część T - Olimpiada Fizyczna

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA
ZAWODY III STOPNIA
CZE˛ŚĆ TEORETYCZNA
Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 20 punktów.
Zadanie 1.
Zadanie 2.
Mały cie˛żarek o masie m jest przymocowany do
końca lekkiej, wiotkiej nici, której drugi koniec
jest zamocowany nieruchomo w punkcie A. Długość swobodna nici wynosi l, jej maksymalne
wzgledne
wydłużenie wynosi p, gdzie p ≪ 1,
˛
a maksymalna siła napiecia
(wytrzymałość) jest
˛
równa Fmax . W całym zakresie wydłużeń spełniona
jest proporcjonalność wydłużenia do siły (prawo
Hooke’a).
Źródło dźwieku
˛ harmonicznego porusza sie˛ ruchem
jednostajnym po okregu
˛ o promieniu R z predkoś˛
cia˛ mniejsza˛ od predkości
vd dźwieku
˛ w ośrodku,
˛
ale porównywalna˛ z nia.˛ Czestotliwość
dźwieku
˛
˛
jest znacznie wieksza
od czestotliwości
kra˛że˛
˛
nia źródła. Nieruchomy mikrofon znajduje sie˛
w odległości wiekszej
niż R od środka okregu,
po
˛
˛
którym porusza sie˛ źródło, w płaszczyźnie tego
okregu.
W chwili t = 0 odebrano dźwiek
˛
˛ o najwiekszej
czestotliwości,
a najbliższy nastepuj
˛
˛
˛ acy
˛
po nim dźwiek
ode˛ o najmniejszej czestotliwości
˛
brano w chwili t = ∆t. Średnia arytmetyczna
najwyższej i najniższej czestotliwości
dźwieku
˛
˛ odbieranego przez mikrofon wynosi fa . Średnia
czestotliwość
odbieranego dźwieku,
określona jako
˛
˛
pole pod wykresem zależności tej czestotliwości
od
˛
czasu podzielone przez czas, w przedziale od t = 0
do t = ∆t wynosi fb .
Niech B bedzie
punktem, którego odległość od
˛
punktu A nie przekracza długości nienapietej
˛ nici,
a położenie w pionie wzgledem
punktu A wynosi h,
˛
przy czym h > 0 oznacza położenie powyżej
punktu A. Odległość w poziomie miedzy
punktami
˛
A i B jest równa d.
Wyznacz chwile,
˛ w której odbierana czestotliwość
˛
bedzie
równa dokładnie fb . Rozważ tylko chwile
˛
z przedziału od t = 0 do t = ∆t.
Rys. do zad. 1: cie˛żarek na nitce
Podaj wartości liczbowe czestotliwości
wysyłanego
˛
dźwieku,
pr
edkości
źródła,
oraz
poszukiwanej
˛
˛
chwili dla fa = 11 · 103 s−1 , fb = 9 · 103 s−1 ,
R = 100 m, vd = 340 m/s, ∆t = 1 s.
Cie˛żarek został upuszczony z punktu B. Droga
przebyta przez cie˛żarek w czasie swobodnego
spadku była znacznie wieksza
od drogi przebytej
˛
podczas napinania nici. Nić zerwała sie˛ przy pierwszym rozciagni
˛ eciu.
˛
Podaj warunek, jaki musiały spełniać parametry
m, p, Fmax , d, l oraz przyspieszenie grawitacyjne g,
aby opisane zdarzenie było możliwe, oraz — dla
ustalonych wartości tych parametrów — minimalna˛ wartość hmin wysokości, z jakiej upuszczono
cie˛żarek.
Opór powietrza należy pominać.
˛
Zadanie 3 na nastepnej
stronie.
˛
1
zespołu dysków 2 i 4 wzgledem
zespołu dysków 1 i
˛
3 wynosi ϕ (patrz rysunek A).
Zadanie 3.
Zbudowano silnik elektryczny składajacy
˛ sie˛ z 4
współosiowych, cienkich dysków, każdy o promieniu R.
Poczatkowo
wszystkie sektory A (wszystkich
˛
dysków) były dołaczone
do dodatniego bieguna
˛
źródła napiecia
U, a wszystkie sektory B — do
˛
ujemnego bieguna.
Każdy dysk składa sie˛ z 2n metalowych sektorów
jednakowej wielkości, przy czym sasiednie
sektory
˛
sa˛ od siebie izolowane. Sektory nieparzyste (na
rysunkach oznaczone litera˛ A) oraz parzyste (na
rysunkach oznaczone litera˛ B) sa˛ — każde z osobna — elektrycznie połaczone.
Odległość miedzy
˛
˛
sasiednimi
dyskami wynosi d, przy czym jest ona
˛
znacznie mniejsza od liniowych rozmiarów sektorów. Dyski 1 i 3 sa˛ nieruchome, a sektory A
dysku 1 sa˛ ustawione dokładnie za sektorami B
dysku 3. Dyski 2 i 4 sa˛ ze soba˛ sztywno połaczone
˛
i moga˛ sie˛ obracać wokół wspólnej osi. Podobnie
jak dla dysków 1 i 3, sektory A dysku 2 sa˛ ustawione dokładnie za sektorami B dysku 4. Kat
˛ obrotu
a) Wyznacz moment siły elektrycznej obracajacej
˛
zespół dysków 2 i 4 w zależności od kata
˛ ϕ i określ,
w która˛ strone˛ jest on skierowany.
b) Załóżmy, że zespół dysków 2 i 4 obraca sie˛ stale
w te˛ sama˛ strone.
˛ Dla jakich wartości ϕ należy
zmienić bieguny zasilania sektorów dysków 2 i 4
na przeciwne, aby moment siły obracajacy
˛ te dyski
był stale skierowany w te˛ sama˛ strone?
˛
c) Podaj wartość liczbowa˛ maksymalnego momentu siły z punktu a) dla R = 0,1 m, n = 20,
d = 0,0001 m, U = 100 V. Przenikalność elektryczna próżni ǫ0 ≈ 9 · 10−12 F/m.
Rys. A do zad. 3: dyski tworzace
˛ silnik, tutaj przedstawione obok siebie — w rzeczywistości sa˛ one
ustawione jeden za drugim.
Rys. B do zad. 3: dyski zamontowane w silniku. Skala nie jest zachowana. Elementy konstrukcyjne
silnika i połaczenia
elektryczne nie sa˛ pokazane.
˛
2
012345
6267482696746
!
"#$%&''($)%
*+,-
'*($
$./&*
0
$1$' 8
24./5647 9:;+5<=5>?
@AB
3
%(,#1
'9:;+5<=51$ '($@
CB1
8
>
./6 37 9:;+5<=5 D
@EB
"'',F
$./ ./IH$(
($(!./G H$
,
J'1 ;
./G6 +5+<=5./?
@KB
./I 6 =+./D
@LB
F'%$$%'$1$ $
'%1 &
M'1 $
@1' ''111$(*'
'$B,N$&$ 1$(*+&
$( 11,
F %1$('(
1$1'($$(1& (1,O $($$(1
$ $'$$$,-$&1$ $
$'
(
1%
$$1'$$$PQRST+U3,V &
11$
4./5GW 2PXT+?
@YB
3 3
Z =5[ 8 ; >
34 2< +5 7 9: +5<=5 WPXT+D
@\B
N1
$$91*1$
XT+ c<;+
5<=5D
_2<
@dB
9Q]^6 347P
`aa
b
F9e;+5<=5& &%'(1$1$
PXTc i2D
@jB
_
f47 2< `baa gh5
kl7mn6op62696746
q
F$
'@*@EBB%*HE,
r*%@'1$(
11BHE,
O$11@*@YB%*BHE,
O*9Q]^ @*@dBBHE,
O@*@jBBHE,
A
012345
6267482696746
!!"#$% ! &'&(
)&!*'!+,'+
,
!(-+'
'+++.+/&++0-1
!!"#23 ! &'&()&!*'!+'
+
,
!(-+''++&
+.+4&++0
5&-6-1+7!)+(*&+!*'(+8 ',+-7+*/(4(9:;*<+)!*'&&
" EA
#23 = D
.G0
"#$%= >?"@ A"#23= >B"@ A"= "#$%B"
C
@
@
>? @@ F
)"
!!*'(H!
+I+!*')+;+,&(,&,!
!+(+J=K
J=LJ*)*&I&+-/&I
)** )*&'&II()&!*''+/(
I()&!*''+4-1,)'!!/8*)'!48(
!*'!'/4LJ(&&'&&LJM")*-4
+)
N"((,
.OP0
"="Q)*"&&
R
.OO0
H=H >? ""S
1&&++
T*&
.O60
T= HCLJ
UA
,!&)&&I)'!!V+!)+
V= WXUYTS
.OZ0
6
012
345657896
4
68336
198323459983298313137853
1983294
99878
166416483264567368394562
386651!169648329
8378141866504!"9173282182
36736
486866
651134198714#$ 3459163
)*+*+,-.
(
#$% &#
' 0 /
@ A CD
2< ?*2*,- /&# 2* E+F
1
6
% &#
GH
(
' 345 7:;89 2* ==>
'+
B /
I6459823781693651
%JK2LM4NOP/%2QRS4P#$%LPT4F
GU
VWXYZ[\][^[_[X`[a
b3
4738383463215946
198328633653681413891413
12
345657896
4861916cde 8cfg 916hij5!
k598313838148383 513%liG5!
I326
4
1663291GGiG5!
I6692
583216613886698291413881413
1983269891
GjiG5!
b736
4
8666
4663291GmiG5!
"45738366138
15046698236633
198326986
12
345657896
48% iG5!
k198791GHij5!
n56
48781693916GUiG5!
m
012345
6267482696746
1 !
"#
$ %&'()*+(,-./&')0 *+(,-.2'%*%&.3"4356%6%&#
73!89!3
:44"94 "9;*(.<;*(.<;*(.;*(2/&=
:44"94 "9;*(.;*(.<;*(.<;*(+><2-/&=
:44"94 "9<;*(.;*(.;*(.<;*(2/&=
:?44"94 "9<;*(.<;*(.;*(.;*(+><2-/&#
@A"::3"GHIJ3
"4"2/&
1
K
4!3!;.93!
!B&CD'EF1 L ; #!88"
MN O*+(,-3!
38P"Q "#
@A"::?938"G
UJK "4"
S
&
TI
1
H
!B1CR'(F1 L ; #
+><2-/&4!38!;.93!
V4""8"4856%6%&
\ ] 1
B'WE,2X(,+><2-YZ([/M&;1' >X %), Z([)0M ;1^
:_`
a"49A"93b ' c>X de,fZ[egLh.4!38
!;#iQ8"334.QQ3"
3%#8A39".A9"94!!.39
983!
39"94!
8#89.
8"3343!8"A.94!
!
!.:QA""448"9#3
Q3Q.A4!3"4!#j "3"83
%48"k"8333
1
1
1
l' %(kb '<(kb1b% '<;(b%m
:_n
l93334!
Q9! 4"::?#
i3Q3l98!Q"9
4!
pb;1q
lo%'o ( <;okm
\rsh]
"343%o%.ok948"39"
o 1 93!
4!
4"893".;okt!
"!
4#uA
;4:3ok';ob.33
1
l'<;(b%m
8:_n#
8A3.Ab*%9"Q Q8:%'%&%'%&#
uA8"334" l 9<l3893
1
1
l 'X;(,Z[0M^
:_v
j.A5w%w%&8"3349"3%#
x%&6%6(%&y89!2'+%<%&-*%&33!89!3
z
0123456789
9177967896777519361
01123456789
9177967896777519361 011123456789
9177967896777519361
01!23456789
9177967896777519361 "
#79$67%&%&9'()(5$3)(567&1
3 5 7 689
+
0;<2
*+,-+./0 1 2*./0 1 2 4 6+ /0 1 :
7375)1)7$7$96(&1989369)85=5=5
9
9
> 2+/081?
0@A2
B81'
45&(6$7$96&19&&1937563915619)7537&(5"
C 3)(525 73525 $$)7619619&39$($9693
119893699$
$7$96&19&3456D"E7&93'73$695611677&9&97373$$
FG ,IJ+/0KJ )8M5=5=M,5M2D::??
> 2H I99J+/0KLLJ )8M5=5=M5M2D::??? ?
0@;2
A
)852M5M2D::???
N2O75P&9
7561P9N$7$96&1N&1937565&959)6'
&376'
9)8M5=
5=M5M2D::???689P$1961%6619'17)'769
7)7&97345)&45@1Q6
39156"
2#7)&51')6981N75973$$
> 2RSDTUVS$"
0@@2
WXYZ[\]^\_\`\Ya\bc
E75P9619()(7()(76)96&734571&69
75(6012d01!28(N()345675P6
0De5e58(N5e5e52d@"
f693
198937&6()(05430;g28(N345675P62d@"
#351)7575375)765436$7$96&105430;h28(N345675P6730;i22dj"
k(6$7$96&157
486$3)(05430@;22d;"
l39%&89619'
343$689P$1961%N19
(6)7437)'769&'
&9730M5=
5=M5M2D::???2d;"
C37%&%81N75$&$869
7$7$96(&105430@@22d;"
m