belka żelaza

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
40, s. 217-224, Gliwice 2010
ISSN 1896-771X
SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ
W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ MR
JACEK SNAMINA
Katedra Automatyzacji Procesów, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
e-mail: [email protected]
Streszczenie.
Praca
dotyczy
analizy
rozpraszania
energii
drgań
w trójwarstwowej belce z cieczą MR. Belka składa się z dwóch zewnętrznych
warstw aluminiowych oraz warstwy wewnętrznej, którą stanowi ciecz MR.
W pracy wykorzystano model rozkładu cząstek ferromagnetycznych w warstwie
MR znajdującej się w jednorodnym polu magnetycznym. Przedstawiono pewną
metodę oszacowania zespolonego modułu sztywności poprzecznej warstwy MR
oraz zaproponowano metodę wyznaczania energii rozpraszanej w poszczególnych
fragmentach belki. Wykonano obliczenia rozpraszania energii wzdłuż całej
długości belki. Wyniki obliczeń przedstawiono w formie wykresów.
1. WSTĘP
Projektowanie eliminatorów drgań układów o ciągłym rozkładzie masy i sprężystości
wymaga dokładnej analizy rozpraszania energii. Szczególnego znaczenia nabiera taka analiza
w przypadku, gdy podukłady tłumiące drgania zostały zaprojektowane jako integralne części
układów, których drgania są eliminowane. Do takich układów należą belki, płyty i powłoki
z wbudowaną warstwą cieczy MR. Własności struktur z cieczami MR można zmieniać
poprzez zmiany pola magnetycznego. W wyniku oddziaływania pola zmieniają się przede
wszystkim charakterystyki sztywności i tłumienia, co umożliwia redukcję drgań.
Badania belek z cieczą MR są prowadzone przez wielu badaczy w szeregu ośrodkach
naukowych. W literaturze można odnaleźć prace dotyczące takich struktur [3, 4, 5]. Prace
najczęściej mają charakter raportów z badań. Wprowadzane modele obliczeniowe są
modelami empirycznymi. Inna grupa prac dotyczy poszukiwania związków między
własnościami mikroskopowymi cząstek ferromagnetycznych a parametrami mechanicznymi
warstwy MR [1, 2].
Przemieszczenia obserwowane podczas drgań belek, płyt i powłok są na ogół niewielkie.
W warstwie cieczy MR nie ma charakterystycznego dla tłumików przepływu cieczy,
a przemieszczenia punktów należących do warstwy MR, powiązane z ruchem zewnętrznych
warstw aluminiowych powodują odkształcenia postaciowe całej warstwy. Odkształcenia te są
małe i mają charakter oscylacyjny.
W artykule przedstawiono zgrubną metodę szacowania zespolonego modułu sztywności
poprzecznej warstwy MR na podstawie własności cząstek ferromagnetycznych oraz udziału
218
J. SNAMINA
masowego lub objętościowego cząstek w cieczy MR. Zespolony moduł sztywności
poprzecznej wykorzystano w obliczeniach dyssypacji energii mechanicznej wzdłuż długości
belki.
2. ZESPOLONY MODUŁ SZTYWNOŚCI POPRZECZNEJ WARSTWY CIECZY MR
Do rozważań przyjęto zaprojektowaną do celów badań laboratoryjnych trójwarstwową
belkę o długości l = 400 mm i szerokości b = 30 mm. Schemat belki przedstawiono na rys. 1.
Zewnętrzne warstwy zostały wykonane z aluminium o grubości h1=2 mm, a przestrzeń
pomiędzy tymi warstwami o wysokości h2=2 mm wypełniona została cieczą MR.
a)
b)
Rys. 1. Budowa belki: a) przekrój wzdłużny, b) przekrój poprzeczny
Warstwa cieczy MR ulega odkształceniu podczas drgań belki. W przypadku małych drgań,
które są przedmiotem analizy w tej pracy, odkształcenia są małe i ulegają cyklicznym
zmianom. Dla dostatecznie małych amplitud ciecz MR umieszczona w belce jest w stanie
lepko-sprężystym.
Oszacowanie właściwości mechanicznych warstwy cieczy MR na podstawie znajomości
parametrów umieszczonych w niej cząstek ferromagnetycznych oraz na podstawie udziału
masowego lub objętościowego cząstek jest istotne z uwagi na dobór cieczy. Prace z tego
zakresu dotyczą przede wszystkim określenia modułu sztywności poprzecznej warstwy cieczy
MR, brak jest natomiast oszacowania współczynnika strat. Jest on na ogół wyznaczany na
podstawie pomiarów. Znajomość modułu sztywności oraz współczynnika strat jest punktem
wyjścia do zapisu zespolonego modułu sztywności poprzecznej. W pracy zaproponowano
sposób oceny wpływu koncentracji cząstek oraz rozkładu statystycznego ich rozmiarów na
współczynnik strat.
Do obliczeń wykorzystano model rozkładu cząstek ferromagnetycznych zaproponowany
w pracy [2]. Jest to model sieci regularnej przestrzennie centrowanej wykorzystywany często
w teorii ciała stałego do opisu budowy kryształów. Wybór takiego modelu przestrzennego
rozmieszczenia cząstek uzasadnia się minimalizacją energii potencjalnej układu cząstek, gdy
warstwa cieczy MR znajduje się w polu magnetycznym. Na podstawie rozważań
energetycznych wyznaczono również podstawowe wymiary opisujące komórkę elementarną
sieci. Schemat komórki z wymiarami przedstawiono na rys. 2.
2l
SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ… 219
l
3
l 3
Rys. 2. Schemat rozmieszczenia cząstek w komórce
Na podstawie zaproponowanego rozkładu cząstek można w prosty sposób wyznaczyć
istotne z praktycznego punktu widzenia zależności pomiędzy udziałem objętościowym,
udziałem masowym i gęstością cieczy MR z jednej strony a bezwymiarowym parametrem
β=l/R będącym ilorazem charakterystycznego wymiaru sieci l oraz średniego rozmiaru
cząstki R. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 1 zakładając gęstość cieczy (bez cząstek
ferromagnetycznych) ρc=1.1×103 kg/m3 oraz gęstość cząstek ferromagnetycznych
ρFe=7.1×103 kg/m3. Średni rozmiar cząstek w cieczach MR waha się w granicach 0.2-0.5 mm.
Można oszacować, że w warstwie MR znajduje się około 220 warstw o grubości jednej
komórki.
Tabela 1. Podstawowe parametry geometryczne i masowe cieczy MR
Bezwymiarowy parametr β
Udział objętościowy cząstek α
Udział masowy cząstek αm
1.5
1.25
1.2
20.7%
35.7%
40%
79.8%
83%
65%
3
2.48×10
Gęstość cieczy MR ρMR [kg/m ]
3
3.5×10
3
3.8×103
Cząstki ferromagnetyczne (karbonylek żelaza) są pod względem magnetycznym opisane
magnetycznym momentem dipolowym, który przy maksymalnym namagnesowaniu
przyjmuje wartość m»1.8´10-10 [Am2]. Wykorzystując wzór na siłę oddziaływania cząstek
o zadanych momentach dipolowych, w pracy [2], wyznaczono siłę oddziaływania między
warstwami cieczy a następnie naprężenie styczne t w warstwie przy jej odkształceniu
postaciowym g. Ostateczny wzór określający naprężenie ma postać:
t=
Q(a )
32
pm c M 2
3
1+ a 6
(
)
2
×g
(1)
gdzie:
t naprężenie styczne,
g odkształcenie postaciowe,
m c względna przenikalność magnetyczna cieczy w której rozmieszczone są cząstki,
a udział objętościowy cząstek magnetycznych w cieczy MR,
M namagnesowanie cząstek,
Q (a ) bezwymiarowa funkcja, zdefiniowana w pracy[2].
Wzór (1) jest podstawą do wyznaczenia części rzeczywistej GS zespolonego modułu
sztywności poprzecznej:
220
J. SNAMINA
GS =
Q(a )
32
pm c M 2
3
1+ a 6
(
(2)
)
2
Aby uzależnić moduł sztywności poprzecznej od natężenia pola magnetycznego, w którym
znajduje się warstwa MR, należy wykorzystać wzór (prawo Frölisch-Kennelly-ego):
M =
(m p - 1)M s H
M s + (m p - 1)H
(3)
m p względna przenikalność magnetyczna cząstek
H natężenie zewnętrznego pola magnetycznego
M s namagnesowanie nasycenia cząstek magnetycznych ( M s @ 1.6 × 10 6 A / m )
Wyniki obliczeń części rzeczywistej GS zespolonego modułu sztywności poprzecznej
w zależności od natężenia pola magnetycznego przedstawiono na rys. 3.
5
4
]
a
P
[
i
c
s
ot
s
y
z
e
pr
s
l
u
d
o
m
x 10
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
natezenie pola magnetycznego [A/m]
8
9
10
4
x 10
Rys. 3. Moduł sprężystości poprzecznej w funkcji natężenia pola magnetycznego
Część rzeczywista GS zespolonego modułu sztywności poprzecznej jest związana ze
zjawiskiem zamiany energii kinetycznej na energię potencjalną sprężystości. Zjawisko
rozpraszania energii mechanicznej w warstwie cieczy MR jest spowodowane tarciem lepkim
pomiędzy cząstkami i płynem (proporcjonalnym do amplitudy i częstości drgań) oraz tarciem
pomiędzy stykającymi się cząstkami (proporcjonalnym tylko do amplitudy). Podczas ruchu
harmonicznego ten drugi typ tarcia może być opisany przy wykorzystaniu części urojonej GL
zespolonego modułu sztywności poprzecznej. Rozważany typ tarcia dominuje podczas drgań
belki z warstwą cieczy MR. Wpływ tarcia lepkiego jest mały, ponieważ warstwa MR
odkształca się jako całość prawie bez prędkości względnej pomiędzy cząstkami i cieczą.
Można przyjąć, że część urojona GL zespolonego modułu sztywności poprzecznej jest
proporcjonalna do liczby cząstek będących w kontakcie ze sobą. Aby oszacować procentowy
udział tych cząstek, należy znać udział procentowy cząstek o różnych promieniach.
Przykładowy rozkład przedstawiono na rys.4.
SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ… 221
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
promien [mikron]
4
5
6
Rys. 4. Udział procentowy cząstek o różnych promieniach
Oznaczając przez p udział procentowy cząstek o promieniu większym lub równym od
charakterystycznej odległości dla struktury rozmieszczenia cząstek, oraz przyjmując, że
współczynnik strat jest proporcjonalny do udziału p, część urojoną GL zespolonego modułu
sztywności poprzecznej można zapisać jako G L = pkG S , gdzie k jest współczynnikiem
związanym z określeniem część urojonej GL zespolonego modułu sztywności poprzecznej
materiału ferromagnetycznego przed rozdrobnieniem.
3. DYSSYPACJA ENERGII Z WARSTWY CIECZY MR
Opis odkształceń warstw cieczy jest ściśle związany z przyjętymi hipotezami
dotyczącymi odkształceń całej belki, w tym również zewnętrznych warstw. Istotne są
założenia dotyczące sił oddziaływania pomiędzy warstwą cieczy MR a sprężystymi
warstwami zewnętrznymi układu kompozytowego. Wartość tej siły stanowi o stopniu
sprzężenia ruchu zewnętrznych warstw struktury z warstwą tłumiącą i ma wpływ na
złożoność modelu. Najczęściej przyjmuje się brak poślizgu pomiędzy warstwą cieczy MR
a zewnętrznymi warstwami, co jest związane z pełnym sprzężeniem ruchu warstw [3].
Przyjmując założenie wspólnego przemieszczenia wszystkich warstw w kierunku
prostopadłym do płaszczyzny belki, ruch belki można opisać funkcjami w(x,t) oraz θ(x,t).
Schematycznie przedstawiono to na rys. 5a.
a)
b)
Rys. 5. a) Współrzędne opisujące ruch belki, b) Odkształcenie elementów cieczy.
222
J. SNAMINA
Ścinanie elementów cieczy MR w czasie ruchu ma bardziej złożony charakter niż
w najczęściej spotykanych rozwiązaniach konstrukcyjnych tłumików MR. Odkształcenie
postaciowe jest tutaj wywołane zarówno przyrostem przemieszczeń wzdłużnych jak
i przyrostem przemieszczeń poprzecznych. Schemat odkształconego elementu warstwy MR
pokazano na rys. 5b.
Na podstawie przyjętych założeń można przeprowadzić analizę przemieszczeń
i odkształceń belki. Wzory określające odkształcenia elementów należących do
poszczególnych warstw mają postać:
─ odkształcenia górnej warstwy aluminiowej
e xx =
h2 + h1 ¶q
¶2w
- z1
2
¶x
¶x 2
(4)
h2 + h1 ¶q
¶2w
- z2
2
¶x
¶x 2
(5)
─ odkształcenia dolnej warstwy aluminiowej
e xx = -
─ odkształcenia warstwy cieczy MR
æ h ¶ 2 w h 2 + h1 ¶q
e xx = z × çç 1
2
h2
¶x
è h 2 ¶x
æh
öæ ¶w
ö
g xz = çç 1 + 1÷÷ç
- q ( x, t ) ÷.
ø
è h2
øè ¶x
ö
÷
÷
ø
(6)
Współrzędne z1, z2 oraz z są współrzędnymi Lagrange’a odpowiednio punktów górnej i dolnej
warstwy aluminiowej oraz punktów należących do warstwy MR.
Gęstość objętościową mocy średniej, otrzymanej w wyniku uśredniania mocy w jednym
okresie ruchu oscylacyjnego, można wyznaczyć biorąc za podstawę wzór określający pracę
sił wewnętrznych. Po wprowadzeniu związków określających przyrosty odkształceń i po
uśrednieniu otrzymujemy:
p(x , y , z ) =
1
T
T
æ
ò ççè s
0
x
¶g yz ö
¶g xy
¶e y
¶g
¶e x
¶e
÷dt
+ t xz xz + t yz
+ s z z + t xy
+ sy
¶t ÷ø
¶t
¶t
¶t
¶t
¶t
(7)
Ze względu na złożoność struktury belki z cieczą MR efektywne rozwiązania można
otrzymać tylko po dyskretyzacji układu. W pracy zastosowano metodę elementów
skończonych. Przyjęto do opisu ruchu belki jednowymiarowy element skończony o dwóch
węzłach i trzech stopniach swobody w każdym węźle [3]. Wektory przemieszczeń węzłowych
mają postać q w = [ w1 j1 w2 j 2 ]T oraz qq = [ q1 q 2 ]T . Przemieszczenia wewnątrz elementu
opisuje następujące równanie:
é we ù é N wT 0 ù éq w ù
ú
êq ú = ê
ú
T ê
ë e û ëê0 N q ûú ëqq û
(8)
Funkcje aproksymujące będące składowymi wektora Nw są wielomianami trzeciego
stopnia, a funkcje aproksymujące, będące składowymi wektora Nθ, są wielomianami
pierwszego stopnia. Szczegółowy opis wektorów funkcji aproksymujących podano w [3].
W ruchu oscylacyjnym belki wektory q w , qq
przemieszczeń węzłów zapisano,
~
~
wprowadzając wektory q w , qq zespolonych amplitud:
éq w ù éq~w ù iwt
ê ú = ê~ ú × e
ëqq û ëq q û
(9)
Amplitudy zespolone odkształceń elementów warstwy cieczy MR można wyznaczyć po
uwzględnieniu wprowadzonych wektorów amplitud zespolonych q~w , q~q w równaniach (6)
określających odkształcenia. Mają one postać:
SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ… 223
æ h d 2 N Tw ~
h + h1 dN qT ~ ö÷
e~xx = z × ç 1
qw - 2
qq
2
ç h2 dx
÷
h2
dx
è
ø
T
æ
ö
æh
ö dN w ~
~ ÷
g~xz = çç 1 + 1÷÷ × ç
q w - N qT q
q ÷
ç
h
d
x
è 2
ø è
ø
(10)
Amplitudy zespolone naprężeń stycznych w warstwie cieczy MR są iloczynem amplitudy
zespolonej odkształceń postaciowych oraz zespolonego modułu sztywności poprzecznej
G*=GS+iGL . Można wobec tego zapisać:
æh
ö æ dN Tw ~
~
t~xz = G * × çç 1 + 1÷÷ × ç
q w - N qT q
q
ç
è h2
ø è dx
ö
÷
÷
ø
(11)
Naprężenia s xx związane odkształceniami e xx są równe zero w związku z założeniem, że
warstwa cieczy MR pracuje tylko na ścinanie. Po uwzględnieniu wzorów określających
zespolone amplitudy odkształceń (10) i naprężeń (11) we wzorze (7) opisującym gęstość
objętościową mocy średniej można ostatecznie wyznaczyć dyssypację energii:
1
2
D = w g~xz G L
(12)
2
Wyniki obliczeń rozpraszania energii wzdłuż długości belki wspornikowej (lewy koniec belki
utwierdzony, prawy koniec swobodny) przedstawiono na rs. 6b. Równocześnie na rys. 6a
przedstawiono amplitudę przemieszczenia belki w funkcji współrzędnej. W obliczeniach
przyjęto wymuszenie sinusoidalnie zmienną siłą skupioną o amplitudzie 0.1 N
i częstotliwości 12 Hz. Siła działała na swobodny koniec belki w kierunku prostopadłym do
osi belki. Częstotliwość pierwszej formy drgań belki jest równa 12.6 Hz.
przemieszczenie [m]
0.008
0.006
0.004
0.002
gęstość mocy [W/m3]
0.000
0.0
0.1
0.2
współrzędna [m]
0.3
0.4
0.1
0.2
współrzędna [m]
0.3
0.4
120
80
40
0
0.0
Rys. 6. a) Przemieszczenie belki, b) Gęstość średniej mocy dyssypacji.
Z obliczeń wynika, że dla pierwszej formy drgań maksymalne rozpraszanie energii odbywa
się w przekroju o współrzędnej 0.12 m co stanowi 0.3 długości belki. Przekrój belki,
w którym zachodzi maksymalna dyssypacja energii nie pokrywa z przekrojem, w którym
występują maksymalne przemieszczenia.
224
J. SNAMINA
4. WNIOSKI
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można sformułować następujące, ogólne
wnioski:
· Prezentowany model pozwala opisać jakościowo zachowanie się warstwy cieczy MR
umieszczonej w belkach lub płytach warstwowych.
· Oszacowania ilościowe parametrów warstwy MR otrzymane na podstawie przyjętego
modelu powinny być sprawdzone doświadczalnie i ewentualnie skorygowane
dodatkowymi współczynnikami wyznaczonymi na podstawie pomiarów. Dotyczy to
zwłaszcza współczynnika strat obejmującego zjawiska, których mechanizmy są bardziej
złożone.
· Gęstość energii emitowanej z jednostki objętości zależy od położenia oraz jest
proporcjonalna do: części urojonej zespolonego modułu sztywności poprzecznej,
kwadratu kąta opisującego ścinanie elementów warstwy środkowej oraz parametrów
geometrycznych, w szczególności stosunku grubości warstwy zewnętrznej do grubości
warstwy MR.
Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N501 223337.
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
Ginder J.M. David L.C. B.: Shear Stress in Magnetorheological Fluids: Role of magnetic
saturation. “Applied Physics Letters” 65(26):2410-3412, 1994
Liu Lisheng, Ruan Zhongwei, Zhai Pengeheng, Zhang Qingjie: Shear stress in MR fluid
with small shear deformation in betlattic structure. “Journal of Wuhan University of
Technology” 532-535, Aug. 2008.
Sapiński B., Snamina J.: Modeling of an adaptive beam with MR fluid. “Solid State
Phenomena” Vols. 147−149, 831−838, 2009.
Sun Q., Zhou J. X., Zhang L.: An adaptive beam model and dynamic characteristics of
magnetorheological materials. ”Journal of Sound and Vibration” 261, 465−81, 2003.
Yalcinitas M., Dai H.: Vibration suppression capabilities of magneto-rheological
materials based adaptive structures. “Smart Materials and Structures" 3, 1−11,
2004.
SIMULATION OF ENERGY DISSIPATION IN THREE-LAYERED
BEAM WITH MR FLUID
Summary. In the work a three-layered beam incorporating a magnetorheological
(MR) fluid was considered. The beam consists of two outer layers made of
aluminium and a MR fluid layer placed in between. The estimation of complex shear
modulus was proposed based on body-centred-tetragonal model of distribution of
magnetic particles. Using finite element model the dissipation of energy along the
beam was determined. Results of calculations were presented in graphs.