X), g ∈ L q,∞ (X), to
f g ∈ L r,∞ (X) dla r takiego, »e p1 + 1q = 1r .
‚wiczenie
12.2. Udowodnij, »e w powy»szym lemacie wystarczy zaªo»y¢, »e ϕ jest ograniczona na brzegu I oraz |ϕ(z)| ≤ c1 ec2 | Im z| dla z ∈ I .
‚wiczenie
12.3. Udowodnij, »e lemat nie zachodzi, je±li zaªo»ymy wyª¡cznie, »e ϕ jest
ograniczona na brzegu I .
‚wiczenie
12.5 (twierdzenie interpolacyjne Steina). Udowodnij, »e operator T w twierdzeniu RieszaThorina
R mo»na zast¡pi¢ rodzin¡ operatorów Tz , z ∈ I , pod warunkiem, »e
funkcje ϕA,B (z) = Tz 1A (y)1B (y)ν(dy) s¡ holomorczne i ograniczone na I , operatory
Tit przeksztaªcaj¡ L p0 (X) w L q0 (Y ) i ich normy s¡ ograniczone przez M0 , za± operatory
T1+it przeksztaªcaj¡ L p1 (X) w L q1 (Y ), z normami ograniczonymi przez M1 .
‚wiczenie
12.6. Sformuªuj i udowodnij wersj¦ twierdzenia RieszaThorina dla przestrzeni Sobolewa H s (Rd ), s ∈ [0, ∞).
‚wiczenie
‚wiczenie
12.7. Poczytaj o interpolacji zespolonej mi¦dzy przestrzeniami Banacha.
13.4. Udowodnij, »e M nie jest mocnego typu 1, 1. Udowodnij ponadto, »e
je±li M f ∈ L 1 (Rd ), to f = 0 prawie wsz¦dzie.
‚wiczenie
13.5. Rozwa»a si¦ czasami uci¦ty operator maksymalny, dany wzorem MR f (x) =
sup{|f | ∗ ψr (x) : r ∈ (0, R)}. Oczywi±cie 0 ≤ MR f (x) ≤ M f (x). Udowodnij, »e równie»
MR nie jest mocnego typu 1, 1, lecz tym razem MR f ∈ L 1 (Rd ) dla wszystkich funkcji
f ∈ Cc (Rd ).
‚wiczenie
12
13.9. Je±li x jest punktem Lebesgue'a funkcji f ∈ L ∞ (Rd ) oraz ci¡g En ⊆
Rd zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa c > 0 i ci¡g rn > 0
zbie»ny do 0, dla których
|En \ B(x, rn )|/|B(x, rn )| → 0 oraz |En ∩ B(x, rn )| ≥ c|B(x, rn )|
R
1
gdy n → ∞, to |En | En f (y)dy d¡»y do f (x).
‚wiczenie
1
(Rd ) oraz ci¡g En ⊆
13.10. Je±li x jest punktem Lebesgue'a funkcji f ∈ Lloc
R zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa c >R 0 i ci¡g rn > 0
zbie»ny do 0, dla których En ⊆ B(x, rn ) oraz |En | ≥ c|B(x, rn )|, to |E1n | En f (y)dy d¡»y
do f (x).
‚wiczenie
d
13.13. Zaªó»my dodatkowo, »e ϕ̃r maj¡ no±nik zawarty w pewnym ustalonym zbiorze zwartym K . Udowodnij, »e wówczas powy»sze twierdzenie zachodzi dla
1
wszystkich f ∈ Lloc
(Rd ).
‚wiczenie
?? ??
13.14. Sformuªuj odpowiedniki twierdze«
i
dla funkcji f ∈ L 1 (T) (a
wi¦c dla 2π -okresowych funkcji lokalnie caªkowalnych). Wykorzystaj je do udowodnienia
twierdzenia
: ±rednie Cesàro σk f szeregów Fouriera funkcji f ∈ L 1 (T) d¡»¡ do f
prawie wsz¦dzie.
‚wiczenie
??
14.3. Niech ∂h
= 21 ∂h
− 2i ∂h
oraz ∂h
= 21 ∂h
+ 2i ∂h
(s¡ to tzw. pochodne
∂z
∂x
∂y
∂ z̄
∂x
∂y
Wirtingera albo operatory Cauchy'egoRiemanna ). Udowodnij, »e h jest holomorczna
wtedy i tylko wtedy, gdy ∂h
= 0 i wówczas h0 = ∂h
. Udowodnij analogiczny wynik dla
∂ z̄
∂z
2h
∂2h
funkcji antyholomorcznych. Udowodnij ponadto, »e ∆h = ∂∂z̄∂z
= ∂z∂
.
z̄
‚wiczenie
14.4. Zapisz dowód twierdzenia i wcze±niejsze rozwa»ania za pomoc¡ pochodnych Wirtingera.
‚wiczenie
14.5. Niech D = {z ∈ C : Re z > 0} oraz h(x+iy) = log(x2 +y 2 ). Udowodnij,
»e h ∈ Harm(D) i rozªó» h na cz¦±¢ holomorczn¡ i antyholomorczn¡.
‚wiczenie
e
oraz h ∈ Harm(D). Niech ponadto
14.7. Niech f ∈ Hol(D), g ∈ Hol(D)
ϕ : Ω → D b¦dzie holomorczna, za± ψ : Ω → D antyholomorczna. Uzasadnij, »e
e
f ◦ ϕ, g ◦ ψ ∈ Hol(Ω), f ◦ ψ, g ◦ ϕ ∈ Hol(Ω)
oraz h ◦ ϕ, h ◦ ψ ∈ Harm(Ω).
‚wiczenie
14.8. Czy h ◦ ϕ jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna, je±li
h jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna, a ϕ jest harmoniczna?
‚wiczenie
14.13. Wska» przykªad h ∈ Harm(D) (a nawet h ∈ Hol(D)), która nie jest
postaci h = PD µ dla µ ∈ M (T).
‚wiczenie
‚wiczenie
14.14. Wyka», »e dla z = reiα , w = eiβ zachodzi
Pr (α − β) =
1 1 − |z|2
.
2π |w − z|2
Wywnioskuj, »e je±li h ∈ Harm(D) ma ci¡gªe rozszerzenie na D, to
Z
1
1 − |z|2
h(z) =
h(w)σ(dw),
2π ∂D |w − z|2
gdzie σ(dw) oznacza miar¦ dªugo±ci na ∂D.
13
14.15. Funkcja h(x1 , ..., xd ) jest harmoniczna w D ⊆ Rd , je±li ma ci¡gªe
drugie pochodne cz¡stkowe i ∆h = 0 w D. Udowodnij, »e je±li h jest harmoniczna w kuli
B(0, r) i ma ci¡gªe rozszerzenie na B(0, 1), to
Z
1
1 − |z|2
h(z) =
h(w)σ(dw),
σ(∂B(0, 1)) ∂B(0,1) |w − z|d
‚wiczenie
gdzie σ(dw) oznacza miar¦ powierzchniow¡ na ∂D.