CGr^Ć GF)

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 2 ,8 (1970) A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A W K L A S I E R Ó W N A Ń L A G R A N G E ' A D R U G I E G O D W U W S K A Ż N I K O W Y CH R O D Z A J U R O B E R T К R Z Y W I E С ( W A R S Z A W A ) 1. Wprowadzenie Dzię ki uż yciu cią gów wielowskaź nikowych [1] m o ż na badać struktury róż nych wiel­
kich systemów, jak też w moż liwie ogólny sposób formalizować poję cie układu. Powstaje przy tym moż liwość konstruowania analogii róż norodnych zjawisk w klasie pewnych przekształceń i modelowania za ich pomocą wielu odrę bnych zjawisk. Rozważ my wielki system stereomechaniczny nazwany oscylatorem stereomechanicz­
nym wielowskaź nikowym, który rozpatrzono w pracy [2]. Wskazano tam na analogię mechaniczno­stereomechaniczną w klasie wielowskaź nikowego równania róż niczkowego zwyczajnego rzę du drugiego, zwanego równaniem oscylatora harmonicznego {matema­
tycznego), lub k r ó t k o — oscylatorem matematycznym. Okazuje się, że moż na tę analogię uzasadnić bą dź też rozcią gnąć na równania Lagran­
ge'a drugiego rodzaju. W zwią zku z tym należy otrzymać te równania w terminologii stereomechanicznej. Przypominamy, że o analogii mię dzy teoriami (naukami) {Г i T mówimy wtedy, gdy potrafimy podać pewną równoważ ność 2
wynikają cą z równoważ noś i c
CGr^Ć GF
) cią gów rozważ ań logicznych obu nauk. Istnieje ciąg rozważ ań logicznych w mechanice, który umoż liwia otrzymanie wielowskaź­
nikowych równań Lagrange'a drugiego rodzaju [3]. Wyprowadzimy je obecnie w terminologii stereomechanicznej z uż yciem cią gów dwu­
wskaź nikowych i tym samym uzasadnimy analogię mechaniczno­stereomechaniczną w klasie tych równań dwuwskaź nikowych. Praca [4] przedstawia tę samą analogię w klasie jednowskaź nikowych równań Lagran­
ge'a. Uogólnienia polegają na uż yciu cią gów o wyż szych Walencjach. Analogii mcchaniczno­stereomechanicznej w klasie wielowskaź nikowych równań Lagrange'a drugiego rodzaju poś wię con
a jest oddzielna praca. 176 R . K R Z Y W I E C Wszelkie rozważ ania dotyczą ce uzasadnienia omawianej analogii prowadzone są bez uż ycia rachunku wariacyjnego. Zastosowana algebra cią gów wielowskaź nikowych nie wymaga znajomoś ci rachunku tensorowego. 2. Ruch dynamicznego układu stereomechanicznego dwuwskaź nikowego. W i ę zy Bę dziemy rozważ ali przestrzeń cią gów dwuwskaź nikowych (2.1)
3
У = \У м г {х )], j\ =j = 1 , 2 , ...,n\ xe<Xi,x >.. 2
2
czyli У и (х ), ...,У 1„(Х ) = b>i(x), ...,y„(x)], _У т (х ), ...,y (x)_ m
utworzoną z rozwią zań róż niczkowych zwyczajnych rzę du 2 dwuwskaź nikowych, przy czym w przypadku ogólnym mogą one być rzę du n 2
2
2
2
2
y^ = y^(x, y, y', (n
,)
..., ^ ­ ), У \ (2.2) d" " 'dx" których strony prawe są funkcjami cią głymi i posiadają cymi cią głe pochodne czą stkowe wzglę dem każ dej zmiennej, przy czym funkcja y(x) może na przykład mieć charakter ugię cia prę at w przekroju x. Definicja 1. Ruchem (jednoparamelrowym) układu stereomechanicznego dwuwskaź­
nikowego y nazywa się każ dą funkcję (2.1) lub w postaci uwikłanej 2
2
(2.3) 2
U(x, y) 2
= 0, czyli ~U,(x, yf 2
_Un(x, ~y). 2
2
0 _ 0 _ Przykładem takiego n ­elementowego układu dwuwskaź nikowego może być n odcin­
k ó w równoległych jednej płaszczyzny, do których zamocowano prostopadle jednym koń­
cem p o n prę tów sprę ż ystych
. Koń ce tych prę tów są połą czone sprę ż yśe cikaż dy z każ­
dym [2]. Każ dy pręt jest obcią ż on
y jedną siłą powodują cą wyboczenie. 177 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A Definicja 2
(k)
2. Prę dkoś ci
ą y (x) rzę du к , к = 1, 2, ..., n nazywa się k­ta. pochodną funkcji (2.1), to jest (2.4)
2
к
У \х ) = ^ F
^ * ) 2
= ^ i W > ­,У п (х )]. Definicja 3. Równanie (2.2) lub w postaci uwikłanej 2
2
2
2
G(x, y, y", (2.5) . . . , y ­ V j W ) = Ó , czy też po rozpisaniu w postaci 2
Gi(x, y, y 2
2
2
y", • 2y(l>­l) j7(»)) 2
G (x y, У , y",. 2
2
y(">) 2
n
0 0 _ nazywa się równaniem (stanu) ruchu układu stereomechanicznego dwuwskaź nikowego. Definicja 4. Wię zami ruchu nazywamy niezależ ne od siebie zwią zki 2
2
2
2
H(x, y, y', ..., У "­^) 2
= 0. (2.6) 2
H=[H ], k = klk2
k =\,2,...,n, y
2
czyli po rozpisaniu 'Н ,(х
2
2
2
У У , <
1 )
. . . , J ­ ) 2
2
_H, (x, % y', ..., У "~")_ o " _ 00 _ n
posiadają ce cią głe pierwsze pochodne czą stkowe w rozważ anym otoczeniu zmiennych х ^ У У , . . . , ^ ­ » . Przyjmujemy, że badane zjawisko może podlegać pewnym ograniczeniom. P o s t u l a t I. Istnieje absolutna zmienna niezależ na x. P o s t u l a t II. Istnieje inercjalny układ odniesienia. P o s t u l a t III. Słuszne są prawa Newtona z tym, że czas absolutny t jest zastą piony absolutną zmienną niezależ ną x. U w a g a . Jeś il ograniczymy się do przykładu wyboczenia sprę ż ysteg
o prę at pryzma­
tycznego o długoś ci skoń czonej, to y(x) jest jego ugię ciem w przekroju opisanym odcię ą t x. W przypadku n — 2 otrzymujemy z (2.2) równania ruchu układu stereomechanicznego (2.7)
2
2
2
2
y" = f(x, y, y') analogicznie do newtonowskich równań ruchu [3] 2
T" =
2
2
2
f(t, f, ­r'). W y n i k a to stą d, że zamiast proporcji d
2 2
2
dt 2
m « ?(t) 178 R . K R Z Y W I E C stotnej w przypadku oscylatora mechanicznego dwuwskaź nikowego słuszna jest proporcja 2
W
y(x), którą otrzymujemy z uwzglę dnienia dwuwskaź nikowej linii ugię cia. Wtedy wię zy stereomechaniczne, przez analogię do wię zów mechanicznych, mogą przyjmować postać 2
2
(2.8)
(2.9)
2
2
2
2
H{x, y, y') = 0 — nieholonomiczne (róż niczkowe lub kinematyczne), 2
H(x, y) = 0 2
2
— holonomiczne reonomiczne, 2
(2.10)
H( y) = 0 —holonomiczne skleronomiczne. D l a stereomechanicznych równań ruchu stawiamy zagadnienie Cauchy'ego. Definicja 5. Siłą stereomechaniczną przez analogię do siły newtonowskiej F = md, 1
m — masa, a — przyspieszenie, nazywamy funkcję liniową przedstawioną ^­iloczynem ) 2
2
F=EJ/I y" = [ ( Ł / ) , K ' , Fi" (Ё 7)„У '], Я
EuJi\)''i'i, •• • 5 E\ J\ }\n n
n
(2.11) _E„\J \y„i, .. • 9 n
E J y
nn
nn
nn gdzie 2
EJ = [(EJ) ], j\ =j hh
2
= 1, ...,n jest cią giem dwuwskaź nikowym sztywnoś ci układu, przy czym 2
2
2
2
F= F(x, y, y'), 2
2
:,(x, y, yT (2.12) 2
2
_F (x, y, y'\ n
jeś il F = EJy" w przypadku wyboczenia jednego prę ta. Definicja 6. Zwią zki (2.1), (2.12) nazywamy równaniami ruchu układu dynamicznego stereomechanicznego dwuwskaź nikowego. Definicja 6.1. Dynamiczne układy stereomechaniczne spełniają ce równania wię zów nazywamy układami nieswobodnymi. 'j Symbol U oznacza m n o ż e n ei d w ó c h c i ą g ów w i e l o w s k a ź n i k o w y ch w sensie p­iloczynu [1]. 179 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N Ą Prawa ruchu dynamicznych układów stereomechanicznych dwuwskaź nikowych są uogólnieniem praw ruchu układu dynamicznego stereomechanicznego zerowskaź nikowego. EJy" =f{x,y,y'), gdzie EJ jest sztywnoś cią prę at pryzmatycznego o długoś ci skoń czonej. Wymagają one kilku dalszych pewników zgodnych z doś wiadczeniem. P o s t u l a t IV. Z istnienia wię zów i ruchu układu dynamicznego stereomechanicz­
nego dwuwskaź nikowego po nich (ruchu zgodnego z wię zami) wynika istnienie sił dzia­
łania (reakcji) wię zów R na układ i odwrotnie. P o s t u l a t V . Pod wpływem sił F nieswobodny dynamiczny układ stereomecha­
niczny dwuwskaź nikowy y porusza się jak układ dynamiczny dwuwskaź nikowy swo­
bodny pod działaniem sił danych i oddziaływań wię zów, czyli w inercjalnym układzie odniesienia spełnione są równania ruchu 2
2
2
2
2
2
EJ II y" =
2
F+ R, 2
przy czym współrzę dne cią gu y spełniają odpowiednie równania wię zów. U w a g a . Siły, które nie są spowodowane działaniem wię zów nazywamy siłami czyn­
nymi. Bę dziemy rozważ ali tylko takie wię zy róż niczkowe, które są spełnione liniowo przez prę dkoś i c (2.4) dynamicznego układu stereomechanicznego dwuwskaź nikowego, to zna­
czy dane równoś cią przedstawiają cą ciąg sum w­iloczynu ) 2
Ą
2
2
lyZ y'+ D 2
= 6 , czyli 2
2
/ i . K + ... + T y'.+D u
2
lj[+... l
= o , + а д + д , = о , wynikają ce z ogólnej definicji wię zów 2
2
H(x,
2
2
2
y, y') = 0 , 2
2
przy czym l oraz D są funkcjami x, y i nie wszystkie l , j\ = 1, . . . , n są równe zeru. M a m y tutaj h
A 2/ . 21 • 1 • •• 'ln У и ••• У и 2
2
y= . • • >'nl • •• D 21 M l • •• У п п 21 dni DA 2
) Symbol 5C oznacza m n o ż e n ei w sensie ш ­iloczynu d w ó c h c i ą g ów w i e l o w s k a ź n i k o w y c h, а X przed­
stawia ciąg sum /^­iloczynu [1]. 180 R . K R Z Y W I E C 3. Przemieszczenia moż liwe. Przemieszczenia przygotowane 2
Niech dany dynamiczny układ stereomechaniczny dwuwskaź nikowy y spełnia wię zy skoń czone 2
(3.1)
2
H(x, y) 2
=
0, 3
które zastę pujemy wynikają cymi z nich wię zami róż niczkowymi) (3­2)
^
+
= % czyli dH , д Н „ д Н
­ 3*11+ • • + ­ v — У п Л ­ * — = о , д у д у д х u
п
и A
п
п п
д Н т
, ­ г — У п + д Н
т
, ••• +^ д Н
т У »п +^— = ° о у и д у д х i wię zy róż niczkowe, о których zakładamy, że są liniowe, to jest т
2
(3.3) 2
7 DC y'+ D 2
= 0 . 2
Definicja 7. Prę dkość y'(x) dynamicznego układu stereomechanicznego dwuwskaź niko­
wego znajdują cego się w położ eniu 2
2
y = A nazywamy prę dkoś ci
ą moż liwą (zgodną z wię zami) w tym położ eniu, jeś il układ może ją posiadać w miejscu x, co zachodzi wtedy, gdy ta prę dkość spełnia równania liniowe wię zów (3.2) i (3.3). Definicja 8. Przez analogię do układu dr = r'dt, gdzie r — w e k t o r ­ p r o m i e ń punktu materialnego, układ nieskoń czenie małych przemiesz­
czeń 2
d y =
2
y'dx, 2
gdzie y'(x) jest prę dkoś ci
ą moż liwą dynamicznego układu stereomechanicznego dwuwskaź­
4
nikowego, nazywamy nieskoń czenie małym przemieszczeniem ) moż liwym tego układu. Przemieszczenia moż liwe spełniają równania (3.4) 2
' д у 3
II d y + ^~dx — д х 2
= 0 ) Symbol Л oznacza tu ciąg sum p­iloczynu tensorowego r ó ż n i c z k o w e go rzę du pierwszego funkcji w i e l o w s k a ź n i k o w ej argumentu w i e l o w s k a ź n i k o w e go [1]. 4
2
) Mamy tu na myś il przemieszczenie u o g ó l n i o n e <Py jako iloczyn dx oraz prę dkoś ci
y', ją cej zjawisko stereomechaniczne w układzie stereomechanicznym d w u w s k a ź n i k o w y m. charakteryzu­
181 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A oraz 4
(3.5)
2
2
/ Э С d y+ Ddx 2
= 0, które otrzymujemy mnoż ąc obustronnie równania (3.2) i (3.3) przez dx. Weź my dwa przemieszczenia moż liwe 2
(3.6) d y =
(3.7) 2
2
d\y =
y'dx, y'dx, odpowiadają ce przekrojowi x oraz temu samemu stanowi (położ eniu) dynamicznego układu stereomechanicznego. Spełniają one równania (3.4) i (3.5), natomiast ich róż nica 2
(3.8) 2
Ó y = 2
d y­d y spełnia zwią zki jednorodne (3.9) V 2
Щ
2
[1» У = 0 oraz (3.10)
4
2
2
7 x ó ^ = 0 . Definicja 9. Róż nicę (3.8) nazywamy przemieszczeniem przygotowanym (wirtualnym) dynamicznego układu stereomechanicznego dwuwskaź nikowego y w miejscu x dla pew­
nego położ enia moż liwego. 2
2
4. Podstawowe zagadnienia dynamiki układu n ­krotnego. W i ę zy idealne 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Oznaczmy wymiary л ­ cią gu y, rf ­cią gu \H(x, y, y') = 0 , oraz /* ­cią gu \H(x, y) = 0 przez 2
2
(4.1) D i m j = « , (4.2) Dim H 2
2
= d , 2
(4.3) r>imlH=h . 2
R ó w n a n i a (3.9) i (3.10) zawierają n niewiadomych współrzę dnych cią gu dwuwskaź ni­
kowego 8 y. Jeś il równania te są niezależ ne, to wś ród współrzę dnych 2
Ó yj2 = 6 y
h
h istnieje 2
(4.4) k = 2
2
2 n ­d ~h
współrzę dnych niezależ nych. Definicja 10. Liczbę k współrzę dnych niezależ nych cią gu b y nazywa się liczbą stopni swobody danego dynamicznego układu stereomechanicznego /г ­krotnego. 2
2
182 R . K R Z Y W I E C 2
2
2
Mówiąc o układzie fc ­krotnym bę dziemy mieli na myś il układ /z ­krotny o k stopniach swobody. Podstawowe zagadnienie dynamiki nieswobodnego układu stereomechanicznego o k stop­
niach swobody m o ż na sformułować nastę pują co
. Należy okreś lić ruch 2
2
2
У = у (х ), (4.5)
x <x<x
x
2 2
układu y oraz oddziaływania wię zów 2
(4.6)
R =
2
2
2
R(x, y, y') przy danych siłach czynnych (4.7)
2
F=
2
2
F(x, y,
2
y') i zgodnych z wię zami jego położ eniach począ tkowych (4.8) 2
1у =
У (х )\
х =0 oraz prę dkoś ciac
h począ tkowych (4.9) 2
1У =
Я х )\ . х =0
Jeś il nie jest znany charakter wię zów, to nie są wiadome oddziaływania R i zagadnie­
nie jest nieokreś lone, ponieważ liczba niewiadomych y, R jest wię ksza od liczby równań 2
2
2
2
n +n 2
2
2
>n +d +h . Podstawowe zagadnienie dynamiki układu stereomechanicznego staje się okreś lone, jeś il mamy 2
2
2
2
2
2n ­(n +d +h ) 2
2
2 = n ­d ­h = k
dodatkowych niezależ nych zwią zków mię dzy szukanymi wielkoś ciami dyj. Zwią zki te otrzymujemy postulując istnienie klasy wię zów idealnych. 5
P o s t u l a t V I . Wyraż enie)
2
2(
2
R II 6 y „ jako praca sił oddziaływania wię zów na do­
wolnych (zgodnych z wię zami) przemieszczeniach przygotowanych zeruje się, gdy nie wystę pują siły rozpraszają ce, albo włą czamy je do sił danych, to znaczy 2
„ RII (4.10) 2
ó y = 0,, czyli lt
2
R i f l y i [ + ­•• + , ,Rn 6^ = Rndy + n|
u
... +R 6y„ an
n
= 0. Definicja 11. Wię zy stereomechaniczne nazywamy idealnymi, jeż eli siły oddziaływania R na punkty dynamicznego układu stereomechanicznego spełniają zwią zek (4.10). 5. O g ó l n e równanie dynamiki Rozważ my dynamiczny układ stereomechaniczny n ­krotny nieswobodny. Jego równa­
nie ruchu ma postać 2
(5.1)
5
2
FJI! y" =
2
) Symbol _ oznacza s u m ę d w u k r o t n ą p­iloczynu [1]. 2
2
F+ R. 183 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N Ą Jeś il wię zy są idealne, to w każ dym położ eniu układu dowolne przemieszczenia przygoto­
wane spełniają równanie (4.10) Z układu tych dwóch zwią zków wynika równość (5.2) ^
(
M
T
O
, = 0, k t ó r a nosi nazwę ogólnego równania dynamiki układu stereomechanicznego. Podczas ruchu układu w dowolnym miejscu x (przekroju) suma prac sił czynnych i stereomechanicznych sił bezwładnoś ci) na dowolnych przemieszczeniach przygotowa­
nych jest równa zeru. Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by ruch układu dynamicz­
nego stereomechanicznego zgodny z wię zami odpowiadał danemu układowi sił czyn­
nych F, jest spełnienie ogólnego równania dynamiki. 6
2
6. Zasada przemieszczeń przygotowanych. Zasada d'Alemberta Definicja 12. 2
2
Położ eniem równowagi y dynamicznego układu stereomechanicznego n ­
krotnego nazywa się takie jego położ enie, w którym układ znajduje się w sposób cią gły, jeś il w miejscu począ tkowym był on w tym położ eniu i prę dkoś i c y' wszystkich jego punktów były równe zeru. Położ enie układu \y jest wtedy i tylko wtedy położ eniem równowagi, gdy ruch 2
(6.1)
2
y{x) = ly spełnia ogólne równanie dynamiki, to jest jeż eli w tym położ eniu (6.2)
2
?I
F!I 2
ó y Q. ]=
Równość ta jest treś cią zasady przemieszczeń przygotowanych. Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby pewne (zgodne z wię­
zami) położ enie dynamicznego układu stereomechanicznego « ­krotnego było położ eniem równowagi, jest równa zeru w tym położ eniu suma prac sił czynnych F na dowolnych przemieszczeniach przygotowanych ó y. Równość (6.2) wyraż ają a c zasadę przemieszczeń przygotowanych jest przypadkiem szczególnym ogólnego równania dynamiki (5.2). 2
2
2
Potraktujmy równanie dynamiki jako zasadę przemieszczeń moż liwych, charakteryzu­
ją cą położ enie równowagi dynamicznego układu stereomechanicznego n ­krotnego, które powstaje z dodania sił bezwładnoś ci do sił czynnych. Stąd wynika zasada d'Alemberta. Podczas ruchu dynamicznego układu stereomechanicznego H ­krotnego m o ż na dowolne 2
2
") Stereomechanicznymi silami b e z w ł a d n o ś ci ­B nazywamy wyraż enie
2
2
1
B = — EJ \\ y" . 184 R . K R Z Y W I E C 2
jego położ enia traktować jako położ enia równowagi dodając siły bezwładnoś ci B do sił czynnych F w danym położ eniu 2
(6.3)
2
2
2
F+ B = Ó. Dzię ki tej zasadzie metody statyki przenoszą się na zagadnienia dynamiki. 7. Współrzę dne niezależ ne (uogólnione) układów stereomechanicznych uogólnionych. Siły uogólnione 2
2
Niech bę dzie dany dynamiczny układ stereomechaniczny y holonomiczny « ­krotny spełniają cy wię zy (7.1)
2
2
H(x, y) 2
2
= 0 . 2
Przyjmujemy, że funkcje H w iloś ci h są niezależ ne, przy czym л : jest parametrem, natomiast zmiennych yj jest n . Wobec powyż szego moż na z równań wię zów wyrazić h
współrzę dnych (czyli ciąg dwuwskaź nikowy współrzę dnych) przez funkcje n —h pozos­
tałych współrzę dnych oraz zmiennej x i rozpatrywać te współrzę dne w liczbie 2
2 2
2
(7.2) 2
k = n ­h
2
2 jako wielkoś ci niezależ ne okreś lają e c położ enia dynamicznego układu stereomechanicz­
nego holonomicznego w miejscu x. Takimi współrzę dnymi nie koniecznie muszą być współrzę dne kartezjań skie. Także współrzę dne kartezjań skie cią gu y (w liczbie n ) moż na wyrazić jako funkcje cią głe i róż niczkowalne A­ ­elementowego cią gu dwuwskaź nikowego parametrów niezależ nych 2
2
2
2
(7.3)
l
q = 1
[ q ,..., q \ i
k
i zmiennej x, mianowicie 2
(7.4)
y =
2
2
y(x, q), przy czym 2
(7.5) 2
D i m ? = k . Funkcje te spełniają toż samoś ciow
o równania wię zów podane wyż ej. Zakładamy ponadto, że dowolne (zgodne z wię zami) położ enia dynamicznego układu stereomechanicznego « ­krotnego w miejscu x m o ż na przy pewnych wartoś ciach q otrzy­
mać z równań (7.4). Definicja 13. Wielkoś ci q wystę pują e c w równoś ci (7.4) nazywamy współrzę dnymi uogólnionymi niezależ nymi dynamicznego układu stereomechanicznego holonomicznego « ­krotnego. Każ dej współrzę dnej uogólnionej q jako cią gowi fc ­elementowemu (dwuwskaź niko­
wemu) odpowiada siła uogólniona Q. Wprowadza się ją nastę pują co
. Niech bę dzie dana praca óL sił czynnych F j a k o iloczyn 2
2
2
2
2
2
2
2
(7.6) 2
ÓL = FII 2
2
d y,. Przemieszczenie przygotowane (7.7) 2
ó y = 2
j^lló q, 185 A N A L O G I A M E C H ANICZNO­STEREO M E C H A N I C Z N A czyli я
д
У "л dq , i
д
У п . °Ч ш u
д у , д у „„ т
2
2
jest róż niczką przygotowaną funkcji J>(x, q) przy ustalonym x. Podstawienie zwią zku (7.7) do (7.6) prowadzi do wyraż enia pracy elementarnej sił czynnych F przez dowolne przyrosty Ó q współrzę dnych uogólnionych q 2
2
(7.8) 2
dL =
Definicja 14. 2
2
Fll^^gd q =
2
2|
QHfl\ 2
• 2
Współczynnik Q (ciąg dwuwskaź nikowy) przy b q wyraż ają y c się wzorem ( т . ч . d zie T— symbol cią gu transponowanego, nazywamy siłą uogólnioną. 8. Dwuwskaź nikowe równania Lagrange'a drugiego rodzaju we współrzę dnych niezależ nych dynamicznego 2
układu stereomechanicznego n ­krotnego Równanie to wyprowadzimy z równania ogólnego dynamiki 2
?I
2
2
( F~ EJ 2
II y") II 6 y = 0. t
Praca 6L sił czynnych w układzie kartezjań skim 2
we współrzę dnych niezależ nych q przyjmuje postać a
a
g| =„ 6 //3 g
p gdzie według (7.9) 2
2
Q= F Analogiczną postać ma praca 6 L sił bezwładnoś ci B
2
(8.1) d L=­, BII B
gdzie we współrzę dnych niezależ nych (8.2) 6 'В = ('Ё З Н >у ")&[Щ
Mechanika teoretyczna =. 2
óq
r 186 R . K R Z Y W I E C Ponadto stwierdzamy, że prę dkość 2
д у d _ У = dx y(x, q) = ~^ll q' (8.3) 2
2
д у д х 2
2
jest funkcją liniową q'. Wobec tego 2
2
d y' _ d ^ d q' ~ ~Щ (8.4) 2
Dodatkowo z (8.3) mamy 2
2
2
2
д у ' _ d д у dx d q d q' (8.5) Jeś il bowiem 2
2
У =
2
y(x, q), to fy ^ p{x, q), d q 2
2
2
czyli ­Щ
2
2
= [pi (x, q), .. • p„ (x,
,
q)] i wtedy, analogicznie do (8.3), mamy 2
dx d q 2
d q ­
4
2
dx 2
d q d q ~
4 +
2
Э х d tf ' Wobec powyż szego po uwzglę dnieniu zwią zkуw (8.4) i (8.5) rуwność (8.2) przyjmie postać 2
(8
­
6 ) 2
* = ^ { W ^ ^ l l r j l EJ
­<? "*y') II d y' d q d d ­ rfx a ?' 2
2
2
<3 ­
a (? 2
2
gdzie Г jest energią kinetyczną (8.7) T ~
2
2
2
EJII( v') = —
2
Г dynamicznego układu stereomechanicznego, natomiast 2
2 T ... Г ,„] Г ^ п ( У и ) , T . . . TJjnJ L­^nlOnl) > • •>• Е п п (У п п ) . u
n l
.­,E (y' )
ln
ln
przedstawia ciąg dwuwskaź nikowy energii kinetycznych tego układu. d д Т dx 2~' d
2
q д Т A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R Ł O M E C H A N I C Z N A 187 Z równania ogólnego dynamiki mamy (8.8) ÓL+ó L B
= 0, lub po wykorzystaniu wyraż eń na prace 2
(8.9) 2
2
„( Q­ B)II d q =0. t
2
7
Równość ta zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy d q są równe zeru ). Zatem zwią zek (8.9) jest równoważ ny równoś ci 2
B =
2
Q, k t ó r a zgodnie z (8.6) może być zapisana w postaci d д Т dx d q (8.10) д Т d q 2
,­
2
Ostatnia równość nosi nazwę równań Lagrange'a drugiego rodzaju lub równań Lagran­
ge'a we współrzę dnych niezależ nych (uogólnionych) dynamicznego układu stereomecha­
nicznego « ­krotnego. 2
P r z y k ł a d . Wyprowadzić metodą Lagrange'a równania ruchu drgań swobodnych układu stereomechanicznego o n stopniach swobody. Przedstawimy przykład ruchu układu dynamicznego stereomechanicznego dwuwskaź­
nikowego otrzymanego za pomocą równań Lagrange'a drugiego rodzaju wyprowadzonych w tej pracy. Rozważ my jeden pręt sprę ż yst
y o sztywnoś ci 2
EJ = a = const x
poddany wyboczeniu siłą P = a = const. , 2
W tym przypadku zerowskaź nikowe równanie ruchu ma postać а \У "\а у г
= 0 zwaną oscylatorem stereomechanicznym zerowskaź nikowym. Otrzymujemy je z zero­
wskaź nikowego równania Lagrange'a d д Т д Т ~dx~ д у ' . д у ~ ' gdzie Tjest energią kinetyczną prę ta. h [2] usytuowanych na jednym odcinku Rozważ my nastę pnie ciąg n prę tów sprę ż ystyc
i na przykład utwierdzonych sztywno jednym koń cem. Swobodne koń ce są połą czone sprę ż yś cie
. Każ dy pręt jest poddany wyboczeniu jedną siłą. 7
2
6* z
) Wynika to stą d, ż e w s p ó ł r z ę d ne niezależ ne c i ą gu d w u w s k a ź n i k o w e go ą mają zupełnie dowolne przyrosty d q. 188 R . K R Z Y W I E C Jednowskaź nikowe równanie ruchu ma postać \dy"+lay = 0, czyli ia y"+ ... a y' '+ a y + n
1
in
n
2
ll
... + a y„ 2
1
= 0 , ln
••• +i a „„j„'+ a „i >'i + ... + 2 f l ^ = 0 , którą nazywamy oscylatorem stereomechanicznym jednowskaź nikowym. 2
n n
n
Otrzymujemy je z jednowskaź nikowego równania Lagrange'a d_dlT д Т ­
Oscylator stereomechaniczny dwuwskaź nikowy przedstawia równanie JSJ 7'+ f ^= o, 2
2
lub 2
2
\a y"+ia y = 0 , gdzie EJ n
EJ , ... n
EJ EJ \, n
ln
E\\J\\ • • Et„J
ln u E \J„\ ... E J„„ E„\J \ • F T E\\Ju ... E J\„ EJ E \J \ ... E J
E„\J„\ • F J n
n
EJ
m
n
in
n
n
nn
n
nn . E{„J i„ n
nit tin. }« = EJ ji>jz,jy*U — 1» •••> n—cią g =[{EJ)
], hhhU
czterowskaź nikowy współczynników sztywnoś ci (stały jfl = P = [Pj j j j ] — c i ą g czterowskaź nikowy sił obcią ż ają cyc
h (stałych). 1
2
y
4
Energia kinetyczna 2
układu « ­krotnego >ii ••• У ш У \п • • •У п . wyraża się równoś cią gdzie У и У п У ш У и •••У ш У ш •••У п У ш У 'Ш
У 'п У 'ш • • •У п У 'н п А 2
У 'Ш
2
(У и )
• • •У 'ш У п п 6%)
2 2
( y') = У м /и _1У '1ч У п 1 • • • У 'ш У 'щ '* • • • У 'п \У п п . г
у ' у 'и п п
• • У п п У 'п У п п У п 1 • • У п п У п 1Ш
2 Ш
2
. 2 1 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A 189 natomiast 2
2
/ « ( У ) , = j a . i f f l i ) , + • • • + fe^O", = ian jii>'i'i+ ••• + Л
« & ) < 1 + ••• + i a i „ „ j ; / , + ••• +ia„„ y' y'nn, 11
2
= 1
n
nn
1
ntt
г
przy czym \а ( у ') jest odpowiednio zbudowanym cią giem czterowskaź nikowym energii kinetycznej dynamicznego układu stereomechanicznego « ­krotnego. Umawiamy się, że energię kinetyczną T zapiszemy w postaci 2
1
i M I • •• iT„i ... \T„„ \T
in ze wzglę du na formalne podobień stwo do przekształcenia liniowego. W tym wzorze 2T x
n
2iT
nn
ш ,a y' y' Un
n
n
= ia„ y' y' + lnl
nn
n
+ ... + а щ
1
1
у [ у ' + 1
n
... + a y' y' , ... +iCt„ y' y'„i+ ... +ia y' y'„ . т
... +ia „ ,y' „y'i„+ n
... ­ ­ а у ' у ' + и
n
1
П ы
п
lnn
п 1
m
1
inin
mnn
u
m
m
n
M a m y wtedy Podobnie zapisujemy energię potencjalną układu 3 T = l [ ^ ^ ] = ­ 4 [
2
2 l
Ј ( 5 ) l . l l
Energia całkowita układu jest sumą 2
f=\f+lf, przy czym 2
d T г 4 ­ 2 ­ 1 Ze wzglę du na drgania swobodne Q = 0. Rów n an ia Lagrange'a (8.10) stanowią ciąg dwuwskaź nikowy — układ układów rów­
nań "). Wynikają one z odpowiedniego róż niczkowania funkcji T wzglę dem kolejnych zmiennych. 8
) Są one słuszne r ó w n i e ż —jak wiadomo — w przypadku działania na układ sit posiadają cych potencjał, czyli przy u w z g l ę d n i e n ui energii potencjalnej. 190 R . K R Z Y W I E C Ten sam wynik otrzymamy wprowadzając poję cie cią gu energii T. Wtedy każ da jego współrzę dna przedstawia tylko tę energię układu, której pochodna wzglę dem odpo­
wiednich współrzę dnych nie jest równa zeru. Pochdne. pozostałych wskaź ników są równe zeru. Zauważ my, że ten sam wynik uzyska się po zdefiniowaniu pochodnej przekształcenia kwadratowego 1«п
,
и
К 1 Л 1 + 1 « 1 ­ . / п К + • • +i«n,„>'iiJ ń + i ••• +ia . п
in
i n i „ i У п п У и nr • • ­*г
•
\ п п У п п У [п Л ­ ia y'n+ ••• + i « i
fl
nn L а
п Х
• • •~\­id„\ y'„ y' i + ... + nn
n
n
У и У п nn \O „ y' y' n
nn
m
I , nn
skąd Ull
T \ i 1
1
nn B l i
y + •• +ian y'ni+ ł B
ln
1 Я ц „ У и + • • +l"„n„,y'ln + ••• +^in y'„ ln
• + i O i „ „ J i + iO „„ y'm + \a „ y'„ B
B
BB
m
n
dy
W ten sposób otrzymamy nn jeś il oznaczymy 5 ­ i « n j i i J i i + ••• + 1 1
ia y' y' ; lnin
I I i \О \, У п п У 1\ п
а
n
m
i T • • • Bę dziemy pisali Wtedy ; i a i „ , y i + ••• +ia y'^
B
mm
tm 191 A N A L O G I A M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A Zatem d , 2
д Т d д
г ~ у
г 4 ­ 2 ­ / ' i [ \J­M\ 2
; — Р щ
У и + • • •
п 1
+(—Р м ^)У п п
Wobec powyż szego z równoś ci (8.10), danej cią giem dwuwskaź nikowym, czyli układem d f _2
d y ~~
2
2
d d f dx d y' Ó 2
2
Q wynika układ równań rуż niczkowych l « l l / l i + 1 1
• • • + l f l l n
J'™+2«lI
l n
i f l « i „ , T n + ... +\а „ у ' ' + а
п
п п
п
п
2
1 1
> ' l l + У п ­г ­ М п 1
• • • + 2 t f W m , =
0, ... + а „ у „п = 0, 2
П п п
ktуry zapiszemy w postaci ­1"п У '­Н а п У 1+ п
... + a y \a^y\' 2
ln
n
= 0, ­\a y = 0 m
n
lub 2
\d y = %. Literatura cytowana W tekś cie 1. R. K R Z Y W I E C , Cią gi wielowskaź nikowe, Zagadn. D r g a ń Nielin. (w druku). 2. R. K R Z Y W I E C , Wyboczenic wielkiego systemu­ukladit wielowskaź nikowego prę tów sprę ż ystych
jako ruchu przez analogię , Arch. Bud. Masz. (w druku). 3. R. K R Z Y W I E C , Wielowskaź nikowe krotnych jako wielkich systemów, równania Lagrange'a drugiego rodzaju układów mechanicznych wielo­
Zagadn. D r g a ń Nielin. (w druku). 4. R. K R Z Y W I E C , Analogia mechaniczno­stereomechaniczna w klasie jednowskaź nikowych drugiego rodzaju, Mat. II Konf. Dynamiki Maszyn, R z e s z ó w 1969 (w druku). równań Lagrange'a 192 R. K R Z Y W I E C Р
М
Е Х А Н И К О ­С Т Е Р Е О М
Л А Г Р А Н Ж
е з ю
м
е Е Х А Н И Ч Е С К А Я А Н А Л О Г И Я А В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А С Д В У М
Я У Р А В Н Е Н И Й И Н Д Е К С А М
И В р а б о т е д а е т с я о б о с н о в а н и е м е х а н и к о ­с т е р е о м е х а н и ч е с к о й а н а л о г и и в т о р о г о р о д а у р а в н е н и й Л а г р а н ж а с д в у м я и н д е к с а м и , в ы в е д е н н ы х н а я з ы к е с т е р е о м е х а н и к и б е з и с п о л ь з о в а н и я в а р и а ц и о ­
н н о г о и т е н з о р н о г о и с ч и с л е н и й . Т е о р е т и ч е с к и е р а с с у ж д е н и я п о д и т о ж е н ы и х п р и м е н е н и е м д л я в ы в о д а у р а в н е н и й с т е р е о ­
м е х а н и ч е с к о г о о с ц и л л я т о р а . Т а к и м о б р а з о м у к а з а н а т а к ж е м е х а н и к о ­ с т е р е о м е х а н и ч е с к а я а н а л о г и я у р а в н е н и й г а р м о н и ч е с к о г о (м а т е м а т и ч е с к о г о ) о с ц и л л я т о р а . П
р и р а с с м о т р е н и и в о п р о с а б ы л и и с п о ­
л ь з о в а н ы п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с д в у м я и ч е т ы р е м я и н д е к с а м и . S u m m a r y M E C H A N I C A L ­ E L A S T I C A N A L O G Y I N T H E C L A S S O F T W O ­ I N D E X L A G R A N G E E Q U A T I O N S O F S E C O N D K I N D The analogy has been derived without using the variational and tensor calculus. Theoretical considerations are illustrated by their application to the derivation of the equations of a two­index elastic oscillator. This proves the mechanical­elastic analogy in the class of harmonic (mathe­
matical) oscillator equations. Multi­index series (2­index and 4­index in particular) have been used in the paper. P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A Praca została złoż ona w Redakcji dnia 31 paź dziernika 1969 r.