Analiza nieliniowa

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
1

8.
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8.1. Wprowadzenie
Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien.
Przyczyny nieliniowości:
1) geometryczne:
•
wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej
Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej:
δ
P
δ
P l3
zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to
3 EI
można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W
rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc
mamy do czynienia z układem nieliniowym).
•
wynikające z uwzględnienia deformacji:
=
1
ij = u i , j u j , i 
2
u u

i ,k
j ,k

(8.1)
efekt duzych deformacji
2) fizyczne – ze względu na przyjęty materiał.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
2
W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy:
σ
ε
W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal:
σ
ε
ε≈0
stal w temp. ok. 300oC
T>0
ε
czy też beton:
σ
mikrorysy
ε
odciążenia nie są
po tej samej
ścieżce
makrorysy w wyniku
dalszych obciążeń
odciążenia
3) uwzględnienie tarcia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
3
4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład:
P
P
δ0
P
δ0
δ
Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej
nieliniowości.
8.2. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych
Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych)
Układ równań nieliniowych algebraicznych
k d  d = p
(8.2)
Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy
[
2−x 12
1− x 1
x2
][ ] [ ]
x1
4
=

2
x2
(8.3)
Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie)
K =K oK NL
gdzie
(8.4)
K NL−macierz nieliniowa , geometryczna
[
] [ ]
EA 1 −1 P 0 1

L −1 1
A 1 0
Zmiana energii sprężystej na kroku
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(8.5)
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
U =∫∫
L A
[
oa
∫
o
]
 d  dAdL=E o∫∫ a dAdx
L A
4
E
∫∫ 2 dAdx
2 L A a
(8.6)
gdzie
a =
du 1

dx 2
 
2
dv
d2v
−y
dx
dx
(8.7)
jest odkształceniem na kroku
Po podstawieniu
U =E o A∫
L
[
du 1

dx 2
 ]
dv
dx
2
[
   ]
  
2
2
2
E
du
d2 v
du du
A dv
dx ∫ A
I
A

2
2 L
dx
dx dx
4 dx
dx


0
0
∫  d =∫ E  d =
E 2
2
4
dx
(8.8)
(8.9)
gdzie
=
1
 u u j ,i ui , k u j , k 
2 i, j
(8.10)
Aproksymacja
u=a 0a 1 x
(8.11)
v=b0b1 xb 2 x 2b3 x 3
(8.12)
 
u= 1−

v= 1−
 
x
x
u 1 u 2
l
l
 
(8.13)
 

3 x2 2 x3
3 x2 2 x3
−2 x 2
x3
−x 2 x 3

v

−
v

x


 2 2
1
2
1
2
3
2
3
2
l
l
l
l
l
l
l
l
(8.14)
U możemy wyrazić jako funkcję przyrostów przemieszczeń
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
5
d T =[u 1 , v 1 , 1 , u 2 , v 2 ,2 ,]
(8.15)
Przyrostowa macierz sztywności
K I  d = f
(8.16)
Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru
K I =K 0K P 
AE
AE
K 1
K2
2
3
(8.17)
następnie wyznaczamy d 1
K d =0 d = p
dla obliczonego d 1 obliczamy
(8.18)
d
K d 1  d =  p
(8.19)
Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem
d 2=d 1 d
(8.20)
i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń d 2 . Następnie obliczamy
d
K d 2  d =  p
(8.21)
Pełna metoda Newtona – tok obliczeń pokazano poniżej
Obliczamy przemieszczenia
d 1 dla macierzy sztywności
K d =0
K d =0 d 1 =  p
następnie obliczamy macierz sztywności dla
(8.22)
d 1 i obliczamy przemieszczenia  d 2
K d 1  d 2=−r 1
(8.23)
d 1 d 2=d 2
(8.24)
dodajemy przemieszczenia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
6
dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy  d 3
K d 2  d 3=−r 2
(8.25)
∣∣r i∣∣
(8.26)
Kończymy iterację gdy:
Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia
przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z
poprzedniego kroku.
K d 0  d 1  d =−r 1
(8.27)
Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się.
K d 0  d 1 d 2  d =−r 2
(8.28)
W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i
geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K
charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika
proporcjonalności przejmuje macierz sztywności
q=K −1 Q
(8.29)
Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz
sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu
Q= f q
(8.30)
zatem jest różna dla poszczególnych punktów
8.3. Przyczyny nieliniowości
Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np.
beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami  a odkształcenia  . Jest to nieliniowość,
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
7
którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo
zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności.
Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy
odkształceniami  i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach
pomiędzy odkształceniami  a naprężeniami  . Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej.
Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy
budowaniu równań równowagi.
Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić
ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi.
Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z
materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć
także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w
konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd
też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego
podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu.
8.4. Rozwiązanie
W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy
znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie
wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych
algorytmów obliczeniowych.
Równanie równowagi można zapisać w postaci:
K q q=Q
(8.31)
W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem
układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w
zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się
zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i
w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne
przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w
zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne.
8.5. Sposoby rozwiązywania
8.5.1. Metoda przyrostowa
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8
Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością
Q= f q
(8.32)
w zakresie obciążenia (0,Q)
Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że
obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost  Qi
oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń  qi . Jako punkt startu przyjmujemy wartość Q 0
dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się
liniowo, czyli macierz sztywności K 0 ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej.
Zaletami metody są:
➔
➔
możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej
sztywności),
pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu
Wady:
➔
duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu)
➔
trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności
➔
brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza
➔
trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem źle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu
punktów krytycznych
8.5.2. Metoda iteracyjna
Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność
obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR).
Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy
pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co
powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w
danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli
zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy
kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością.
Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności KL równej macierzy sztywności
traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
9
Zalety tej metody:
➔
➔
większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej,
duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej
możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń.
Wady:
➔
➔
➔
brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z
warunków),
niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem),
brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych
wartościach
8.5.3. Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration)
Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych.
K d d = p
K d  d =  p
(8.33)
K d 0  d 1  d =−R1
(8.34)
K d 0  d 1  d 2 d =−R 2
(8.35)
Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca . Oszacowanie
błędu:
∥r∥
(8.36)
∥ d i∥

∥d∥
(8.37)
Przyjąć można np. normę euklidesową:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
 ∑ R 
i
2
i
10
- suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach
(8.38)
8.5.4. Metoda Newtona-Raphsona
λp
k=1 2 3 4
i+1
4
Ri
1
Δ λp
Ri
i
di
Δ d i+1
d i+1
d
W metodzie Newtona-Raphsona szybciej uzyskuje się wiekszą dokładność.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater