wartość p

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 7
Struktura terminowa stóp
procentowych (zaleŜności
”deterministyczne”)
ln1 + r0, t t = ln1 + r0, s s 1 + fs, t t−s .
Terminowe stopy spełniają więc równanie
t ln1 + r0, t
Niech obligacja zerokuponowa ma wartość
nominalną M i termin wykupu przez
emitenta ustalony na moment T.
Zakładane na okresy 0, s, 0, t oraz s, t
roczne stopy zwrotu (z lokat w obligacje)
oznaczmy odpowiednio:
r0, s, r0, t − terminowe stopy od dziś
do momentów s, t (”spot rates”)
fs, t − terminowe stopy przyszłe (od
momentu s ) (”forward rates”).
Według tzw. teorii oczekiwań
teoretyczna wartość P0 obligacji ”dziś” (w
momencie 0) oraz wartości Ps, Pt w
przyszłości, (w momentach s, t, gdzie
0 < s < t ≤ T) związane są równaniem
1 + r0, t t = 1 + r0, s s 1 + fs, t t−s ,
czyli
= s ln1 + r0, s + t − s ln1 + fs, t,
zatem równowaŜne im stopy ciągłe:
ρ0, s = ln1 + r0, s
ρ0, t = ln1 + r0, t
ϕs, t = ln1 + fs, t
spełniają równanie:
tρ0, t = sρ0, s + t − sϕs, t,
czyli
t − sϕs, t = tρ0, t − sρ0, s
= tρ0, t − ρ0, s + t − sρ0, s,
a stąd
ϕs, t = t
ρ0, t − ρ0, s
+ ρ0, s.
t−s
Zakładając ciągłość funkcji t ↦ ϕs, t i
róŜniczkowalność funkcji s ↦ ρ0, s, oraz
przyjmując za znaną tzw. chwilową roczną
stopę ciągłą δs = ϕs, s (ciągła roczna
stopa procentowa na okres
s, s + ds, ds  0), po przejściu do granicy
t → s + otrzymujemy równanie róŜniczkowe
liniowe niejednorodne
ϕs, s = sρ ′ 0, s + ρ0, s,
(gdzie ozn.: ρ ′ 0, s = ∂s∂ ρ0, s), którego
rozwiązaniem jest funkcja
ρ0, s = 1s
s
∫ 0 ϕτ, τdτ = 1s
∫ 0 δτdτ
sρ ′ 0, s + ρ0, s
1
s
s
∫ 0 ϕτ, τdτ + 1s
s
∫ 0 ϕτ, τdτ
s
= s − 12 ∫ ϕτ, τdτ + 1s ϕs, s
s 0
s
+ 1s ∫ ϕτ, τdτ
0
= ϕs, s
ϕs, t =
tρ0, t − sρ0, s
t−s
t
s
t 1t ∫ δτdτ − s 1s ∫ δτdτ
0
0
=
t−s
t
= 1 ∫ δτdτ
t−s s
s
Rzeczywiście
=s d
ds
Stąd i z wyjściowego równania dla stóp
”spot” i ”forward” otrzymujemy teŜ
tzn. roczna ciągła stopa ”forward” w okresie
s, t jest wartością średnią rocznej
chwilowej stopy procentowej w tym okresie.
Przykład
ρ0, t = 0. 1 + 0. 04t − 0. 05t 2
0.1
Czas trwania i wypukłość dla
obligacji
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1
tρ0, t − sρ0, s
=
t−s
0. 1t − s + 0. 04t 2 − s 2  − 0. 05t 3 − s 3 
=
=
t−s
= 0. 1 + 0. 04s + t − 0. 05s 2 + t 2 + st
ϕs, t =
Potraktujmy wartość teoretyczną w
momencie 0 obligacji wypłacającej
dywidendy C = C 1 , C 2 . . . , C N  w
momentach t = 1, 2, . . . , N jako funkcję
zakładanej stopy zwrotu (rentowności) r,
tzn. rozwaŜmy funkcję
N
r ↦ Pr = F C,r 0 =
n=1
ZauwaŜmy, Ŝe
0.1
N
0.08
dP r =
dr
0.06
0.04
0
0.2
0
0.6
0.4
s
0.2
0.4
t 0.6
0.8
1
∑ −nC n 1 +1r n+1
n=1
oraz
0.8
1
∑ C n 1 + r −n
2
d P r =
dr 2
N
∑ nn + 1C n 1 +1r n+2 .
n=1
Dr =
Miara (I-szego rzędu) wraŜliwości
procentowej zmiany ceny na zmianę stopy
zwrotu
dP
dP
r
r
P
Dr = − d1+r = − P dr
= − 1 + r dP r
P dr
1+r
N
1
nC n 1+r
∑ n=1
n
N
1
C m 1+r
∑ m=1
m
N
=
∑n
n=1
Cn
1
1+r n
N
1
C m 1+r
∑ m=1
m
1+r
nazywana teŜ czasem trwania obligacji
(Macaulay’s duration) dana jest wzorem
N
1
nC n 1+r
∑ n=1
n
Dr =
N
1
C n 1+r
∑ n=1
n
czyli duracja jest średnią waŜoną
momentów wypłaty dywidend (stąd nazwa
”średni czas trwania’); przy czym wagą dla
momentu t = n jest udział zdyskontowanej
n −tej dywidendy w sumie zdyskontowanych
wszystkich dywidend. Oczywiście
1 ≤ Dr ≤ N.
Interpretacja duracji
Mamy
RozwaŜmy wartość teoretyczną
obligacji w momencie t przy stopie
rentowności r jako wartość wszystkich
dywidend z obligacji w momencie t.
Potraktujmy ją jak sparametryzowaną przez
t rodzinę funkcji zmiennej r (funkcję dwóch
zmiennych r, t)
N
r ↦ P t r = F C,r t =
∑ C n 1 + r t−n
n=1
dP ̃t
r = d
dr
dr
∑ C n 1 + r̃t−n
=0
n=1
czyli:
16
N
14
∑ C n ̃t − n 1 + r ̃t−n−1 = 0.
12
10
0
1
N
n=1
0.16
0.18
r
0.2
0.22
t
0.24
2
Z powyŜszej równości
3
t, r ↦ F C,r t = P t r =
41 + r t−1 + 31 + r t−2 + 71 + r t−3
Mamy:
funkcję r ↦ P 0 r = ∑ n=1 C n 1 + r −n
malejącą
oraz
N
funkcję r ↦ P N r = ∑ n=1 C n 1 + r N−n
rosnącą.
Zapytajmy o moment ̃t ∈ 0; N, w którym
wartości P ̃t r są ”odporne” na zmiany stopy
procentowej, tzn. o ̃t, przy którym
N
̃t1 + r 
̃t−1
N
N
∑ C n 1 + r  −n − 1 + r  ∑ C n n1 + r  −n
n=1
̃t−1
n=1
to znaczy
N
C n n1 + r  −n
∑
n=1
̃t =
= Dr.
N
C n 1 + r  −n
∑ n=1
0.16
0.18
r
0.2
0.24
0.22
0
0.5
Miara (II-ego rzędu) nazywana wypukłością
zdefiniowana jest jako
1
1.5
t
Cr =
2
2.5
2
1 d P r =
dr 2 P
N
∑ nn + 1C n 1 +1r n+2
n=1
3
F C,r t = Pr, t =
41 + r
t−1
+ 31 + r
t−2
+ 71 + r
t−3
= const
1 ⋅ 41 + 0. 2 −1 + 2 ⋅ 31 + 0. 2 −2 + 3 ⋅ 51 +
41 + 0. 2 −1 + 31 + 0. 2 −2 + 51 + 0. 2
= 1. 947 075 209
D0. 2 =
:
Tzw. zmodyfikowany czas trwania obligacji
(modified duration) D m r = − dr1 dP
r dany
P
jest wzorem
N
1
nC n 1+r
∑
n
Dr
n=1
= 1
D m r =
1+r
1 + r ∑N Cn 1 n
n=1
1+r
PoniewaŜ ze wzoru Taylora (do wyrazu
rzędu II-ego)
2
ΔPr = Pr + Δr − Pr  dP rΔr  + 1 d P
rΔ
2 dr 2
dr
to zmodyfikowany czas trwania i wypukłość
są po prostu czynnikami odpowiadającymi
pierwszej i drugiej pochodnej w przybliŜeniu
funkcji r ↦ Pr za pomocą wzoru Taylora:
ΔP r  −D m rΔr  + 1 CrΔr  2
P
2