Matematyka finansowa 7

Matematyka finansowa - 7
Struktura terminowa stóp procentowych (zależności ”deterministyczne”)
Niech obligacja zerokuponowa ma wartość nominalną M i termin wykupu przez emitenta
ustalony na moment T.
Zakładane na okresy 0, s, 0, t oraz s, t roczne stopy zwrotu (z lokat w obligacje) oznaczmy
odpowiednio:
r 0 s, r 0 t − terminowe stopy od dziś do momentów s, t (”spot rates”)
fs, t − terminowe stopy przyszłe (od momentu s ) (”forward rates”).
Według tzw. teorii oczekiwań teoretyczna wartość P0 obligacji ”dziś” (w momencie 0)
oraz wartości Ps, Pt w przyszłości, (w momentach s, t, gdzie 0 < s < t ≤ T) związane są
równaniem
1 + r 0 t t = 1 + r 0 s s 1 + fs, t t−s ,
czyli
ln1 + r 0 t t = ln1 + r 0 s s 1 + fs, t t−s .
Terminowe stopy spełniają więc równanie
t ln1 + r 0 t
= s ln1 + r 0 s + t − s ln1 + fs, t,
zatem równoważne im stopy ciągłe:
ρ 0 s = ln1 + r 0 s
ρ 0 t = ln1 + r 0 t
ϕs, t = ln1 + fs, t
spełniają równanie:
tρ 0 t = sρ 0 s + t − sϕs, t,
czyli
t − sϕs, t = tρ 0 t − sρ 0 s
= tρ 0 t − ρ 0 s + t − sρ 0 s,
a stąd
ϕs, t = t
ρ 0 t − ρ 0 s
+ ρ 0 s.
t−s
Zakładając ciągłość funkcji t ↦ ϕs, t i różniczkowalność funkcji s ↦ ρ 0 s, oraz przyjmując
za znaną tzw. chwilową roczną stopę ciągłą δs = ϕs, s (ciągła roczna stopa procentowa na
okres s, s + ds, ds  0), po przejściu do granicy t → s + otrzymujemy równanie różniczkowe
liniowe niejednorodne
ϕs, s = sρ ′ 0, s + ρ 0 s,
(gdzie ozn.: ρ ′ 0, s = ∂s∂ ρ 0 s), którego rozwiązaniem jest funkcja
ρ 0 s = 1s
∫ 0 ϕτ, τdτ =
s
1
s
∫ 0 δτdτ
s
Rzeczywiście
sρ ′ 0, s + ρ 0 s
=s d
ds
1
s
∫ 0 ϕτ, τdτ
s
+ 1s
∫ 0 ϕτ, τdτ
s
s
= s − 12 ∫ ϕτ, τdτ + 1s ϕs, s
s 0
s
+ 1s ∫ ϕτ, τdτ
0
= ϕs, s
Stąd i z wyjściowego równania dla stóp ”spot” i ”forward” otrzymujemy też
tρ 0 t − sρ 0 s
ϕs, t =
t−s
s
1 t
t t ∫ δτdτ − s 1s ∫ δτdτ
0
0
=
t−s
t
= 1 ∫ δτdτ
t−s s
tzn. roczna ciągła stopa ”forward” w okresie s, t jest wartością średnią rocznej chwilowej
stopy procentowej w tym okresie.
Przykład
ρ 0 t = 0. 1 + 0. 04t − 0. 05t 2
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1
tρ 0 t − sρ 0 s
=
t−s
0. 1t − s + 0. 04t 2 − s 2  − 0. 05t 3 − s 3 
=
=
t−s
= 0. 1 + 0. 04s + t − 0. 05s 2 + t 2 + st
ϕs, t =
0.1
0.08
0.06
0.04
0
0.2
0.6
0.8
1
0.4
s
0.4
t
0.6
0.8
1
Czas trwania i wypukłość dla obligacji
Potraktujmy wartość teoretyczną w momencie 0 obligacji wypłacającej dywidendy
C = C 1 , C 2 . . . , C N  w momentach t = 1, 2, . . . , N jako funkcję zakładanej stopy zwrotu
(rentowności) r, tzn. rozważmy funkcję
N
r ↦ Pr = F C,r 0 =
∑ C n 1 + r −n
n=1
Zauważmy, że
N
dP r =
dr
∑ −nC n 1 +1r n+1
n=1
oraz
d 2 P r =
dr 2
N
∑ nn + 1C n 1 +1r n+2 .
n=1
Miara (I-szego rzędu) wrażliwości procentowej zmiany ceny na zmianę stopy zwrotu
dP
dP
r
r
P
Dr = − d1+r = − P dr
= − 1 + r dP r
P dr
1+r
1+r
nazywana też czasem trwania obligacji (Macaulay’s duration) dana jest wzorem
Dr =
N
1
nC n 1+r
∑ n=1
n
N
1
C n 1+r
∑ n=1
n
Interpretacja duracji
Mamy
Dr =
N
1
nC n 1+r
∑ n=1
n
N
1
C m 1+r
∑ m=1
m
N
=
∑n
n=1
Cn
1
1+r n
N
1
C m 1+r
∑ m=1
m
czyli duracja jest średnią ważoną momentów wypłaty dywidend (stąd nazwa ”średni czas
trwania’); przy czym wagą dla momentu t = n jest udział zdyskontowanej n −tej dywidendy w
sumie zdyskontowanych wszystkich dywidend. Oczywiście
1 ≤ Dr ≤ N.
Rozważmy wartość teoretyczną obligacji w momencie t przy stopie rentowności r jako
wartość wszystkich dywidend z obligacji w momencie t. Potraktujmy ją jak sparametryzowaną
przez t rodzinę funkcji zmiennej r (funkcję dwóch zmiennych r, t)
N
r ↦ P t r = F C,r t =
∑ C n 1 + r t−n
n=1
16
14
0
1
0.16
0.18
r
0.2
0.22
t
0.24
2
3
t, r ↦ F C,r t = P t r =
41 + r t−1 + 31 + r t−2 + 71 + r t−3
Mamy:
N
funkcję r ↦ P 0 r = ∑ n=1 C n 1 + r −n malejącą
oraz
N
funkcję r ↦ P N r = ∑ n=1 C n 1 + r N−n rosnącą.
Zapytajmy o moment ̃t ∈ 0; N, w którym wartości P ̃t r są ”odporne” na zmiany stopy
procentowej, tzn. o ̃t, przy którym
dP ̃t
r = d
dr
dr
N
∑ C n 1 + r ̃t−n
=0
n=1
czyli:
N
∑ C n t̃ − n1 + r ̃t−n−1 = 0.
n=1
Z powyższej równości
N
N
n=1
n=1
̃t1 + r ̃t−1 ∑ C n 1 + r −n − 1 + r ̃t−1 ∑ C n n1 + r −n = 0,
to znaczy
̃t =
0.16
N
C n n1 + r −n
∑ n=1
= Dr.
N
C n 1 + r −n
∑ n=1
0.18
r
0.2
0.22
0.24
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
F C,r t = Pr, t =
41 + r t−1 + 31 + r t−2 + 71 + r t−3 = const
D0. 2 =
1 ⋅ 41 + 0. 2 −1 + 2 ⋅ 31 + 0. 2 −2 + 3 ⋅ 51 + 0. 2 −3
41 + 0. 2 −1 + 31 + 0. 2 −2 + 51 + 0. 2 −3
= 1. 947 075 209
:
Tzw. zmodyfikowany czas trwania obligacji (modified duration) D m r = − dr1
wzorem
∑ n=1 nC n
Dr
D m r =
= 1
1+r
1 + r ∑N Cn
N
n=1
dP
P
r dany jest
1
1+r n
1
1+r n
Miara (II-ego rzędu) nazywana wypukłością zdefiniowana jest jako
2
Cr = 1 2 d P r =
P
dr
N
∑ nn + 1C n 1 +1r n+2
n=1
Ponieważ ze wzoru Taylora (do wyrazu rzędu II-ego)
2
ΔPr = Pr + Δr − Pr  dP rΔr + 1 d P2 rΔr 2
2 dr
dr
to zmodyfikowany czas trwania i wypukłość są po prostu czynnikami odpowiadającymi
pierwszej i drugiej pochodnej w przybliżeniu funkcji r ↦ Pr za pomocą wzoru Taylora:
ΔP r  −D m rΔr + 1 CrΔr 2
P
2