STRATEGIE EWOLUCYJNE

Transkrypt

Katedra Inżynierskich Zastosowań Informatyki WSInf.
Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems
Materiały pomocnicze do wykładu
ALGORYTMY EWOLUCYJNE – TECHNIKI ZAAWANSOWANE
 Reprezentacja zmiennych decyzyjnych.
 Reprodukcja - mechanizmy selekcji.
 Operatory ewolucyjne: krzyżowanie, mutacja.
REPREZENTACJA ZMIENNYCH DECYZYJNYCH
1. Kodowanie binarne
- Nie gwarantuje dobrej korelacji pomiędzy przestrzenią zadania i przestrzenią
reprezentacji (odległości pomiędzy dwoma punktami w obu przestrzeniach mogą się
istotnie różnić).
- Konieczność stosowania długich łańcuchów binarnych dla zadań wielowymiarowych
w problemach silnie nieliniowych przy żądaniu wysokiej dokładności.
Komentarz:
Zmienna x z przedziału < xmin , xmax > określana z dokładnością k cyfr znaczących musi być
zapisana na m bitach (genach), gdzie:
( xmax  xmin ) 10k  2m  1
zaś jej wartość dziesiątkowa wynosi:
x  xmin  (010010012 )10 
xmax  xmin
2m  1
Długość chromosomu: n  m gdzie n jest liczbą zmiennych.
Przykład:
10 zmiennych (n = 10) , każda zmienna, zapisana z dokładnością do 4 cyfr znaczących, zawiera
się w przedziale <10,100>:
Zatem:
(100  10)  104  2m  1  m  20
900 000  220  1( 1048575)
i długość jednego chromosomu wynosi 10  20  200 bitów.
Rozważmy dwie wartości zmiennej: x  710 i x  810 .
Odległość między tymi wartościami wynosi 1.
W systemie dwójkowym: x  01112 i x  10002 .
„Odległość” między tymi wartościami wynosi
(0  1)2  (1  0)2  (1  0)2  (1  0)2  4  2
2. Kodowanie przy wykorzystaniu kodu Gray’a
- Poprawia korelację pomiędzy przestrzenią zadania i przestrzenia reprezentacji.
- Dowolne dwa punkty leżące obok siebie w przestrzeni zadania różnią się jednym
bitem w przestrzeni reprezentacji.
Lub inaczej:
Kod Graya: reprezentacja binarna dwóch kolejnych liczb dziesiątkowych różni się tylko
jednym bitem.
Liczba Kod binarny
dziesiątkowa
Kod Gray'a
0000
0000
0
0001
0001
1
0010
0011
2
0011
0010
3
0100
0110
4
0101
0111
5
0110
0101
6
0111
0100
7
1000
1100
8
1001
1101
9
1010
1111
10
1011
1110
11
1100
1010
12
1101
1011
13
1110
1001
14
1111
1000
15
Rozważmy dwie wartości zmiennej: x  710 i x  810 .
Odległość między tymi wartościami wynosi 1.
W kodzie Graya: x  0100 i x  1100 .
„Odległość” między tymi wartościami wynosi
(0  1)2  (1  1)2  (0  0)2  (0  0)2  1  1
Prosta konwersja z naturalnego kodu binarnego na kod Graya
Zamiast konstruowania tablicy kodu Graya dla liczby zapisanej w kodzie dwójkowym można
znaleźć odpowiednik w kodzie Graya w następujący sposób:
1. Przesunąć liczbę w postaci binarnej o jeden bit w prawo (podzielić przez 2).
liczba DIV 2 → liczba podzielona przez 2
2. Wykonać operację XOR (różnica symetryczna -jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy
dokładnie jedno ze zdań p,q jest prawdziwe) na odpowiednich bitach liczby i wyniku
dzielenia liczby przez 2.
XOR:
0 xor 1 → 1
1 xor 1 → 0
W języku C tę operację można zapisać następującym wyrażeniem:
gray = liczba XOR (liczba DIV 2).
0 xor 0 → 0
Konwersja z kodu Graya na naturalny kod binarny
Kolejne cyfry naturalnego kodu binarnego wyznacza się iteracyjnie, od najbardziej znaczącej, w
oparciu o odpowiednią cyfrę kodu Graya i poprzednio wyznaczoną cyfrę kodu naturalnego:
1. Przyjmij pierwszą (najbardziej znaczącą) cyfrę kodu naturalnego równą pierwszej cyfrze
kodu Graya
2. Każdą kolejną cyfrę oblicz jako różnicę symetryczną (XOR) odpowiedniej cyfry kodu
Graya i poprzednio wyznaczonej cyfry kodu naturalnego.
Przykład przeliczenia:
Krok Kod Graya
XOR
Kod naturalny
1.
1010
1→1
1–––
2.
1010
0 xor 1 → 1
11––
3.
1010
1 xor 1 → 0
110–
4.
1010
0 xor 0 → 0
1100
Wynik: słowu 1010 w kodzie Graya odpowiada ciąg 1100 w kodzie naturalnym, czyli liczba 12.
Rzeczywiście, jak pokazuje przedstawiona wyżej konstrukcja, 1010 jest trzynastym słowem
kodowym 4-bitowego kodu, a więc (przy numeracji rozpoczynającej się od zera) odpowiada mu
liczba 12.
3. Kodowanie zmiennoprzecinkowe
- Chromosom jest kodowany jako wektor liczb rzeczywistych o tej samej długości co
wektor zmiennych decyzyjnych.
Gen: - liczba zmiennoprzecinkowa zapisana z największą dokładnością wynikającą ze
specyfiki komputera.
Chromosom: - tablica o n elementach, gdzie n jest liczbą zmiennych.
REPRODUKCJA - MECHANIZMY SELEKCJI.
Selekcja to wybór chromosomów do reprodukcji, tzn. wybór kandydatów na rodziców
następnego pokolenia.
Najczęstsze metody selekcji
 Selekcja proporcjonalna
 Selekcja turniejowa
 Selekcja rankingowa
Selekcja proporcjonalna
Omówiona poprzednio metoda ruletki z wagą proporcjonalna do względnej wartości funkcji
przystosowania chromosomu w populacji.
Najistotniejsza wada: może być stosowana jedynie w problemach maksymalizacji funkcji
celu, która jest dodatnia w całym obszarze.
Wymaga więc wprowadzenia skalowania funkcji celu dla problemów minimalizacji oraz
funkcji celu o możliwych ujemnych wartościach.
Selekcja turniejowa
Zalety: znak funkcji celu nie ma znaczenia, może być stosowana zarówno do problemów
minimalizacyjnych jak i maksymalizacyjnych.
Idea: Aktualna populacje dzieli się na podgrupy i najlepszy chromosom z każdej podgrupy
staje się kandydatem na rodzica następnej populacji.
Schemat 1:
Dla kolejnych j = 1, . , . . . ., J:
1. Losuje się dwie liczby całkowite a i b z przedziału <1,J>.
2. Porównuje się chromosomy xa i xb z aktualnej populacji. Lepszy z tych dwóch
chromosomów (na podstawie funkcji przystosowania) staje się kandydatem na rodzica
następnej populacji.
Schemat 2:
Dla kolejnych j = 1, . , . . . ., J:
1. Losuje się liczbę całkowitą a z przedziału <1,J>.
2. Porównuje się chromosomy xa i xj z aktualnej populacji. Lepszy z tych dwóch
chromosomów (na podstawie funkcji przystosowania) staje się kandydatem na rodzica
następnej populacji.
(najlepszy z chromosomów będzie co najmniej raz skopiowany)
Selekcja rankingowa
Idea: Populację sortuje się od najlepszego do najgorszego chromosomu i każdemu
chromosomowi populacji przypisuje się wagę. Prawdopodobieństwo selekcji zależy od
wagi chromosomu a nie wartości jego funkcji przystosowania.
Ranking liniowy
Prawdopodobieństwo selekcji j-tego chromosomu ma postać:
p j  q  (q  q0 )
j 1
J 1
gdzie:
q
- prawdopodobieństwo selekcji najlepszego chromosomu,
q0
- prawdopodobieństwo selekcji najgorszego chromosomu.
Selekcja następuje metoda ruletki.
Ranking wykładniczy
Prawdopodobieństwo selekcji j-tego chromosomu ma postać:
p j  q(1  q) j 1
lub
p j  q j 1
gdzie:
q
- prawdopodobieństwo selekcji najlepszego chromosomu,
Selekcja następuje metoda ruletki.
PRZYKŁAD
 Chromosom 10 bitowy (10 genowy) reprezentuje 2 nieujemne zmienne całkowite:
x1 : bity 0 – 4
x2 : bity 5 – 9.
 Funkcja przystosowania ma postać:
f ( x1 , x2 )  2000  x1  x2  x1 x2
 Populacja składa się z 6 chromosomów.
Aktualna populacja:
ch1 = (1 1 1 0 1 1 1 1 0 1)
ch2 = (1 0 0 0 1 1 0 1 0 0)
ch3 = (0 0 0 1 1 0 1 1 0 1)
ch4 = (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0)
ch5 = (0 1 1 0 1 0 1 1 0 1)
ch6 = (0 0 1 0 1 0 0 0 0 0)
f ( x1 , x2 )  2000  x1  x2  x1 x2
f
 10425
 x  (11101) 2  2910
ch 1   1
 x2  (11101) 2  2910
 f ( x1 , x2 )  1101
 x1  (10100) 2  2010
ch 2  
 f ( x1 , x2 )  1623
x

(
10001
)

17
 2
2
10
 x  (01101) 2  1310
 f ( x1 , x2 )  1945
ch 3   1
 x2  (00011) 2  310
 x1  (01000) 2  810
 f ( x1 , x2 )  1956
ch 4  
x

(
00100
)

4
 2
2
10
 x  (01101) 2  1310
 f ( x1 , x2 )  1805
ch 5   1
x

(
01101
)

13
 2
2
10
 x  (00000) 2  010
 f ( x1 , x2 )  1995
ch 6   1
 x2  (00101) 2  510
f
 10425
selekcja + krzyżowanie = nowe pokolenie
selekcja: proporcjonalna,
krzyżowanie:
ch1 z ch2
ch3 z ch4
ch5 z ch6
turniejowa,
rankingowa.
na pozycji
na pozycji
na pozycji
5
3
6
Selekcja proporcjonalna + krzyżowanie
FP
Ch1
Ch2
Ch3
Ch4
Ch5
Ch6
:
1101
1623
1945
1956
1805
1995
10425
Wycinek koła
ruletki w %
10.5%
15.6%
18.7%
18.8%
17.3%
19.1%
100%
Prawdopodobieństwo wylosowania
0.105
0.156
0.187
0.188
0.173
0.191
1.000
Skumulowane wycinki
koła
0  p 10.5
10.5  p  26.1
26.1 p  44.8
44.8  p  63.6
63.6  p  80.9
80.9  p 100.0
Losuje się sześć liczb z przedziału [0,100]:
np.: 17, 56, 28, 89, 41, 96.
Do reprodukcji wybrano:
ch2, ch4, ch3, ch6, ch3, ch6
Populacja po reprodukcji i krzyżowaniu:
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
(1 0 0 0 1 | 1 0 1 0 0)
(0 0 1 0 0 | 0 1 0 0 0)
(0 0 0 | 1 1 0 1 1 0 1)
(0 0 1 | 0 1 0 0 0 0 0)
(0 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1)
(0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0)
Potomkowie
x2
x1
(1 0 0 0 1 | 0 1 0 0 0) 17
8
(0 0 1 0 0 | 1 0 1 0 0)
4
20
(0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0)
1
0
(0 0 1 1 1 | 0 1 1 0 1)
7
13
(0 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0)
3
0
(0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1)
5
13
Suma funkcji przystosowania =
f(x1,x2)
1839
1896
1999
1889
1997
1967
11537
Selekcja turniejowa + krzyżowanie
Schemat 1
j
1
2
3
4
5
6
a
1
3
5
2
5
3
b
3
3
6
5
4
5
f(a)
1101
1945
1805
1623
1805
1945
f(b) chromosom
1945
3
1945
3
1995
6
1805
5
1956
4
1805
3
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
Potomkowie
x2 x1
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) 3 13
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) 3 13
(0 0 1 | 0 1 0 0 0 0 0) (0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1) 5 13
(0 1 1 | 0 1 0 1 1 0 1) (0 1 1 0 1 | 0 0 0 0 0) 13 0
(0 0 1 0 0 0 | 1 0 0 0 ) (0 0 1 0 0 | 0 1 1 0 1) 4 13
(0 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 1 0 0 0) 3 8
f(x1,x2)
1945
1945
1917
1987
1931
1965
11690
Selekcja turniejowa + krzyżowanie (c.d.)
Schemat 2 – wersja 1
j
1
2
3
4
5
6
a
1
3
5
2
5
3
f(j)
1101
1623
1945
1956
1805
1995
f(a) chromosom
1101
1
1945
3
1805
3
1623
4
1805
5
1945
6
D Do reprodukcji wybrano:
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
Potomkowie
x2 x1
(1 1 1 0 1 | 1 1 1 0 1) (1 1 1 0 1 | 0 1 1 0 1) 29 13
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 1 1 1 0 1) 3 29
(0 0 0 | 1 1 0 1 1 0 1) (0 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0) 0 8
(0 0 1 | 0 0 0 1 0 0 0) (0 0 1 1 1 | 0 1 1 0 1) 7 13
(0 1 1 0 1 0 | 1 1 0 1) (0 1 1 0 1 | 0 0 0 0 0) 13 0
(0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0) (0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1) 5 13
f(x1,x2)
1581
1881
1992
1889
1987
1917
11247
Selekcja turniejowa + krzyżowanie (c.d.)
Schemat 2 – wersja 2
j
1
2
3
4
5
6
b
3
3
6
5
4
5
f(j)
1101
1623
1945
1956
1805
1995
f(b) chromosom
1945
3
1945
3
1995
6
1805
4
1956
4
1805
6
Populacja po reprodukcji:
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
Potomkowie
x2 x1
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) 3 13
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1) 3 13
(0 0 1 | 0 1 0 0 0 0 0) (0 0 1 0 0 | 0 1 0 0 0) 4 8
(0 0 1 | 0 0 0 1 0 0 0) (0 0 1 0 1 | 0 0 0 0 0) 5 0
(0 0 1 0 0 0 | 1 0 0 0 ) (0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 0) 4 0
(0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0) (0 0 1 0 1 | 0 1 0 0 0) 5 8
f(x1,x2)
1945
1945
1956
1995
1996
1947
11784
Selekcja rankingowa + krzyżowanie
Kolejność aktualnych chromosomów od najlepszego do najgorszego:
 Chromosom najlepszy (6) : q = 0.90
 Chromosom najgorszy (1) : q = 0.10
 Wagi przypisane kolejnym chromosomom:
Ranking liniowy:
p j  0.9  0.16( j  1)
Ranking wykładniczy:
p j  0.9
j 1
Ranking liniowy
Ch6
Ch4
Ch3
Ch5
Ch2
Ch1
:
j
1
2
3
4
5
6
pj
0.90
0.74
0.58
0.42
0.26
0.10
3.0
Losuje się sześć liczb [0,100]:
% koła
30.00
24.67
19.33
14.00
8.67
3.33
100
Skum. % koła
70.00 – 100.00
45.33 – 70.00
26.00 – 45.33
12.00 – 26.00
3.33 – 12.00
0 – 3.33
np.: 17, 56, 28, 89, 41, 96.
6–4–3–5–2-1
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
Potomkowie
x2 x1
(0 1 1 0 1 | 0 1 1 0 1) (0 1 1 0 1 | 0 1 0 0 0) 13 8
(0 0 1 0 0 | 0 1 0 0 0) (0 0 1 0 0 | 0 1 1 0 1) 4 13
(0 0 0 | 1 1 0 1 1 0 1) (0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0) 1 0
(0 0 1 | 0 1 0 0 0 0 0) (0 0 1 1 1 | 0 1 1 0 1) 7 13
(0 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1) (0 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0) 3 0
(0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0) (0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1) 5 13
f(x1,x2)
1875
1931
1999
1889
1997
1917
11608
Ranking wykładniczy
Ch6
Ch4
Ch3
Ch5
Ch2
Ch1
:
j
1
2
3
4
5
6
pj
1.00
0.90
0.81
0.73
0.66
0.59
4.69
% koła
21.35
19.20
17.29
15.56
14.00
12.60
100
Losuje się sześć liczb [0,100]:
Skum. % koła
78.65 – 100.00
59.45 – 78.65
42.16 – 59.45
26.60 – 42.16
12.60 – 26.60
0 – 12.60
np.: 17, 56, 28, 89, 41, 96.
ch1
ch2
ch3
ch4
ch5
ch6
Rodzice
(1 0 0 0 1 | 1 0 1 0 0)
(0 0 0 1 1 | 0 1 1 0 1)
(0 1 1 | 0 1 0 1 1 0 1)
(0 0 1 | 0 1 0 0 0 0 0)
(0 1 1 0 1 0 | 1 1 0 1)
(0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0)
Potomkowie
f(x1,x2)
x2
x1
(1 0 0 0 1 | 0 1 1 0 1) 17
13
1749
(0 0 0 1 1 | 1 0 1 0 0)
3
20
1917
(0 1 1 0 1 | 0 0 0 0 0) 13
0
1987
(0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1)
5
13
1917
(0 1 1 0 1 | 0 0 0 0 0) 13
0
1987
(0 0 1 0 1 | 0 1 1 0 1)
5
13
1917
Suma funkcji przystosowania = 11474
Podsumowanie:
Selekcja
Suma FP Najlepsze Najgorsze
x1,x2
x1,x2
10425
Proporcjonalna
11537
0,3
8,17
Turniejowa 1
11690
0,13
13,5
Turniejowa 2.1
11247
8,0
13,29
Turniejowa 2.2
11784
0,4
13,3
Rankingowa liniowa
11608
0,3
8,13
Rankingowa wykładnicza 11474
0,13
13,17

STRATEGIE EWOLUCYJNE

Transkrypt

Podobne dokumenty

PODSTAWY ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH

długość chromosomów

END

STUDIA PODYPLOMOWE DORADZTWO ZAWODOWE

Zaproszenia na panel dla nauczycieli

Badania naukowe Katedry obejmują wiele problemów z zakresu

lista zagadnień ETI /I st.

Praktyki studenckie

pełna nazwa firmy/ instytucji - Bydgoszcz

tutaj

Karta zgłoszeniowa na wykład/ warsztaty organizowane przez