Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną.

Ćwiczenie M-12
Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą
dynamiczną.
I. Cel ćwiczenia: pomiar współczynnika sztywności dla stali metodą drgań skrętnych.
II. Przyrządy:
dwa krążki metalowe, statyw, drut stalowy, stoper, suwmiarka, śruba mikrometryczna, waga.
III. Literatura:
1. J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna, WUŁ Łódź 1998.
IV. Wstęp
Rozpatrzmy „skręcanie” bryły w kształcie walca, zachodzące pod wpływem sił stycznych do
obwodu (rys 1).
Siły takie działają m. in. na śrubokręty, wiertła, wały napędowe, a także cienkie nici w galwanometrach zwierciadlanych i wagach skręceń.
O′
F
dx
A
F
x
ϕ
dθ
A′
r
β
l
Rys.1 Skręcenie walca pod wpływem
sił stycznych do obwodu.
O
Naszym celem jest znalezienie współczynnika (modułu) sztywności materiału – ilościowej
charakterystyki podatności na skręcenie. Jedna z podstaw walca przedstawionego na rys. 1 jest
unieruchomiona, druga pod wpływem działających sił uległa obrotowi o kąt ϕ, a elementarny ”prostopadłościan” wybrany do rozważań uległ odkształceniu do formy równoległościanu. Zauważmy,
1
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-12
że długość łuku AA’ pozwala związać ze sobą kąt obrotu podstawy ϕ oraz kąt β, o jaki obróciła się
krawędź prostopadłościanu:
xϕ
AA ′ = xϕ = lβ
skąd
β=
(1)
l
Załóżmy, że kąt obrotu krawędzi jest proporcjonalny do naprężenia stycznego f:
β=
1
f
G
⇒ f =
Gxϕ
l
(2)
Współczynnik G nazywamy modułem sztywności. Na element powierzchni dS działa siła dF:
dF = fdS =
Gϕx 2dxdθ
l
(3)
ponieważ dS = xdθdx.
Element dS odległy jest o x od osi obrotu, więc moment siły dM wyraża się wzorem:
Gϕx 3
dM = xdF =
dxdθ
(4)
l
Całkowity moment siły M znajdziemy, całkując wyrażenie (4) ze względu na x i kąt θ:
r
2π
Gϕ 3
πGr 4ϕ
M=
x
dx
d
θ
=
= Dϕ
∫0
l ∫0
2l
(5)
πGr 4
, równe liczbowo momentowi siły powodującemu obrót o kąt jednostkowy, bę2l
dziemy nazywać momentem kierującym.
gdzie D =
V. Metoda pomiaru
Równanie (5) wskazuje na możliwość pomiaru współczynnika sztywności przez doświadczalne znalezienie zależności pomiędzy przyłożonym momentem sił i kątem skręcenia ϕ. Taka metoda
pomiaru nosi nazwę metody statycznej; w ćwiczeniu zastosujemy jednak inną metodę – nazywaną
dynamiczną – nie wymagającą znajomości momentu siły M.
Użyjemy krążka zawieszonego na sprężystym drucie w roli wahadła torsyjnego (rys.2). Przy
obrocie o kąt ϕ pojawia się moment sił sprężystości, skierowany przeciwnie do momentu sił zewnętrznych (wzór (5)) i do kąta ϕ, mającego zwrot prędkości kątowej nadanej krążkowi przy obrocie:
M = − Dϕ
(6)
d 2ϕ
d 2ϕ
,
gdzie
I
oznacza
moment
bezwładności
krążka,
a
dt 2
dt 2
drugą pochodną kąta obrotu względem czasu (tzn. przyspieszenie kątowe), ostatnie równanie można zapisać w postaci:
d 2ϕ D
+ ϕ=0
(7)
dt 2
I
w której rozpoznajemy równanie ruchu harmonicznego o częstości kołowej ω:
d 2ϕ
+ ω2ϕ = 0
(8)
2
dt
gdzie:
Po wykorzystaniu związku M = I
2
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-12
ω2 =
4π 2 D
=
T2
I
⇒
T = 2π
I
D
(9)
2r1
2r2
dodatkowy krążek
b)
a)
Rys.2 a) Układ doświadczalny do wyznaczania modułu sztywności drutu, b) dodatkowy
krążek mocowany do podstawowego krążka wahadła.
Ponieważ nie znamy ani momentu bezwładności wahadła I, ani momentu kierującego D, niezbędne jest dodatkowe równanie, wiążące obie te wielkości – otrzymamy je, dołączając do wahadła
dodatkowy krążek (rys.2), którego moment bezwładności I1 można łatwo obliczyć. Okres drgań
wyniesie wówczas:
I + I1
(10)
T1 = 2π
D
Podnosimy do kwadratu obie strony równań (9) i (10):
I
I + I1
T 2 = 4π 2
T12 = 4π 2
(11)
D
D
Odejmujemy te równania (11) stronami:
I
T12 − T 2 = 4π2 1
(12)
D
Z równania (12) można znaleźć moment kierujący:
4π 2 I
D = 2 12
(13)
T1 − T
oraz, na podstawie zależności (5), w której zdefiniowano moment kierujący, moduł sztywności
wyniesie:
2Dl
8πlI
G= 4 = 4 2 1 2
(14)
πr
r T1 − T
Moment bezwładności dodatkowej bryły, którą jest wydrążony walec o promieniach r1 i r2
oraz masie m, wyraża się wzorem:
m r12 + r22
I1 =
(15)
2
(
(
)
)
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-12
VI. Pomiary
1. Wyznaczyć kilkakrotnie średnicę drutu 2r za pomocą śruby mikrometrycznej. Obliczyć wartość
średnią promienia drutu r .
2. Wyznaczyć kilkakrotnie długość drutu l za pomocą miarki milimetrowej. Obliczyć wartość średnią l .
3. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę zewnętrzną 2r1 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.
Obliczyć wartość średnią promienia r1 .
4. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę wewnętrzną 2r2 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.
Obliczyć wartość średnią promienia r2 .
5. Wyznaczyć masę m krążka dodatkowego.
6. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła nieobciążonego dodatkowym krążkiem i na tej
podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T .
7. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła obciążonego dodatkowym krążkiem i na tej
podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T1 .
Wyniki pomiarów można zebrać w tabelach 1 i 2.
Uwaga : Drgania są mało tłumione i można wyznaczyć ich okres przy użyciu stopera. Zaznaczamy
na stole laboratoryjnym położenie znaczka na krążku (podłużna kreska wzdłuż promienia)
i skręcamy krążek o dość duży kąt. Liczymy przejścia znaczka przez położenie równowagi. Przy pierwszym przejściu liczymy „zero”.
Tabela 1
Lp
2r
r
l
l
2r1
r1
2r2
r2
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
1
2
…
Tabela 2
lp.
drgania wahadła drgania wahadła masa krążka
podstawowego
z dodatkowym dodatkowego
krążkiem
t′20 [s]
m [g]
t20 [s]
T1 [s]
T [s]
1
2
…
VII. Opracowanie wyników
1. Obliczyć moment bezwładności I1 krążka dodatkowego wg wzoru (15).
2. Obliczyć współczynnik sztywności G wg wzoru (14).
3. Niepewność ∆G współczynnika sztywności obliczyć metodą różniczki zupełnej:
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-12
2
2
2
 ∆l   ∆I 
 ∆r 
∆G = ± G   +  1  + 16  + 4 T12 + T 2
 l   I1 
 r 
(
 ∆T 
 2

2 
 T1 − T 
)
2
gdzie ∆l, ∆r, ∆T są niepewnościami pomiarowymi odpowiednio długości drutu, jego promienia i
okresu drgań.
Niepewność pomiarową momentu bezwładności ∆I1 można oszacować metodą różniczki zupełnej:
 ∆m
(r + r )∆r 
∆I1 = ± I1 
+ 2 1 2 2 2 
r1 + r2 
 m
Założyliśmy tutaj, że ∆r1 = ∆r2 = ∆r.
4. Porównać otrzymaną wartość doświadczalną z wartością tablicową.
5
I PRACOWNIA FIZYCZNA