cz. 2

Transkrypt

cz. 2

$QDOL]D HIHNW\ZQRĞFL REOLF]HQLRZHM RSFML QD SU]\NáDG]LH PRGHOX
149
Wykres 5
5yĪQLFH
SRPLĊG]\
WHRUHW\F]Q\PL
FHQDPL
RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą
%6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
RUD] %6/H GOD RSFML 270$70 L ,70
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
LĊG cenami opcji kupna
na w modelach
modelach
BS
BS Le
BS i BS Le S0 55, K 60, r 0,05 dla t
4.
10 6
2.
10 6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0, 1
0,05
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
G]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD
QLFD SRPLĊG]\
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
modela
elach
6
Czas do wykupu t
BS i BS Le S0 60, K 60, r 0,05 dla t 0, 1
5yĪQLFD SRPLĊG]\
BS
,05
BS Le
4.
10 6
2.
10 6
6
Le
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0,05
6
0
2.
10 6
4.
10 6
0,2
6
0.0
0.2
0.4
0.6
0,5
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
modelach
BS i BS Le S0 65, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
6
2. 10
0,05
6
10 6
BS
6
6
0
5yĪQLFD
SRPLĊG]\
2.
10 6
6
10 6
6
Li
4.
modelach
0,5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH
,05
6
ZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0,2
Li
BS Le
Le
6
6
G]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
QLFD SRPLĊG]\
modelach
6
Li
6
modelach
6
6
6
6
Li
Li
6
Li
5yĪQLFD SRPLĊG]\
6
6
6
6
6
6
6
6
6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
5yĪQLFD SRPLĊG]\
150SRPLĊG]\
5yĪQLFD
dr Arkadiusz Orzechowski
5yĪQLFD SRPLĊG]\
Wykres 6
5yĪQLFH
SRPLĊG]\ WHRUHW\F]Q\PL FHQDPL RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą
%6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD
RUD] %6/L GOD RSFML 270$70 L ,70
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
modelach
BS
HZáDVQH
4.
10 6
2.
10 6
0, 1
0,05
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Li
BS Li
BS i BS Li S0 55, K 60, r 0,05 dla t
1.0
LĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w
modelach
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
Czas do wykupu t
6
dla t SRPLĊG]\
0, 1
BS i BS Li S0 60, K 60, r 0,05
5yĪQLFD
6
BS
,05
BS Li
6
6
6
4.
10 6
2.
10 6
6
Li
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0,05
0
6
0,2
2.
10 6
6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
modelach
BS i BS Li S0 65, K 60, r 0,05 dla t
6
BS Li
6
6
BS
Li
6
4.
10 6
2.
10 6
0,05
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
Czas do wykupu t
ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH
HZáDVQH
ϭϬ
0, 1
ϭϬ
0.8
ϭϬ
1.0
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
151
Wykres 7
RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS
oraz BS-Au dla opcji OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG cenami opcji kupna
na w modelach
od ch
BS
BS Au
BS i BS Au S0 55, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
od ch
BS
BS Au
BS i BS Au S0 60, K 60, r 0,05 dla t
4.
10 6
2.
10 6
0, 1
0,05
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
na w modelach
od ch
BS
BS Au
BS i BS Au S0 65, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
ħródáo: opracowanie wáasne.
UwaĪna analiza wykresów 1–7 pozwala stwierdziü, Īe we wszystkich modelach
opartych na transformacie Fouriera, wraz z przybliĪaniem siĊ do momentu wygaĞniĊcia opcji, funkcja podcaákowa zaczyna gwaátownie oscylowaü. W konsekwencji, numeryczne wyznaczenie odwrotnej transformacji Fouriera staje siĊ káopotliwe.
Na szczególną uwagĊ zasáuguje spostrzeĪenie, zgodnie z którym w modelach
BS-CM Į = 1 i BS-A rejestrowane zakáócenia zaczynają siĊ pojawiaü stosunkowo
152
wczeĞnie przed koĔcem „Īycia” kontraktów. W pierwszym przypadku dotyczy to
przede wszystkim opcji bĊdących OTM, w drugim zaĞ ITM. Pozostaáe podejĞcia
wydają siĊ ze sobą porównywalne. BS-BM okazuje siĊ najlepszy dla opcji OTM
i ITM, podczas gdy BS-B, BS-Le, BS-Li i BS-Au generują mniejszy báąd wyceny,
gdy cena wykonania jest niĪsza od kursu rynkowego aktywów bazowego. Biorąc
jednak pod uwagĊ wszystkie uwzglĊdnione relacje pomiĊdzy cenami aktywów
bazowych a ceną wykonania opcji, naleĪy stwierdziü, Īe pod wzglĊdem dokáadnoĞci obliczeniowej najlepszym modelem jest BS-Au.
Podsumowanie
W niniejszym artykule prezentowane są najwaĪniejsze modele wyceny opcji
bazujące na transformacie Fouriera oraz dokonywana jest analiza ich efektywnoĞci pod wzglĊdem zarówno szybkoĞci, jak i dokáadnoĞci obliczeniowej. Ponadto,
autor proponuje podejĞcie, które wydaje siĊ stanowiü interesującą alternatywĊ
w stosunku do istniejących juĪ koncepcji. Uzasadnienie takiego stwierdzenia jest
rezultatem wyników wykonanych eksperymentów, które wskazują na:
• zbliĪoną szybkoĞü obliczeniową modelu BS-Au w stosunku do podejĞü BS-BM,
BS-B, BS-Le i BS-Li;
• wiĊkszą dokáadnoĞü obliczeniową modelu BS-Au w relacji do pozostaáych
metod okreĞlania wartoĞci teoretycznych kontraktów bazujących na prawach
pochodnych, przy czym stwierdzenie to jest prawdziwe, gdy poszczególne
relacje pomiĊdzy cenami aktywów bazowych a ceną wykonania opcji rozpatrywane są áącznie.
Pomimo Īe podejĞcie BS-Au charakteryzuje siĊ najwiĊkszą efektywnoĞcią pod
wzglĊdem szybkoĞci i dokáadnoĞci obliczeniowej, to nie moĪna pominąü tego,
Īe wniosek ten jest formuáowany przy zaáoĪeniu prawdziwoĞci zaáoĪeĔ F. Blacka
i M. Scholesa. Inną kwestią jest wybór najlepszego podejĞcia w modelach, w których transformata Fouriera znajduje swoje podstawowe zastosowanie, tj. modelach
typu affine, np. modelu S. Hestona. Analiza z tym związana wymaga rozbudowy
przeprowadzanych badaĔ.
Bibliografia
Attari, M., Option Pricing Using Fourier Transform: A Numerically Efficient Simplification, 2004, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=520042 (data
dostĊpu 29.08.2016).
Bakshi, G., Madan, D., Spanning and derivative – security valuation, „Journal of Financial Economics” 2000, nr 55.
Ball, C., Roma, A., Stochastic volatility option pricing, „Journal of Financial and Quantitative Analysis” 1994, nr 29.
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
153
Barndorff-Nielsen, O., Processes of normal inverse Gaussian type, „Finance and Stochastics” 1998, nr 2.
Bates, D., Maximum Likelihood Estimation of Latent Affine Processes, „Review of
Financial Studies” 2006, nr 19.
Black, F., Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities, „The Journal
of Political Economy” 1973, nr 81.
Carr, P., Geman, H., Madan, D., Yor, M., The fine structure of asset returns: an empirical investigation, „Journal of Business” 2002, nr 75.
Carr, P., Madan, D., Option Valuation Using the Fast Fourier Transform, „Journal of
Computational Finance” 1999, nr 2(4).
Cont, R., Volatility clustering in financial markets: empirical facts and agent based
models, in: G. Teyssiere, A. Kirman, Long memory in economics, Springer 2007.
Fama, E., French, K., Common risk factors in the returns on stock and bonds, „Journal
of Financial Economics” 1993, nr 33.
Fleming, J., Kirby, C., Long memory in volatility and trading volume, „Journal of
Banking and Finance” 2011, nr 35.
Hagan, P., Kumar, S., Lesniewski, A., Woodward, D., „Managing smile risk, Wilmott
Magazine” z 26 lipca 2002.
Heston, S., A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, „The Review of Financial Studies” 1993, nr 6.
Hull, J., White, A., The pricing of options on assets with stochastic volatilities, „The
Journal of Finance” 1987, nr 42.
Jondeau, E., Rockinger, M., Testing for differences in the tails of stock-market returns,
„Journal of Empirical Finance” 2003, nr 10.
Kou, S., Jump-diffusion model for option pricing, Columbia University Working Paper
2002.
Lewis, A., A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and other Exponential
Levy Processes, 2001, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=282110
(data dostĊpu 29.08.2016).
Lipton, A., The Vol Smile Problem, „Risk” 2002, February.
Lux, T., Marchesi, M., Volatility clustering in financial markets: a micro-simulation
of interacting agents, „International Journal of Theoretical and Applied Finance”
2000, nr 3(4).
Madan, D., Carr, P., Chang, E., The variance gamma process and option pricing,
„European Finance Review” 1998, nr 2.
Mandelbrot, B., The variation of certain speculative prices, „Journal of Business” 1963,
nr 36.
Orzechowski, A., Czy moĪna wyceniü opcje lepiej niĪ w modelu P. Carra i D. Madana?
Przegląd modeli opartych na transformacie Fouriera, Studia Ekonomiczne nr 182,
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach, Katowice 2014.
Stein, E., Stein, J., Stock price distributions with stochastic volatility: an analytic approach, „The Review of Financial Studies” 1991, nr 4.
Sáowa kluczowe: wycena opcji, model Blacka–Scholesa, transformata Fouriera
154
Computational efficiency of option pricing
in the Black–Scholes model
Summary
The article presents the most important option pricing models based on Fourier
transform. Additionally, alternative model of European option pricing to the previously
developed concepts is derived. Then all models are compared in terms of computational speed and accuracy. Based on obtained results it can be concluded that the new
model is the best way of option pricing.
Keywords: option pricing, Black–Scholes model, Fourier transform

cz. 2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Szanowni Państwo

Model Blacka-Scholesa Założenia

Przykładowy program zajęć w opcji zakwaterowanie u rodziny

Linia programowa Redakcji

Barcelona

RPM 70992 Przyrząd do ustawiania kąta kół w modelach offroad

Ściągnij PDF - SandenVendo