Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 1. W
1
p r owadze n ie
Rozdział 1
PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1.1. WPROWADZENIE
SYGNAŁ – nośnik informacji
ANALIZA SYGNAŁU –
badanie, którego celem jest
identyfikacja własności, cech, miar sygnału;
odtwarzanie informacji niesionej przez sygnał
PRZETWARZANIE SYGNAŁU – zmiana
własności,
formy, cech, miar sygnału celem jego łatwiejszej
analizy, rejestracji, przechowywania itd.
Metody używane w analizie sygnałów:
badanie miar statystycznych (momentów)
analiza rozkładu (gęstości) prawdopodobieństwa
analiza korelacyjna
analiza widmowa (spektralna, fourierowska albo
częstotliwościowa)
analiza falkowa (wavelet analysis)
Rodzaje metod analizy:
♦ analogowe (dla sygnałów ciągłych)
♦ cyfrowe (dla sygnałów dyskretnych)
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 1. W
2
p r owadze n ie
Przykłady sygnałów:
♦ kierunkowskaz samochodowy
– sygnał 2-stanowy (“miga” albo “nie miga”)
– bardzo łatwy do analizy
♦ ocena studenta
– kilka możliwych wartości
– łatwy do analizy
♦ przebieg czasowy amplitudy drgań łożyska silnikowego
– sygnał wielopoziomowy – nieskończona (lub bardzo
duża) liczba możliwych wartości
– sygnał o złożonym charakterze, zmienny w czasie w
sposób losowy – nie przewidywalny
– wymagane zaawansowane metody analizy
uwaga
prosty sygnał (uboga informacja) ⇒ prosta metoda
złożony sygnał (bogata informacja) ⇒ zaawansowana metoda
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
3
1. 2. P r oc e s S t oc h as t y c zn y
1.2. PROCES STOCHASTYCZNY
Proces stochastyczny PS – zbiór N losowych zmiennych Qi
(realizacji procesu) zależnych od nielosowego parametru
t, odpowiadających elementarnym zdarzeniom ωi
należącym do zbioru Ω
Ω = {ω 1 ,ω 2 , ... ,ω N }
każdemu zdarzeniu elementarnemu
przyporządkowane kilka realizacji
(1.1)
ωi
ω i → Qi = f ( t ) → Qi ( t )
ω i → Ri = f ( t ) → Ri ( t )
może
być
(1.2)
M
⇓
( P.S .)Q = {Q1 ( t ),Q2 ( t ), ... ,Q N ( t )}
( P .S .)R = {R1 ( t ),R2 ( t ), ... , R N ( t )}
(1.3)
M
parametr t – przeważnie czas, lecz może to być również inny
parametr np. współrzędna
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4
1. 2. P r oc e s S t oc h as t y c zn y
Q3
Q2
i
Q1
Q
t1
t2
t3
t
przekrój procesu stochastycznego – zbiór
zmiennych Qi odpowiadających ustalonej
parametru t (np. pewnej chwili czasu)
t1 → Qi ( t1 ) = {Q1 ( t1 ), Q2 ( t 2 ), ..., Q N ( t1 )}
t 2 → Qi ( t 2 ) = {Q1 ( t 2 ), Q2 ( t 2 ), ..., Q N ( t 2 )}
.
.
wartości
wartości
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 3. S t ac j on ar n oś ć i
E r g ody c zn oś ć
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
5
1.3. STACJONARNOŚĆ I ERGODYCZNOŚĆ
STACJONARNOŚĆ
a) niezależność miar statystycznych realizacji PS od przedziału
zmienności parametru t
Q t ( t1 ; t 2 ) = Q t ( t 2 ; t 3 ) = ...
(1.4)
M
b) niezależność miar statystycznych od przekroju PS
Q z ( t1 ) = Q z ( t 2 ) = ...
(1.5)
M
• ustalona (stacjonarna) wariancja
• zmienna (niestacjonarna) średnia
Q1(t)
t1
t2
t3
t
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 3. S t ac j on ar n oś ć i
E r g ody c zn oś ć
6
stała (stacjonarna) średnia
narastająca (niestacjonarna) wariancja
ERGODYCZNOŚĆ
stacjonarność
uśrednianie w zbiorze równoważne uśrednianiu w
funkcji parametru t
Qt = Q z
M
⇓
proces stochastyczny jest ergodyczny
(1.6)
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
1.4. KLASYFIKACJA SYGNAŁÓW
sygnał
deterministyczny
mieszany
stochastyczny
(losowy)
deterministyczny – przewidywalny
stochastyczny – nieprzewidywalny
mieszany – sygnał złożony z conajmniej dwóch sygnałów
składowych, z których jeden jest sygnałem
deterministycznym a drugi losowym
7
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
8
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
Jak rozpoznać sygnał deterministyczny ???
sygnał deterministyczny
okresowy
sinusoidalny
(harmoniczny)
poliharmoniczny
nieokresowy
nieustalony
quasi-okresowy
sygnał okresowy
x(t) = x(t + T) = ... = x(t + kT)
T – okres sygnału
k – liczba całkowita
(1.7)
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
9
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
sygnał sinusoidalny
x(t) = A 0 + A ⋅ sin(2πft + ϕ )
A0 –
A –
f –
ϕ –
(1.8 )
wartość średnia
amplituda sygnału
częstotliwość (f = 1/T)
przesunięcie fazowe (kąt fazowy)
sygnał poliharmoniczny
x(t) = A0 +
∑ A n ⋅ sin(2πnft + ϕ n )
N
(1.9 )
n =1
f – częstotliwość podstawowa
T = 1/f
An⋅sin(2πntf + ϕn) – n-ta harmoniczna
sygnał nieokresowy
x(t) ≠ x(t+k*T) – okres sygnału dąży do nieskończoności
sygnał quasi-okresowy
x(t) = A0 +
∑ A n ⋅ sin(2πf nt + ϕ n )
N
(1.10 )
n =1
fi/fk jest niewymierny dla conajmniej jednej pary składowych
sygnału (harmonicznych)
i, k ∈ <1; N>
np.:
x (t ) = A1 sin( 3t + ϕ1 ) + A2 sin( 5t + ϕ 2 )
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
10
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
sygnał nieustalony
x (t ) = cos( 6t ) ⋅ exp( −t )
"drgania tłumione"
x (t ) = exp( −t 2 )
krzywa Gaussa
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
11
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
• kryterium: stacjonarność
sygnał stochastyczny
stacjonarny
ze względu na: x σ
... ...
niestacjonarny
x
σ
...
...
• kryterium: ergodyczność
sygnał stacjonarny
ergodyczny
• kryterium: czas trwania sygnału
nieergodyczny
(trudny do analizy)
sygnał
skończony
nieskończony
faktycznie: T → ∞
praktycznie: T < ∞
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
12
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
• kryterium: energia sygnału
energia sygnału
skończona
nieskończona
(skończona moc)
energia
P=
∫x
∞
2
(t ) dt
−∞
jaka jest jednostka energii sygnału [P] = ?
energia skończona:
sygnały o skończonym czasie trwania
niektóre sygnały niestacjonarne o nieskończonym
(praktycznie skończonym) czasie trwania
(1.11)
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
13
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
energia nieskończona:
sygnały stacjonarne o nieskończonym czasie trwania
sygnały nieustalone
moc
N=
lim
T →∞
1
T
∫
t* + T
x 2 (t ) dt
(1.12)
t*
jaka jest jednostka mocy sygnału [N] = ?
moc jest zawsze skończona
N < ∞ !!!
moc mogłaby być nieskończona tylko wtedy gdyby
amplituda sygnału dążyła do nieskończoności
x(t) → ∞ ⇒ N → ∞
co jest niemożliwe w przypadku rzeczywistych procesów
fizycznych
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 1 – P ods t awowe
p oj ę c ia i de f in ic j e
1. 4. K l as y f ik ac j a S y g n ałó w
• kryterium: ciągłość dziedziny czasu (lub innej zmiennej
niezależnej np. współrzędnej)
- sygnał ciągły (nieskończona liczba chwil)
t ∈ < tb ; te >
- sygnał dyskretny (skończona liczba chwil)
ti ∈ {t0, t1, ..... , tN}
• kryterium: ciągłość dziedziny amplitudy
- sygnał analogowy (nieskończona liczba możliwych
poziomów)
x ∈ < xl ; xu >
- sygnał cyfrowy (skończona liczba możliwych poziomów)
xi ∈ {x0, x1, ..... , xN}
SYGNAŁ
ciągły
analogowy
14
mieszany
dyskretny
analogowy
ciągły
cyfrowy
dyskretny
cyfrowy