CPL 2

Szeregowanie zadań
w oparciu o modele regresji
rangowej
Leon Bobrowski 1,2
Tomasz Łukaszuk 1
Politechnika Białostocka, Wydział Informatyki
2
Instytut Biocybernetyki i Inżynierii Biomedycznej PAN
1
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Plan wystąpienia








Wprowadzenie
Liniowa transformacja rangowa
Dodatnio i ujemnie zorientowane dipole
Zbiory C+ i C- i ich liniowa separowalność
Funkcja kryterialna CPL
Minimalizacja wartości funkcji kryterialnej CPL
Zastosowanie liniowej transformacji rangowej
w szeregowaniu zadań
Przykłady zastosowań
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Wprowadzenie
(1/5)

Realizowany proces obliczeniowy został podzielony
na m zadań Oj

Każde zadanie jest scharakteryzowane przez
przedział czasu τj wymagany na jego realizację
oraz wektor zależności ρj=[ρj1,...,ρjm]T o składowych

binarnych wyrażający zależność od innych zadań
Zakładamy, że zadania nie mogą się blokować
wzajemnie
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Wprowadzenie

(2/5)
ρji=1 - oznacza, że zadanie Oj może być
realizowane tylko wtedy, gdy zostanie zrealizowane
zadanie Oi

ρji=0 – oznacza, że zadanie Oj może być
realizowane niezależnie od zadania Oi
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Wprowadzenie

(3/5)
Przykład 1: Zadania realizowane sekwencyjnie
ρ1 = [0 0 0 0 0]
ρ2 = [1 0 0 0 0]
ρ3 = [0 1 0 0 0]
ρ4 = [0 0 1 0 0]
ρ5 = [0 0 0 1 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Wprowadzenie

(4/5)
Przykład 1: Perceptron wielowarstwowy
ρ1 = [0 0 0 0 0 0 0]
ρ2 = [0 0 0 0 0 0 0]
ρ3 = [0 0 0 0 0 0 0]
ρ4 = [0 0 0 0 0 0 0]
ρ5 = [1 1 1 1 0 0 0]
ρ6 = [1 1 1 1 0 0 0]
ρ7 = [0 0 0 0 1 1 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Wprowadzenie

(5/5)
Sformułowanie problemu:



Weryfikacja zagrożenia blokowania się zadań
Optymalizacja procesu obliczeniowego poprzez
wykrycie zadań możliwych do zrównoleglenia
Wyznaczenie kolejności wykonywania się zadań
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Liniowa transformacja
rangowa (1/3)

Rozważamy odwzorowanie liniowe postaci
y j = wT x j
j = 1,..., m
gdzie w = [w1 ,..., wN ]T ∈ R N jest wektorem parametrów
 Odwzorowanie przyporządkowuje poszczególnym
wektorom cech xj punkty na prostej yj

Punkty yj na prostej uporządkowane są zgodnie
z relacją większościową
y j (1) < y j ( 2 ) < ... < y j ( m )
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Liniowa transformacja
rangowa (2/3)
x 4  x1
x1  x3
x3  x 2
y j ( w) = w x j
x 2  x5
Relacja
następstwa
y5(w)
T
Transformacja
liniowa
y3(w)
y2(w)
y1(w)
y4(w)
Uporządkowanie
punktów na prostej
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Liniowa transformacja
rangowa (3/3)

Zagadnienie regresji rangowej:
Wybór wektora parametrów w, który daje
największą możliwą zgodność uporządkowania
punktów yj na prostej wyznaczonej przez
T
y
(
w
)
=
w
x j z relacją następstwa 
równanie j
pomiędzy wektorami cech xj.
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Dodatnio i ujemnie
zorientowane dipole

(1/3)
Relacja następstwa  może być użyta w określaniu
orientacji dipoli utworzonych z wektorów cech, dla
których relacja jest dana
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Dodatnio i ujemnie
zorientowane dipole

(2/3)
Def. 1: Para wektorów (xj,xk) (j<k) tworzy dipol
z orientacją dodatnią {xj,xk} (j,k)∈I+ wtedy i tylko
wtedy gdy x j  x k
(∀( j , k ) ∈ I + ) x j  x k

Def. 2: Para wektorów (xj,xk) (j<k) tworzy dipol
z orientacją ujemną {xj,xk} (j,k)∈I- wtedy i tylko
wtedy gdy x k  x j
(∀( j , k ) ∈ I − ) x k  x j
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Dodatnio i ujemnie
zorientowane dipole

(3/3)
Def. 3: Uporządkowanie punktów yj na prostej
jest zgodne z relacją  pomiędzy wektorami xj
wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są relacje:
(∀( j , k ) ∈ I + )
y j < yk
(∀( j , k ) ∈ I − )
y j > yk
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Zbiory C i C i ich liniowa
separowalność (1/3)
+

Relacje
-
(∀( j , k ) ∈ I + )
y j < yk
(∀( j , k ) ∈ I − )
y j > yk
można przedstawić w postaci:
(∀( j , k ) ∈ I + ) wT ( x k − x j ) > 0
(∀( j , k ) ∈ I − ) wT ( x k − x j ) < 0
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Zbiory C i C i ich liniowa
separowalność (2/3)
+
-

Tworzymy zbiory wektorów C+ i CC + = {r jk = ( x k − x j ) : ( j , k ) ∈ I + }
C − = {r jk = ( x k − x j ) : ( j , k ) ∈ I − }

Liniowa rozdzielność zbiorów C+ i C- przez
hiperpłaszczyznę H ( w) = {x : wT x = 0} przechodzącą
przez początek układu współrzędnych zapewnia
spełnienie relacji
+
−
(
∀
(
j
,
k
)
∈
I
) y j > yk
(∀( j , k ) ∈ I ) y j < y k
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Zbiory C i C i ich liniowa
separowalność (3/3)
+

Zagadnienie regresji
rangowej sprowadza
się do wyznaczenia
optymalnej
hiperpłaszczyzny
rozdzielającej zbiory
C+ i C-
-
x2
C+
w*
C-
x1
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Funkcja kryterialna CPL

(1/2)
Wyznaczenia hiperpłaszczyzny optymalnie
rozdzielającej zbiory C+ i C- można dokonać
minimalizując regresyjno-rangową funkcję
kryterialną
Φ r ( w) =
T

1
−
w
r jk

+
ϕ jk ( w) = 
0

+
ϕ
∑ jk (w) +
( j , k )∈I +
−
ϕ
∑ jk (w)
( j , k )∈I −
jezeli wT r jk < 1
jezeli wT r jk ≥ 1
T

1
+
w
r jk

−
ϕ jk ( w) = 
0

jezeli wT r jk > −1
jezeli
wT r jk ≤ −1
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Funkcja kryterialna CPL
(2/2)
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Minimalizacja wartości funkcji
kryterialnej CPL

Minimalizacja wartości funkcji kryterialnej Φ r (w)
może być dokonana za pomocą algorytmu
wymiany rozwiązań bazowych, techniki zbliżonej
do programowania liniowego.
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Zastosowanie liniowej transformacji
rangowej w szeregowaniu zadań (1/2)

Relacja następstwa (poprzedzania):
(Oi  O j ) ⇔ ( ρ ji = 1)

Liniowe odwzorowanie rangowe:
T
t (w ) = w ρ

Zbiory różnicowe C+ i C-:
C + = {r ji = ρ j − ρ i : i < j oraz Oi  O j }
C − = {r ji = ρ j − ρ i : i < j oraz O j  Oi }
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Zastosowanie liniowej transformacji
rangowej w szeregowaniu zadań (2/2)


Model rangowy zachowuje wszystkie zależności
pomiędzy zadaniami, wtedy i tylko wtedy, gdy
wektor w zapewnia liniowe rozdzielenie zbiorów
C+ i CJeżeli wartość funkcji kryterialnej Φ r (w) jest równa
0, to wszystkie zależności pomiędzy zadaniami są
zachowane przez model, zadania mogą być
realizowane (są niesprzeczne).
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 1
Dane
Zbiory C+ i CC+:
r21 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r32 = [-1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]
r43 = [0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0]
r54 = [0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0]
r65 = [0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0]
r76 = [0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0]
r87 = [0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0]
r98 = [0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0]
r109 = [0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0]
C-:
ϕ
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 1
Model
Φ=0
w = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 2
Dane
Zbiory C+ i CC+:
r21 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r31 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r43 = [-1 0 1 0 0 0 0 0 0 0]
r54 = [0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0]
r65 = [0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0]
r71 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r87 = [-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0]
r98 = [0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0]
r109 = [0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0]
C-:
r75 = [1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 2
Model
Φ=0
w = [1 0 2 3 2 0 2 3 4 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 3
Dane
Zbiory C+ i CC+:
r21 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r31 = [1 0 0 1 0 0 0 0 0 0]
r43 = [-1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0]
r54 = [0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0]
r65 = [0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0]
r71 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
r87 = [-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0]
r98 = [0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0]
r109 = [0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0]
C-:
r53 = [-1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0]
r56 = [1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0]
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Przykład 3
Model
Φ = 0,16
w = [1 0 0 0 0 0 2 3 4 0]
Sprzeczność!!!
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007
Dziękuję za uwagę!
Technologie Eksploracji i Reprezentacji Wiedzy 2007