Zapisz jako PDF

Zjawisko interferencji jest jednym z najbardziej charakterystycznych zjawisk dla fal. Występuje dla
wszystkich rodzajów fal. Mimo że ta część dotyczy fal elektromagnetycznych, to będziemy się
odnosić do wszystkich rodzajów fal. Dlatego zastosujemy opis skalarny, tzn. będziemy używać opisu
funkcji falowej , która może opisywać fale w strunie, fale dźwiękowe lub fale elektromagnetyczne.
Zjawisko interferencji czyli nakładania się (superpozycji) fal występuje tylko w przypadku gdy
interferujące fale są spójne. Interferencja fal emitowanych przez dwa spójne źródła została pokazana
w doświadczeniu Younga. Schemat doświadczenia pokazano na rysunku Figure 1.
Wiązka światła pochodząca z jednego źródła po przejściu przez jedną wąską szczelinę pada na dwie
następne wąskie szczeliny odległe od siebie o d. Szczeliny te traktujemy jako dwa punktowe źródła
spójnych fal kulistych. Na ekranie znajdującym się w dużej odległości od szczelin notowane są
ciemne i jasne prążki. Fale pochodzące od obu szczelin opisujemy następującymi funkcjami
falowymi:
Schemat doświadczenia
Younga.
gdzie zgodnie z wcześniej przeprowadzoną dyskusją
wymiarach lub
dla fali rozchodzącej się w 3
, jeśli fala rozchodzi się w 2 wymiarach. Dla dużych odległości możemy przyjąć:
Względny błąd wynikający z tego przybliżenia dla wynosi 10% dla przypadku trójwymiarowego i 5%
dla przypadku dwuwymiarowego. Na ekranie obserwujemy wynik zsumowania obu fal:
.
Pierwszy czynnik (cosinus) opisuje przestrzenną modulację, natomiast drugi wraz z amplitudą falę
kulistą. Na ekranie otrzymujemy maksima interferencyjne (jasne prążki) gdy spełniony jest warunek:
,
,
czyli gdy różnica dróg optycznych obu promieni jest równa wielokrotności długości fali:
(m jest liczbą całkowitą).
Wygaszenie fal (ciemne prążki) występują natomiast gdy:
.
A więc dla różnicy dróg optycznych obu promieni równej nieparzystej wielokrotności połowy długości
fali:
.
Często przy opisie interferencji, gdy ekran znajduje się w bardzo dużej odległości od szczelin (w
porównaniu z odległością między szczelinami) stosujemy przybliżenie Fraunhofera. Przybliżenie to
polega na tym, że przyjmujemy, że oba promienie są równoległe do siebie, tak jak to pokazano na
rysunku Figure 2. W takim przypadku:
, a warunek na maksima interferencyjne jest
następujący:
, a na minima:
.
Kąt oznacza kąt jaki tworzą promienie do osi układu. Natężenie światła obserwowane na ekranie w
przybliżeniu Fraunhofera ma postać (patrz rysunek Figure 3):
.
Bieg promieni w
przybliżeniu Fraunhofera.
Natężenia światła w
funkcji kąta
.
Zjawisko interferencji bardzo „ładnie” widać na cienkich warstwach lub błonach, np. na bańkach
mydlanych lub na płytkiej kałuży rozlanej benzyny. Interferencja zachodzi między falami, które
ulegają wielokrotnemu odbiciu od granicy ośrodków, co ilustruje rysunek Figure 4. Załóżmy, że
cienka płytka jest ośrodkiem o współczynniku załamania n, natomiast współczynnik załamania
powietrza przyjmijmy 1.
Interferencja na cienkich
warstwach.
Interferencję obserwujemy zarówno w świetle odbitym jak i przechodzącym. Dla wiązki odbitej
różnica faz między fala odbitą na pierwszej powierzchni granicznej i falą odbitą na drugiej
powierzchni wynosi:
.
Pierwszy składnik pochodzi z różnicy dróg optycznych, natomiast zmiana fazy o jest związana z
odbiciem fali od ośrodka optycznie gęstszego (wzory Fresnela). Dla fali przechodzącej różnica faz
wynosi:
. Dla “matematycznego” uproszczenia problemu załóżmy, że kąt padania
jest bardzo mały (
), wówczas dla fali odbitej i fali przechodzącej różnica faz wynosi
odpowiednio:
. W takim przypadku dla fali odbitej zachodzi (m —
liczba całkowita):
1. Interferencja konstruktywna gdy:
2. Interferencja destruktywana gdy:
.
.
Dla fali przechodzącej otrzymujemy:
1. Interferencję konstruktywną gdy:
2. Interferencję destruktywną gdy:
.
.
Jeśli będziemy obserwować interferencję na cienkich warstwach w świetle białym to zobaczymy
kolorowe prążki, przy czym w świetle przechodzącym będziemy obserwować barwy uzupełniające do
barw widzianych w świetle odbitym. Poniżej zebrano obserwowane barwy dla różnych grubości
warstw.
Grubość warstwy (nm) światło odbite światło przechodzące
0
czarna
biała
97
szara
żółtawobiała
218
jasnoszara
żółtobrunatna
257
żółtawobiała
karminowa
281
słomkowożółta ciemnofiołkowa
382
jaskrawożółta
niebieska
430
żółtobrunatna
szaroniebieska
558
czerwona
bladozielona
565
purpurowa
jasnozielona
580
indygo
złotożółta
664
lazurowa
pomarańczowa
747
zielona
jasnokarminowa
826
jasnozielona
purpurowa
843
żółtawozielona fioletowopurpurowa
Ze zjawiskiem interferencji wiąże się bardzo ważny eksperyment, tzw. doświadczenie MichelsonaMorleya. Doświadczenie to miało pokazać istnienie „eteru” — ośrodka w którym poruszają się fale
elektromagnetyczne. Wynik eksperymentu okazał się negatywny. Ale jest to jeden z nielicznych
przypadków, że negatywny wynik przyczynił się istotnie do rozwoju fizyki. Doświadczenie wykonano
za pomocą interferometru noszącego obecnie nazwę interferometru Michelsona. Przyrząd ten stał
się jednym z najważniejszych narzędzi badawczych w fizyce doświadczalnej. Schemat interferometru
pokazany jest na rysunku Figure 5. Interferometr składa się z płytki światło dzielącej i dwóch
zwierciadeł umieszczonych w dwóch ramionach interferometru tworzących kąt prosty. Płytka część
światła odbija pod katem 45°, a część przepuszcza wzdłuż kierunku biegu promienia pierwotnego.
Oba rozdzielone promienie odbijają się od zwierciadeł i wracają do płytki, która tym razem łączy oba
promienie. Detektor rejestruje sygnał pochodzący od obu interferujących fal. Jedno z luster jest
ruchome. Ruch zwierciadła wprowadza różnicę faz między dwiema wiązkami. Pomiar polega zatem
na zarejestrowaniu sygnału w funkcji położenia ruchomego lustra, czyli na otrzymaniu tzw.
interferogramu. Za pomocą transformaty Fouriera sygnał jest przeliczany na widmo natężenia
światła w funkcji długości fali. Położenie ruchomego lustra jest wyznaczane z niezwykła precyzją za
pomocą pomiaru interferencji monochromatycznej wiązki światła laserowego o znanej długości.
Dzięki temu za pomocą interferometru Michelsona uzyskuje się znakomitą zdolność rozdzielczą
mierzonych widm optycznych. Wracając do doświadczenia Michelsona –Morleya, jeśli interferometr
porusza się (wraz z Ziemią) w ośrodku zwanym „eterem”, to drogi jakie muszą pokonać oba
promienie nie się równoważne. Jeśli interferometr obrócimy o 90° to prążki interferencyjne powinny
się przesunąć o
gdzie d jest długością ramienia interferometru, a u prędkością
interferometru (Ziemi) względem „eteru”
, co daje spodziewane przesunięcie
wynik eksperymentu był negatywny.
. W oryginalnym doświadczeniu d = 11 m,
. Jak wspominaliśmy wyżej,
Schemat interferometru
Michelsona.
Na rysunku Figure 6 pokazano inny rodzaj interferometru zwany interferometrem Fabry-Perota. W
tym przypadku interferują fale ulegające wielokrotnemu odbiciu od dwóch „ścianek” (luster) —
cienkich warstw.
Schemat interferometru
Fabry-Perota.
Przesunięcie fazowe między „sąsiednimi” falami przechodzącymi wynosi:
światła przechodzącego wyraża się wzorem:
. Natężenie
,
gdzie
jest natężeniem fali padającej, a R współczynnikiem odbicia luster. Rysunek III.5.7. pokazuje
natężenie fali przechodzącej w funkcji dla różnych wartości R. Im R bliższe wartości 1, tym linie
interferencyjne są węższe.
Natężenie światła
przechodzącego przez
interferometr FabryPerota w funkcji
przesunięcia fazowego
Na koniec naszych rozważań poszukajmy obrazu interferencyjnego pochodzącego od N identycznych
punktowych źródeł światła spójnego, tak jak pokazano na rysunku Figure 8.
Schemat N identycznych
punktowych źródeł fal.
Rachunek wykonamy w zapisie liczb zespolonych (bo tak jest wygodniej i łatwiej) w przybliżeniu
Fraunhofera. Każde ze źródeł jest źródłem fali:
Widmo interferencyjne N
punktowych źródeł.
Suma wszystkich fal wynosi:
obserwowane na ekranie wyraża się wzorem:
. stąd natężenie światła
.
Tę zależność pokazano na rysunku Figure 9 dla różnej wartości N. W otrzymanym widmie występują
maksima główne dla katów spełniających warunek:
(m jest liczbą całkowitą) oraz
maksimów wtórnych o znacznie mniejszym natężeniu.