EGZAMIN ZE WSTE¸PU DO MATEMATYKI Imie i nazwisko

EGZAMIN ZE WSTȨPU DO MATEMATYKI
Imiȩ i nazwisko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Grupa. . . . . .
Zadanie 1.
(4) Zdaniem w sensie logicznym nazywamy tylko takie zdanie, o którym możemy powiedzieć,
że jest prawdziwe.
(2) Do budowy zdań zÃlożonych (ze zdań prostych) sÃluża̧ spójniki logiczne.
(1) PrzykÃladami spójników logicznych sa̧ koniugacja i deklinacja.
Zadanie 2.
(2) Alternatywa dwu zdań jest zdaniem prawdziwym jedynie wówczas, gdy dokÃladnie
jedno ze zdań jest prawdziwe.
(1) Negacja jest spójnikiem logicznym jednoargumentowym.
(4) Zaprzeczenie alternatywy dwu zdań ma tȩ sama̧ wartość logiczna̧ co koniunkcja ich
zaprzeczeń.
Zadanie 3. Nastȩpuja̧ca forma zdaniowa jest tautologia̧
(1) (α ⇒ β) ⇒ α;
(4) (α ∨ β) ⇒ α;
(2) (α ∧ β) ⇒ α.
Zadanie 4. Spójnik logiczny ⇒ można także wyrazić w nastȩpuja̧cy sposób:
(4) α ⇒ β ≡ ∼ β ⇒∼ α;
(2) α ⇒ β ≡ ∼ α ∨ β;
(1) α ⇒ β ≡ α∧ ∼ β.
Zadanie 5.
(1) Napis ”a ∈ A” oznacza, że a jest podzbiorem zbioru A.
(2) {1, 2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3}.
(4) x ∈ A \ (B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ x 6∈ C).
Zadanie 6.
(2) Dwa zbiory sa̧ równe, jeśli maja̧ takie same elementy.
(4) Zbiory A = {x ∈ R : (x − 1)(x + 1) = 0} i B = {−1, 1} sa̧ różne.
(1) Istnieje zbiór, którego elementami sa̧ wszystkie zbiory.
Zadanie 7.
(1) Zasada minimum gÃlosi, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera
element najmniejszy.
(4) Zasada indukcji gÃlosi, że jeśli T1 , T2 , T3 , . . . jest cia̧giem twierdzeń ponumerowanych
kolejnymi liczbami naturalnymi takich, że jeśli jakieś jest prawdziwe, to i kolejne
także, to wszystkie twierdzenia tego cia̧gu sa̧ prawdziwe.
(2) 1 + 2 + · · · n =
n2
2
+ n2 .
Zadanie 8.
(2) O odwzorowaniu f : X → Y mówimy, że przeksztaÃlca X na zbiór Y jeśli
V W
x
y
f (x) = y
(1) Odwzorowanie f : R → R określone wzorem f (x) = x1999 jest różnowartościowe.
(4) Jeśli X jest skończony, f : X → X przeksztaÃlca X na X, to f jest także różnowartościowe.
Zadanie 9.
(2) Niech X = {1, 2, 3}, Y = {−1, 0, 1} i niech odwzorowanie f : X → Y bȩdzie
określone wzorem f (x) = (−1)x . Przeciwdziedzina̧ funkcji f jest zbiór {0, 1}.
(1) Istnieje bijekcja f : N → N taka, że: f (1) ∈ {100, 108, 115}, f (7) ∈ {100, 108, 115},
f (99) ∈ {100, 108, 115} oraz f −1 (108) 6∈ {1, 7, 99}
(4) Jeśli f, g : N → N oraz f (7) = 19, g(19) = 15 i g(15) = 19, to g ◦ f (7) = 19.
Zadanie 10. Niech X = {1, 2, 3} i niech relacja ρ ⊂ X × X bȩdzie określona nastȩpuja̧co
ρ = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}. Wówczas
(1) ρ jest symetryczna;
(2) ρ jest przechodnia;
(4) ρ jest zwrotna.
Zadanie 11.
(4) Każda relacja równoważności na zbiorze X wyznacza rozbicie tego zbioru.
(2) Relacja ∼ na R taka, że x ∼ y ⇔ |x − y| ≤ 1 jest relacja̧ równoważności.
(1) Jeśli X = {1, 3, 7, 8, 9}, to A = {{1}, {3, 7, 8}} jest rozbiciem zbioru X.
Zadanie 12.
S
(4) x ∈ t∈T At wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do przynajmniej jednego spośród
zbiorów At .
T
(1) x ∈ t∈T At wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do przynajmniej jednego spośród
zbiorów At .
(2)
T
t∈T
At ⊂
S
t∈T
At .
Zadanie 13. Jeśli A = {{1}, {2, {3}}, {{4}}} to,
(1)
S
A = {1, 2, 3, 4};
(4)
S
A = {1, 2, {3}, {4}};
(2)
T
A = ∅.
Zadanie 14. Zbiory nastȩpuja̧cej pary sa̧ równoliczne
(4) [0, 1], R;
(2) N, N × N;
(1) N, 2N .
Zadanie 15.
(2) Jeśli f : X → Y i g : Y → X sa̧ różnowartościowe, to card (X) = card (Y );
(1) Każdy niepusty podzbiór zbioru N jest albo skończony, albo równoliczny z N.
(4) Nie istnieje zbiór mocy wiȩkszej niż card R.
Zadanie 16.
(4)
V
x∈R (x
(2)
V
x∈R
W
y∈R
x2 + y 2 < 4;
(1)
W
x∈R
V
y∈R
x2 + y 2 ≥ 4
> 5 ⇒ x2 > 10);
Zadanie 17. Nastȩpuja̧ca para wyrażeń ma to samo znaczenie:
(2) ”n jest liczba̧ parzysta̧.” i ”
V
n∈N
W
k∈N
n = 2k”;
(1) ”Każda liczba rzeczywista dodatnia jest kwadratem pewnej liczby.” i
V
W
” a∈R (a > 0 ⇒ b∈R a = b2 )”
(4) ”Podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nie zawiera liczb wymiernych” i
V
” a∈A a ∈ R \ Q”.
Zadanie 18.
(4) Porza̧dek liniowy ≤ na zbiorze X nazywamy gȩstym, jeśli dla każdej pary x, y ∈ X
sta̧d, że x < y wynika, iż istnieje element z ∈ X, dla którego mamy x < y < z.
(1) Zasada minimum gÃlosi, że zbiór N jest dobrze uporza̧dkowany przez relacjȩ ≤
(2) Jak ustaliÃl Zermelo, nie każdy zbiór można dobrze uporza̧dkować.
1 2
B
3
4 5
6
7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18