Newtona Zasada Bezwładnosci jako przedmiot refleksji logicznej

c W.Marciszewski • LOGIKA 2004/05 • Kazus logiczny »Newton«
Newtona Zasada Bezwładności jako przedmiot refleksji logicznej
Sens „jeśli” w jednostronnym zdaniu warunkowym (równoważności) i w obustronnym zdaniu warunkowym (równoważności) na przykładzie zasady bezwładności
1. Treść zadania
Zwodniczej dwuznaczności spójnika „jeśli” przypatrzymy si˛e na przykładzie pierwszej zasady dynamiki Newtona, zwanej zasada˛ bezwładności. Oto jej sformułowanie.
α) Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, to pozostaje ono w spoczynku lub porusza si˛e
ruchem jednostajnym po linii prostej.
Treść poprzednika obejmuje też przypadek, gdy działajace
˛ siły równoważa˛ si˛e. Z zasady tej ktoś
1
wywnioskował rzecz nast˛epujac
˛ a.˛
»Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że dla podtrzymania stanu spoczynku lub prostoliniowego ruchu
jednostajnego [w skrócie: p.r.j.] nie trzeba żadnego oddziaływania siły zewn˛etrznej.« Skoro nie trzeba, to
prawda˛ jest, co nast˛epuje.
β) Jeśli ciało jest w stanie p.r.j., to nie działa na nie żadna siła.
Zadanie. Zapisać α i β w j˛ezyku logiki predykatów i prześledzić, czy istotnie drugie wynika z
pierwszego. Jeśli nie, to rozważyć: czy da si˛e tak zinterpretować „jeśli” w α, iż trzeba by wtedy
uznać, że wynika zeń β?
2. Rekonstrukcja wnioskowania w j˛ezyku logiki predykatów
Za dziedzin˛e rozważań czyli zbiór uniwersalny mechaniki przyjmujemy sum˛e zbioru ciał i zbioru sił
mogacych
˛
działać na ciała. Indywidua, czyli elementy dziedziny, sa˛ oznaczane przez zmienne x, y
itd.
Predykaty: C – jest ciałem • S – jest siła˛ • D – działa na •
SP – pozostaje w stanie spoczynku •
PJ – porusza si˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Oto rekonstrukcja logiczna zasady bezwładności.
R.α) ∀x ((C(x) ∧ ¬∃y (S(y) ∧ D(y, x))) ⇒ (C(x) ∧ (SP (x) ∨ P J(x)))).2
Zdanie β stanowi implikacj˛e odwrotna˛ do α, mianowicie:
R.β) ∀x ((C(x) ∧ (SP (x) ∨ P J(x))) ⇒ (C(x) ∧ ¬∃y (S(y) ∧ D(y, x)))).
3. Ocena poprawności wnioskowania
1
Zob. superfiza.republika.pl/artykuly/newtondynamika.htm
Umieszczenie C(x) także w nast˛epniku nie zmienia sensu zdania, a jest dogodne ze wzgl˛edów
technicznych.
2
1
2
Kazus logiczny »Newton«
Wnioskowanie od R.α do R.β jest poprawne, tzn. zgodne z pewnym niezawodnym schematem
wnioskowania, wtedy i tylko wtedy, gdy drugie z tych zdań wynika logicznie z pierwszego. Czy tak
jest istotnie?
Zdania R.α i R.β maja˛ struktur˛e na tyle złożona,˛ że rozumowanie metoda˛ TA byłoby dość
żmudne. Uprościmy je, przeprowadziwszy wpierw dowód pomocniczy o zawodności pewnego schematu wnioskowania. Ułatwi to odpowiedź, czy R.α ⇒ R.β jest tautologia,˛ tj. czy nast˛epnik wynika
logicznie z poprzednika.
Dowód ROS (Reguły Odrzucania Schematu): ∀x (A ⇒ B) / ∀x (B ⇒ A) (zmienna x przy symbolach A i B jest domyślna).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ax (A(x) ⇒ B(x))
¬∀x (B(x) ⇒ A(x))
¬(B(c) ⇒ A(c)) .... 2, [a]
A(c) ⇒ B(c) .... 1
B(c) .... 3
¬A(c) .... 3
¬A(c) | B(c) .... 4
ROS: Nie jest niezawodny schemat wnioskowania, w którym przesłanka ma form˛e ∀x (A ⇒ B), a
wniosek form˛e ∀x (B ⇒ A).
Zastosujmy t˛e reguł˛e do wnioskowania: R.α / R.β. Niech A i B reprezentuja,˛ odpowiednio, poprzednik i nast˛epnik w zdaniu R.α. Piszemy zatem:
A zamiast C(x) ∧ ¬∃y (S(y) ∧ D(y, x))
B zamiast C(x) ∧ (P (x) ∨ P J(x)).
Przy tej reprezentacji
zdanie R.α ma postać: [1] ∀x (A(x) ⇒ B(x)),
zdanie R.β ma postać: [2] ∀x (B(x) ⇒ A(x)).
Udowodniona wyżej ROS zabrania wnioskować zdanie postaci [2] ze zdania postaci [1], a wi˛ec
wnioskowanie od α do β nie jest poprawne.
4. Interpretacja „jeśli”, przy której wolno z α wywnioskować β
Prowadzi do takiej interpretacji spostrzeżenie, że w swobodnym sposobie wysłowienia nie stosuje
si˛e zwrotu zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy ( ⇔ ) dla oddania równoważności mi˛edzy zdaniami
czyli dla obustronnego zdania warunkowego. Gdy trzeba stwierdzić równoważność, jako środek
zast˛epczy stosuje si˛e spójnik „jeśli” lub jego synonimy: „gdy”, „o ile” etc. Przez to staje si˛e on
wyrażeniem wieloznacznym, w jednych zdaniach funkcjonujac
˛ jako spójnik jednostronnego zdania
warunkowego, w innych – obustronnego zdania warunkowego, to znaczy, równoważności.
Czasem kontekst pozwala rozpoznać, które znaczenie jest zamierzone. Tak jest w przypadku
zasady bezwładności, a wynika to ze stwierdzenia, iż jest ona szczególnym przypadkiem drugiej
zasady mechaniki.3 Druga zaś powiada, że jeśli na ciało działa siła, to porusza si˛e ono z przyspieszeniem, z czego wynika że nie porusza si˛e ruchem jednostajnym. Zapiszmy ten wniosek, jak
nast˛epuje:
3
Por. np. Roland Sokólski, Fizyka w jednym paluszku, Aneks, Wałbrzych [b.r.w.].
2
Kazus logiczny »Newton«
3
γ) Jeśli istnieje siła działajaca
˛ na ciało, to nie jest ono w stanie prostoliniowego ruchu jednostajnego.
Stad,
˛ na mocy Reguły Transpozycji (A ⇒ ¬B / B ⇒ ¬A) wynika zdanie β czyli implikacja
odwrotna do α.
Gdy zinterpretujemy „jeśli” w zasadzie bezwładności α jako spójnik równoważności, to stanowi
ona koniunkcj˛e zdań α i β, w myśl reguł:
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) / A ⇔ B
A ⇔ B / (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
Jak odrazu widać, z α wynika (opuszczenie koniunkcji) β. Tak wi˛ec, autor cytowany w odcinku 1,
mówiac
˛ o wynikaniu, ma racj˛e tylko wtedy, gdy spójnikowi „jeśli” w pierwszej zasadzie nadaje sens
funktora równoważności. Co wolno uczynić, skoro zasada jest prawdziwa również w postaci:
R.α ⇔ )
∀x ((C(x) ∧ ¬∃y (S(y) ∧ D(y, x))) ⇔ (C(x) ∧ (SP (x) ∨ P J(x)))).
W takim jednak przypadku, gdy mówi si˛e o wynikaniu, należy wyjaśnić, w jakim znaczeniu bierze
si˛e wyst˛epujacy
˛ w przesłance spójnik „jeśli” (czego nie uczynił cytowany autor).
3