zredukowana modelu

Modele wielorównaniowe
Na podstawie: E. Nowak, Zarys metod ekonometrii.
Posta strukturalna
Y1 =
Y2 =
m
i =2
m
i =1
i≠2
β1i Yi +
β 2i Yi +
k
j =1
k
j =1
γ 1 j Z j + ε1
γ 2jZ j + ε2
........................
Ym =
m −1
i =1
β miYi +
k
j =1
γ mj Z j + ε m
gdzie:
Yi
-zmienne endogeniczne bez opó nie czasowych.
Zj
- zmienne endogeniczne z opó nieniami czasowymi oraz zmienne
egzogeniczne bez opó nie .
Posta macierzowa
modelu strukturalnego
BY + ΓZ = ε
Y=
Y1
Y2
...
Z=
Ym
− β 21
− β12
1
.
.
− β m1
− β m2
1
B=
Z1
Z2
ε=
...
Zk
ε1
ε2
...
εm
. − β1m
. − β 2m
.
.
.
1
Γ=
− γ 11
− γ 21
− γ 12
− γ 22
.
.
− γ k1
. − γ 1k
. − γ 2k
.
.
− γ k 2 . − γ kk
Posta zredukowana
Y1 =
Y2 =
k
j =1
k
j =1
π 1 j Z j + η1
π 2 j Z j +η2
........................
Ym =
k
j =1
π mj Z j + η m
gdzie:
Yi
-zmienne endogeniczne bez opó nie czasowych,
Zj
- z góry ustalone zmienne egzogeniczne.
Posta macierzowa
modelu zredukowanego
Y = Π Z +η
T
Y=
Z1
Y1
Y2
...
Z2
Z=
...
Ym
Zk
ΠT =
η=
...
ηm
π 11
π 21
π 12
π 22
. π 1k
. π 2k
.
.
. .
. π mk
π m1 π m 2
η1
η2
Zale no ci
posta zredukowana - posta strukturalna
−1
Π = −B Γ
T
η=B ε
−1
Klasyfikacja
modeli wielorówaniowych
proste: macierz
B - diagonalna,
rekurencyjne: macierz
B - trójk
tna,
o równaniach współzale nych – pozostałe
przypadki.
Przykład modelu prostego
• W przedsi biorstwie znajduj si trzy
zakłady.
• Produkty wykorzystywane w
poszczególnych zakładach nie s
wykorzystywane w pozostałych.
• Model opisuj cy zale no kosztów
produkcji P w poszczególnych zakładach
od zatrudnienia Z i maj tku trwałego K jest
postaci:
P1 = α 11 Z1 + α 12 K1 + α 1 + ε 1
P2 = α 21 Z 2 + α 22 K 2 + α 2 + ε 2
P3 = α 31 Z 3 + α 32 K 3 + α 3 + ε 3
Macierz B utworzona ze współczynników przy
zmiennych endogenicznych bez opó nie P
w modelu BY + Γ Z = ε jest diagonalna:
1 0 0
B= 0 1 0
0 0 1
Przykład modelu rekurencyjnego
• W przedsi biorstwie znajduj si trzy zakłady.
• Produkcja pierwszego zakładu nie zale y od
pozostałych, ale jest przekazywana do zakładu
drugiego.
• Produkcja drugiego zakładu jest przekazywana
do zakładu trzeciego.
• Model opisuj cy zale no kosztów produkcji P
w poszczególnych zakładach od zatrudnienia Z
i maj tku trwałego K jest postaci:
P1 = γ 11Z1 + γ 12 K1 + γ 1 + ε1
P2 = β 21 P1 + γ 23 Z 2 + γ 24 K 2 + γ 2 + ε
P3 = β 32 P2 + γ 35 Z 3 + γ 36 K 3 + γ 3 + ε 3
Macierz B utworzona ze współczynników przy
zmiennych endogenicznych bez opó nie P
w modelu BY + Γ Z = ε jest trójk tna:
1
B = − β 21
0
0
0
1
0
− β 32
1
Przykład modelu o równaniach
współzale nych
• W przedsi biorstwie znajduj si trzy zakłady.
• Produkcja pierwszego zakładu jest
przekazywana do zakładów drugiego i trzeciego.
• Produkcja drugiego zakładu jest przekazywana
cz ciowo do zakładu pierwszego.
• Produkcja trzeciego zakładu jest przekazywana
do zakładu drugiego.
• Model opisuj cy zale no kosztów produkcji P
w poszczególnych zakładach od zatrudnienia Z
i maj tku trwałego K jest postaci:
P1 = β12 P2 + γ 11Z1 + γ 12 K1 + γ 1 + ε1
P2 = β 21 P1 + β 23 P3 + γ 23 Z 2 + γ 24 K 2 + γ 2 + ε
P3 = β 31 P1 + γ 35 Z 3 + γ 36 K 3 + γ 3 + ε 3
Macierz B utworzona ze współczynników przy
zmiennych endogenicznych bez opó nie P
w modelu BY + Γ Z = ε
:
− β12
0
B = − β 21
1
− β 23
− β 31
0
1
1
Szacowanie parametrów modeli
prostych i rekurencyjnych
Badamy zale no ci mi dzy wydatkami na ywno
oraz na odzie i obuwie.
t
Wydatki na
ywno
Y1
Wydatki na
odzie i obuwie
Y2
Dochody
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,8
2,6
2,7
2,9
3,0
3,0
3,3
3,5
3,6
3,7
650
680
720
780
730
800
810
840
900
880
4
5
6
7
7
8
8
9
10
11
Model prosty
Y1 = α10 + α11Z + ε1
Y2 = α 20 + α 21Z + ε 2
KMNK wyznaczamy współczynniki ka dego z niezale nych równa :
Yˆ1 = 1,8659 + 0,1659 ⋅ Z
Yˆ = 499,294 + 37,294 ⋅ Z
2
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Plony 4 podst. zbó
[q/ha]
P
Produkcja mi sa
[kg/ha]
M
Wska nik jako ci ziemi
33
42
28
29
31
38
25
30
35
30
22
220
240
180
190
210
250
170
230
210
200
170
1,0
1,3
0,8
0,7
1,1
1,3
0,9
1,0
1,1
1,2
0,6
Z
Model rekurencyjny
P = α10 + α11W + ε1
M = α 20 + α 21P + ε 2
1) KMNK wyznaczamy współczynniki pierwszego równania
Pˆ = 10,81 + 20,37 ⋅ W
2) Na podstawie wyznaczonego równania szacujemy teoretyczne warto ci plonów P^
t
Teoret. plony 4 podst. zbó
[q/ha]
P^
Produkcja mi sa
[kg/ha]
M
Wska nik jako ci
ziemi
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
31,182
37,291
27,106
25,069
33,217
37,291
29,143
31,180
33,217
35,254
23,032
220
240
180
190
210
250
170
230
210
200
170
1,0
1,3
0,8
0,7
1,1
1,3
0,9
1,0
1,1
1,2
0,6
3) KMNK szacujemy parametry równania drugiego na podst. P^ oraz M
Mˆ = 61,79 + 4,67 ⋅ P
KO COWY MODEL
Pˆ = 10,81 + 20,37 ⋅ W
Mˆ = 61,79 + 4,67 ⋅ P