Pierwszy zestaw zadań - Katedra Ekonomii Matematycznej

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
Zestaw 1
1. Podaj przykłady zbioru:
a). domkniętego i ograniczonego,
b). domkniętego i nieograniczonego,
c). otwartego i niegraniczonego,
d). takiego, który nie jest otwarty ani domknięty,
e). wypukłego i ograniczonego,
f). wypukłego i nieograniczonego,
g). o pustym wnętrzu.
2. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) leży na odcinku łączącym koszyki x = (5, 20, 60) i y = (20, 50, 10).
Napisz wzór określający ten odcinek. Jakie współrzędne ma punkt leżący na środku odcinka? Jakie
współrzędne mają punkty, które dzielą odzinek na ćwiartki o równych długościach?
3. Dana jest przestrzeń towarów X = R2+ oraz relacja preferencji konsumenta ⊆ X 2 zdefiniowana następująco:
a). x y ⇔ x1 + x2 ­ y1 + y2 ,
b). x y ⇔ x21 + x22 ­ y12 + y22 ,
1/2 1/2
1/2 1/2
c). x y ⇔ x1 x2 ­ y1 y2 .
Wykreśl krzywe obojętności relacji. Sprawdź, czy relacja jest ciągła, wypukła, silnie wypukła. Znajdź
koszyki optymalne w zbiorach:
M1 = x = (x1 , x2 ) ∈ R2+ : x1 6 a ∧ x2 6 b ,
M2 = x = (x1 , x2 ) ∈ R2+ : x1 + x2 = c ,
gdzie a, b, c są stałymi dodatnimi.
4. Niech M ⊆ X będzie zbiorem wypukłym, a wypukłą relacją preferencji. Pokaż, że zbiór koszyków
optymalnych w M jest wypukły.
5. Niech M ⊆ X będzie zbiorem wypukłym, a silnie wypukłą relacją preferencji. Pokaż, że w zbiorze M
istnieje co najwyżej jeden koszyk optymalny.
6. Podaj przykłady ciągłej i silnie wypukłej realcji preferencji oraz zbioru M takich, że
a). w zbiorze M istnieje dokładnie jeden koszyk optymalny,
b). w zbiorze M istnieją dokładnie jeden koszyki optymalne,
c). w zbiorze M istnieje nieskończenie wiele koszyków optymalnych,
d). w zbiorze M nie istnieje koszyk optymalny.
7. Pokaż, że relacja indyferencji x ∼ y ⇐⇒ x % y ∧ y % x jest relacją równoważności (tzn. jest zwrotna,
symetryczna i przechodnia).
8. Obszary obojętności relacji preferencji zdefiniowane są następująco: Kx = {y ∈ X : y ∼ x}. Pokaż, że
każdy koszyk x należy do dokładnie jednego obszaru obojętności.
9. Rozważ nasępującą relację porządku leksykograficznego w zbiorze R2+ : x y ⇐⇒ x1 > y1 ∨ (x1 =
y1 ∧x2 > y2 ). Sprawdź (graficznie), że ta relacja nie jest ciągła. Spróbuj uzasadnić, że nie istnieje funkcja
użyteczności, która opisuje tę relację.
1
Zestaw 2
1. Dane są funkcje użyteczności u(x1 , x2 ) = x1 x2 i v(x1 , x2 ) = ln x1 + ln x2 . Korzystając z definicji funkcji
użyteczności udowodnij, że opisują one tę samą relację preferencji.
2. Pokaż, że jeśli u(x) opisuje pewną relację preferencji, a g : R → R jest funkcją rosnącą, to v(x) = g(u(x))
opisuje tę samą relację preferencji co u(x).
3. Dane są funkcje użyteczności określone na przestrzeni towarów X = R2+
a). ua (x1 , x2 ) = x1 x2
e). ue (x1 , x2 ) = x1 x22
i). ui (x1 , x2 ) = x21 x22
b). ub (x1 , x2 ) = 1/(x1 x2 )
f). uf (x1 , x2 ) = ex1 x2
1
g). ug (x1 , x2 ) = ln x1 x2
2
h). uh (x1 , x2 ) = x1 x2 + x21 x22
j) .uj (x1 , x2 ) = ex1 +x2
c). uc (x1 , x2 ) = ln x1 + ln x2
√
d). ud (x1 , x2 ) = exp (ln 4 x1 x2 )3
k). uk (x1 , x2 ) = cos x1 x2
Które z nich opisują tę samą relację preferencji?
4. Pokaż, że (silnie) wklęsła funkcja użyteczności opisuje (silnie) wypukłą relację preferencji.
5. Dana jest funkcja użyteczności określona na przestrzeni towarów X = R2+ :
A). u(x1 , x2 ) = a ln x1 + b ln x2 , a, b > 0
β
B). u(x1 , x2 ) = axα
1 x2 , a, α, β > 0
C). u(x1 , x2 ) = −1/x1 − 1/x2
√
D). u(x1 , x2 ) = x1 x2
a). Sprawdź, czy jest ona rosnąca, ciągła i 2-krotnie różniczkowalna w intR2+ .
b). Narysuj krzywą obojętności. Sprawdź, czy relacja preferencji opisana tą funkcją jest (silnie) wypukła.
c). Korzystając z twierdzenia Sylvestra zbadaj, czy funkcja u(x1 , x2 ) jest (silnie) wklęsła.
d). Sprawdź, czy spełnione jest prawo Gossena.
e). Wyznacz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji dobra pierwszego przez druge jako
funkcję x1 i x2 .
f). Wyznacz krańcową stopę substytucji dobra pierwszego przez druge jako funkcję x1 i poziomu
użyteczności u.
6. Dana jest doskonale komplementarna funkcja użyteczności:
xn
x1 x2
, ,...
, ai > 0, dla i = 1, 2, . . . , n.
u(x) = min
a1 a2
an
Czy jest ona rosnąca, ciągła, 2-krotnie różniczkowalna w intRn+ ?
Narysuj wykres funkcji oraz wykres obszaru obojętności dla n = 2.
Czy relacja preferencji opisana tą funkcją jest (silnie) wypukła?
Uzasadnij dlaczego funkcja ta jest nazywana „doskonale komplementarną”. Podaj przykłady dóbr,
których użyteczność można opisać tą funkcją.
e). Wyznacz graficznie zbiór koszyków optymalnych w zbiorze
M = (x1 , x2 ) ∈ R2+ : x1 + x2 6 c ,
a).
b).
c).
d).
gdzie c > 0.
7. Funkcję u nazywamy (silnie) quasi-wklęsłą jeżeli spełnia warunek
u (λx + (1 − λ) y) > min {u (x) , u (y)}
dla każdego λ ∈ [0, 1]. Pokaż, że relacja preferencji jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy opisująca ją
funkcja użyteczności jest (silnie) quasi-wklęsła.
8. Pokaż, że każda funkcja wklęsła jest quasi-wklęsła.
Zestaw 3
1. Pokaż, że jeżeli występuje zjawisko niedosytu, to warunek ograniczenia budżetowego hp, xi 6 I w
zadaniu maksymalizacji użyteczności można zastąpić warunkiem hp, xi = I.
2. Dana jest funkcja użyteczności:
β
a). u(x1 , x2 ) = axα
1 x2 , a, α, β > 0
c). u(x1 , x2 ) = x1
b). u(x1 , x2 ) = a ln x1 + b ln x2 , a, b > 0
d). u(x1 , x2 ) = (axγ1 + bxγ2 ) γ , a, b, γ, θ > 0
1/2
1/2
+ x2
θ
a). Wyznacz funkcję popytu ϕ(p1 , p2 , I) i pośrednią funkcję użyteczności U (p1 , p2 , I).
b). Sprawdź, czy funkcja popytu i pośrednia funkcja użyteczności są rosnące i dodatnio jednorodne
stopnia 0.
c). Oblicz elastyczności cenowe popytu (proste i krzyżowe) oraz elastyczność dochodową popytu i
krańcową użyteczność dochodu, a także pochodne funkcji U (p1 , p2 , I) względem cen towarów.
d). Jakiego rodzaju są to towary?
e). Wykreśl krzywe ekspansji (cenowej i dochodowej) oraz krzywe popytu i krzywe Engla.
n
o
3. Wyprowadź funkcje popytu i pośrednią funkcję użyteczności dla funkcji użyteczności u(x1 , x2 ) = min xa11 , xa22 ,
gdzie a1 , a2 > 0. Jak kształtuje się popyt krańcowy, elastyczność popytu i krańcowa użyteczność dochodu? Jakiego rodzaju towary opisuje ta funkcja?
4. Cena pewnego dobra maleje, a cena pozostałych dóbr się nie zmienia. Przed zmianą cen konsument
kupował pewną ilość każdego dobra. Pokaż, że w warunkach niedosytu, po zmianie cen konsument
kupuje większą ilość pewnego towaru, a jego użyteczność się zwiększyła.
5. Pokaż, że w warunkach niedosytu jeżeli rośnie cena jednego dobra, na które popyt jest większy od zera,
to obniża się popyt na jakieś dobro. (Dlaczego warunek, że popyt na to dobro jest większy od zera, jest
tu istotny?)
6. Pokaż, że w warunkach niedosytu, co najmniej jeden towar musi być dobrem wyższego rzędu.
7. Na rynku jest k konsumentów. Globalną funkcją popytu nazywamy funkcję:
ϕ(p, I 1 , . . . , I k ) =
k
X
ϕi (p, I i ),
i=1
gdzie I i oznacza dochód i-tego konsumenta, a ϕi – jego funkcję popytu. Wykaż, że w warunkach niedosytu globalne wydatki konsumentów są równe sumie ich dochodów oraz, że funkcja ta jest dodatnio
jednorodna stopnia 0.
8. Wyprowadź funkcję popytu dla liniowej funkcji użyteczności u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a, b > 0. Czy można
zastosować warunki podane w skrypcie? Jak zmienia się popyt wraz ze zmianą cen i dochodu? Czy
można wyznaczyć elastyczności popytu (cenowe i dochodową)?
Zestaw 4
1. Dana jest funkcja użyteczności:
β
a). u(x1 , x2 ) = axα
1 x2 , a, α, β > 0
1/2
c). u(x1 , x2 ) = x1
1/2
+ x2
b). u(x1 , x2 ) = a ln x1 + b ln x2 , a, b > 0
a). Wyprowadź funkcję popytu kompensacyjnego f (p) i dochodu kompensacyjnego I(p).
b). Sprawdź, czy I(p) jest rosnąca i dodatnio jednorodna stopnia 1.
c). Napisz równanie Słuckiego dla tej funkcji.
2. Rysunki przedstawiają dwa przykłady ścieżek ekspansji cenowej dobra pierwszego. Narysuj krzywą
popytu na to dobro. Co możesz powiedzieć o przedstawionych dobrach?
x2
x2
x1
x1
3. Rysunki przedstawiają dwa przykłady ścieżek ekspansji dochodowej. Narysuj krzywe Engla dla obu
dóbr. Co możesz powiedzieć o przedstawionych dobrach? Uzasadnij, dlaczego przynajmniej jedno z nich
musi być dobrem wyższego rzędu.
x2
x2
x1
x1
4. Narysuj przykład działania efektu substytucyjnego i dochodowego dla n = 2. Pokaż na rysunku, że
dobro Giffena musi być dobrem niższego rzędu. Udowodnij to korzystając z równania Słuckiego.
5. Pokaż, że funkcja popytu kompensacyjnego jest jednorodna stopnia 0, a funkcja wydatków jest jednorodna stopnia 1. Czy potrzebny do tego jest postulat niedosytu?