Elementy teorii produkcji *** II. Neoklasyczna teoria przedsi¦biorstwa
Transkrypt
Elementy teorii produkcji *** II. Neoklasyczna teoria przedsi¦biorstwa
*** Elementy teorii produkcji *** II. Neoklasyczna teoria przedsi¦biorstwa Zaªo»enia dotycz¡ce dziaªalno±ci przedsi¦biorstwa w warunkach konkurencji doskonaªej:. (1) Przedsi¦biorstwo wytwarza jeden produkt, zu»ywaj¡c k czynników produkcji. (2) Proces produkcji opisuje skalarna funkcja produkcji f : Rk+ → R+, z ci¡gªymi pochodnymi cz¡stkowymi do drugiego rz¦du wª¡cznie, rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze, silnie wkl¦sªa i dodatnio jednorodna stopnia 0 < θ < 1. (3) Przedsi¦biorstwo nie ma bezpo±redniego wpªywu na cen¦ wytwarzanego produktu ani na poziom cen czynników produkcji. (4) Rynek towarów jest chªonny i nie ma trudno±ci ze zbytem wytwarzanych produktów. (5) Celem przedsi¦biorstwa jest maksymalizacja zysku lub minimalizacja kosztów produkcji. Problem maksymalizacji zysku: Ile i jakie czynniki produkcji (praca, kapitaª, itp.) nale»y zaanga»owa¢, aby wytworzy¢ tak¡ ilo±¢ produktu, »e ró»nica mi¦dzy jego warto±ci¡ i kosztem zaanga»owanych czynników produkcji jest maksymalna. II.1. Przedsi¦biorstwo w warukach konkurencji doskonaªej - strategia dªugookresowa. Przykªad (jednoargumentowa funkcja produkcji y = f (x) Zaªo»enia: na rynku ustaliªa si¦: cena wytwarzanego produktu p > 0 cena zu»ywanego czynnika produkcji v > 0 Zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa ma posta¢: π(x) = {pf (x) − vx : x > 0} → max. Zadanie maksymalizacji si¦biorstwa (Z1) zysku przed- π(x) = {pf (x) − hv, xi : x > 0} → max Oznaczenia: p cena wytwarzanego produktu; f (x) ilo±¢ wytwarzanego produktu ( w jednostkach zycznych); v wektor cen czynników produkcji; x wektor nakªadów czynników produkcji (w jednostkach zycznych) Tw. 1. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze, silnie wkl¦sªa oraz cena produktu p > 0 i wektor cen czynników produkcji v > 0 speªniaj¡ warunki ∂f (x) ∂f (x) lim p < vi < lim p , i = 1, . . . , k, + xi→+∞ ∂xi ∂x xi→0 i to (1) Zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie optymalne x̄, dla którego π(x̄) > 0, (2) warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wektor x̄ > 0 byª rozwi¡zaniem optymalnym tego zadania jest speªnienie ukªadu równa«: p Def.1. ∂f (x) |x=x̄ = vi, ∂xi i = 1, . . . , k. Funkcj¡ popytu na czynniki prok , dukcji nazywamy funkcj¦ ξ : intRk+1 → int R + + która ka»dej parze (p, v) przyporz¡dkowuje jej rozwi¡zanie optymalne x̄ = ξ(p, v) zadania maksymalizacji zysku. Tw. 2. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja popytu na czynniki produkcji v̄ = ξ(p, v) jest: (1) ci¡gªa i ró»niczkowalna na intRk+1 + , (2) dodatnio jednorodna stopnia zero, tzn. ξ(p, v) = ξ(λp, λv) = x̄ Funkcj¡ poda»y produktu nazywamy funkcj¦ η : Rk+1 → R+ tak¡, »e + Def.2. ȳ = f (ξ(p, v)) = η(p, v). Tw. 3. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja poda»y produktu ȳ = η(p, v) jest: (1) ci¡gªa i ró»niczkowalna na intRk+1 + , (2) dodatnio jednorodna stopnia zero, tzn. η(p, v) = η(λp, λv) = ȳ Def.3. Funkcj¡ zysku nazywamy funkcj¦ π : Rk+1 → R+ która ka»dej cenie produktu p i wek+ torowi cen czynników produkcji v = (v1, . . . , vk ) przyporz¡dkowuje zysk π(p, v) = pη(p, v) − hv, xi = pf (x̄) − hv, x̄i. Tw. 4. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeru- j¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja zysku π(p, v) jest: (1) rosn¡ca wzgl¦dem ceny produktu p; (2) malej¡ca wzgl. cen czynników produkcji v; (3) dodatnio jednorodna st. 1 wzgl. (p, v); (4) wkl¦sªa wzgl¦dem (p, v); (5) ci¡gªa i ró»niczkowalna wzgl¦dem (p, v). Zadanie (Z2) minimalizacji h(v, x)i → min; kosztów produkcji f (x) = y = const > 0, x>0 Tw. 5. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to wektor czynników produkcji x̃ > 0 jest rozwi¡zaniem optymalnym zadania minimalizacji kosztów produkcji ⇔ gdy istnieje taka liczba λ̃ > 0, »e para (x̃, λ̃) speªnia ukªad k + 1 równa« speªnienie ukªadu równa«: p ∂f (x) |x=x̃ = λ̃vi, ∂xi i = 1, . . . , k. f (x̃) = y. Def.4. Funkcj¡ warunkowego popytu na czynniki produkcji nazywamy funkcj¦ k , ϕ : Rk+1 → R + + która ka»dej parze (v, y) przyporz¡dkowuje rozwi¡zanie optymalne zadania (Z2) minimalizacji kosztów, tzn. x̃ = ϕ(v, y). Def.5. Funkcj¡ kosztów produkcji nazywamy funkcj¦ c : Rk+1 → R+ , + postaci c(v, y) = hv, ϕ(v, y)i, która ka»dej parze (v, y) > 0 przyporz¡dkowuje minimalny koszt wytworzenia produkcji na poziomie y . Tw. 6. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji c(v, y) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci: (1) c(v, 0) = 0; (2) jest ci¡gªa na Rk+; (3) dla ka»dego v > 0 jest rosn¡ca wzgl¦dem y; (4) jest rosn¡ca i dodatnio jednorodna st. 1 wzgl. v; (5) jest wypukªa wzgl¦dem v. Przy ustalonych cenach czynników produkcji funkcja kosztów c(v, y) jest funkcj¡ tylko jednej zmiennej y. Tw. 7. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja kosztów c(y) jest ci¡gªa i silnie wypukªa. Tw. 8. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa i dodatnio jednorodna stopnia θ > 0, to funkcja kosztów c(y) i funkcja warunkowego popytu na czynniki produkcji ϕ(y) speªniaj¡ warunki: c(y) = 1 y θ c(1), ϕ(y) = 1 y θ ϕ(1), gdzie c(1) oznacza minimalny koszt wytworzenia jednostki produkcji, a ϕ(1) = (ϕ1(1), . . . , ϕk (1)) odpowiadaj¡cy mu wektor warunkowego popytu na czynniki produkcji. Zadanie maksymalizacji zysku (Z3) π(y) = {py − c(y)} → max, y > 0. Tw. 9. Je»eli funkcja kosztów c(y) jest rosn¡ca, ró»niczkowalna i silnie wypukªa oraz dc(y) dc(y) < p < lim , y→0 dy y→+∞ dy lim to (1) zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa (Z3) ma dodatnie rozwi¡zanie optymalne ȳ > 0, (2) warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby ȳ > 0 byªo rozwi¡zaniem optymalnym zadania (Z3) jest speªnienie równania: dc(y p |y = ȳ = p. dy Tw. 10. Zadanie maksymalizacji zysku (Z1) ma rozwi¡zanie optymalne x̄ wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie maksymalizacji zysku (Z3) ma rozwi¡zanie ȳ = f (x̄).