III INFORMATYKA - Metody numeryczne Lista 4

III INFORMATYKA - Metody numeryczne
Lista 4
1. Wyznaczy¢ wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla nast¦puj¡cych danych:
(a)
x
f(x)
2
11
0
7
3
28
(b)
x
f(x)
-2
0
0
1
1
-1
(c)
x
f(x)
-1
-1
0
3
2
11
3
27
2. Wiadomo, »e wielomian
w(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1)
intepoluje funkcj¦ f (x), przyjmuj¡c¡ w w¦zªach x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1,
x3 = 2 warto±ci
f (x0 ) = 2, f (x1 ) = 1, f (x2 ) = 2, f (x3 ) = −7
Przez dodanie do wielomianu w(x) jednego skªadnika znale¹¢ wielomian
interpoluj¡cy funkcj¦ f w powy»szych czterech w¦zªach i dodatkowym
w¦¹le x4 = 3, w którym f (x4 ) = 10.
3. Funkcj¦ f (x) = ex−1 interpolujemy za pomoc¡ wielomianu interpolacyjnego w12 (x) (stopnia 12) u»ywaj¡¢ 13 w¦zªów z przedziaªu [−1, 1].
Oszacowa¢ |f (x) − w12 (x)| na przedziale [−1, 1].
√
4. Obliczy¢ warto±c 117 za pomoca
odpowiedniego wielomianu interpola√
cyjnegoo stopnia 2 dla funkcji x i w¦zªów interpolacji x0 = 100, x1 = 121,
x2 = 144. Oszacowa¢ bª¡d przybli»enia.
5. Dla funkcji f (x) = ex , x ∈ [0, 1] i wezªów równoodlegªych znale¹¢ stopie«
wielomanu interpolacyjnego Lagrange'a tak, aby bª¡d interpolacji byª mniejszy
od 0.1, 0.01, 0.001.
6. Rówananie x − 9−x = 0 ma rozwi¡zanie w przedziale [0, 1]. Znale¹¢ wielomian interpoluj¡cy funkcj¦
f (x) = x − 9−x
w w¦zªach x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1. Zero tego wielomianu przyj¡¢ jako
przybli»enie rozwi¡zania powy»szego równania.
7. Stosuj¡c algorytm Neville'a obliczy¢ warto±c funkcji interpolowanej f dla
argument x = 4 maj¡c dane:
1
x
f(x)
-2
-25
-1
3
0
1
1
-1
2
27
3
235
8. Znale¹¢ naturalny splajn P (x) stopnia 3, który przechodzi przez zadane
cztery punkty (−3, 2), (−2, 0), (1, 3), (4, 1).
9. Sprawd¹, czy poni»sza funkcja jest kwadratow¡ funkcj¡ sklejan¡

x ∈ (−∞, 1]
x
f (x) = − 12 (2 − x)2 + 32 x ∈ [1, 2]
3
x ∈ [2, ∞)
2
10. Okre±l warto±ci a, b i c tak, aby otrzyma¢ funkcj¦ sklejan¡ stopnia 3 z
w¦zªami 0, 1, 2:
½
3 + x − 9x2
x ∈ [0, 1]
f (x) =
a + b(x − 1) + c(x − 1)2 + d(x − 1)3 x ∈ [1, 2]
2