interpolacja anomalii rudzkiego anomaliami faye`a

INTERPOLACJA ANOMALII RUDZKIEGO
ANOMALIAMI FAYE’A
Mgr inż. Anna Woś-Sosińska
Opiekun naukowy:
Katedra Geodezji
Prof. dr hab. Marcin Barlik
Wydział Budownictwa Wodnego i Inżynierii Środowiska
Politechnika Warszawska
Politechnika Gdańska
1. STRESZCZENIE
Anomalię przyspieszenia siły ciężkości wyraża się jako różnicę zredukowanej wartości
przyspieszenia na geoidzie i normalnej wartości przyspieszenia odniesionego do sferoidy
normalnej. W pracy porównano dwie anomalie grawimetryczne i zbadano możliwość ich
interpolacji. W procesie pozyskiwania danych, a także w procesie tworzenia
i poszukiwania
wielomianu interpolacyjnego, wykorzystano numeryczny model terenu.
Badania przeprowadzono w terenie górzystym ze względu na duże zmiany w wartościach
wyznaczonych anomalii.
2. WSTĘP
Grawimetria
zajmuje
się
pomiarami
przyspieszenia
ziemskiego.
Pomiary
przyśpieszenia siły ciężkości wykonuje się głównie na powierzchni Ziemi, także ponad lub
pod powierzchnią Ziemi, lecz są to pomiary o specjalnym charakterze. Wyniki pomiarów
grawimetrycznych naziemnych, zanim zostaną wykorzystane do rozwiązywania różnych
zadań geodezji fizycznej, muszą zostać zredukowane na odpowiednią powierzchnię
odniesienia. Dopiero po tym zabiegu mogą być ze sobą bezpośrednio porównywalne.
Wprowadzenie redukcji grawimetrycznej zmienia pomierzoną wartość przyspieszenia na
fizycznej powierzchni Ziemi w taki sposób, aby otrzymana wartość odpowiadała innemu
punktowi, położonemu na linii pionu stanowiska pomiarowego. Nową powierzchnię poziomą
utworzoną w ten sposób nazywa się co-geoidą, inaczej geoidą zregularyzowaną. Posiada ona
potencjał W0 równy potencjałowi geoidy.
Anomalią grawimetryczną, inaczej anomalią siły ciężkości, nazywamy różnicę między
wartością siły ciężkości wyznaczoną doświadczalnie w danym miejscu powierzchni Ziemi– g,
a odpowiadającą jej wartością teoretyczną, normalną siłą ciężkości, obliczoną dla przyjętej
elipsoidy ziemskiej . Znajomość rozkładu anomalii grawimetrycznych na powierzchni Ziemi
ma istotne znaczenie dla prac związanych z badaniem figury Ziemi.
Ag  g 0   0  g  R g   0
(1)
Poniżej przedstawiono badania nad możliwością interpolowania anomalii Rudzkiego
anomaliami Faye’a w terenie górzystym, w okolicach Grybowa. Ze względu na duże rożnice
wysokości stanowisk można zaobserwować wyraźne zmiany w wartościach anomalii.
Doświadczenia nad praktycznym wykorzystaniem redukcji Rudzkiego wskazują, że anomalie
Rudzkiego na ogół nie różnią się dużo od anomalii Faye'a. Stąd też można wnioskować, że
przesunięcie mas redukcją Faye'a nie powoduje dużej deformacji geoidy. Proces obliczania
anomalii Rudzkiego jest skomplikowany i pracochłonny, ale daje bardzo dokładne wyniki,
natomiast anomalie Faye’a dają możliwość szybkiego określenia figury Ziemi.
3. REDUKCJE GRAWIMETRYCZNE UŻYTE W ROZWIĄZANIU PROBLEMU
3.1 Poprawka terenowa
Z reguły pierwszą w kolejności „redukcją”, jaką wprowadza się do pomierzonego
przyśpieszenia siły ciężkości, jest tzw. poprawka terenowa. Zadaniem poprawki terenowej
jest wyeliminowanie z pomierzonej wartości przyspieszenia siły ciężkości wpływu mas
topograficznych w taki sposób, aby poprawiona wartość przyśpieszenia odnosiła się do terenu
płaskiego.
P
Rys. 1. Poprawka terenowa ( wg [3]).
Rysunek pokazuje, że zarówno nadmiar masy (powyżej stanowiska pomiarowego),
jak i niedobór (poniżej) oznacza zmniejszenie wartości pomierzonego przyśpieszenia siły
ciężkości, więc znak poprawki terenowej będzie w obu przypadkach dodatni.
Aby wyrazić analitycznie wartość poprawki terenowej, dzielimy otoczenie stanowiska
P szeregiem współśrodkowych walców z osią w punkcie P oraz pękiem płaszczyzn
normalnych, zaś przez punkt P prowadzimy płaszczyznę poziomą. Jej wartość obliczamy
poprzez sumowanie (całkowanie numeryczne) przyciągania segmentów wyciętych z zespołu
koncentrycznych walców. Każdy z segmentów charakteryzuje się kątem sektorowym
 promieniami zewnętrznym ri+1 i wewnętrznym ri, wysokością średnią H.
Rys. 2. Graficzny sposób obliczania poprawki terenowej (wg. [2]).
Odpowiedni wzór na poprawkę terenową otrzymamy przekształcając wzór na
przyciąganie cylindra o wysokości h i promieniach wewnętrznym rw i zewnętrznym rz:
0,0419 n
g t 

n
j
k

i
r
i 1
 ri  ri 21  H 2  ri2  H 2

(2)
Wyznaczenie poprawki terenowej jest z reguły zależne od hipotezy dotyczącej gęstości
mas wchodzących do tej poprawki. Znamy bowiem tę gęstość zawsze tylko
z pewnym przybliżeniem. Poprawkę terenową oblicza się z reguły dla terenu w promieniu do
30 km od stanowiska. Wpływ stref dalszych można bowiem pominąć.
3.2 Redukcja Rudzkiego
Redukcja ta polega na tzw. inwersji, czyli takim przemieszczeniu mas zewnętrznych
w stosunku do geoidy, aby potencjał siły ciężkości samej geoidy nie uległ zmianie. Zmieni się
jednakże potencjał we wszystkich innych punktach przestrzeni, a zatem zmieni się również
przyspieszenie siły ciężkości i to nawet na geoidzie. Efekt pośredni redukcji Rudzkiego jest
zerowy, to znaczy, że geoida nie ulega deformacjom.
Rys. 3. Schemat ideowy redukcji Rudzkiego (wg. [3]).
Chodzi o to, aby wpływ punktu A1 o masie dm zastąpić wpływem zwiększonej masy
dm’ wewnątrz geoidy w punkcie A2.
Redukcja Rudzkiego w postaci ogólnej wyraża się wzorem
RgR 
V z  V w g


h
n
n
n
(3)
gdzie:
 Vz/  n - pełna redukcja topograficzna, którą należy odjąć od przyspieszenia pomierzonego
w danym punkcie;
 Vw/  n - składowa pionowa przyciągania mas przemieszczonych inwersyjnie do wnętrza
Ziemi; obliczenie tej wartości jest możliwe dzięki podziałowi Ziemi na strefy
Hayforda;
(  g/  n)h  0,3086 h [mGal] - redukcja wolnopowietrzna dodawana do przyspieszenia.
Dla obliczenia wyrazu  Vw/  n należy podzielić teren otaczający dany punkt,
podobnie jak przy obliczaniu poprawki terenowej na segmenty.
Redukcja Rudzkiego daje ujemne wartości, gdy stanowisko jest położone powyżej
otaczającego go terenu oraz dodatnie, gdy stanowisko leży poniżej. Z tego względu wartości
przyśpieszenia g zredukowanego metodą Rudzkiego są bardziej reprezentatywne dla
otaczającego terenu od innych znanych redukcji.
3.3 Redukcja wolnopowietrzna i Faye’a
Jest to redukcja, polegająca na uwzględnieniu wpływu wysokości stanowiska
pomiarowego ponad geoidą, na wartość pomierzonego przyśpieszenia siły ciężkości.
fizyczna
powierzchnia
Ziemi
Rys. 4. Graficzna interpretacja redukcji wolnopowietrznej (wg. [2]).
Redukcję wolnopowietrzną wyrażamy wzorem ogólnym o postaci:
RgWP  
g
1  2g 2
H
H  ...
h
2! n 2
(4)
Po podstawieniu odpowiednich współczynników dla GRS’83 otrzymamy wzór
roboczy na redukcję wolnopowietrzną:


RgWP  0,3087799  0,00043898 sin 2 B  1,996  10 6 sin 4 B  H 
1
 1,453  10 7  4,169  10 10 sin 2 B  H 2
2


(5)
Przy obliczaniu anomalii wolnopowietrznej należy uwzględnić wpływ masy atmosfery
ziemskiej dodając do wartości przyspieszenia ziemskiego poprawkę atmosferyczną. Zatem
anomalie wolnopowietrzne wyrażają się wzorem:
AWP  g  g atm   0  RWP
(6)
Redukcja wolnopowietrzna wyraża więc zmianę przyspieszenia siły ciężkości
w kierunku pionowym nie uwzględniając faktu, że wzdłuż drogi redukcji między
stanowiskiem a powierzchnią odniesienia (np. geoidą) znajdują się masy. Fizyczna
interpretacja redukcji wolnopowietrznej jest prosta do określenia. Jest to przesunięcie mas
poniżej poziomu odniesienia, np. geoidy. Redukcja wolnopowietrzna spełnia więc
w znacznej mierze postulaty teorii Stokesa. Nie zmienia ona masy Ziemi, przesuwając tylko
wystającą płytę poniżej geoidy. To przesunięcie mas regularyzuje jednocześnie geoidę i tylko
w
małym
stopniu
ją
deformuje.
Wspomniany
wyżej
efekt
pośredni
redukcji
wolnopowietrznej, czyli zniekształcenie geoidy na skutek redukcji rzadko przekracza
wartości 1 m.
Redukcje i anomalie Faye'a różnią się od redukcji i anomalii wolnopowietrznych
uwzględnieniem wpływu grawitacyjnego nierówności terenu wokół punktów, czyli
wprowadzeniem dodatkowo poprawki terenowej.
4. OKREŚLENIE ANOMALII RUDZKIEGO ZA POMOCĄ REDUKCJI FAYE’A
4.1 Zbiór danych
Teren, na którym przeprowadzono badania, obejmuje ok. 260 km2. Znajduje się na nim 106
punktów testowych. Dane dla punktów o numerach od 1 do 50 (współrzędne geodezyjne,
wysokości ortometryczne i pomierzone przyśpieszenia) pochodzą z Instytutu Geodezji
Wyższej. Jest to sieć nawiązana do punktu krajowej sieci grawimetrycznej "Grybów" i punktu
wyznaczeń bezwzględnych w Grybowie, wykonanych przez ekipę
z Ukraińskiego Instytutu "Metrologia" w Charkowie. W celu powiększenia zbioru danych
opracowano również opisy topograficzne pozostałych punktów o znanej wartości
przyśpieszenia wykonane przez studentów odbywających ćwiczenia polowe w Grybowie.
Punkty triangulacyjne miały podaną ponadto wysokość ortometryczną. Podane punkty
odszukano na mapie topograficznej w skali 1:25000 i odczytano brakujące wysokości oraz
współrzędne w układzie 1965. Następnie za pomocą programu Trans-pol przeliczono
współrzędne płaskie x,y na współrzędne geodezyjne B,L.
4.2 Wykorzystanie numerycznego modelu terenu
Obliczenie składowych redukcji Rudzkiego oraz poprawki topograficznej jest
procesem niezwykle żmudnym ze względu na ręczne pozyskiwanie średnich wysokości
w sektorach. Aby jak najbardziej zautomatyzować ten proces, wykorzystano możliwości
programu C-GEO v6 do tworzenia numerycznego modelu terenu (NMT).
Aby stworzyć model terenu przydatny do dalszego procesu redukcji, pozyskano jak
największą liczbę punktów o znanej wysokości. Posłużyły do tego rastry z map
topograficznych w skali 1:25000 dla centralnego obszaru i w skali 1:50000 dla stref dalszych.
Pozyskano z nich około 7000 punktów wysokościowych oddających jak najlepiej rzeczywiste
ukształtowanie terenu. Kolejnym etapem było zagęszczenie tych punktów równomiernie co
100 m na drodze interpolacji wysokości. W ten sposób powstał zbiór blisko 800000 punktów.
Jedynym popularnym programem, który może pracować z tak dużym zbiorem danych,
jest MS Access, w którym utworzono kwerendę obliczającą długości i azymuty linii łączącej
wybrany punkt ze zbioru danych z punktami NMT. Obszar wokół stanowiska został
podzielony na 12 koncentrycznych okręgów o promieniach 500, 1000, 1500, 2000, 3000,
4000, 6000, 8000, 11000, 15000, 22500 i 30000 metrów, a każdy z nich na 8 równych części.
Następnie wysokości wybranych punktów z konkretnego segmentu należało przenieść do MS
Excel, w którym obliczano średnią wysokość dla tego segmentu. W ten sposób postępowano
dla pozostałych 95 sektorów. Końcowym efektem było zebranie wszystkich uśrednionych
wysokości wokół danego stanowiska w tabeli. Taka tabela jest punktem wyjściowym do
obliczenia poprawki terenowej oraz poprawki inwersyjnej będącej składową w procesie
obliczania redukcji Rudzkiego. Dla przykładu zamieszczam dane dla punktu nr1.
Tabela 1.
PUNKT
1_GK1
hst=530,637 m
PROMIEŃ
500
1000 1500
2000
3000 4000 6000 8000 11000 15000 22500 30000
508,5 454,0 410,4 420,1
522,6 487,7 457,0 465,1
520,5 484,7 504,1 541,1
504,3 443,9 443,6 459,8
484,0 422,4 375,6 355,8
488,6 410,6 348,8 379,1
502,2 449,0 363,9 367,8
499,5 460,6 412,9 356,4
413,1 349,1 387,0 420,5 381,2 336,3 338,8 336,9
496,4 425,0 456,8 563,6 439,0 358,1 339,9 344,6
568,7 497,9 391,1 438,0 472,2 509,9 535,5 626,4
481,6 483,2 460,1 457,8 524,3 586,2 667,2 744,0
421,9 527,1 536,6 595,9 686,8 620,1 818,5 646,0
454,7 439,8 533,1 608,4 573,8 522,8 512,5 443,4
392,5 441,0 455,5 454,1 490,4 446,3 395,8 365,5
346,2 398,1 360,3 329,5 335,7 382,9 383,1 330,2
SEKTORY
1
2
3
4
5
6
7
8
4.3 Obliczenie anomalii Rudzkiego
Spośród wszystkich badanych punktów do obliczenia anomalii Rudzkiego wybrano te,
które najlepiej pod względem anomalności pola siły ciężkości odzwierciedlają również
ukształtowanie terenu na obszarze testowym. Są to punkty rozmieszczone w sposób
równomierny w miejscach o maksymalnych i minimalnych wysokościach dla określonego
fragmentu obszaru. Teren wokół stanowiska podzieliłam na strefy według tablic Hayforda.
Obliczone wartości poprawki inwersyjnej mają wartości większe niż obliczone przez
samego Rudzkiego, np.: dla punktu Dehra Dun w Himalajach otrzymał -22.2mGala, a dla
najwyższego punktu dla badanego obszaru - Maślana Góra (h=752,9m) aż -19.19mGala. Jest
to spowodowane tym, że obszar obliczeń ograniczył się do 30 km, podczas gdy Rudzki
uwzględnił wpływ wszystkich mas znajdujących się ponad geoidą w większym promieniu
wokół stanowiska.
4.4 Interpolacja anomalii Rudzkiego przy użyciu anomalii Faye’a
Po obliczeniu anomalii Faye’a dla wszystkich punktów oraz anomalii Rudzkiego dla
wybranych punktów, kolejnym etapem jest interpolacja wartości anomalii Rudzkiego
dla pozostałych punktów. Poprzez przekształcanie równań na anomalie Rudzkiego i Faye’a
otrzymano wyrażenie wiążące je ze sobą:
AR  AF  g atm  0,2108H 0  f ( H 0  H )
(7)
Wyraz f(H0+H) jest funkcją położenia i wysokości. Aby ustalić stopień tej funkcji
zbadano jak zmieniają się w przestrzeni odstępy anomalii Faye’a od anomalii Rudzkiego dla
punktów o znanych obu wartościach. W poniższej tabeli znajduje się zestawienie wartości
obu anomalii oraz rozbieżności między nimi dla wybranych punktów.
Tabela 2.
Anomalia
L.p.
1
18
33
36
42
45
50
52
62
64
68
72
74
75
78
82
84
86
87
89
91
95
Rudzkiego
-10,639
-12,972
-6,527
-10,312
-13,339
-7,013
-8,462
-3,547
7,868
1,064
12,357
11,774
12,503
14,699
14,455
14,143
5,505
13,575
3,611
-2,647
-1,376
2,124
Anomalia Faye’a
0,170
-3,101
-11,230
-0,091
-13,289
1,072
-11,694
-4,953
16,901
-2,198
25,609
17,462
40,231
35,213
27,067
19,274
10,210
25,741
-1,141
-8,479
-8,165
6,776
AF-AR
10,809
9,871
-4,702
10,221
0,050
8,086
-3,232
-1,406
9,033
-3,262
13,253
5,689
27,728
20,514
12,612
5,131
4,705
12,165
-4,753
-5,833
-6,789
4,652
W poniższym modelu terenu wysokości zastąpiono wartościami różnic między
anomaliami Rudzkiego i Faye’a.
Rys. 5. Model różnic anomalii Faye’a i Rudzkiego dla obszaru testowego. (wg. [1]).
Powstały model izolinii różnic między badanymi anomaliami zawiera trzy szczyty i dwie
doliny, dlatego podzielono obszar testowy na dwie części linią przechodzącą przez środkowy
wierzchołek (jest to punkt nr 75). W ten sposób otrzymano dwie powierzchnie stopnia
trzeciego. Dla obu obszarów ułożono równania poprawek i obliczono je oddzielnie
wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów.
vi  f i H 0  H   AFi  ARi  g iatm  0,2108H 0i
(8)
Wyraz fi(H0+H) po poszukiwaniach najlepszego przybliżenia przedstawiono w postaci
wielomianu trzeciego stopnia dla strony lewej, natomiast dla strony prawej należało powiązać
funkcję położenia i wysokości z anomalią Faye’a:
f i H o  H   aX i  bYi  cH i  dX i2  eYi 2  fH i2  gX i YI  hX i H i 
 iYi H i  jX i3  kYi 3  mH i3
(9)
f i H o  H   aX i  bYi  cH i  dX i2  eYi 2  fH i2  gX i YI  hX i H i 
 
 iYi H i  jX i3  kYi 3  mH i3  n AFi
a błędy interpolacji wyniosły odpowiednio:
mLEWA = 0,811 [mGal]
mPRAWA = 0,408 [mGal]
3
(10)
Mając wyznaczone współczynniki wielomianu, można obliczyć wartości anomalii
Rudzkiego ze wzoru (7) dla wszystkich obliczanych punktów.
4.5 Analiza dokładności
Błąd średni interpolacji obliczono przy pomocy punktów, dla których są wyznaczone wartości
anomalii Rudzkiego. Te wartości przyjęto jako prawdziwe. Różnice między nimi a
anomaliami interpolowanymi utworzyły błędy rzeczywiste. Błąd średni pojedynczego
spostrzeżenia wyraża się wzorem:
m
 
2
n
(11)
i wynosi m=1,170 mGala.
Analizując wyniki interpolacji można zauważyć, że anomalie Faye’a są dużo większe od
anomalii Rudzkiego w punktach leżących w terenie o dużych wysokościach, natomiast dużo
mniejsze na obszarach o małych wysokościach.
Zbiór danych, na którym pracowano charakteryzuje się różną dokładnością. Punkty
o numerach od 1 do 50 były mierzone przez grupę specjalistów z Politechniki Warszawskiej,
osoby mające duże doświadczenie w pomiarach grawimetrycznych, stąd można przyjąć
te punkty za wyznaczone z małymi błędami. Natomiast pozostałe obserwacje były wykonane
w trakcie ćwiczeń polowych z grawimetrii w Grybowie. Wykorzystano zapewne instrumenty
o różnych dokładnościach. Ponad to obserwatorami były osoby (często różne w każdym
rejsie) bez doświadczenia w zakresie wykonywania pomiarów grawimetrycznych. Dlatego
należy się liczyć z możliwością wystąpienia błędów pomiaru przekraczających błędy średnie
przyjmowane dla danego typu grawimetru, a także błędów grubych.
Kolejnym czynnikiem obniżającym dokładność obliczeń jest pozyskiwanie współrzędnych
punktów z drugiej grupy. Błąd odczytu z mapy w skali 1:25000 wynosi 12,5 metra, co daje
dokładność określenia współrzędnych geodezyjnych 0,5. Taki błąd daje zmianę 0,01 mGala
w wartości anomalii Rudzkiego i Faye’a. Proces tworzenia numerycznego modelu terenu
także wprowadzał pewne błędy w dalszych obliczeniach.
5. WNIOSKI KOŃCOWE
Badania naukowe przeprowadzone na terenie Polski potwierdzają, że anomalie Rudzkiego
nieznacznie odbiegają od anomalii Faye’a i dowodzą, że wyraz V z n  Vw n (używany
w równaniu na anomalię Rudzkiego, wyraża efekt inwersji) zmienia się liniowo, zatem
różnice między anomaliami Rudzkiego i Faye’a będą zmieniać się również liniowo.
W powyższej pracy wykorzystano jednak wielomian trzeciego stopnia. Było to podyktowane
tym, że badania przeprowadzono w terenie górzystym, a wielomian interpolacyjny jest
wyrazem bardzo zależnym od wysokości.
Interpolacja anomalii Rudzkiego przy użyciu anomalii Faye’a jest możliwa, trzeba jednak
znaleźć odpowiedni wielomian dla danego terenu. Nie udało się zaprezentować uniwersalnego
sposobu rozwiązania tego zadania. Nawet niewielki obszar testowy, na którym prowadzono
obliczenia, trzeba było podzielić na dwie części i dla każdej z nich odszukać odpowiednie
wyrażenie na różnice anomalii Faye’a i Rudzkiego.
Wykorzystanie w praktyce tej metody jest mimo wszystko prostsze i mniej pracochłonne niż
obliczanie anomalii Rudzkiego dla każdego z punktów osobno. Większość punktów
grawimetrycznych posiada znane wartości anomalii Faye’a lub można je w szybki
i prosty sposób policzyć. Zatem znalezienie wartości anomalii Rudzkiego w wybranych
punktach, a następnie interpolacja w zaproponowany tutaj sposób może znacznie
zaoszczędzić czas.
Spośród wszystkich 106 punktów, na których przeprowadzono badania, tylko na 16
z nich występowała różnica wartości anomalii Faye’a i Rudzkiego większa od 10 mGali, a na
6 z nich większa od 15 mGali. Były to głównie punkty leżące w najwyższych miejscach
terenu testowego. Na podstawie zamieszczonych wyników można stwierdzić, że anomalie
Faye’a z dużym przybliżeniem określają figurę Ziemi i tylko nieznacznie deformują geoidę.
Dzięki temu można nimi zastąpić anomalie Rudzkiego i w szybki oraz łatwy sposób uzyskać
szukane wartości zniekształceń.
LITERATURA
[1] Anna Woś-Sosińska: Badanie możliwości określenia anomalii Rudzkiego anomaliami
Faye’a , Praca magisterska, Warszawa 2002
[2] M. Barlik, A.Pachuta, M. Pruszyńska-Wojciechowska: Ćwiczenia z geodezji fizycznej i
grawimetrii geodezyjnej, Wydawnictwo PW, Warszawa 1992
[3] K.Czarnecki: Geodezja współczesna w zarysie, Wydawnictwo Wiedza i Życie