PRM. Liczby niewymierne, MZP. - Romuald Kędzierski
Transkrypt
PRM. Liczby niewymierne, MZP. - Romuald Kędzierski
Liczby rzeczywiste Temat: Liczby niewymierne Nauczyciel: dr inż. Romuald Kędzierski Jaki zbiór liczb nazywamy liczbami niewymiernymi? Tego typu liczby odkryli Pitagorejczycy w związku z twierdzeniem Pitagorasa. (VI wiek p.n.e.) Założenie: Dany jest trójkąt prostokątny, w którym długość każdej z przyprostokątnych wynosi 1 Ile wynosi długość przeciwprostokątnej c? ok. 572 p.n.e – ok. 497 p.n.e Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że: Problem: Czy liczba Załóżmy, że liczba ta jest wymierna jest liczbą wymierną? Można ją przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych n i m (m≠0) Nieskracalnych! Jedna z liczb m, n musi być nieparzysta! Po podniesieniu obustronnie do kwadratu: Liczba po lewej stronie jest parzystą, dlatego taką liczbą jest też liczba po stronie prawej! Kwadrat każdej liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą. Z kolei kwadrat każdej liczby parzystej jest liczbą parzystą. Zatem liczba n jest liczbą parzystą! Oznacza to, że istnieje taka liczba naturalna k, że zachodzi: Stąd: Liczba po prawej stronie jest parzystą, dlatego taką liczbą jest też liczba po stronie lewej! Wniosek: Zatem również liczba m musi być liczbą parzystą! Przy założeniu, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną, doszliśmy do wniosku, że liczby m i n muszą być liczbami parzystymi. Skoro liczby m i n miały być nieskracalne, to obie nie mogą być liczbami parzystymi, gdyż można byłoby je skrócić przez 2! Wychodząc z założenia, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną doszliśmy do sprzeczności! Zatem przyjęte założenie jest nieprawdziwe! Liczba NIE jest liczbą wymierną! Jest zatem liczbą niewymierną! Uwaga: Tego typu dowód nosi nazwę dowodu nie wprost. (łac. reductio ad absurdum) (sprowadzenie do sprzeczności) a. Suma (różnica) liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną b. Iloczyn liczby wymiernej (≠0) i niewymiernej jest liczbą niewymierną Definicje Zbiorem liczb niewymiernych nazywamy wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi. Zbiór tych liczb oznacza się symbolami: lub Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy wszystkie liczby, które są liczbami wymiernymi lub niewymiernymi. Zbiór tych liczb oznacza się symbolem: Schematyczne przedstawienie zbioru liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Liczby wymierne Liczby niewymierne Liczby całkowite Liczby naturalne Jeśli matematyka jest królową nauk, to … królową matematyki jest… teoria liczb. Carl Friedrich Gauss