Mathcad - stat_1

Polecenie
Określić wartość obciążenia krytycznego metodą wartości własnych macierzy sztywności ustroju jak na
rysunku.
1. Numeracja węzłów, elementów, określenie aktywnych stopni swobody
•
Wektor aktywnych stopni swobody
 φ1 
u 
2
q= 
 φ3 
 
 φ4 
2. Określenie rozkładu sił normalnych
3. Modele matematyczne elementów w ich lokalnych układach współrzędnych
Element nr 1
Q1 = KE ⋅ q 1
1
 M1 

M 
 2
Q1 = 
ϕ
 1 −1  q =  1 
 1
ϕ 
 −1 1 
 2
KE = S ⋅ 
1
Element nr 2
Q2 = K2⋅ q2
 12

E⋅ I2  6 ⋅ l 2
KE =
⋅
2
3 −12
l2 

 6 ⋅ l2
 V1 
 
 M1 
Q2 = 

 V2 
M 
 2
K2 = KE + KG
2
2
6 ⋅ l2
−12
6 ⋅ l2


2
2
4 ⋅ l 2 −6 ⋅ l 2 2 ⋅ l 2 

−6 ⋅ l 2 12 −6 ⋅ l 2

2
2
2 ⋅ l 2 −6 ⋅ l 2 4 ⋅ l 2 
 a

N  b⋅ l2
KG = ⋅ 
2
l 2 −a


 b⋅ l2
b⋅ l2
−a
 v1 
 
 ϕ1 
q2 =  
 v2 
ϕ 
 2
b⋅ l2


2
2
c⋅ l 2 −b ⋅ l 2 d ⋅ l 2 

−b ⋅ l 2 a
−b ⋅ l 2

2
2
d ⋅ l 2 −b ⋅ l 2 c⋅ l 2 
Element nr 3
Q3 = K3⋅ q3
 12

E⋅ I3  6 ⋅ l 3
KE =
⋅
3
3 −12
l3 

 6 ⋅ l3
 V1 
 
 M1 
Q3 = 

 V2 
M 
 2
K3 = KE + KG.3
3
3
6 ⋅ l3
−12
6 ⋅ l3


2
2
4 ⋅ l 3 −6 ⋅ l 3 2 ⋅ l 3 

−6 ⋅ l 3 12 −6 ⋅ l 3

2
2
2 ⋅ l 3 −6 ⋅ l 3 4 ⋅ l 3 
 a

N  b⋅ l3
KG = ⋅ 
3
l 3 −a


 b⋅ l3
b⋅ l3
−a
 u1 
 
 ϕ1 
q3 =  
 u2 
ϕ 
 2
b⋅ l3


2
2
c⋅ l 3 −b ⋅ l 3 d ⋅ l 3 

−b ⋅ l 3 a
−b ⋅ l 3

2
2
d ⋅ l 3 −b ⋅ l 3 c⋅ l 3 
4. Transformacja modeli elementów do globalnego układu współrzędnych (GUW)
Ze względu na:
• wykorzystanie w analizie elementów belkowych,
• odpowiednie usytuowanie elementów względem globalnego układu współrzędnych - osie elementów
mają takie same kierunki oraz zwroty jak osie globalnego układu współrzędnych (numeracja węzłów
narasta zgodnie z kierunkami osi globalnego układu współrzędnych),
nie ma konieczności przeprowadzać transformacji modeli elementów z lokalnych układów współrzędnych
do globalnego układu współrzędnych. Przy zachowaniu powyższych prawidłowości modele matematyczne
w obydwu rodzajach układów mają taką samą postać.
5. Tworzenie globalnej macierzy sztywności wg procedury składania po elementach
•
Tworzenie macierzy zgodności przemieszczeń z uwzględnieniem warunków brzegowych
•
Macierz zgodności przemieszczeń elementu nr 1
q 1 = a1 ⋅ q
 φ1 
 
 ϕ1   0 0 0 0   u 2 
=
⋅
 ϕ2   1 0 0 0   φ3 
 
 φ4 
•
0 0 0 0 

1 0 0 0 
a1 = 
Macierz zgodności przemieszczeń elementu nr 2
q 2 = a2 ⋅ q
 v1 
 
 ϕ1 
 
 v2 
ϕ 
 2
•
 0
1
=
0
0

0 0 0   φ1 
 
0 0 0   u2 
⋅
1 0 0   φ3 
 
0 1 0  φ4
 
 0
1
a2 = 
0
0

0 0 0
 0
0
a3 = 
0
0

1 0 0

0 0 0
1 0 0

0 1 0
Macierz zgodności przemieszczeń elementu nr 3
q 3 = a3 ⋅ q
 v1 
 
 ϕ1 
 
 v2 
ϕ 
 2
 0
0
=
0
0

1 0 0   φ1 
 
0 1 0   u2 
⋅
0 0 0   φ3 
 
0 0 1  φ4
 

0 1 0
0 0 0

0 0 1
•
Globalna macierz sztywności
3
KE =
∑
i =1
3
KG =
∑
i=1
( )
4 ⋅ E⋅ I2
6 ⋅ E⋅ I2
2 ⋅ E⋅ I2


−
0 
S +
l2
2
l2

l2



 − 6 ⋅ E⋅ I2 12⋅ E⋅ I2 + 12⋅ E⋅ I3 6 ⋅ E⋅ I3 − 6 ⋅ E⋅ I2 6⋅ E⋅ I3 

2
3
3
2
2
2 
l2
l2
l3
l3
l2
l3


KE →
 2 ⋅ E⋅ I2
6 ⋅ E⋅ I3 6 ⋅ E⋅ I2
4 ⋅ E⋅ I2
4 ⋅ E⋅ I3 2 ⋅ E⋅ I3 
−
+


l2
2
2
l2
l3
l3

l3
l2



6 ⋅ E⋅ I3
2 ⋅ E⋅ I3
4 ⋅ E⋅ I3


0

2
l3
l3 
l3


( )
−N2⋅ b
N2⋅ d ⋅ l 2
0 
 N2⋅ c⋅ l2


N 2⋅ a
N 3⋅ a


−N 2⋅ b
+
N 3⋅ b − N 2⋅ b
N3⋅ b


l2
l3
KG →


 N2⋅ d ⋅ l2 N3⋅ b − N2⋅ b N2⋅ c⋅ l2 + N3⋅ c⋅ l3 N3⋅ d⋅ l3 
 0
N3⋅ b
N3⋅ d ⋅ l 3
N3⋅ c⋅ l 3 

a T ⋅ K ⋅ a 
E
i
i
i

a T ⋅ K ⋅ a 
G
i
i
i

6. Określenie wartości obciążenia krytycznego
Kryterium utraty stateczności wg metody wartości własnych macierzy sztywności
det
KE + λ⋅ KG( N0) = 0
Współczynniki macierzy sztywności geometrycznej
a =
−6
b =
5
−1
c =
10
−2
d =
15
Dane do obliczeń
Moduł sprężystości
E = 21000
kN
2
cm
Długość prętów
l 3 = 400 cm
Momenty bezwładności przekrojów
Sztywność węzła podatnego
Obciążenie
P = 300 kN
Stan sił normalnych w elementach
l 2 = 400 cm
4
4
I2 = 5000 cm
I3 = 2500 cm
6 kN ⋅ cm
S = 5⋅ 10
P3 = P
N 3 = P3
rad
P2 = P
N 2 = P2 + P3
1
30
det
KE + λ⋅ KG( N0) = 0
 213.3073 


22.28508 

→
 47.40657 
 5.032277 


Wartość obciążenia krytycznego
Pcr = P⋅ λ
Pcr = 1510 kN
Wartości sił krytycznych w elementach
Ncr.2 = 2Pcr
Ncr.2 = 3019 kN
Ncr.3 = Pcr
Ncr.3 = 1510 kN
λ = 5.032277