BO_lista_1

Badania
Lista zadań nr 1
Operacyjne
Programowanie
liniowe - metoda
graficzna, zagadnienie
dualne, wrażliwość
rozwiązania
dr Adam SOJDA
Słowa kluczowe:
• program liniowy, zagadnienie dualne, twierdzenie o komplementarności
• Solver ®
Wiadomości wstępne:
prosta, półpłaszczyzna, układ
równań,
formuły w arkuszu
kalkulacyjnym Excel
ZADANIE 1.1. ✍ 💻
Rozwiązać następujące programy liniowe wykorzystując metodę graficzną oraz
twierdzenie o komplementarności rozwiązań programu pierwotnego i dualnego. f .c.( x1 , x2 ) = 5x1 + 7x2 → max
f .c.( x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + 7x2 + 3x3 → max
⎧2x1 + 8x2 ≤ 32
⎪
a) ⎨9x1 + 3x2 ≤ 36
⎪−x + 7x ≤ 0
2
⎩ 1
b)
x1 , x2 ≥ 0
⎧2x1 + 8x2 + 2x3 ≤ 64
⎨
⎩9x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 72
x1 , x2 , x3 ≥ 0
dla przykładu a), c), e) sprawdzić, czy rozwiązanie
dopuszczalne, niedopuszczalne.
f .c.( x1 , x2 ) = 3x1 + 4x2 → min
⎧2x1 + 9x2 ≥ 36
⎪
c) ⎨8x1 + 3x2 ≥ 48
⎪ x − 6x ≥ 0
2
⎩ 1
( x1, x2 ) = (3, 3)
jest optymalne,
f .c.( x1 , x2 , x3 ) = 6x1 + 12x2 + 3x3 → min
⎧2x1 + 8x2 + 2x3 ≥ 256
⎪
d) ⎨9x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 360
⎪−x + 7x + 2x ≥ 0
2
3
⎩ 1
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
f .c.( x1 , x2 ) = 5x1 + 7x2 → max
Warunki zaliczenia:
umiejętność formułowania
programów liniowych,
interpretacji wyników, analizy
wrażliwości rozwiązania,
⎧5x1 + 7x2 ≤ 35
⎪
e) ⎨9x1 + 3x2 ≤ 42
⎪−x + 8x ≤ 0
2
⎩ 1
x1 , x2 ≥ 0
Zadanie 1.2. ✍ 💻
Rozwiązanie
Program pierwotny
x1=30, x2=30; f.c.=1 800
Należy produkować po 30
jednostek każdego wyrobu,
maksymalny zysk to 1 800.
Program dualny:
y1=3,75, y2=0, y3=5
Zadanie 1.2.
Wyroby
W1
W2
Limit
zużycia
surowca
Zużycie surowca na
jednostkę wyrobu
S1
S2
12
4
8
8
Zysk
jednostkowy
50
10
Przedsiębiorstwo produkuje
480
640
dwa wyroby: W1 i W2. Do ich
produkcji zużywa się m.in. dwa
limitowane surowce: S1 i S2. Zużycie tych surowców na jednostkę wyrobów,
dopuszczalne limity zużycia surowców oraz zyski jednostkowe ze sprzedaży podaje
tabela (zadanie 1.2). Ile należy wyprodukować wyrobu W1, a ile W2, aby nie
przekraczając limitów zużycia surowców zmaksymalizować zysk ze sprzedaży wyrobów? Ponadto, uwzględnić warunek, że wyrobu W1 powinno się produkować
nie więcej niż wyrobu W2. Dodatkowo, zapisać program dualny, i znaleźć jego
rozwiązanie. Podać interpretację zmiennych dualnych. Zbadać wrażliwość
rozwiązania dla różnych współczynników zysku jednostkowego.
Zadanie 1.3. ✍
Rozwiązanie
i. Nie - (S3 za dużo)
ii. P1 - 4 kg, P2=4 kg iii. koszt 48 zł iv. S2 - 50 jednostek
v. Program dualny:
f .cd ( y1 , y2 , y3 , y4 ) =
Racjonalna hodowla drobiu wymaga dostarczenia miesięcznie każdej sztuce
trzech składników odżywczych: S1 – co najmniej 28 jedn., S2 – co najmniej 50 jedn.,
S3 – co najwyżej 60 jedn., zawartych w dwóch paszach P1 i P2. Dane zawiera tabela
(tabela 1.3). Wiedząc, że paszy P1 należy dostarczyć nie więcej niż paszy P2
odpowiedz na następujące pytania i polecenia:
i. Czy kupując po 8 kg każdej z pasz można wykarmić drób zgodnie z zasadami. ii. Ile kupić paszy P1, a ile P2, aby dostarczyć potrzebne składniki odżywcze po
możliwie najniższych kosztach wyżywienia?
28y1 + 50y2 − 60y3 + 0y4 → max
⎧2y1 + 10y2 − 5y3 − y4 ≤ 3
⎨
⎩ 7y1 + 2,5y2 − 4y3 + y4 ≤ 9
tabela 1.3.
Pasze
y1 , y2 , y3 , y4 ≥ 0
P1
P2
Zawartość składnika w 1 kg paszy
S1
S2
S3
Ceny pasz
zł
2
7
10
2,5
5
4
3
9
iii. Ile wynosi minimalny koszt wyżywienia?
iv. Który składnik odżywczy dostarczony będzie w minimalnej ilości?
v. Zapisz program dualny. Zadanie 1.4. ✍
Rozwiązanie:
Odpad 195 kg, 25 razy I sposobem, 150 razy III sposobem,
Dualny:
y1 = 0,1, y2 = 0,15
Punkt usługowy dostał zamówienie
na wycięcie szyb do 300 jednakowych okien.
Na jedno okno wychodzą 2 szyby e1 oraz 3
szyby e2. Szyby wycina się z jednakowych
płyt szklanych i można to wykonać tylko
trzema sposobami. Ilość szyb i odpad
powstały w procesie wycinania przedstawia
tabela 1.4. Ustalić produkcję szyb w punkcie
minimalizującą powstały odpad.
tabela 1.4.
Szyby typu
Sposób cięcia
I
II
III
e1
6
4
3
e2
0
4
6
Odpad ( w kg )
0,6
1,6
1,2
Zadanie 1.5. ✍ 💻
Przedsiębiorstwo przewozowe ‘ STAR ‘ zajmuje się dostarczaniem lodów do
sklepów. Dane dotyczące kosztów przewozu jednostki z magazynu do sklepu oraz
wielkości zapasów i zapotrzebowania zamieszczono w tabeli. Wykonaj następujące
polecenia: 1) zapisz program liniowy pozwalający określić plan przewozu minimalizujący koszty,
2) wyznacz rozwiązanie początkowe za pomocą metody kata północno-zachodniego
i określ koszt transportu,
3) za pomocą metody minimalnego elementu macierzy kosztów wyznacz
rozwiązanie początkowe i określ koszt transportu,
4) za pomocą Solver® znajdź rozwiązanie optymalne i określ o ile % rozwiązania
wyznaczane za pomocą metod 2,3,4 są „droższe”.
Zadanie 1.5.
Magazyn
Sklep
S1
S2
S3
S4
S5
Zapas w magazynie
M1
M2
M3
M4
150
145
79
120
156
450
170
130
155
145
176
750
135
120
175
150
160
600
120
145
180
110
155
550
Zapotrzebowanie
w sklepie
850
350
500
1000
350
-
Zadanie 1.6. ✍ 💻
Zakład otworzył nowy oddział, na którym zainstalowano dwie nowoczesne
obrabiarki. Na każdej z nich można wykonywać kilka różnych prac. Zakład produkuje
elementy do silników różnych typów. Postanowiono, że na nowym oddziale będą
produkowane tylko trzy typy. Zakład pracuje 16 godzin i obrabiarki mogą pracować
przez całą zmianę bez potrzeby zatrzymywania się. Zdolności produkcyjne, koszty
wytworzenia, cenę zbytu oraz wielkości zamówień podaje tabela. Zapisać program
liniowy maksymalizujący zysk zakładu. Za pomocą Solver®’a znajdź rozwiązanie
optymalne.
Zadanie 1.6.
Obrabiarka
Zużycie czasu pracy w min.
na jedną sztukę
Jednostkowy koszt
produkcji jednego wirnika
T1
T2
T3
T1
T2
T3
1
6
8
11
10
15
20
2
13
16
20
8
12
17
Zamówienie
35
30
15
-
-
-
Cena 1 szt.
50
60
70
-
-
-
Zadanie 1.7. ✍ 💻
A (0,75)
B(0,80)
C(43,64;43,64)
D(42,86;42,86)
f.c.≈192,87
Zakład produkuje wieszaki typu standard i super. Do ich produkcji używa
trzech surowców. Surowice S1 i S2 są limitowane i ich zasoby wynoszą
odpowiednio: 150 jednostek, 120 jednostek. Surowca S3 jest w zakładzie w
nadmiarze i trzeba go zużyć co najmniej 150 jednostek. Koszt produkcji wieszaka
standard to 1.50 zł, wieszaka super to 3.00 zł. Tabela podaje zużycie jednostek
surowca na jednostkę wyrobu. Zapisać program liniowy minimalizujący koszty
wytworzenia wieszaków, przy założeniu, że wieszaków standard należy
wyprodukować nie więcej niż wieszaków super. Zapisać program dualny i znaleźć
jego rozwiązanie. Wyniki sprawdzić za pomocą Solver’a.
Zadanie 1.7.
Rodzaj
wieszaka
Badania Operacyjne
dr Adam SOJDA
Zużycie surowca na jednostkę wyrobu
S1
S2
S3
Standard
0,5
1,25
1,5
Super
0,75
1,5
2
LISTA I
Strona 3 z 3