Macierze nieosobliwe
Transkrypt
Macierze nieosobliwe
Macierze nieosobliwe Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych. Definicja 1. Macierz taka że: An×n nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz Bn×n A⋅ B = B ⋅ A = I Twierdzenie 1. Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest jedyna. Definicja 2. Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to jedyną macierz B z definicji 1 nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A-1. O macierzy A mówimy też, że jest macierzą odwracalną. Definicja 3. Macierz, która nie jest macierzą nieosobliwą, jest nieodwracalna i osobliwa. Twierdzenie 2. Z: ( X , K , +, ⋅) przestrzenie wektorowe nad ciałem K z ustalonymi bazami (Y , K , + , ⋅ ) dim X = dim Y = n Mf - macierz odwzorowania f : X → Y - odwzorowanie liniowe T: f-odwzorowanie izomorficzne ⇔ M f jest macierzą nieosobliwą. Ponadto: (M ) f −1 = M f −1 Przykład 1. Znaleźć macierz odwrotną. −1 0 1 A = 1 −1 0 0 1 1 ( \ , \, + , ⋅ ) 3 X A= Mf ( \ , \, + , ⋅ ) 3 Y B = ( e1 , e2 , e3 ) - baza kanoniczna \ 3 ∋ x = ( x1 , x2 , x3 ) = [ x1 , x2 , x3 ]B → y = ( y1 , y2 , y3 ) = [ y1 , y2 , y3 ]B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 2 Część 7 – Macierze nieosobliwe y = f (x) ⇔ −1 0 1 x1 y1 1 −1 0 x = y 2 2 0 1 1 x3 y3 − x1 + x3 = y1 x1 − x2 = y2 x + x = y 3 3 2 1 1 1 = − + + x y y y3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 x2 = − y1 − y2 + y3 2 2 2 1 1 1 = + + x y y y3 3 1 2 2 2 2 1 1 1 − 2 2 2 x1 y1 1 1 1 x = − ⋅y − 2 2 2 2 2 y x3 1 1 1 3 2 2 2 A−1 1 − 2 1 −1 A = − 2 1 2 1 2 1 − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 WNIOSEK: 1) A- macierz nieosobliwa, to A-1 też jest macierzą nieosobliwą i (A-1)-1=A 2) A,B –macierze nieosobliwe, to A·B też macierz nieosobliwa i (A·B)-1= B-1·A-1 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 2 Część 7 – Macierze nieosobliwe