Podstawy systemów dyskretnych

Podstawy systemów dyskretnych
dr inż. Grzegorz Bazydło
[email protected], www.uz.zgora.pl/~gbazydlo
Lista zadań nr 2
Zadanie 1
Funkcje przedstawione na poniższych rysunkach mają dziedzinę
i przyjmują wartości z tego samego przedziału.
a) Które z tych funkcji są różnowartościowe?
b) Które z tych funkcji przekształcają przedział
na przedział
?
c) Które z tych funkcji są przekształceniami wzajemnie jednoznacznymi?
Zadanie 2
Definiujemy funkcję
a) Oblicz
,
,
b) Narysuj wykres funkcji
c) Znajdź
(uwaga:
Zadanie 3
Dla
podzbiór?
(domowe)
niech
w następujący sposób:
oraz
.
.
oznacza przeciwdziedzinę funkcji ).
. Funkcja
Zadanie 4
Określamy trzy funkcje przekształcające zbiór
. Znajdź:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
jest funkcją charakterystyczną pewnego podzbioru zbioru . Jaki to
w zbiór
w następujący sposób:
e)
f)
g)
h)
,
,
.
.
.
.
1
Zadanie 5
Weźmy funkcje i
ną
zbioru
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
przekształcające zbiór w zbiór , gdzie
. Oblicz:
dla
e)
f)
g)
h)
w zbiór :
.
.
w zbiór :
a) Które z tych funkcji przekształcają zbiór
na zbiór ?
b) Pokaż, że żadna z tych funkcji nie jest funkcją różnowartościową.
c) Jak duży jest zbiór
dla każdej z tych funkcji (uwaga:
to przeciwobraz elementu
Zadanie 8
Oto dwie funkcje przekształcające zbiór w zbiór :
oraz
a) Oblicz
dla
.
b) Oblicz
dla
.
c) Pokaż, że funkcja jest różnowartościowa, ale nie przekształca zbioru w zbiór .
d) Pokaż, że funkcja nie jest różnowartościowa, ale przekształca zbiór w zbiór .
e) Pokaż, że
, ale
(uwaga: oznacza funkcję identycznościową, czyli
Zadanie 9
(domowe)
Definiujemy
jest parzysta oraz
a) Oblicz
b) Pokaż, że
jest funkcją charakterystycz-
.
.
.
.
Zadanie 6
Znajdź funkcje odwrotne do następujących funkcji przekształcających zbiór
a)
.
c)
b)
.
d)
Zadanie 7
Oto kilka funkcji ze zbioru
,a
oraz
, jeśli liczba
dla
, ale
w następujący sposób:
jest nieparzysta.
.
.
dla wszystkich
względem funkcji )?
dla
.
dla
,
).
, jeśli liczba
Relacja
w zbiorze
jest: zwrotna (Z), przeciwzrotna (PZ),
symetryczna (S), antysymetryczna (AS) lub przechodnia (P), jeśli
spełnia odpowiedni warunek:
Zadanie 10
(Z)
Dane są następujące relacje w zbiorze
:
(PZ)
a)
.
(S)
b)
.
(AS)
c)
.
(P)
d)
.
e)
.
Zapisz każdą relację jako zbiór par uporządkowanych a następnie określ, które z własności (Z), (PZ), (S), (AS) i (P) spełniają
te relacje. Każdą relację zilustruj także w postaci wykresu (nie rysuj strzałek, jeśli relacja jest symetryczna).
Zadanie 11 (domowe)
Niech
. Każde z poniższych stwierdzeń określa relację w zbiorze w ten sposób, że
, jeśli to
stwierdzenie jest prawdziwe dla i .
a)
.
f)
.
b)
.
g)
.
c)
.
h)
.
d)
.
i)
.
e)
.
Zapisz każdą relację jako zbiór par uporządkowanych a następnie określ, które z własności (Z), (PZ), (S), (AS) i (P) spełniają
te relacje. Każdą relację zilustruj także w postaci wykresu (nie rysuj strzałek, jeśli relacja jest symetryczna).
Zadanie 12
W zbiorze określone są następujące relacje dwuargumentowe:
a)
.
c)
.
b)
.
Zapisz każdą relację jako zbiór wszystkich par uporządkowanych (jeżeli jest to zbiór skończony) lub wypisz tylko pięć
z nich (jeżeli jest to zbiór nieskończony), a następnie określ, które z własności (Z), (PZ), (S), (AS) i (P) spełniają te relacje.
Zadania opracowano na podstawie Ross K. A., Wright Ch. R. B.: Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2006.
2