Powtórka: grupa, pierścień i ciało DEFINICJA: (grupa) MGrupa to

Transkrypt

Wykład 2, str. 1
Powtórka: grupa, pierścień i ciało
DEFINICJA: (grupa)
M
Grupa to zbiór G z działaniem • na elementach o następujących własnościach:
• (łączność) dla każdych a, b, c ∈ G zachodzi (a • b) • c = a • (b • c)
• (el. neutralny) istnieje taki element e ∈ G, że dla każdego a ∈ G zachodzi e • a = a • e = a
• (odwrotność) dla każdego a ∈ G istnieje aR ∈ G taki, że
a • aR = aR • a = e
DEFINICJA: (grupa przemienna)
M
Grupa przemienna to taka grupa (G, •), której działanie dodatkowo spełnia
warunek:
• (przemienność) dla każdych a, b ∈ G zachodzi a • b = b • a
Wykład 2, str. 2
DEFINICJA: (pierścień)
M
Pierścień to zbiór P z dwoma działaniami ⊕ i ⊗ na elementach o
następujących własnościach:
• P z działaniem ⊕ jest grupą przemienną (z elementem neutralnym
0 i odwrotnością a → aR )
• dodatkowe działanie ⊗ jest łączne, czyli dla każdych a, b, c ∈ P zachodzi (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
• istnieje taki element 1 ∈ P , że dla każdego a ∈ P zachodzi
1⊗a=a⊗1=a
• (rozdzielność) dla każdych a, b, c ∈ P zachodzi
(a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c) oraz
c ⊗ (a ⊕ b) = (c ⊗ a) ⊕ (c ⊗ b)
DEFINICJA: (pierścień przemienny)
M
Pierścień przemienny to taki pierścień (P, ⊕, ⊗), w którym działanie ⊗
również jest przemienne: dla każdych a, b ∈ P zachodzi a ⊗ b = b ⊗ a
Wykład 2, str. 3
DEFINICJA: (ciało)
M
Ciało to pierścień przemienny (K, ⊕, ⊗) spełniający dodatkowy warunek:
• K bez elementu neutralnego dla działania ⊕ t.zn. K r {0} jest grupą
przemienną; czyli dla dowolnego a ∈ K r {0} ist. taki a−1 , że
a ⊗ a−1 = 1
Wykład 2, str. 4
DEFINICJA:
M
Przez homomorfizm grup (G, •G )
i (H, •H ) rozumiemy dowolną
funkcję f : G → H zachowującą
działanie grupowe, czyli taką, że
f (a •G b) = f (a) •H f (b)
G
H
a ..
b
..
..
.
......... .
... ..
... .
.....
....
....
..
..
•
❄G
c
f (a)
f (b)
f
.
..
.
.
.......... ..
... ..
... .
.....
....
....
..
..
H
.
•
❄
f (c)
dal dowolnych a, b ∈ G.
DEFINICJA:
M
Przez homomorfizm pierścieni (P, ⊕P , ⊗P ) i (R, ⊕R , ⊗R ) rozumiemy dowolną funkcję f : P → R zachowującą oba działania, czyli taką, że
f (a ⊕P b) = f (a) ⊕R f (b)
f (a ⊗P b) = f (a) ⊗R f (b)
dal dowolnych a, b ∈ P .
Wykład 2, str. 5
Liczby zespolone
Rozpatrzmy taki zbiór z działaniem +:
C def
— pary liczb rzeczywistych
= R×R
(x, y) + (z, w) def
= (x + z , y + w) — dodawanie po współrzędnych
Wykład 2, str. 5
Liczby zespolone
C def
= R×R
(x, y) + (z, w) def
(x, y)
▼
✒
(z, w)
Wykład 2, str. 5
Liczby zespolone
C def
= R×R
(x, y) + (z, w) def
(x, y) + (z, w)
✍
(x, y)
▼
✒
(z, w)
Wykład 2, str. 5
Liczby zespolone
C def
= R×R
(x, y) + (z, w) def
(x, y) + (z, w)
✍
(x, y)
▼
✒
(z, w)
— to jest grupa przemienna (patrz wykład 1, str. 12).
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
= (ace − bde − adf − bcf , acf − bdf + ade + bce)
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)
= (ace − adf − bcf − bde , acf + ade + bce − bdf )























to samo
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)























to samo
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)























to samo
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)
• przemienność:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd , ad + bc)
o
to samo























to samo
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)
• przemienność:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd , ad + bc)


(c, d) · (a, b) = (ca − db , cb + da) 
to samo























to samo
Wykład 2, str. 6
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• łączność:
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (ac − bd , ad + bc) · (e, f )
(a, b) · (c, d) · (e, f )
= (a, b) · (ce − df , cf + de)
• przemienność:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd , ad + bc)


(c, d) · (a, b) = (ca − db , cb + da) 
to samo























to samo
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• element neutralny: (1, 0)
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1)
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1) = (a, b)
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1) = (a, b)
• odwrotność:
czy dla każdego (a, b) 6= (0, 0)
istnieje taki (x, y), że (a, b) · (x, y) = (1, 0) ?
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1) = (a, b)
• odwrotność:
a2 + b2 6= 0
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1) = (a, b)
• odwrotność:
a2 + b2 6= 0
!
−b
a
, 2
(a, b) · 2
2
a + b a + b2
!
2
2
a
b
−ab
ba
= (1, 0)
=
+ 2
, 2
+ 2
2
2
2
2
2
a +b
a +b a +b
a +b
Wykład 2, str. 7
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0 , a · 0 + b · 1) = (a, b)
• odwrotność:
a2 + b2 6= 0
!
−b
a
, 2
(a, b) · 2
2
a + b a + b2
!
2
2
a
b
−ab
ba
=
+ 2
, 2
+ 2
= (1, 0)
2
2
2
2
2
a +b
a +b a +b
a +b
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )
)
to samo
• rozdzielność:
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• rozdzielność:



(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )


= (ae + ce − bf − df , af + cf + be + de)
to samo
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• rozdzielność:
(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )
(a, b) · (e, f ) + (c, d) · (e, f )
= (ae − bf , af + be) + (ce − df , cf + de)

















to samo
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• rozdzielność:
(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )
(a, b) · (e, f ) + (c, d) · (e, f )
= (ae − bf + ce − df , af + be + cf + de)





















to samo
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• rozdzielność:
(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )
(a, b) · (e, f ) + (c, d) · (e, f )





















to samo
Wykład 2, str. 8
Liczby zespolone
Mnożenie w C:
(x, y) · (z, w) def
= (x · z − y · w , x · w + y · z)
• rozdzielność:
(a, b) + (c, d) · (e, f )
= (a + c , b + d) · (e, f )
(a, b) · (e, f ) + (c, d) · (e, f )
Wniosek: (C, +, ·) jest ciałem





















to samo
Wykład 2, str. 9
Liczby zespolone C
Uwaga:
Wszystkie własności czterech działań (+, −, ·, /) znane dla R, takie jak









•
•
•
•
•
wzory skróconego mnożenia
wzór dwumianowy Newtona
wzór na sumę ciągu arytmetycznego
wzór na sumę ciągu geometrycznego
itp.
są prawdziwe dla każdego ciała, a więc i dla C.









Wykład 2, str. 10
Zanurzenie liczb rzeczywistych w zespolone
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Fakt: h jest homomorfizmem pierścieni
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0)
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0)
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
h(r1 · r2 ) = (r1 · r2 , 0)
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
h(r1 · r2 ) = (r1 · r2 , 0) = (r1 · r2 − 0 · 0 , r1 · 0 + 0 · r2 )
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
h(r1 · r2 ) = (r1 · r2 , 0) = (r1 · r2 − 0 · 0 , r1 · 0 + 0 · r2 )
= (r1 , 0) · (r2 , 0)
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
h(r1 · r2 ) = (r1 · r2 , 0) = (r1 · r2 − 0 · 0 , r1 · 0 + 0 · r2 )
= (r1 , 0) · (r2 , 0) = h(r1 ) · h(r2 )
Wykład 2, str. 10
h:R→C
h(r) def
= (r, 0)
Dowód:
h(r1 + r2 ) = (r1 + r2 , 0) = (r1 , 0) + (r2 , 0) = h(r1 ) + h(r2 )
h(r1 · r2 ) = (r1 · r2 , 0) = (r1 · r2 − 0 · 0 , r1 · 0 + 0 · r2 )
= (r1 , 0) · (r2 , 0) = h(r1 ) · h(r2 )
Wniosek: R można traktować jako podzbiór C
Wykład 2, str. 11
Wykład 2, str. 11
Wykład 2, str. 11
−4 −3 −2 −1
R
1
2
3
4
Wykład 2, str. 11
3i
2i
1i
−4 −3 −2 −1
R
1
−1i
−2i
−3i
2
3
4
Wykład 2, str. 11
3i
2i
1i
−4 −3 −2 −1
R
1
−1i
−2i
−3i
zamiast (1, 0) będziemy pisać 1
2
3
4
Wykład 2, str. 11
3i
2i
1i
−4 −3 −2 −1
R
1
2
3
4
−1i
−2i
−3i
zamiast (1, 0) będziemy pisać 1
zamiast (0, 1) będziemy pisać i
— od wł. immaginario (= urojony)
Wykład 2, str. 12
Skąd wzięły się liczby zespolone
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
— liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i części urojonej
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wniosek:
M
W ciele liczb zespolonych istnieją pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych.
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wniosek:
M
Pierwiastki z liczb ujemnych były potrzebne do rozwiązywania równań sześciennych ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Wykład 2, str. 12
o
a + bi a, b ∈ R
n
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wniosek:
M
Wzory Cardano wymagały przejścia przez pierwiastki z liczby ujemnej, nawet gdy ostateczne rozwiązania były rzeczywiste.
Cardano wprowadził liczbę urojoną i.
Wykład 2, str. 12
n
o
a + bi a, b ∈ R
C =
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1 , 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Wniosek:
M
Wzory Cardano wymagay przejścia przez pierwiastki z liczby ujemnej, nawet
gdy ostateczne rozwiązania były rzeczywiste.
Cardano wprowadził liczbę urojoną i.
Porządny opis algebraiczny podał Bombelli.
Wykład 2, str. 13
Girolamo Cardano
1501–1576
Rafael Bombelli
1526–1572
Wykład 2, str. 14
Jeszcze raz działania w C
Mnożenie:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
= ac + (ad + bc)i + bd(−1)
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
= ac + (ad + bc)i + bd(−1) = ac − bd + (ad + bc)i
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
Odwrotność (dla a + bi 6= 0):
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
(a + bi) · (a − bi) = a2 − abi + bai − b2 i2
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
= a2 − b2 (−1)
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
= a2 − b2 (−1) = a2 + b2
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
= a2 − b2 (−1) = a2 + b2
więc
a − bi
a2 + b2
(a + bi) · (a − bi)
(a + bi) · 2
= 2
=
= 1
2
2
2
2
a +b
a +b
a +b
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
= a2 − b2 (−1) = a2 + b2
więc
a − bi
(a + bi) · (a − bi)
a2 + b2
(a + bi) · 2
= 1
=
= 2
2
2
2
2
a +b
a +b
a +b
Wykład 2, str. 14
Mnożenie:
a − bi
1
= 2
a + bi
a + b2
ponieważ
= a2 − b2 (−1) = a2 + b2
więc
a − bi
(a + bi) · (a − bi)
a2 + b2
(a + bi) · 2
=
= 2
= 1
2
2
2
2
a +b
a +b
a +b
Wykład 2, str. 15
Działania pochodne w C
b
✯z
a
Wykład 2, str. 15
DEFINICJA: sprzężenie
b
M a + bi def
= a − bi
✯z
a
−b
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
DEFINICJA: moduł czyli wartość bezwzględna
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
|z |
✯z
a
−b
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
Dzielenie liczb zespolonych (dla c + di 6= 0):
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
c + di
(c + di) · (c − di)
|z |
✯z
a
−b
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
|z |
✯z
a
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
ac + bd − (ad − bc)i
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
|z |
a
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
Fakt:
• |z| = |−z| = |z|
• z · z = |z|2
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
✯z
• zz1 =
2
|z1 |
|z2 |
• |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
|z |
a
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
Fakt:
• |z| = |−z| = |z|
• z · z = |z|2
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
✯z
• zz1 =
2
|z1 |
|z2 |
• |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
|z |
a
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
Fakt:
• |z| = |−z| = |z|
• z · z = |z|2
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
✯z
• zz1 =
2
|z1 |
|z2 |
• |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
|z |
a
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
Fakt:
• |z| = |−z| = |z|
• z · z = |z|2
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
✯z
• zz1 =
2
|z1 |
|z2 |
• |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |
❥z
Wykład 2, str. 15
b
M a + bi def
= a − bi
|z |
a
√
def
M |a + bi| = a2 + b2
−b
a + bi
(a + bi) · (c − di)
=
=
c + di
(c + di) · (c − di)
c2 + d2
Fakt:
• |z| = |−z| = |z|
• z · z = |z|2
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
✯z
• zz1 =
2
|z1 |
|z2 |
• |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |
❥z
Wykład 2, str. 16
Zapis biegunowy liczb z C
i
−1
1
−i
Wykład 2, str. 16
z
z
i
.......
.....
...
...
..
−1
α
−i
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
z
i
z
|z|
.......
.....
...
...
..
−1
α
−i
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
= |z| · (cos α + i sin α)
z
i
z
sin α
|z|
.......
.....
...
...
..
−1
α
cos α
−i
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
= |z| · (cos(arg z) + i sin(arg z))
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
.......
.....
...
...
..
−1
α
cos α
−i
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
DEFINICJA: argument liczby zesp.
M
Argument liczby zespolonej z to kąt
między dodatnią półosią rzeczywistą a
promieniem wodzącym liczby z.
z
i
z
sin α
|z|
.......
.....
...
...
..
−1
α
cos α
−i
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
−1
.......
.....
...
...
...
α
cos α
M
−i
Liczbę zespoloną z 6= 0 można zapisać jednoznacznie w postaci
z = r · (cos α + i sin α) , gdzie r ∈ R, r > 0, 0 ¬ α < 2π.
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
−1
.......
.....
...
...
..
α
cos α
M
−i
[r, α] — współrzędne biegunowe liczby zespolonej
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
−1
.......
.....
...
...
...
α
cos α
M
−i
• biegunowe [r, α] odpowiada kartezjańskim r cos α + ir sin α
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
−1
.......
.....
...
...
..
.
α
cos α
M
−i
• kartezjańskie a + ib odpowiada biegunowemu [|a + ib| , arc tg ab ]
1
Wykład 2, str. 16
z
z = |z| ·
|z|
α = arg z
z
i
z
sin α
|z|
−1
.......
....
...
...
...
α
cos α
M
−i
• kartezjańskie a + ib odpowiada biegunowemu [|a + ib| , arc tg ab ]
1
KIEM
Ł
A
C
NIE
DA
W
A
PR
Wykład 2, str. 17
Interpretacja mnożenia w C
[r, α] · [s, β]
Wykład 2, str. 17
[r, α] · [s, β] = r(cos α + i sin α) · s(cos β + i sin β)
Wykład 2, str. 17
= rs · (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
Wykład 2, str. 17
= rs·
(cos α cos β − sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β))
Wykład 2, str. 17
= rs·
= rs · (cos(α + β) + i sin(α + β))
Wykład 2, str. 17
= rs·
= rs · (cos(α + β) + i sin(α + β))
= [rs , α + β]
Wykład 2, str. 17
= rs·
= rs · (cos(α + β) + i sin(α + β))
= [rs , α + β]
Moduły się mnożą,
argumenty się dodają.
Wykład 2, str. 17
= rs·
= rs · (cos(α + β) + i sin(α + β))
= [rs , α + β]
Liczby na rysunku −→
mają moduł 1.
z2
z1
arg z2
..............
.........
......
.....
....
....
...
...
...
..
..
...
...
...
...
...
..
.
arg z1
Wykład 2, str. 17
= rs·
= rs · (cos(α + β) + i sin(α + β))
= [rs , α + β]
z2
z1 · z2
arg z1
Liczby na rysunku −→
mają moduł 1.
z1
...................................
arg z2
..............
.........
......
.....
....
....
...
...
...
..
..
...
...
...
...
...
..
.
arg z1
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
Policzyć iloczyn (1 + 3i) · (2 3 + 2i) .
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
√
√
(1 + 3i) · (2 3 + 2i)
◦
◦
= [2, 60 ] · [4, 30 ]
= [8, 90◦ ]
= 8 cos 90◦ + 8 sin 90◦ i
◦
— bo 2 sin 60 =
√
3 i 4 sin 30◦ = 2
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
√
√
(1 + 3i) · (2 3 + 2i)
◦
◦
= [2, 60 ] · [4, 30 ]
= [8, 90◦ ]
= 8 cos 90◦ + 8 sin 90◦ i
◦
— bo 2 sin 60 =
√
3 i 4 sin 30◦ = 2
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
√
√
(1 + 3i) · (2 3 + 2i)
◦
◦
= [2, 60 ] · [4, 30 ]
= [8, 90◦ ]
= 8 cos 90◦ + 8 sin 90◦ i
◦
— bo 2 sin 60 =
√
3 i 4 sin 30◦ = 2
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
√
√
(1 + 3i) · (2 3 + 2i)
◦
◦
= [2, 60 ] · [4, 30 ]
= [8, 90◦ ]
= 8 cos 90◦ + 8 sin 90◦ i
◦
— bo 2 sin 60 =
√
3 i 4 sin 30◦ = 2
Wykład 2, str. 18
Przykład:
√
√
M
√
√
(1 + 3i) · (2 3 + 2i)
◦
◦
= [2, 60 ] · [4, 30 ]
√
— bo 2 sin 60 = 3 i 4 sin 30◦ = 2
◦
= [8, 90◦ ]
= 8 cos 90◦ + 8 sin 90◦ i
= 8i
— bo cos 90◦ = 0 i sin 90◦ = 1

Powtórka: grupa, pierścień i ciało DEFINICJA: (grupa) MGrupa to

Transkrypt

Podobne dokumenty

Conference location map

Wykład 6 Ciało liczb zespolonych Rozważmy równanie x2 +

pl - Instytut Matematyki UŚ

Ćwiczenia otwierające „W Literlandii”

Bibliografia