Metody panelowe 2D: streszczenie wykładu

2. ZARYS METOD PANELOWYCH W ZASTOSOWANIU DO PROFILU
LOTNICZEGO
2.1. METODA WIRÓW DYSKRETNYCH DLA PROFILU CIENKIEGO
Ze względu na zastosowanie rozkładu osobliwości hydrodynamicznych do badania przepływu na profilu i
sił na ten profil działających, logicznym ciągiem dalszym naszych rozważań na temat modelowania przepływu
wokół profilu lotniczego jest prezentacja metod panelowych. W metodach tych stosuje się rozkład osobliwości
nie na szkieletowej, lecz na obwodzie profilu szczegółowe uzasadnienie matematyczne tego typu postępowania
znajdzie Czytelnik w np. pracy J. Katza i A. Plotkina (1991). Zanim przejdziemy jednak do konkretnych
rozważań dotyczących wybranych metod panelowej przedstawimy model pośredni pomiędzy pełną metodą
panelową, a teorią profilu cienkiego. Wykorzystamy tu wyniki modelu Weissingera-Pistolessiego do
numerycznego rozwiązania problemu opływu szkieletowej.
Podzielmy cięciwę szkieletowej na N równych odcinków. Na każdym z nich rozmieśćmy wiry dyskretne i
punkty kolokacji wg. schematu „1/4-3/4”
z
Xc[i]
Γ[j]
x
V
8
Xv[j]
α
wir dyskretny
punkt kontrolny
Rys. 2.1. Dyskretyzacja cięciwy profilu w metodzie „1/4-3/4”.
Niech wirowi odpowiada wskaźnik „i” a punktowi kontrolnemu „j” ponadto, przyjmijmy indeksy „c” dla
punktów kolokacji i „v” dla wirów. Równanie całkowe dla szkieletowej (1.29) możemy wówczas zapisać w
postaci:
α−
dz
1
=
dx j 2π
N
∑Γ
(i )
i =1
1
xc ( j ) − xV (i )
(2.1)
pisząc to równanie N razy dla wszystkich punktów kolokacji, otrzymujemy układ równań postaci:
 
dz  n
1
 2π  α −
 = Γ(i )
dx1  i =1
xc (1) − xV (i )
 
⋮

 
dz  n
1
 = Γ (i )
 2π  α −
dx j  i =1
xc ( j ) − xV (i )
 
⋮

 
dz  n
1
 2π  α −
 = Γ(i )
dx
x
−
xV (i )
i =1
n 
c( n)
 
∑
∑
∑
Lub w postaci macierzowej:
(2.2)
a12 ⋯ a1n   Γ1   b1 
 
⋮
⋮
⋮   ⋮   ⋮ 
a ji ⋯ a jn  ⋅  Γ i  = b j 
    
⋮
⋮
⋮   ⋮  ⋮
⋯ ⋯ ann   Γ n  bn 
 a11
 ⋮

⋯

 ⋮
 an1
(2.3)
czyli:
 a ji  {Γ i } = {b j }
(2.4.)
Niewiadomymi w tym układzie są oczywiście cyrkulacje Γ (i ) na profilu. Macierz kwadratowa a składa się z tzw.
współczynników wpływu, a wektor wyrazów wolnych b zawiera warunki brzegowe.
a ji =
1
xc ( j ) − xV (i )
(2.5)
b( j ) = 2π α − ( dz dx ) j 


(2.6)
Współczynnik siły nośnej wyznaczymy ze wzoru:
CZ =
2Γ p
cV∞
2
cV∞
=
n
∑Γ
(2.7)
(i )
i =1
Traktując punkty w których umieszczono wiry jako punkt przyłożenia elementarnej siły nośnej możemy
wyznaczyć współczynnik momentu względem dowolnego bieguna redukcji jako:
CM 0 =
−2
V∞ c 2
n
∑ Γ( )  x ( ) − x 
i =1
i
(2.8)
0
V i
Zazwyczaj przyjmuje się x0=0.25 co odpowiada środkowi aerodynamicznemu w teorii profilu cienkiego.
0.10
γ(x )
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x/c
1.0
Rys. 2.2. Rozkład obciążenia obliczony analitycznie (linia ciągła)
i numerycznie: □. Profil w formie płaskiej płytki kąt natarca 0.1 rad
Na rysunkach 2.2-2.4. Pokazano przykładowe wyniki obliczeń przeprowadzonych dla dwóch przypadków:
płaskiej płytki i szkieletowej parabolicznej. Na pierwszym z tej serii rysunków porównanie wyników obliczeń
dla płaskiej płytki z rozkładem uzyskanym na drodze analitycznej. Rysunek ten pozwala stwierdzić dobrą
zgodność obu rozkładów. Drugi wykres pokazuje charakter rozkładów obciążenia dla szkieletowej
parabolicznej. Widać, że ostry pik ciśnienia nie wystąpi jedynie dla kąta natarcia równego zeru. Trzeci wykres
pokazuje wpływ szkieletowej na charakterystykę nośności. Widać, że zmiana szkieletowej nie powoduje
zmiany pochylenia tej charakterystyki, zmienia się jedynie kąt zerowej siły nośnej. Wartość
kąta zerowej siły nośnej otrzymana na gruncie teorii cienkiego profilu o wysklepieniu szkieletowej 5%
wynosi ok. –5.73 stopnia. I tutaj zgodność rozwiązania numerycznego ze ścisłym jest bardzo dobra. Wyniki tej
metody będą użyteczne przy formułowaniu metody siatki wirowej dla płata o skończonym wydłużeniu VLM (od
ang. Vortex Lattice Method )
0.06
γ(x)
α=4 [st.]
0.04
α=0 [st.]
0.02
0.00
α=−4 [st.]
-0.02
-0.04
x/c
-0.06
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Rys. 2.3. Rozkłady obciążenia uzyskane na drodze obliczeń numerycznej
N=20 dla szkieletowej w postaci łuku paraboli. Strzałka szkieletowej: 5%
1.20
Cz
1.00
0.80
0.60
f/c=0.05
0.40
f/c=0
0.20
0.00
CM0.25
-0.20
-0.40
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
α [st.] 4.0
Rys 2.4. Charakterystyki siły nośnej i momentu dla płaskiej płytki
i szkieletowej parabolicznej
Po uogólnieniu metody Weissingera-Pistolessiego przejdziemy do pełnych metod panelowych. Jak
wspomniano już wyżej metody panelowe polegają na wykorzystaniu nie znanych a priori rozkładów wybranych
rozkładów osobliwości hydrodynamicznych na obwodzie profilu. Zagadnienie wyznaczenia przepływu sił
działających na ciało umieszczone w przepływie sprowadza się do znalezienia wartości funkcji opisujących
rozkład tych osobliwości (np. wydatków źródeł i upustów, cyrkulacji wirów czy momentów dipolowych).
Dokonuje się tego wykorzystując warunek nieprzepuszczalności konturu profilu. W wyniku takiego
postępowania otrzymuje się układ równań liniowych pozwalający na obliczenie wzmiankowanych parametrów
hydrodynamicznych. Następnie wystarcza już wyznaczyć rozkłady prędkości stycznych, a z równania
Bernoulliego rozkłady ciśnień. Przy poprawnie wykonanym podziale powierzchni ciała na elementy brzegowe
nazywane panelami możemy określić z wysoka dokładnością parametry przepływu potencjalnego na
powierzchni profilu. To z kolei daje możliwość obliczenia parametrów charakteryzujących warstwę przyścienną,
a w konsekwencji na oszacowanie oporu profilowego jak również na określenie charakteru oderwania warstwy
przyściennej.
Istnieje obecnie wiele rodzajów metod panelowych1 różniących cię między sobą rodzajami zastosowanych
elementów brzegowych i sposobem postawienia warunków brzegowych (warunki Neumana lub Dirichleta).
Generalnie, do rozwiązywania zagadnień w których spodziewamy się występowania przepływu z zerową
cyrkulacją możemy stosować rozkłady samych źródeł, dla przypadku przepływów w których występuje siła
nośna, w stosuje się rozkłady wirów lub dipoli, niekiedy wraz z rozkładami źródeł.
Tu ograniczymy się jedynie do dwóch spośród nich. Pierwsza z nich wykorzystuje warunek Neumana,
który, jak pamiętamy sprowadza się do zerowania składowej normalnej prędkości na brzegu profilu. Na konturze
umieścimy elementy brzegowe o liniowym rozkładzie cyrkulacji. Metody wykorzystujące rozkłady wirów
dyskretnych, rozkłady stałe lub liniowo zmienne nazywane są niekiedy metodami powierzchniowego rozkładu
wirowości, SVM (od ang. Surface Vorticity Methods).
Dla kontrastu, przedstawimy inną metodę wykorzystującą warunek brzegowy Dirichleta i polegającą na
poszukiwaniu rozkładu potencjału prędkości generowanego przez osobliwości hydrodynamiczne.
2.2. METODA PANELOWA LINIOWYM ROZKŁADEM NATĘŻENIA WIRÓW WZDŁUŻ ELEMENTU
BRZEGOWEGO
Jako przypadek pierwszy przeanalizujemy element brzegowy ze stałym rozkładem wirowości wzdłuż
panelu. Jak okaże się za chwilę uzyskane tu wyniki będą użyteczne przy formułowaniu nieco modelu opartego
na liniowo zmiennym rozkładzie wirów na powierzchni elementu brzegowego.
Spróbujmy wyznaczyć pole prędkości indukowane przez wir o stałym natężeniu γ
Niech granice elementu brzegowego będą wyznaczone przez współrzędne x1 i x2 Dla naszej wygody rozważania
nasze prowadzić będziemy w układzie współrzędnych związanych z panelem.
Zp
C(Xc, Zc)
u
w
r1
γL
r
Θ1
X1
x
γ (x)
2
γR Θ
2
X2
Xp
Rys. 2.5. Element brzegowy o stałym rozkładzie cyrkulacji
Korzystając ze wzorów sformułowanych na użytek teorii profilu cienkiego możemy napisać:
u ( x1 , x2 , xc , zc ) =
γ
2π
x2
∫ (x
x1
c
zc dx
− x ) + zc2
2
(2.9)
całkując przez podstawienie otrzymuje się zależność:
u ( x1 , x2 , xc , zc ) =
γ
2π

zc
zc 
− arc tg
 arc tg

xc − x2
xc − x1 

(2.10)
w przypadku szczególnym:
u ( xc , ±0 ) = ± γ 2
(2.11)
znak „+” lub „-” zależy od tego, od której strony warstwy wirowej zbliżamy się do jej powierzchni. Jak
widać w tym ostatnim przypadku wartość składowej poziomej jest stała wzdłuż osi x.
Składowa pionowa (normalna do panelu) jest równa:
1
Czytelnika zainteresowanego przeglądem tych metod odsyłam do monografii J. Katza i A. Plotkina (1991),
artykułu C. Xu (1998)
w ( x1 , x2 , xc , zc ) =
−γ
2π
x2
∫ (x
x1
c
xc − x
− x ) + zc2
2
dx
(2.12)
Wykorzystując fakt, że licznik wyrażenia podcałkowego jest połową pochodnej mianownika otrzymujemy
natychmiast:
( x − x2 ) + zc
γ
w ( x1 , x2 , xc , zc ) =
ln c
4π ( xc − x1 )2 + zc2
2
2
(2.13)
na osi OX:
w ( x , ±0 ) =
 x − x2 
γ
ln  c

4π  xc − x1 
2
(2.14)
Ciekawą własnością tego wzoru jest zerowanie się składowej normalnej w(xc,0)=0 w punkcie położonym w
środku panelu.
Rozpatrzmy następnie liniowy rozkład wirów postaci:
γ ( x) = γ 0 +
dγ
( x − x1 )
dx
γ
(2.15)
=
1
γo
x1
x2
+
γo
x
x2
x1
x
d γ /dx (x-x1)
x1
x2
x
Rys.2.6. Dekompozycja liniowego rozkładu cyrkulacji.
Widać zeń, iż pole prędkości indukowane tą osobliwością możemy traktować jako superpozycję dwóch pól: pola
generowanego przez część stałą ( które właśnie przed chwilą wyznaczyliśmy) i pola od trójkątnego (liniowo
zmiennego rozkładu) wirowości. W tym celu określenia udziału zmiennej części rozkładu cyrkulacji w prędkości
indukowanej musimy obliczyć dwie całki:
1 dγ
u=
2π dx
w=−
x2
zx0 dx0
∫ (x− x )
x1
1 dγ
2π dx
2
0
x2
+ z2
x0 ( x − x0 ) dx0
∫ (x− x )
x1
0
2
+ z2
(2.16)
(2.17)
Po dość żmudnych przekształceniach uzyskuje się następujące formuły:
u=−
w=−
2

( x − x1 ) + z 2
1 dγ 
z
z 
 z ln
− 2 x  arc tg
− arc tg

2
2
4π dx 
x − x2
x − x1  
( x − x2 ) + z



(2.18)
2
2
1 d γ  x ( x − x1 ) + z
 ln
+ ( x1 − x2 ) +
2π dx  2 ( x − x2 )2 + z 2


z
z 
+ z  arc tg
− arc tg

x − x2
x − x1  

(2.19)
Dla uproszczenia powyższych formuł przyjmijmy, że współrzędna x1=0, czyli że odpowiada początkowi
elementu brzegowego. Wynika to stąd, iż racjonalnie jest umieścić początek lokalnego układu współrzędnych w
początku panelu. Ponadto przyjmijmy oznaczenia:
x1 = 0 , r1 = x 2 + z 2 , r2 =
( x − x2 )
2
+ z2
z
z
Θ1 = arc tg , Θ 2 =
x
x − x2
Teraz przyjmijmy następujący liniowy rozkład cyrkulacji:
γ ( x) = γ L +
γ P −γ L
x2
x
(2.20)
(2.21)
Indeksy „L” i „P” oznaczają tu odpowiednio wartości z lewego i prawego końca przedziału.
Teraz dokonamy superpozycji pól prędkości od części stałej i liniowo zmiennej rozdzielając przy tym je na
zależne od wartości na krańcach przedziałów:
uL =
γL
2π
up = −
z

r1 
x
 ln +  1 −  ( Θ2 − Θ1 ) 
 x2 r2  x2 


γ P  z r1 x
 ln − ( Θ2 − Θ1 ) 
2π  x2 r2 x2

(2.22a)
(2.22b)
łatwo jest sprawdzić, że pośrodku panelu zachodzą bardzo proste zależności :
uL = γ L 4, u = γ P 4, u = (γ L + γ P ) 4
(2.22c)
Analogicznie wyznaczymy pionowe składowe prędkości indukowanych:
wL = −
γL
2π
wP = −

γ P  x r1 z
 ln + ( Θ2 − Θ1 ) − 1
2π  x2 r2 x2



z
x  r1 
1 − ( Θ2 − Θ1 ) +  1 −  ln 
 x2  r2 
 x2
(2.23a)
(2.23b)
przy czym pośrodku panelu:
wL = −γ L 2π , wP = γ P 2π ,
w = wL = (γ P − γ L ) 2π
(2.23c)
Mając określone zależności definiujące prędkości indukowane możemy przystąpić do konstruowania algorytmu
obliczeniowego.
Krok pierwszy: DYSKRETYZACJA GEOMETRII PROFILU
Obwód profilu dzielimy N+1 punktami P o znanych współrzędnych na N odcinków przy czym punkty: P(1) i
P(N+1) są identyczne Jest to warunkiem domknięcia konturu profilu. Wyznaczamy współrzędne N punktów
kolokacji C o współrzędnych:
γ (x)
ZG
ZG
γj+1
γJ
Cj
ZP
βj
P j+1
Pj
Pj
0
γ(x)
XG
PN+1
P
1
Ci
XG
α
8
V
XP
P j+1
Rys 2.7. Dyskretyzacja geometrii profilu i rozkład cyrkulacji wzdłuż konturu. Schemat.
Leżących w połowie odcinka pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami kolokacji P
(
= (x
)2
)) 2
zCj = z Pj + z P ( j +1)
xCj
Pj
(2.24)
+ xP( j +1
dla j=1...N
Będą nam również potrzebne kosinusy i sinusy kątów tworzonych przez panele kierunkiem OXG w globalnym
układzie współrzędnych. Są one niezbędne do wyznaczenia rzutów wektorów prędkości na kierunki styczne i
normalne do powierzchni paneli:
z P( j +1) − z Pj
sin β j =
2
2
xP ( j +1) − xPj + z P ( j +1) − z Pj
(2.25)
xP( j +1) − xPj
cos β j =
2
2
xP( j +1) − xPj + z P( j +1) − z Pj
(
) (
)
(
) (
)
Krok drugi: WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW WPŁYWU
Jest to najbardziej pracochłonny krok: dla każdego punktu kolokacji „j’ musimy wyznaczyć prędkość
indukowaną przez panel z indeksem „i” W tym celu musimy w każdym kroku dokonywać transformacji
współrzędnych punktu kolokacji do lokalnego układu współrzędnych związanego z aktualnie branym pod uwagę
elementem brzegowym:
 x ( P ) = ( x − x ) cos β + ( z − z ) sin β
Cj
Pi
i
Cj
Pi
i
 C
 (P)
 zC = ( zCj − z Pi ) cos βi − ( xCj − xPi ) sin β i

 x2 = xP( i +1) − xPi cos β i + z P ( i +1) − z Pi sin βi

(
)
(
(2.26)
)
Składowe prędkości indukowanych w punkcie kontrolnym możemy wyrazić poprzez kombinacje wartości
rozkładu cyrkulacji na końcach panelu:
()
()
uij = uLij
γ i + uPij
γ i +1
1
1
()
()
γ i + wPij
γ i +1
wij = wLij
1
1
(2.27)
Prędkości są obliczane w układzie współrzędnych panelu. Przy czym górny indeks (1) oznacza jednostkową
wartość cyrkulacji. Następnie prędkości te transformujemy do globalnego układu współrzędnych XGOZG, i
porządkujemy ze względu na natężenia wirów na końcach przedziałów. Operacje tę polecam Czytelnikowi jako
samodzielne ćwiczenie:
1
(1)
(1)
uij( ) = uGLij
γ i + uGPij
γ i +1
(2.28)
(1)
(1)
(1)
wij = wGLij γ i + wGPij γ i +1
Indeks dolny „G” oznacza tu globalny układ współrzędnych. Wartości prędkości jednostkowych w
globalnym układzie współrzędnych są następujące:
()
()
()
uGLij
= uLij
cos β i − wLij
sin βi
1
1
1
()
()
()
uGPij
= uPij
cos β i − wPij
sin β i
1
1
1
(2.29)
()
()
()
wGLij
= uLij
sin β i + wLij
cos β i
1
1
1
()
()
()
wGPij
= uPij
sin β i + wPij
cos β i
1
1
1
W celu skorzystania z warunku nieprzepuszczalności powierzchni profilu musimy wyznaczyć rzut
prędkości indukowanych i prędkości przepływu niezaburzonego na kierunek normalny do powierzchni profilu
w punkcie kolokacji o indeksie „j”:
(
)
+ ∑ ( w( ) ( ) + w( ) ( ) ) cos β − ( u ( ) ( ) + u ( ) ( ) ) sin β  γ +


+ ( w( ) ( ) cos β − u ( ) ( ) sin β ) γ
=0
()
()
Vn = −V∞ ( sin α cos β j − cos α sin β j ) + wGL
( j1) cos β j − uGL ( j1) sin β j γ 1 +
1
1
n
i =2
1
GP j , i −1
1
GP jN
1
GL ji
j
1
GP jN
j
j
1
GP j ,i −1
1
GL ji
j
i
(2.30)
N +1
Pisząc równanie (2.30) dla N punktów kontrolnych otrzymujemy układ N równań z N+1 niewiadomymi. Aby
układ ten był zamknięty musimy uzupełnić go o dodatkowy warunek, jakim jest postulat Kutty-Żukowskiego o
spływie w ostrzu:
γ 1 + γ N +1 = 0
(2.31)
Fizyczny sens warunku Kutty-Żukowskiego wyrażony w postaci równania (2.31) sprowadza się do
wyrównywania się ciśnienia w ostrzu. Nie jest to jedyna postać tego warunku. Można wprowadzić np.
dodatkowy punkt kontrolny tuż za krawędzią spływu profilu. Analizę różnych form realizacji postulatu KuttyŻukowskiego można znaleźć np. w pracy C. Xu (1998)
Możemy teraz napisać układ równań na natężenia cyrkulacji na końcach elementów brzegowych:
 a ji  {γ i } = {b j }
przy czym macierz współczynników wpływu aji zawiera elementy postaci:
(2.32)
a j1
()
()
= wGL
( j1) cos β j − uGL ( j1) sin β j
a j , N +1
()
()
= wGP
( jN ) cos β j − uGP ( jN ) sin β j
a ji
=
1
1
= 1
aN +1, i
= 0
j = 1...N
1
( w( ) (
− (u( ) (
aN +1, 1
j = 1...N
1
)
1
GP j , i −1)
()
+ wGL
( ji ) cos β j −
1
GP j , i −1)
()
+ uGL
( ji ) sin β j
1
1
)
j = 1...N , i = 2..N
(2.33)
i = 2...N
aN +1, N +1 = 1
Natomiast wektor wyrazów wolnych zawiera następujące elementy:
b j = V∞ ( sin α cos β j − cos α sin β j )
j = 1...N
(2.34)
bN +1 = 0
Krok trzeci: ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ
Nasz układ równań w formie macierzowej przybiera zatem postać:
 a11
a
 21
 ...

aN 1
 1
a12
a22
...
aN 2
0
... a1, N +1   γ 1   b1 
... a2, N +1   γ 2   b2 

  
...
...   ...  =  ... 

... aN , N +1   γ N  bN 

  
...
1  γ N +1   0 
(2.35)
Układ ten jest dobrze uwarunkowany, z macierzą współczynników wpływu o dominującej przekątnej głównej i
może być rozwiązany za pomocą jednej ze standardowych metod algebry liniowej (np. Gaussa, Gaussa-Seidla
etc.)
Krok czwarty: WYZNACZENIE ROZKŁADU PRĘDKOŚCI CIŚNIENIA.
Po rozwiązaniu układu równań (2.35) możemy z łatwością wyznaczyć prędkość przepływu na powierzchni
profilu. W tym celu należy wyznaczyć sumę składowych stycznych do powierzchni profilu i dodać do nich
składową styczna od przepływu niezakłóconego. Wzór na prędkość styczną otrzymuje się niemal identycznie
jak wzór (2.30) i można śmiało wykorzystać tu wyniki cząstkowe dane wzorami (2.26...2.29) Nie chcąc odbierać
Czytelnikowi przyjemności samodzielnej pracy, autor zostawia to zadanie nierozwiązanym. Rozkłady
współczynnika ciśnienia otrzymamy wykorzystując wprost równanie Bernoulliego dla płynów nieściśliwych:
∆C p = 1 − (Vt V∞ )
2
(2.36)
Siła nośna i moment pochylający mogą być łatwo znalezione albo na drodze całkowania rozkładów
ciśnienia, lub z wykorzystaniem wzoru Żukowskiego w odniesieniu do indywidualnych paneli:
γ i + γ i +1
∆PZi = ρV∞
PZ =
2
∆li
(2.37)
N
∑ ∆P
Zi
1
(2.38)
wektor normalny
w punkcie kolokacji
n j+1
Pj+1
Vt = γ
j
Cj
rzeczywisty kontur
profilu
P
j
koniec panelu
punkt kolokacji
panel prostoliniowy
Rys 2.8. Wyznaczanie rozkładów prędkości na profilu. Schemat.
Warto zauważyć, że ciągły rozkład cyrkulacji jest równoważny rozkładowi prędkości stycznej na powierzchni
profilu. Powyższe spostrzeżenie pozwoli nam na natychmiastowe wyznaczenie rozkładu prędkości na
powierzchni profilu:
γ j dla
 0 dla
j ≠ 1, N + 1
Vtj = 
j = 1, N + 1
Ta interpretacja rozkładu natężenia cyrkulacji ma dwie zalety: zmniejsza pracochłonność obliczeń, oraz podnosi
dokładność samej metody obliczeniowej. W tym wypadku wartości prędkości uzyskuje się w narożach wielokąta
aproksymującego profil. Co więcej, prędkości te otrzymujemy na powierzchni profilu, a nie w środku panelu,
który leży w rzeczywistości wewnątrz lub na zewnątrz konturu(zależy to od lokalnej krzywizny profilu.).
Niżej przedstawimy przykłady obliczeń rozkładów prędkości uzyskanych przy pomocy opisanej wyżej metody.
2.0
α=8
V/V00
o
α=5
o
0.50
I. Abbot, A. v. Doenhoff: "Theory of
wing sections"
Z(X)
0.40
1.5
α=0
0.30
1.0
α=0 o α=2o
0.20
0.5
0.10
NACA 0018
0.0
0.00
-0.10
-0.5
-0.20
-1.0
-0.30
-1.5
-0.40
ilość punktów: Np = 41
X
-2.0
-0.50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Rys. 2. 9. Rozkłady prędkości na powierzchni profilu NACA0018 dla różnych kątów natarcia. Obliczenia
metodą panelową z liniowym rozkładem natężenia cyrkulacji.
Ilość punktów N=41.
Na rysunku 2.9. Pokazano rozkłady prędkości na profilu symetrycznym NACA 0018 dla 41 paneli. Dla
zerowego kąta natarcia wyniki obliczeń zostały porównane z rozkładami podanymi przez Abbota i v. Doenhoffa
(1958) Można zauważyć tu bardzo dobrą zgodność z wartościami podawanymi w literaturze, pomimo
stosunkowo małej liczby paneli. Warto zauważyć, że metoda ta w ujęciu prezentowanym przez Katza i Plotkina
(1991) wymaga ok. 100 paneli do uzyskania zadowalającej dokładności.
Rysunek 2.10. przedstawia rozkłady prędkości na powierzchni profilu skrzydła samolotu komunikacji
regionalnej ATR 72. Pomimo braku danych które mogłyby stanowić punkt odniesienia dla naszych obliczeń,
charakter zmiany rozkładu prędkości wraz ze zmianą kąta natarcia wydaje się być poprawny.
2.0
0.50
V/V00
α=5
1.5
ilośc punktów: Np=78
Z(X)
o
0.40
0.30
1.0
0.20
0.5
0.10
ATR 72
0.0
α=0o
-0.5
0.00
α=2
-0.10
o
-0.20
-1.0
-0.30
α=−2
-1.5
o
-0.40
X
-2.0
-0.50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Rys. 2. 10. Rozkłady prędkości na powierzchni profilu skrzydła samolotu ATR 72 dla różnych kątów natarcia.
Obliczenia metodą panelową z liniowym rozkładem natężenia cyrkulacji. Ilość punktów: N=78
2.3. METODA PANELOWA WYKORZYSTUJĄCA STAŁY ROZKŁAD MOMENTU DIPOLOWEGO
WZDŁUŻ ELEMENTU BRZEGOWEGO
W poniższym punkcie przedstawimy najprostszy z możliwych wariantów metody panelowej realizujących
warunek brzegowy Dirichleta. Można udowodnić, że jeżeli spełniony jest warunek brzegowy
nieprzepuszczalności konturu zamkniętego (np. profilu lotniczego),
to wówczas potencjał wewnątrz
rozpatrywanego konturu musi być stały, w szczególnym przypadku możemy przyjąć, iż wartość ta jest równa
zeru:
Φ ≡ Φ ∞ + φ = const
(2.39)
Przy czym potencjał przepływu jednorodnego jest oczywiście równy:
Φ ∞ = U ∞ x + W∞ z ≡ V∞ ( x cos α + z sin α )
(2.40)
Warunek ten nazywa się wewnętrznym warunkiem Dirichleta. Zanim przystąpimy do formułowania samej
metody rozpatrzmy prostoliniowy element brzegowy ze stałym rozkładem momentu dipolowego po
powierzchni.
Z
C(Xc, Zc)
r
x
dx
X1
µ
Θ1
Θ2
X2
x
Rys. 2.11. Element brzegowy o stałym rozkładzie momentu dipolowego
Dla uproszczenia obliczeń przyjmijmy lokalny układ współrzędnych związany z elementem brzegowym:
µ
φ ( x, y ) = −
2π
x2
z dx0
∫ (x − x )
x1
o
2
+ z2
(2.41)
całkowanie przez podstawienie daje natychmiast:
φ =−
µ 
z
z 
− arc tg
 arc t g

x − x2
x − x1 
2π 
(2.42)
Korzystnie jest tu przyjąć dolną granicę całkowania za równą zeru. Wiąże się to z przyjęciem początku
lokalnego układu współrzędnych w początku rozważanego panelu. Wówczas otrzymamy następujące wyrażenie
na potencjał prędkości w układzie współrzędnych elementu brzegowego:
φ =−
µ
[ Θ2 − Θ1 ]
2π
(2.43)
gdzie kąty Θ1, Θ2 są definiowane następująco:
z
z
Θ1 = arc tg , Θ2 = arc tg
x
x − x2
(2.44)
µN
µj
Φ=0
j
µ1
Ci
8
µ w =µ N+1
+
P j+1
P
V
PN+1
8
Z
x
P
1
α
Rys 2.12. Podział profilu na panele.
Rozpatrzmy jeszcze przypadek „samoindukcji” dla punktu położonego na elemencie brzegowym. Wówczas dla
Θ1=0 , Θ2=π otrzymamy:
φ ( x , ±0 ) = ∓
µ
(2.45)
2
Znak „+0” oznacza, że zbliżamy się do powierzchni idąc po dodatnich wartościach zmiennej z , „-0” , że
zbliżamy się do elementu „od dołu”.
Potencjał w punkcie kontrolnym o indeksie „j” będzie zatem równy sumie potencjałów generowanych przez
wszystkie elementy brzegowe:
N
∑C
i =1
ji
µi + C( j , N +1) µ N +1 = −Φ ∞
j = 1...N
(2.46)
przy czym dodatkowy człon z indeksem N+1 oznacza wpływ śladu aerodynamicznego.
Mamy zatem N równań z N+1 niewiadomymi. Aby układ był określony musimy dodać jeszcze jedno
równanie. Wynika ono z warunku o spływie w ostrzu:
µ1 + µ N − µ N +1 = 0
Wówczas nasz układ równań przyjmuje postać:
(2.47)
 c11 c21
c
 21 c22
 ...
...

...
...

cN 1 cN 2

0
 1
...
...
c1N
...
...
c2 N
...
...
...
... c ji
...
...
...
cNN
0
...
−1
c1, N +1   µ1 
 Φ ∞1 



Φ 
c2, N +1   µ 2 
 ∞2 



...
... 

 ... 

 = ( −1) 

...   ... 
 ... 
 Φ ∞N 
cN , N +1   µ N 




1   µ N +1 
 0 
(2.48)
układ ten daje się z resztą zredukować do układu N równań z N niewiadomymi poprzez uporządkowanie
(2.48) z wykorzystaniem równania (2.47) i skreślenie ostatniego wiersza:
 c11 − c1, N +1

 c21 − c2, N +1

...

...

cN 1 − cN , N +1

c12
c22
...
...
cN 2
...
...
c ji
...
...
... c1N + c1, N +1   µ1 
 Φ ∞1 



Φ 
... c2 N + c2, N +1  µ 2
 
 ∞2 
  ...  = ( −1)  ... 
...
...
 
 ... 
...
...
  ... 


... cNN + cN , N +1   µ N 
Φ ∞N 
(2.49)
Niewiadomą wartość natężenia momentu dipolowego od śladu wyznaczymy po rozwiązaniu układu (2.49)
wprost z równania (2.47)
Początek obliczeń jest podobny do przedstawionego w poprzednim akapicie:
Krok pierwszy: Należy zdyskretyzować obwód profilu wyznaczając punkty końce paneli i punkty kolokacji
położone w połowie długości paneli.
Krok drugi: Polega na wyznaczeniu położenia punktu kontrolnego „j” w układzie związanym z panelem „i” a
następnie wyznaczeniu współczynników wpływu Cij
Warto zauważyć, iż w tym przypadku odpada konieczność wyznaczania rzutów składowych prędkości na osie
lokalnych układów współrzędnych !
W tym celu korzystamy ze wzorów (2.24...2.26) a następnie z (2.43):
1
[ Θ2 − Θ1 ]
2π
c ji = 1 2
c ji = −
c j ( N +1) =
1
Θ1
2π
i ≠ j i, j = 1...N
i = j i, j = 1...N
(2.50)
j = 1...N
dodatnia wartość współczynnika przy i=j wynika stąd, iż warunek brzegowy postawiony jest po wewnętrznej
stronie konturu profilu. Element brzegowy modelujący ślad aerodynamiczny leży na osi OXG i rozciąga się od
krawędzi spływu do nieskończoności. Stąd wynika postać współczynnika przy i=N+1. Wektor wyrazów
wolnych składa się z elementów postaci:
b j = −V∞ ( xCj cos α + zCj sin α )
j = 1...N
(2.51)
Krok trzeci: Wyznaczenie prędkości i obciążenia profilu. Wartości prędkości na powierzchni profilu możemy
otrzymać na drodze różniczkowania potencjału w kierunku stycznym do powierzchni profilu po jego
zewnętrznej stronie. Tu wykorzystamy najprostszy z możliwych iloraz różnicowy:
Vτ =
∂φ µi +1 − µi
≈
∂τ
∆l j
(2.52)
Przy wyprowadzeniu zależności (2.52) korzystamy ze wzoru (2.45)
Należy tu podkreślić, że otrzymana wartość prędkości obliczona została w narożach łamanej aproksymującej
kontur profilu, a nie w punktach kontrolnych jak w poprzedniej metodzie. Siłę nośną i moment można obliczyć
jak poprzednio, całkując rozkład ciśnienia po obwodzie profilu. Należy podkreślić, że siłę nośną można
wyznaczyć w nieco bardziej elegancki sposób, wykorzystując fakt, iż stały rozkład momentu dipolowego
µ=const wzdłuż elementu brzegowego jest równoważny parze wirów o cyrkulacjach Γ1=µ, Γ2=-µ. Jeżeli
powyższe spostrzeżenie odnieść do śladu aerodynamicznego modelowanego metodą przedstawiona wyżej, to na
końcu tego elementu brzegowego znajdziemy wir rozruchowy o cyrkulacji o wartości równej cyrkulacji wokół
profilu. Wprowadzenie wzoru na współczynnik siły nośnej jako zagadnienie nieskomplikowane w tym
momencie pomijamy.
Sposób obliczenia charakterystyk profilu zaprezentowany w tym punkcie można z łatwością rozszerzyć na profil
wieloobwodowy. Metoda wykorzystująca rozkład dipoli
na powierzchni opływanego ciała znalazła również zastosowanie w przypadku badania przepływu potencjalnego
w otoczeniu brył trójwymiarowych.
Dla porządku należy wspomnieć, iż przedstawiona tu metoda jest jedną z wielu możliwych technik
obliczeniowych wykorzystujących warunek brzegowy Dirichleta. Można zastosować np. kombinowane rozkłady
źródeł i dipoli, liniowe lub paraboliczne rozkłady dipoli etc. Po szczegóły jestem zmuszony odesłać Czytelnika
do książki Katza i Plotkina (1991).
Bibliografia
[1] Abbot I. H., von Doenhoff A. F. , „Theory of Wing Sections“, Dover Publ., 1959;
[2] Belotserkovskii S.M. i dr. „Matiematiczeskoje Modielirovanije Ploskoparaliel’novo Obtiekanija Tiel“ Izd.
„Nauka“, Moskwa 1988;
[3] Basin M.A. Shadrin V. P. “Gidroaerodinamika Krylia v blizi granicy rozdiela sried” Sudostrojenije 1980;
[4] Chmielniak T. “Podstawy teorii profilów i palisad łopatkowych” , Seria “Maszyny Przepływowe” Tom 4
IMP PAN, Osolineum Wrocław 1989;
[5] Coullite C., Plotkin A., “Aerofoil Ground Effect Revisited” Aeronaut. J. 100 (992) 1996 pp. 65-74;
[6] Katz J., Plotkin A., „Low-Speed Aerodynamics. From Wing Theory to Panel Methods” McGraw-Hill Inc.
1991 pp. 316-359;
[7] Martensen E., “Die Abrechung der druckverteilung am Dicken Glitterprofilen mit hilfe von Fredholmschen
Integralglaichungen“ Zweiter Art. Arch. Ret. Mech. Anal. 3, 1959 pp. 235-237;
[8] Mc Cormick Jr. B. W., “Aeodynamics of V/STOL Flight “ Academic Press 1967;
[9] Siedov L. I., “Płoskije zadaczi gidromiekhaniki i aerodinamiki”, Gosudarstwennoje Izdatiel’stvo TechnikoTeoreticzeskoj litieratury” Moskwa 1950;
[10] Schlichting H, Truckenbrodt E., „Aerodynamik des Flugzeuges“, Teil I Springer Verlag
Berlin/Heidelberg/New York 1967 ss. 440-465;
[11] Strzelczyk P., “Calculation of Two-Dimensional Velocity Distribution by Surface Vorticity Method”, The
Archive of Mechanical Engineering. Vol. XLIX , No. 1 2002, pp. 5-22;
[12] Xu C., “Surface Vorticity modeling of flow around airfoils”, Computational Mechanics No. 21 (1998) pp.
526-532;
[13] Xu C., Yeung W. W. H., „Discrete Vortex Method for Airfoil With Unsteady Separated Flow“ Journal of
Aircraft Vol. 33 No. 6 1996 pp. 1208-12010;