Lista zadań 5.

Procesy stochastyczne 2.
Lista zada« 5.
Autorzy: mgr M. Teuerle, dr A. Wyªoma«ska,
dr hab. A. Jurlewicz
WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok,
rok akad. 2011/12
1
Lista 5:
Wektory i procesy
α−stabilne.
X i Y b¦d¡ zmiennymi losowymi o ª¡cznym rozkªadzie symetrycznym stabilnym (SαS)
α > 1 i σ > 0 oraz niech Γ b¦dzie miar¡ spektraln¡ wektora losowego (X, Y ). Kowariacja
X i Y jest miar¡ zale»no±ci zdeniowan¡ nast¦puj¡co:
Niech
z
[X, Y ]α =
Z
s1 s<α−1>
Γ(ds),
2
S2
gdzie
s = (s1 , s2 ), z <p> = |z|p−1 z̄
oraz
jest sfer¡ jednostkow¡ w
S2
R2 .
Gªówne wªasno±ci kowariacji:
•
addytywno±¢ ze wzgl¦du na pierwszy skªadnik:
(X1 , X2 , Y )
ª¡cznie SαS,
•
skalowanie:
[aX, bY ]α = ab<α−1> [X, Y ]α
•
X oraz Y
[X, Y ]α = 0,
•
je±li
je±li
dla
[X1 + X2 , Y ]α = [X1 , Y ]α + [X2 , Y ]α
(X, Y )
ª¡cznie SαS oraz
dla
a, b ∈ R,
s¡ ª¡cznie SαS oraz s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi wówczas
X , Y1 oraz Y2 s¡ ª¡cznie SαS oraz Y1
[X, Y1 + Y2 ]α = [X, Y1 ]α + [X, Y2 ]α .
i
Y2
s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi,
wtedy
Kodyferencja zmiennych losowych
X
i
Y
ª¡cznie SαS dla
0 < α ¬ 2
zdeniowana jest
nast¦puj¡co:
CDα (X, Y ) = ln E exp{i(X − Y )} − ln E exp{iX} − ln E exp{−iY }.
Dla
1<α¬2
kodyferencja mo»e by¢ wyra»ona nast¦puj¡co:
CDα (X, Y ) = [X, X]α + [Y, Y ]α − [X − Y, X − Y ]α .
{L(t), t ­ 0} nazywany jest (standardowym) α−stabilnym ruchem
L(0) = 0 p.n., a przyrost L(t)−L(s) ma rozkªad
1/α
stabilny Sα ((t−s)
, β, 0) dla ka»dych 0 ¬ s < t < ∞ i dla pewnych 0 < α < 2, −1 ¬ β ¬ 1.
Proces stochastyczny
Lévy'ego, je±li ma on przyrosty niezale»ne,
1. Niech
X
σ, β, α
b¦dzie zm. losow¡
α-stabiln¡ o rozkªadzie Sα (σ, β, µ).
Γ zmiennej losowej X .
Wyznacz parametry
za pomoc¡ miary spektralnej
X = (X1 , X2 ) ma rozkªad ª¡czny symetryczny α-stabilny SαS
0 < α < 2 oraz z jednostajn¡ miar¡ spektraln¡ Γ, tak¡ »e Γ(S2 ) = 1. Przy pomocy
zmiennych biegunowych wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ wektora X.
2. Niech wektor losowy
z
X, Y maj¡ ª¡czny rozkªad SαS z parametrem stabilno±ci
X, Y ∼ S2 (1, 0, 0). Wyznacz [X, X]2 , CD2 (X, X) oraz [X, Y ]2 .
3. Niech zmienne losowe
α = 2,
4. Oblicz
przy czym
[X, X]α ,
gdy
X
jest zmienn¡ losow¡
Sα (σ, 0, 0)
5. Poka», »e kowariacja nie jest miar¡ symetryczn¡ dla
2
z
α>1
α < 2.
oraz
σ > 0.
X1 i X2 bed¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi SαS o rozkªadach brzegowych
Sα (σi , 0, 0), i = 1, 2 dla 1 < α ¬ 2 oraz σi > 0. Deniujemy now¡ zmienn¡ losow¡
Y = a1 X1 + a2 X2 dla pewnych staªych a1 , a2 . Znajd¹ rozkªad Y . Wyra¹ kowariacj¦
[Y, Y ]α jako funkcj¦ [X1 , X1 ]α oraz [X2 , X2 ]α .
6. Niech
{ξn }n∈Z b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie SαS z parametrami α > 1 oraz σ > 0. Deniujemy nowy szereg {Xn }n∈Z
7. Niech
nast¦puj¡co:
Xn = ξn + aξn−1 , n = 0, +1, −1, +2, −2, ..., a ∈ R.
Wyznacz
[Xn , Xn+k ]α
8. Poka», »e
oraz
α−stabilny
H−samopodobnym.
CDα (Xn , Xn+k )
ruch Lévy'ego
Znajd¹
H.
dla
n∈Z
{L(t), t ­ 0}
oraz
k ­ 0.
α 6= 1
α = 1.
jest przy
Zbadaj nast¦pnie przypadek
procesem
G. Samorodnitsky, M.S. Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes, (Chapman
&
Hall, New York, 1994)
Dodatek: rozkªady stabilne.
•
Jednowymiarowe rozkªady stabilne mo»na zdeniowa¢ jako te, których funkcja charakterystyczna ma posta¢
ϕα,β,m,σ (t) = exp{imt − |σt|α (1 − iβl(t))},
gdzie
0 < α ¬ 2, |β| ¬ 1, m ∈ R, σ > 0, oraz l(t) =
Parametr
α
to indeks stabilno±ci;
suni¦cia, natomiast
σ
β
i
β (|β| ¬ 1)
β
sgn(t) tg(πα/2) for α 6= 1,
2
 −sgn(t) ln |t| for α = 1.
π
to odpowiednio parametr sko±no±ci i prze-
peªni rol¦ parametru skali (chocia» w przypadku
ta nie jest w peªni uzasadniona). Dla
czym parametr
m


α=2
α = 1 nazwa
otrzymujemy rozkªad normalny, przy
przestaje by¢ istotny. Ponadto
√
σ = 1/ 2 i dowolnym
normalnemu N (0, 1).
ϕ2,β,0,σ (t)
odpowiada standardowemu rozkªadowi
z
•
Przez
Sα (σ, β, m) z 0 < α ¬ 2 i |β| ¬ 1 oznaczamy stabiln¡ zmienn¡ losow¡ o funkcji
charakterystycznej ϕα,β,m,σ (t).
•
Dla dowolnego
odpowiada
zmiennej losowej
- zmiennej
losowej
•
m ∈ R i σ > 0 funkcja charakterystyczna ϕα,β,m,σ (t)
σSα (1, β, 0) + m, gdy α 6= 1; natomiast ϕ1,β,m,σ (t)
σS1 (1, β, 0) + m + 2β(σ ln σ)/π .
Jednowymiarowy rozkªad symetryczny
wiadaj¡cy
m = β = 0.
3
α-stabilny
(SαS) to rozkªad stabilny odpo-
•
Wektor losowy X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) nazywany jest stabilnym wektorem loson
wym w
, je±li dla ka»dych dodatnich liczb A, B istnieje dodatnia liczba C oraz
n
wektor D ∈
takie, »e
1
2 d
R
R
AX + BX = CX + D,
gdzie
X1
oraz
X2
s¡ niezale»nymi kopiami
wektor losowy mówimy, »e
X1 , X2 , . . . , Xn
X.
(Cz¦sto zamiast okre±lenia stabilny
s¡ ª¡cznie stabilne.) Jego funkcja charak-
terystyczna ma wtedy posta¢


ϕX (k) = Eehk,Xi = exp ihk, mi −
Z

ψα (hk, si)Γ(ds) , k ∈ Rn .

Sn
h·, ·i(oznacza iloczyn skalarny w Rn , m ∈ Rn , 0 < α ¬ 2 to indeks stabilno±ci,
) 0 < α < 2, α 6= 1,
|u|α (1 − sgn(u) tg πα
2
oraz Γ(·) jest pewn¡ sko«ψα (u) =
|u|(1 + i π2 sgn(u) ln |u|) α = 1.
czon¡ miar¡ (zwan¡ miar¡ spektraln¡) na n-wymiarowej sferze jednostkowej Sn tak¡,
»e Γ(Sn ) = M > 0.
gdzie
•
Wektor losowy
X
ma ª¡czny rozkªad symetryczny
gdy istnieje jedyna symetryczna sko«czona miara
Γ
α-stabilny (SαS)
na Sn taka,»e
z
0 < α < 2,


Z
ϕX (k) = exp − |hk, si|α Γ(ds) , k ∈ Rn .


Sn
(Miara symetryczna to taka, dla której
podzbioru
B
sfery
Γ(B) = Γ(−B) dla dowolnego borelowskiego
Sn .)
4